2022-2023學(xué)年河北省石家莊市高一下學(xué)期開(kāi)學(xué)考試數(shù)學(xué)試題【含答案】

2022-2023學(xué)年河北省石家莊市高一下學(xué)期開(kāi)學(xué)考試數(shù)學(xué)試題

一、單選題

1.已知集合A={x∣x≥-1},B={-3,-2,-l,0,l,2},則(4A)B=()

A.{-3,-2}B.{-3,-2,-1)

C.(0,1,2)D.{-1,0,1,2}

【答案】A

【分析】根據(jù)集合的運(yùn)算法則計(jì)算.

【詳解】由題意IA={x∣x<T},所以解A)β={-3,-2).

故選：A.

2.已知命題P：關(guān)于X的不等式χ2-20χ-α>0的解集為R,則命題P的充要條件是()

A.-l<α≤0B.-1<α<0

C.-1<α<0D.a>1

【答案】B

【分析】根據(jù)一元二次不等式恒成立得A<0即可.

【詳解】關(guān)于X的不等式丁-2OX-α>0的解集為R,A=4∕+4α<0=>-l<”0,

故命題P的充要條件是-l<α<0,

故選：B

3.已知角?的終邊經(jīng)過(guò)點(diǎn)網(wǎng)―2,1),則cos^a+yj的值為()

A.BB.2C,-立D.—述

5555

【答案】A

【分析】根據(jù)三角函數(shù)的定義，求得Sina=咚，再結(jié)合誘導(dǎo)公式，得到cos(^→α)=sinα,即可求

解.

【詳解】由題意，角α的終邊經(jīng)過(guò)點(diǎn)尸(Tl),可得∕?=∣OP∣=J(-2)2+12=√L

根據(jù)三角函數(shù)的定義，可得Sina=J==正，

√55

.(3πAΛ∕5

Xτ7Scos----?-a=Slna=——.

故選：A.

4.已知α=0.32,b=2°?3,c=logj72,則（）

A.b<c<aB.b<a<c

C.c<a<hD.a<b<c

【答案】D

【分析】先利用對(duì)數(shù)運(yùn)算化簡(jiǎn)c,在利用指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性比較即可.

【詳解】解：因?yàn)镃=Iog/2=2,θ<α=O.32<O.3o=l,1=20<?=203<2l=2,

所以α<b<c.

故選：D.

5.若Sin(E+α)=g,則Sine-α)-cos傳+ɑ)=()

A.OB.-C."2忘D.T&

333

【答案】B

【分析】利用整體代換法與誘導(dǎo)公式化簡(jiǎn)求值即可.

【詳解】依題意，令g+α=f,則Sinf=^--a=π-(^+a]=π-t,—+α=→→α=→Z,

63o?o)3262

所以Sin(^?-α)-COS(^?+α)=sin(τt-1)-COS(^■+/]=sin∕+Sinr=2sin∕=j.

故選：B.

6.函數(shù)f(x)=bg2X+2x-l的零點(diǎn)所在的區(qū)間為()

A.(θ?)B.(1,2)C.(??)D.(?1)

2422

【答案】D

【分析】先判斷函數(shù)/(x)的單調(diào)性，然后再根據(jù)零點(diǎn)存在性定理，通過(guò)賦值，即可找到零點(diǎn)所在的

區(qū)間，從而完成求解.

【詳解】函數(shù)/(χ)=bg∕+2χ-1可看成兩個(gè)函數(shù)y=log2》(x>0)和y=2x-l組成，

兩函數(shù)在(。，+8)上，都是增函數(shù)，

故函數(shù)/(X)=log2x+2x7在(0,+∞)上也是單調(diào)遞增的，

所以=∣og2g+2xg-l=T+∣T=T<0,

而/⑴=iog2i+2*1-1=0+2-I=IX),

由零點(diǎn)存在性定理可得，函數(shù)/(X)=Iog2x+2x-l零點(diǎn)所在區(qū)間為.

故選：D.

【分析】根據(jù)函數(shù)的奇偶性先排除B,D,再利用特殊值排除選項(xiàng)C,進(jìn)而求解.

【詳解】函數(shù)/(x)=a七的定義域?yàn)镽,且/(T)="7=5?F=∕(X),

則函數(shù)/(X)為偶函數(shù)，故排除選項(xiàng)B,D；

又因?yàn)楫?dāng)x>0時(shí)，/(x)>0,故排除選項(xiàng)C,

故選：A.

8.己知函數(shù)仆)=Sin(S+沙>0),若小+￡|為偶函數(shù)，/(x)在區(qū)間C,總內(nèi)單調(diào)，則0

的最大值為()

A.3B.4C.5D.6

【答案】B

【分析】根據(jù)/卜+弓)為偶函數(shù)，可得直線X=T為函數(shù)f(x)圖像的一條對(duì)稱軸，進(jìn)而可得

0=1+33根據(jù)“X)在區(qū)間存著內(nèi)單調(diào)，可得齊魯一方=：，進(jìn)而可求解.

【詳解】由于函數(shù)/1+1)為偶函數(shù)，故直線X=T為函數(shù)/(X)圖像的一條對(duì)稱軸，

所以---1—=—Fkit,keZ,則。=1+3々，keLr,

362

又T:≥7T-t-[Tc=;Tt,即Tt二≥Ttf,解得0<o≤4,

21234ω4

又<υ=l+3Z,keZ,所以0的最大值為4,

當(dāng)。=4時(shí)，/(x)=sin(4x+^)在單調(diào)遞增，滿足要求，

故。的最大值為4.

故選：B

二、多選題

9.已知函數(shù)f(x)=2sin(2x+?)下列說(shuō)法正確的是()

A.函數(shù)y=∕(x)的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱

STr

B.函數(shù)y="χ)的圖象關(guān)于直線X=-二對(duì)稱

2汽TT

C.函數(shù)y=∕(χ)在---上單調(diào)遞減

D./(x)圖象右移g個(gè)單位可得V=2sin2x的圖象

【答案】BD

【分析】根據(jù)正弦函數(shù)的對(duì)稱性，可判定A錯(cuò)誤，B正確；根據(jù)正弦函數(shù)的單調(diào)性，可判定C錯(cuò)誤;

根據(jù)三角函數(shù)的圖象變換，可判定D正確.

【詳解】對(duì)于A中，令X=—(，可得f(-g)=2sin[2(-∣0+∣J=2sin(-∣0=-6≠0,

所以(-。,0)不是函數(shù)的對(duì)稱中心，所以A錯(cuò)誤；

1

對(duì)于B中，令X=,W/(-?=2sin[2(-^)+?]=2sin(-?=-2,

141乙1乙J乙

所以函數(shù)/(X)關(guān)于X=-W對(duì)稱，所以B正確；

對(duì)于C中，當(dāng)Xe-?---y,則2x+W∈[-乃,0],

根據(jù)正弦函數(shù)的單調(diào)性可知函數(shù)在已知區(qū)間上不單調(diào)，所以C錯(cuò)誤；

對(duì)于D中，當(dāng)/(x)向右平移J個(gè)單位后可得y=2sin[2(x-g)+g]=2sin2x,

所以D正確.

故選：BD.

10.若mb,c∈R,且仇則下列不等式一定成立的是()

A.a+c>b+cB.ac2≥bc2

2

C.-^>0D.(6z+?)(tz-?)>0

a-h

【答案】AB

【分析】根據(jù)已知條件，結(jié)合不等式的性質(zhì)，以及特殊值法，逐一判斷作答.

【詳解】對(duì)于A,因”,b,c∈R,a>b,則α+c>b+c,A正確；

對(duì)于B,因c?0,a>b,貝IJae?0c2,B正確；

對(duì)于C,當(dāng)C=O時(shí),=0,C不正確;

a-b

對(duì)于D,當(dāng)。=1,?=-l,滿足，但(α+b)(α?b)=0,D不正確.

故選：AB

11.已知6?0,兀)，sin?+COSe=J,則下列結(jié)論正確的是()

(兀、337

A.一,πB.COSe=——C.tan=——D.Sine-CoSe=一

U)545

【答案】ABD

,、O124

【分析】由題意得(Sine+cos。)-=1+2SineCOSe=趣，可得2sinOcosO=-曾，根據(jù)。的范圍，可

得sin，，CoSe的正負(fù)，即可判斷A的正誤；求得sin。-COSe的值，即可判斷D的正誤，聯(lián)立可求

得sin。，COSe的值，即可判斷B的正誤；根據(jù)同角三角函數(shù)的關(guān)系，可判斷C的正誤，即可得答

案.

【詳解】因?yàn)閟in。+CoSe=

所以(Sine+cos=1+2SineCoS。=L,貝!∣2SineCOSe=,

因?yàn)?∈(0,π),所以sin，>0,COSeV0,

所以e∈∣J∕}故A正確;

所以(Sine-cosO)?=1-2sin6cos0=

7

所以Sine-COSe=M,故D正確；

sinθ+cosθ=--

543

聯(lián)立可得Sine=Cc)Se=晨，故B正確;

Sine-Cos。=一

5

所以tan。="Sinθ4故C錯(cuò)誤.

cos”3

故選：ABD.

21

一/、X÷Xd---,X<O

12.已知函數(shù)/(x)={4,若方程/(x)=Z(ZeR)有四個(gè)不同的零點(diǎn)，它們從小到大依

Iln%-l∣,x)θ

次記為%%，*3，*4，則()

e2

A.O<?<一B.e<x<e2C.x+x=-1D.O<xxxx<

43l2l234^4

【答案】ACD

【分析】作出函數(shù)Ax)的圖象，將零點(diǎn)問(wèn)題轉(zhuǎn)化為函數(shù)圖像的交點(diǎn)問(wèn)題，結(jié)合圖像即可判斷A；結(jié)

合對(duì)數(shù)函數(shù)性質(zhì)可判斷B；結(jié)合二次函數(shù)圖象的性質(zhì)可判斷C；結(jié)合對(duì)數(shù)函數(shù)性質(zhì)以及基本不等式

可判斷D.

轉(zhuǎn)化為函數(shù).f(χ)的圖象與y="有四個(gè)不同的交點(diǎn)，

由圖象，得0<A<],故A正確；

當(dāng)X<0時(shí)，f(x)=x~÷X+—,則%+%=2x(―5)=—1,故C正確;

當(dāng)0<x<e時(shí)，令/(X)=，，即I-InX=!，解得，

44Λ-c

3

,

.?,<x3<e故B錯(cuò)誤；

V∣lnx3-1∣=∣lnx4-1∣,x3<e<X4,

2

.?.1-Inx3=Inx4-1,即Inx3+Inx4=Inx3x4=2,則χ3χ4=e,

F；W%；，2

χxl<x2<0,X1X2=(-xl)?(-Λ2)<()2=(-)2=?,

2

?：X1X2>0,：.0<XtX2X3X4<,故D正確，

故選：ACD.

【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：將方程F(X)=-ZeR)有四個(gè)不同的零點(diǎn)問(wèn)題轉(zhuǎn)化為函數(shù)/(X)的圖象與y=k有

四個(gè)不同的交點(diǎn)問(wèn)題，數(shù)形結(jié)合，結(jié)合合基本不等式，即可解決問(wèn)題.

三、填空題

13.函數(shù)AX)=J—+lg(χ-l)的定義域是__________.

2-x

【答案】{x∣x>l且xw2}

1[2-x≠0

【分析】根據(jù)函數(shù)AX)=止+ig(x-1),由1八求解.

2-xx-l>0

【詳解】因?yàn)楹瘮?shù)/⑴=S+∣g(χf'

2-x≠O

所以

x-l>O

x≠2

解得

x>l

所以函數(shù)f(x)=J—+lg(XT)的定義域是{x∣x>l且x≠2},

故答案為：{x∣x>l且XH2}

14.已知扇形的圓心角為2r4d,扇形的周長(zhǎng)為l(kro,則扇形的面積為cm2.

【答案】胃

4

【解析】首先設(shè)扇形弧長(zhǎng)為/,半徑為「，列方程求解，再利用扇形面積S=；//`求解.

【詳解】設(shè)扇形弧長(zhǎng)為/,半徑為r,

-=2

-r,解得：∕=5,r=2.5,

/+2r=10

則扇形的面積S=1F=亍25.

故答案為：與25

4

【點(diǎn)睛】本題考查扇形面積的求法，意在考查基本公式，屬于簡(jiǎn)單題型.

15.若函數(shù)/(x)是R上的奇函數(shù),且周期為3,當(dāng)0<x<∣時(shí)，"x)=3',則/(∣)+"2023)=.

【答案】3-√3

【分析】根據(jù)奇偶性和周期性，得至V圖=-/(-1)=-6,/(2023)=/(1)=3,從而求出答案.

【詳解】函數(shù)/(x)是R上的奇函數(shù)，則/(T)=一/(x),

則H閆,

又因?yàn)閒(x)的周期為3,所以“x)=∕(x+3),

故人一升不一|)=*Ns

所以/■圖=TT=S

/(2023)=∕(674χ3+l)=“1)=3,

故/(1)+/(2023)=3-石.

故答案為：3-下)

ππ

16.已知函數(shù)/(x)=siι√X-CoSX+α,函數(shù)/(x)在區(qū)間上有兩個(gè)不同解，則。的取值范圍是

252

【答案】（—1,1）

【分析】根據(jù)題意化簡(jiǎn)/"），利用換元法令Z=COSX,將函數(shù)轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)問(wèn)題，求解即可.

【詳解】/（x）=Sin2x-cosx+α=一CoS2x-cosx+l+α,,

令/=cosχ.∈（0,1],則有/⑺=一/一r+α+l,

根據(jù)對(duì)稱性，函數(shù)/（X）在區(qū)間，方）上有兩個(gè)不同的解，

等價(jià)于/（，）=-產(chǎn)―+。+1在區(qū)間（0,1）有一個(gè)解，

由于一r+α+l∕∈（O,l）,對(duì)稱軸為f=-；,

f∕（0）=4Z+l>0/、

故只需：V（,）<α-1<o'解得：αe（T,l）?

故答案為：（-Ll）

四、解答題

sin(π+cr)cos(π-6z)tan(2023π+a)

Sin警—小(一α)

17.(1)化簡(jiǎn):

1

(2)求值:4logj2+(0.125)5+log.25-

【答案】(1)Sina；(2)5

【分析】（1）利用誘導(dǎo)公式計(jì)算可得;

(2)根據(jù)對(duì)數(shù)的性質(zhì)及指數(shù)基的運(yùn)算法則計(jì)算可得.

sin(π+a)cos(π-a)tan(2023π+a)(-sina)?(-cosa)?tantz

【詳解】解：⑴—Sin號(hào)一a”(.a)—=~-CoSa)?(-tanα)

I

(2)4T啕2+(0.125)3+log有25

=-+-+4=5.

22

18.已知函數(shù)/(x)=Igu定義域?yàn)锳,集合8={Nχ2-2e+病-9≤θ}.

⑴求集合AB；

(2)若xe8是XeA成立的充分不必要條件，求實(shí)數(shù)，”的取值范圍.

【答案[(1)A=(-∞,1)(3,-HO),B=[m-3,m+3]

(2)(-∞,-2)o(6,+oo)

【分析】(1)根據(jù)對(duì)數(shù)型函數(shù)的性質(zhì)即可求解A,根據(jù)一元二次不等式即可求解8,

(2)將充分不必要條件轉(zhuǎn)化成集合的真子集的關(guān)系即可求解.

【詳解】(1)由題意知：=>0=(x-3XX-I)>0,解得x>3或x<l.

集合A=(→M,1)L(3,÷X>).

對(duì)于集合B滿足：X2-2nιx+nr-9=(x-∕n+3)(x-wz-3)≤0.

y,m-3<m+3.?B=[m-3,m+3?.

(2)若XeB是XeA的充分不必要條件，則集合B是A的真子集，

由(1)知，只需滿足m+3<l或，〃-3>3即可，解得〃?<-2或%>6.

綜述，滿足題意的加的取值范圍是(9,-2?(6,內(nèi)).

19.函數(shù)”》)=河11(3夕)(4>0,3>0,|3|苦)的部分圖象如圖所示：

⑴求函數(shù)f(χ)的解析式與單調(diào)遞減區(qū)間:

⑵求函數(shù)F(X)在Og上的值域.

【答案】⑴∕3=2sg+'單調(diào)遞減區(qū)間kπ?+1,k兀+3UeZ)

OO

(2)[-√2,2]

【分析】⑴根據(jù)圖像即可寫(xiě)出A=2,再由圖像過(guò)(*叫4可即可求出其周期，則可求出。=2,

在將點(diǎn)Ji，。]帶入/(x),則可求出*=￡.由V=Sinx在區(qū)間12就+g,2?+若]#eZ上單調(diào)遞減,

則可求出fM的單調(diào)遞減區(qū)間.

(2)由xe[O,?^]n2x+(∈=Sin[2x+()e~,1=z>/(?)∈[-5/2,2].

(32π

【詳解】⑴觀察圖象得：A=2,令函數(shù)/*)的周期為T(mén),則T=2x^4+WJ=4M=于=2,

由/HO=。得：2x(q)+”=2g*∈Z,而ISI曝于是得&=0,e=不

所以函數(shù)/(X)的解析式是/(X)=2sin(2x÷^).

4

πJT377TT5TT

由2A7r+5≤2x+wK2kπ+-,k≡Z解得：kπ-?--<x<kπ+-,k∈Z,

所以/(X)的單調(diào)遞減區(qū)間是kπ+jkπ+*(AeZ).

OO

(2)由(1)知，當(dāng)x∈[θ,g]時(shí)，f≤2x+f≤苧，則當(dāng)2x+E=q,即X=?時(shí)f(x)m=2,

2J444428

當(dāng)2x+7=?,即X=1時(shí)，/ULn=-√2>

所以函數(shù)/(X)在0，1上的值域是[-√∑,2].

20.已知函數(shù)/(x)=α+77=,且f(χ)為奇函數(shù).

(1)判斷函數(shù)/(χ)的單調(diào)性并證明；

⑵解不等式：/(2x-l)+∕(x-2)>0.

【答案】(1)函數(shù)單調(diào)遞減，證明見(jiàn)解析

(2)(-∞,l)

【分析】(1)根據(jù)奇函數(shù)的定義可求得參數(shù)α的值，判斷函數(shù)單調(diào)性，利用單調(diào)性定義可證明函數(shù)

的單調(diào)性；

(2)利用函數(shù)的奇偶性和單調(diào)性即可求解不等式.

【詳解】(1)因?yàn)楹瘮?shù)Ax)=。+—,定義域?yàn)镽,且/U)為奇函數(shù)，

4+1

則八。)…*=。，得"j

當(dāng)…;時(shí)，?(?)??-?

對(duì)于任意實(shí)數(shù)、’小上*總4Λ1

4Λ+1^2

Λ/(-x)+∕(x)=O,/./(-x)=-/(%),即當(dāng)α=-g時(shí)，/(x)為奇函數(shù);

/O)=?-?為單調(diào)遞減函數(shù)，

4v+l2

證明：設(shè)不<々，%”2^R,則/G)-=

4'+14電+1

4盯一牛

^(4A'+l)(4t2+l),

Λt2χΛ,ΛΛ2

x1<X2,.?.4,<4,g∣J42-4>0,4'+1>0,4+l>0,

,*/(%)>/(工2)，

即函數(shù)/(%)在定義域上單調(diào)遞減；

(2)因?yàn)?(X)在定義域上單調(diào)遞減且/(X)為奇函數(shù)，

由不等式/(2x—l)+/(x—2)>0可得/(2工-1)>一/(工一2)=/(—九+2),

??2x—1<—X+2,

Λχ<l,即/(2x-l)+∕(x-2)>0的解集為(-∞,I).

21.如圖所示，A8C。是一塊邊長(zhǎng)為4米的正方形鐵皮，其中A何N是一個(gè)半徑為3米的扇形，已經(jīng)

被腐蝕不能使用，其余部分可以利用.工人師傅想在未被腐蝕的部分截下一個(gè)長(zhǎng)方形鐵皮PQCR(其

中P在MN上，Q、R分別在邊BC和CD上).設(shè)NM4P=6,長(zhǎng)方形FQCR的面積為S平方米.

(1)求S關(guān)于。的函數(shù)解析式，并求出S的最大值;

(2)若S取最大值時(shí)夕=%,求sin%的值.

【答案】(I)S=9sin6cos6-12(sin，+CoSe)+16,S的最大值是4.

（2）0或1

【分析】(1)利用NM4P=6,表達(dá)出矩形兩邊長(zhǎng)，列出S關(guān)于。的函數(shù)解析式，換元后，利用二次

函數(shù)求出最大值；(2)在第一問(wèn)基礎(chǔ)上，求出此時(shí)％=0或從而求出sin%.

【詳解】(1)延長(zhǎng)RP交AB于點(diǎn)兒則P"=3sinaA"=3cos6,θw0,|

所以RP=4-3sin6>,PQ=BH=4-3CoSe,

所以S=/?PPQ=（4—3sin，）（4-3cos6）

=9sin^∞s0-12（sin0+cos0）+16,

產(chǎn)-1

令Sine+cos6=f,則sin。cos。=---,

2

其中r=sin6+cosθ=y∣2Sin（夕+：[?],

山2。9產(chǎn)一9,c,/9t2,C239<4?7

所以S=----------12/+16=-------12/H-----=-t—

222213J2

4

對(duì)稱軸為「=；,故當(dāng)，=1時(shí)，S取得最大值，最大值為4

3

(2)由(1)可知，此時(shí)0=4=0或

當(dāng)4=0時(shí)，Sina)=0；

當(dāng)4=