2021-2022學(xué)年上海外國語大學(xué)附屬外國語學(xué)校高二年級上冊學(xué)期期中考數(shù)學(xué)試卷含詳解

上海外國語大學(xué)附屬外國語學(xué)校2021-2022學(xué)年高二上期中數(shù)學(xué)試卷

一、填空題（本大題共有12小題，滿分54分，第1-6題每題4分，第7-12題每題5分）

1.已知某圓柱的側(cè)面展開圖是邊長為6的正方形，則該圓柱的體積為.

2.某圓錐的底面積為47，側(cè)面積為8萬，則該圓錐的母線與底面所成角的大小為一.

3.PP是AfiC所在平面ɑ外一點(diǎn)，。是點(diǎn)PP在平面ɑ上的射影.若PA=PB=PC,則。是―MC的心.

4.正方體ABCD-AMcQl的棱長為α,E是棱。。的中點(diǎn)，則異面直線AB與CE的距離為.

5.給出下列命題：

①若兩條不同的直線垂直于第三條直線，則這兩條直線互相平行；

②若兩個(gè)不同的平面垂直于一條直線，則這兩個(gè)平面互相平行；

③若一條直線平行于一個(gè)平面，另一條直線與這個(gè)平面垂直，則這兩條直線互相垂直.

其中所有正確命題的序號為.

6.如圖，在坡面α與水平面夕所成二面角為60。的山坡上，有段直線型道路A8與坡腳/成30。的角，這段路直通山

頂A,已知此山高1356米，若小李從B沿著這條路上山，并且行進(jìn)速度為每分鐘30米，那么小李到達(dá)山頂A需

要的時(shí)間是一分鐘.

7.如圖是正四面體的平面展開圖，M、N、G分別為OE,BE,在的中點(diǎn)，則在這個(gè)正四面體中，MN與CG所

成角的大小為.（結(jié)果用反三角函數(shù)值表示）

8.已知正四棱錐的底面邊長為2,現(xiàn)用一平行于正四棱錐底面的平面去截這個(gè)棱錐，截得棱臺(tái)的上、下底面的面積

之比為1：4,若截去的小棱錐的側(cè)棱長為2,則此棱臺(tái)的表面積為.

9.已知圓柱的上、下底面的中心分別為0、O2,過直線RO?的平面截該圓柱所得的截面是正方形.底面圓的內(nèi)接

正三角形面積為主互，則該圓柱的表面積為

2

10.已知正四棱錐尸-ABCD的棱長都相等，側(cè)棱PB、尸。的中點(diǎn)分別為M、N,則截面AMN與底面ABCD所成

的二面角的正弦值是

11.直三棱柱A線G-ABC中，平面ABC，平面ABq4,KAC=√3A41-則AC與平面ABC所成的角。的取值范

圍是

12.如圖，三棱柱ABC-A4G中，ΛAl±BC,Λlβ1ββl,若AB=1,ACSBC=6則三棱柱ABC-A/g體積

最大時(shí)，AA=

二、選擇題（本大題共有4小題，滿分20分，每題5分）

13.設(shè)牛P2、P3、弓為空間中的四個(gè)不同點(diǎn)，則“牛B、P3、乙中有三點(diǎn)在同一條直線上“是'有、%P3、E在同一個(gè)

平面上”的（）

A.充分非必要條件B.必要非充分條件

C.充要條件D.既非充分又非必要條件

14.在下列四個(gè)正方體中，能得出A3_L8的是（）

15.《九章算術(shù)》是我國古代數(shù)學(xué)著作，書中有如下問題：“今有委米依垣內(nèi)角，下周八尺，高五尺，問：積及米幾

何？’‘其意思為：“在屋內(nèi)墻角處堆放米（如圖，米堆為一個(gè)圓錐的四分之一），米堆底部的弧長為8尺，米堆的高

為5尺，間米堆的體積及堆放的米各為多少？''己知一斛米的體積約為1.62立方尺，由此估算出堆放的米約有（）

A.21斛B.34斛

C.55斛D.63斛

16.如果底面是菱形的直棱柱（側(cè)棱柱與底面垂直的棱柱）ABC。-A內(nèi)GA的所有棱長都相等，ZABC=60,E,M,N

分別為48,BC,CG的中點(diǎn)，現(xiàn)有下列四個(gè)結(jié)論：①CEL平面CGDQ②ABUMN③AR〃平面AMN④異面

直線AQ與MN所成的角為60,其中正確結(jié)論的個(gè)數(shù)為

A.1個(gè)B.2個(gè)C.3個(gè)D.4個(gè)

三、解答題(本大題共5題，滿分76分)

17.如圖，已知E、尸兩點(diǎn)分別是正方形ABa)邊AO、AB的中點(diǎn)，E尸交AC于點(diǎn)M,GC垂直于ABCD所在平

面.求證：EFL平面GMC.

18.如圖，長方體ABCD-AMCQ∣中，AB=BC=2,AC與底面ABCD所成的角為60。.

(1)求長方體ABa)-AAGA的體積;

(2)求異面直線AtB與BR所成角的大小.

19.如圖，已知點(diǎn)P在圓柱。。的底面圓。上，ZAOP=UOo,圓。的直徑ΛB=4,圓柱的高Oq=3.

(1)求三棱錐4-APB的體積;

(2)求點(diǎn)A到平面A/。的距離.

20.如圖所示的某種容器的體積為90萬，它是由圓錐和圓柱兩部分連結(jié)而成的，圓柱與圓錐的底面圓半徑都為

廠cm.圓錐的高為％cm,母線與底面所成的角為45。；圓柱的高為acm.已知圓柱底面造價(jià)為24元∕c>,圓柱側(cè)面

a21

造價(jià)為元Zcm,圓錐側(cè)面造價(jià)為y[2a元Icm.

(I)將圓柱的高均表示為底面圓半徑"的函數(shù)，并求出定義域；

(2)當(dāng)容器造價(jià)最低時(shí)，圓柱的底面圓半徑「為多少？

21.如圖，在四面體A-BCD中，AD，平面88,BClCD,AD=2,BD=2瓜M是AD的中點(diǎn)，P是BM的

中點(diǎn)，點(diǎn)Q在線段AC上，且AQ=3QC.

C

(1)證明：PQ〃平面BC。；

(2)若二面角C-BM-Z)的大小為60。，求NBZ)C的大小.

54

π

【分析】根據(jù)圓柱體積公式，結(jié)合側(cè)面展開圖的性質(zhì)進(jìn)行求解即可

【詳解】因?yàn)閳A柱的側(cè)面展開圖是邊長為6的正方形，

所以該圓柱的底面圓的周長為6,因此半徑為3,而圓柱的高為6,

π

故該圓柱的體積為左χ(a]χ6=把.

?π)π

54

故答案為：一

π

【點(diǎn)睛】本題考查了圓柱體積公式的計(jì)算，考查了數(shù)學(xué)運(yùn)算能力.

【分析】根據(jù)圓錐底面面積公式以及圓錐側(cè)面面積公式，求出底面半徑和母線長，即可得出結(jié)論.

【詳解】設(shè)圓錐的底面半徑為一，母線長為/,

則πr2=4π，解得r=2,

πrl=2πl(wèi)=84，解得/=4,

設(shè)該圓錐的母線與底面所成角為

21π

所以COSe=W=上，o<θ<-f

422

所以

故答案為：y.

3.外心.

【分析】由POl平面ABC和尸A=PB=PC,利用勾股定理，求得AO=BO=CO,即可求解.

【詳解】如圖所示，由點(diǎn)。是點(diǎn)P在平面α的射影，所以P。工平面A8C,

可得AO=4-Pb1，BO=4PB1-PO1CO=PC2-PO2，

因?yàn)镻A=PB=PC,所以AO=BO=CO,

所以。為,.ABC的外心.

故答案為：外心.

4.a

【分析】根據(jù)正方體的性質(zhì)可得BCLCE,則忸Cl即為異面直線AB與CE的距離;

【詳解】解：依題意可得8CLΛB,BC工面GCD。，CEU面GC。。，所以8C_LCE,即8C為AB與CE的公垂

線，所以怛Cl=。即為異面直線AB與CE的距離,

故答案為：“

5.②③

【分析】由垂直于同一直線的兩直線的位置關(guān)系判斷①；由直線與平面垂直的性質(zhì)判斷②；由空間中直線與平面的

位置關(guān)系判斷③.

【詳解】對于①，若兩條不同的直線垂直于第三條直線，則這兩條直線有三種位置關(guān)系：平行、相交或異面，故①

錯(cuò)誤；

對于②，根據(jù)線面垂直的性質(zhì)可知，若兩個(gè)不同的平面垂直于一條直線，則這兩個(gè)平面互相平行，故②正確；

對于③，若一條直線平行于一個(gè)平面，則與該平面垂直的直線與該直線垂直，故③正確.

其中所有正確命題的序號為②③.

故答案為：②③.

6.18

【分析】先利用線面垂直的判定定理與性質(zhì)定理推得4C，直線/,從而在RlAoC與RtC中求得AB,由此求

得小李到達(dá)山頂所需時(shí)間.

【詳解】過點(diǎn)A作AOL平面廣，垂足為O,過點(diǎn)。作OCL直線/,垂足為C,連接AC,如圖,

因?yàn)锳Oj_平面尸，Iuβ,所以/_LAO,

又/"LOC,AOCOC=O,AO,OCu面AOC,所以/上面AoC,

又AeU面AOC,所以ACj_直線/,

由題意可知NACO=60°,AO=135√3,

AO

所以在RjAOC中，AC=

SinZACO

在RtZ?ABC,NABC=30。，所以AB=2AC=54O,

因?yàn)樾±钚羞M(jìn)速度為每分鐘30米，

所以他到達(dá)山頂A需要的時(shí)間是540÷3()=18(分鐘).

故答案為：18.

7石

/.arccos——

3

【分析】根據(jù)展開圖還原幾何體，利用平移找到異面直線所成的角，根據(jù)余弦定理即可求解.

【詳解】由正四面體的平面展開圖可得正四面體如圖所示，其中點(diǎn)48,C重合

因?yàn)镸,N為OE,AE的中點(diǎn)，所以MNPAO,所以/"G即為MN與CG所成

的角或補(bǔ)角，不妨設(shè)正四面體的棱長為2,則AG=OG=石,在AADG中，由余弦定理可得,

cosNDAG=^“G—°、=-4+3_n=3.,所以MN與CG所成角的大小為arccos△叵.

2ADDG2×2×y∣333

故答案為arccos^a

3

【點(diǎn)睛】本題主要考查異面直線所成角的大小求解，考查作圖能力與運(yùn)算求解能力，屬于基礎(chǔ)題.

8.5+3√15

【解析】根據(jù)棱臺(tái)的上、下底面的面積之比為1：4,利用相似比得到棱臺(tái)的上、下底面的邊長之比為1：2,再根

據(jù)截去的小棱錐的側(cè)棱長為2和正四棱錐的底面邊長為2,得到棱臺(tái)的底面邊長和斜高，代入公式求解.

【詳解】如圖所示：

因?yàn)槔馀_(tái)的上、下底面的面積之比為1：4,

所以棱臺(tái)的上、下底面的邊長之比為1：2,

因?yàn)榻厝サ男±忮F的側(cè)棱長為2,

所以正四棱錐的側(cè)棱長為4,

又因?yàn)檎睦忮F的底面邊長為2,即CD=2,

所以CQ=LCG=2,

作GE_L8,則CE=；(8-CQj=；,

GE=Jy-C爐=Jm瀉,

所以此棱臺(tái)的表面積為S=4x；(l+2)x孚+lxl+2x2=5+3√l?,

故答案為：5+3?∕15

9.12π

【分析】先由三角形面積公式求出三角形邊長，再由正弦定理求底面圓的半徑，由表面積公式求圓柱的表面積.

如圖所示，設(shè)圓柱的底面圓半徑為廣，則高為∕ι=2r,

再設(shè)底面圓的內(nèi)接正三角形邊長為。，

則該三角形的面積為S.,C=曰/=手，解得。=?；

y—a__yΓy

由正弦定理得rsin60-B7,所以r=√∑,

T

所以該圓柱的表面積為S=2兀/÷2πrh=2π×2÷2π×>∕2×2?∣2=12π-

故答案為：12π.

10.更

5

【分析】設(shè)PO交MN于￡,過A作直線”/B。，證明出NE4。為所求二面角的平面角，求出EO,AO,AE,即

可求解.

【詳解】如圖，正四棱錐P-ABCD中，。為正方形ABCO的兩對角線的交點(diǎn)，

因?yàn)閭?cè)棱心、PO的中點(diǎn)分別為〃、N,所以MN為aPBD的中位線，所以MNHBD.

設(shè)PO交MN于E,則PE=EO.

因?yàn)镻O上面A8CD,所以POJ.BD

又8O_LAC,AePo=O,ACU平面PAC,PoU平面PAC,所以平面PAC.

過A作直線///80,貝IJ〃/MN,所以/u面AMN,/u面ABCD,所以/為面AMN與底面ABC。的交線.

因?yàn)锳BC。為正方形，所以3D，AO,所以/LAO.

由正四棱錐的對稱性可得：AΛ∕=4V.而E為MN的中點(diǎn)，所以/LE4.

所以/E4。為所求二面角的平面角.

又Eo=LAO=^^a,AO=-^-a?所以AE=?^^?α

2424

所以sinZEAO=.

5

所以截面AMN與底面ABCQ所成的二面角的正弦值是S.

故答案為：號.

11.0o<6?<30o

【分析】作A。，AB于D判斷出/A8即為AC與平面ABC所成的角.設(shè)AA=*AB=x,利用幾何性質(zhì)得到

7=J"?sin9,進(jìn)而丁=江瑪.證明出x<白。.

√4+%l-3sιn^0

解得∣sinθ∣<1,即可求出。的取值范圍

2

【詳解】作A。，A用于D.

G

因?yàn)槠矫鍭BC，平面ABAA,平面48CC平面AB4A=AB,

所以ADL平面A8C,所以NACO即為AC與平面ABC所成的角，ZACD=Θ.

設(shè)=a,AB=Xf則AC=?∣3AAx=ga.

在直角三角形ACQ中，由正弦的定義：A。=AC?sin6=Gα?si∏e.

在直角三角形ABA中，由等面積可得：3華妙=/",,

所以Af)=/廣，=√??sin6>,所以f=3〃sin,.

?∣a+Xl-3sin~σ

在直三棱柱ABc-4BC中，A1AlBC.

因?yàn)锳￡)，平面A8C,所以AOL8C.

因?yàn)锳Λ∣u平面A48B∣,A。U平面A488∣,AA1nAD=A,

所以BC工平面448片，故NC&4=90。，從而AB<AC,即x<√i,/.

于是0≤誓蹙<3/,,解得：∣sine∣<:.

1-3sιn^θ2

又0。<。<90°,解得：0o<^<30o.

故答案為:0o<6><30o.

12.B

3

【分析】推導(dǎo)出的，平面A8C,設(shè)AAI=X,可求出48、AC的長，計(jì)算出S*sc，可求得匕BC-A4G=3匕MBC的

解析式，結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)可求得答案.

【詳解】因?yàn)?3∣143,MBB1,則AA_LAB,

又A4lLBC,A1BIBC=B,A^ICu平面ABC,所以AΛ∣，平面A∣BC,

設(shè)A4l=x,在RtAA∣BB∣中，AB=QAB；-BB；=Jl-V,

在Rt^ACG中，AC=JAO-CC;=h-χ2,

胸+房—叱2

-X"

所以CoS/BAC=

2Λ1B?A1C心-巧（一2）'

所以SinNW=后者占'

2-3X2>0

,J,1-x2>O,2

由已知可得、2A，可得O<x9<：7，

2-X2>03

x>0

所以S"BC=；AB?AC?sinNBaC=,

又VA-AAC=V%MBC=%-ABC

所以三棱柱ABC-ABC的體積-AA=∣

111V=3VA,ΛBC=S^BC1=√2?-3√=#3CT?+g,

所以當(dāng)f=g時(shí)，三棱柱ABC-ABe體積最大，止匕時(shí)AA=冬

故答案為：］叵.

3

13.A

【分析】由公理2的推論（。（2）即可得到答案.

【詳解】由公理2的推論：

過一條直線和直線外一點(diǎn),有且只有一個(gè)平面,

可得眉、P2'P3'與在同一平面，

故充分條件成立；

由公理2的推論：

過兩條平行直線,有且只有一個(gè)平面,

可得,

當(dāng)片上4、P2∈∕pA∈4'P4J</2時(shí),

Pr生行、與在同一個(gè)平面上，

但4P2,P3、巴中無三點(diǎn)共線，

故必要條件不成立；

故選:A

【點(diǎn)睛】本題考查點(diǎn)線面的位置關(guān)系和充分必要條件的判斷,重點(diǎn)考查公理2及其推論;屬于中檔題;

公理2的三個(gè)推論：

⑴經(jīng)過一條直線和直線外一點(diǎn),有且只有一個(gè)平面；

（2）經(jīng)過兩條平行直線,有且只有一個(gè)平面;

(3)經(jīng)過兩條相交直線,有且只有一個(gè)平面；

14.A

【分析】由線面垂直的性質(zhì)可判斷A,根據(jù)異面直線所成角的計(jì)算可判斷BCD.

【詳解】對A,如圖，連接8E,則在正方體中，CD±BE,又鉆，平面BCEO,CL)U平面BCEr>,則AE_LCD,

AEcBE=E,?CZ)A平面ABE,ABu平面W,.'COLAB,故A正確：

對B,如圖，連接AE,易得CD//AE,則NZBAE為異面直線/W,CZJ所成角，ZBAE=60,故A8,8不垂直，故

B錯(cuò)誤；

對C,如圖，CDHBE,則/ABE為異面直線4及8所成角，易得NABE=45,故AB,8不垂直，故C錯(cuò)誤;

對D,如圖，CDHBE,則/A3E為異面直線A8,8所成角，顯然ZA8E*90,故AB,CD不垂直，故D錯(cuò)誤.

故選：A.

15.A

【分析】由扇形弧長公式可求得底面圓半徑，根據(jù)圓錐體積公式計(jì)算出米堆的體積，進(jìn)而計(jì)算得到結(jié)果.

【詳解】由題意知：底部扇形弧長/=8,圓心角ɑ=],圓錐的高∕ι=5

???底面圓半徑r='=3.?.米堆的體積VZ=_1、_1%/％=_1.吃'5=型

aπ4312π3π

堆放的米約有3了20÷1.62~21斛

5π

故選：A

【點(diǎn)睛】本題考查圓錐體積相關(guān)問題的求解，涉及到扇形弧長公式、圓錐體積公式的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題.

16.B

【解析】根據(jù)幾何體的性質(zhì)，對選項(xiàng)進(jìn)行逐一判斷.

【詳解】解：因?yàn)榈酌媸橇庑?，且NABC=60",E為中點(diǎn),

所以ΔABC為等邊三角形，且CE工45,

又因?yàn)镃O//AB,

所以CELCD,

因?yàn)樗睦庵鵄88-Λl8CR為直棱柱，

所以CG_L平面GCOR,

故CE1CC,,

又因?yàn)镃z)C1C=C,CO,C/Cu平面GCD4，

所以CE，平面G84,故選項(xiàng)①正確：

因?yàn)镸,N為BC,CG的中點(diǎn)，

所以MN"BC?,

若MNilAB,則得到A1B//BC1,

與A8CBC∣=8矛盾，故選項(xiàng)②不正確：

因?yàn)樗睦庵鵄8S-A4GA,

所以有Aq//8￡,

因?yàn)镸,N為BC,CG的中點(diǎn)，

所以MN"BC∣,

故MNi/AD、,

因?yàn)镸Nu平面A1MN,

明(z平面AMN

所以AR//平面AMN,故選項(xiàng)③正確；

由③可知，MNlIAD

所以異面直線與MN所成的角即為直線4。與AA所成的角，

因?yàn)樗睦庵鵄BS-A用GR為直棱柱，且各棱長相等，

所以四邊形44。。為正方形，

故ACJ?4R,即異面直線4。與MN所成的角為90。，故④不正確,

綜上：本題的共有2個(gè)正確，故選B.

【點(diǎn)睛】本題考查了幾何體線面的位置關(guān)系，解題時(shí)應(yīng)充分運(yùn)用題中所給的條件，結(jié)合判定與性質(zhì)定理逐項(xiàng)進(jìn)行驗(yàn)

證.

17.證明見解析.

【詳解】試卷分析：連接交AC于點(diǎn)。，由E,尸是正方形A88邊A。、AB的中點(diǎn)，得到EFLAC,再根

據(jù)GCJ_平面ABCf>,得到EF_LGC,即可利用線面垂直的判定定理，證得EFJ_平面GMC.

試卷解析：證明：如圖，連接8。交AC于點(diǎn)O,

'：E,尸是正方形ABC。邊A￡>、AB的中點(diǎn)，AC±BD,

：.EFlAC,

又YGC，平面ABa),EFU平面ABCr),

/.EFLGC,

VACGC=C,AC,GCU平面GMC

：.EF_L平面GWC.

G

考點(diǎn)：直線與平面垂直的判定與證明.

18.(1)8√6

(2)arccos-

14

【分析】（1）先證明幺。4是AC與底面ABS所成的角，解三角形求44，利用長方體的體積公式可得結(jié)果;

（2）由BQ-可得NAB。是異面直線4出與BQ所成角（或所成角的補(bǔ)角），利用余弦定理可得結(jié)果.

【詳解】（1）因?yàn)槎嗝骟wA8Cf>-AAG。為長方體，AB=BC=2>

所以AΛ∣J.平面ABCI）,ΛC=√22+22=2√2>

所以幺C4是AC與底面ABCO所成的角，

因?yàn)锳C與底面ABa）所成的角為60，

所以ZΛ,C4=60,所以A4l=ACtan60=20x75=2#,

因?yàn)檎叫蜛8C。的面積S=ABX8C=2x2=4,

所以長方體ABCZ)-AACQI體積V=A41×S=2y∣6×4=8λ∕6.

(2)因?yàn)锽￡>〃BlR,

所以NΛ,B。是異面直線AB與BQ所成角（或所成角的補(bǔ)角）.

22

因?yàn)锽Q=√4+4=2√Σ,ΛI(xiàn)D=Λ1B=j2+(2√6)=2√7.

產(chǎn)+巧》-.28+8-28√L4

所以CoSNABO=

2×2√7×2√2^14

2×AlB×BD

所以ZAtBD=arccos^^?.

所以異面直線AB與“,所成角是arcc°s當(dāng)?

19.(1)2^

（2）l

【分析】（1）計(jì)算出AP、3P的長，利用錐體的體積公式可求得三棱錐A-APB的體積；

（2）計(jì)算出三棱錐A-AOP的體積以及AA1PO的面積，利用等體積法可求得點(diǎn)A到平面4/。的距離.

【詳解】（1）解：因?yàn)锳8是圓。的直徑，所以弘±PB,

因?yàn)閆AoP=I20°,S.OA=OB=OP,所以N8AP=30,ZABP=60，

又OB=OP=耕=2,所以BP=2,ΛP=2√3,

三棱錐A-APB的體積！τw,=gSwM=；xgx2x26x3=2g.

l222

(2)解：AtO=y∣AA,+AO=√13,ΛlP=√A41+AP=√21,OP=I,

所以sinZA1PO=Jl-COS2NAPO=三-.

所以SAoP=LX6W空=2后,設(shè)點(diǎn)A到平面AP°的距離為d，

^VA,-AOP=VA-A,OP,得;xgx2x2Gxgx3=gx2&xd,解得d=∣.

所以點(diǎn)A到平面4尸。的距離為g.

9（）r

20.（1）H=F：,定義域?yàn)閧r∣0<r<3Wδ}.（2）3cm

r3

【分析】（1）由題九=，由圓柱與圓錐體積公式得K=萬-24=90萬-；萬/,得自=言H-W即可;（2）由圓

22

柱與圓錐的側(cè)面積公式得容器總造價(jià)為y=J^αS]+6zS2÷2t∕S3=2πra÷2πr!τ1a+2πra,求導(dǎo)求最值即可

【詳解】（1）因?yàn)閳A錐的母線與底面所成的角為45。，所以4=小

圓錐的體積為匕=→rA1=；/，圓柱的體積為匕=不，他.

,1

因?yàn)閬V+匕=90），所以％=乃廠也=90〃-§//1,

,,270-/907?

所rri以>叫=；-=—一一.

-3r2r23

因?yàn)镵=!l/<90萬，所以「?3痂.

因此0<r<3Wd.

所以HTg定義域?yàn)閙o<γ師｝.

（2）圓錐的側(cè)面積SI=πr?y∕2r=GjVrI,

2

圓柱的側(cè)面積S2=2乃明，底面積S3=πr.

12222

容器總造價(jià)為y=J54S]+aS2+2aS3=2πra+2πrh1a+2πra=2πa（r+rlι2+r）=2πa[2r÷'（作一：）

號E'

令/⑺=/+54^,則/⑺=2-5=4.令/⑺=0,得r=3.

rr

當(dāng)0<r<3時(shí)，∕,（r）<0,/⑺在（0,3）上為單調(diào)減函數(shù)；

當(dāng)3<r<3廂時(shí)，/（廠）>0,/（『）在（3,3班）上