2022-2023學(xué)年黑龍江省哈爾濱市高二下學(xué)期期中數(shù)學(xué)試題-附答案

2022-2023學(xué)年黑龍江省哈爾濱市高二下學(xué)期期中數(shù)學(xué)試題

一、單選題

Z—1

1.在復(fù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù)Z對應(yīng)的點(diǎn)為（-1,2）,則（）

A.1B.iC.-iD.-----i

22

【答案】B

【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)的幾何意義可得z=T+2i,根據(jù)復(fù)數(shù)除法運(yùn)算即可求解.

【詳解】由題意可得z=—l+2i,故J」=Fl=i,

1+11+1

故選：B.

2.1至9中的質(zhì)數(shù)能夠組成沒有重復(fù)數(shù)字的整數(shù)的個(gè)數(shù)為（）

A.24B.36C.48D.64

【答案】D

【分析】先得出1至9中的質(zhì)數(shù)2,3,5,7,再排列組合即可.

【詳解】由題意得1至9中的質(zhì)數(shù)為2,3,5,7四個(gè)數(shù)，故能組成的無重復(fù)數(shù)字的整數(shù)有:

A；+A：+A：+A：=64,即D正確.

故選：D

3.函數(shù)f（x）=X+sinx的大致圖象是（）

【答案】A

【分析】判斷函數(shù)的奇偶性，通過求導(dǎo)判斷函數(shù)的單調(diào)性，利用排除法即可得解.

【詳解】因?yàn)?(-x)=(-x)+sin(f)=-X-SinX=-/(x),所以/(χ)是奇函數(shù)，

從而/W的圖像關(guān)于原點(diǎn)對稱.故排除B和C.

因?yàn)閞(X)=I+cosx≥0,所以F(X)是增函數(shù)，故排除D

故選：A.

4.若函數(shù)/(x)=，-6-2)e'有兩個(gè)極值點(diǎn)且這兩個(gè)極值點(diǎn)互為倒數(shù)，則r(2)=()

A.14e2B.15e2C.—D.-y?

e^e`

【答案】B

【分析】先求函數(shù)/(x)的導(dǎo)函數(shù)，根據(jù)極值點(diǎn)互為倒數(shù)應(yīng)用韋達(dá)定理，

得出“，即可求出導(dǎo)函數(shù)的值.

[詳解]r(x)=(?χ2_以—2)e,v+(/-0r-2)(e*)=(2x-a)er+(x2-ax-2)e,t

=[χ2+(2-α)χ-(α+2)]e*

函數(shù)/(x)的極值點(diǎn)即方程/+(2-4)萬一(。+2)=0的兩個(gè)實(shí)根，

由題意可知，兩實(shí)根互為倒數(shù)，則-(。+2)=1,解得”=—3,

所以F(X)=(X2+5x+1)e*,故/⑵=1%2,

故選：B.

5.為提升學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)，某中學(xué)特開設(shè)了“數(shù)學(xué)史”、“數(shù)學(xué)建?！薄ⅰ肮沤駭?shù)學(xué)思想”、"數(shù)學(xué)探究”、

“中國大學(xué)先修課程微積分學(xué)習(xí)指導(dǎo)''五門選修課程，要求每位同學(xué)每學(xué)年至多選四門，高一到高二

兩學(xué)年必須將五門選修課程選完，則每位同學(xué)不同的選修方式為()

A.30B.20C.15D.10

【答案】A

【分析】將五門課程分為兩組，每組的數(shù)量分別為1、4或2、3,然后將這兩組課程分配給高一、

高二兩個(gè)學(xué)年，利用組合計(jì)數(shù)原理結(jié)合分步乘法計(jì)數(shù)原理可得結(jié)果.

【詳解】將五門課程分為兩組，每組的數(shù)量分別為1、4或2、3,

然后將這兩組課程分配給高一、高二兩個(gè)學(xué)年，

所以，每位同學(xué)不同的選修方式種數(shù)為(C+C；)A；=15x2=30.

故選：A.

6.定義運(yùn)算：生=4%-%%,將函數(shù)/(X)=返sm°x的圖像向左平移M個(gè)單位，所得圖

?/1cosωx3

像對應(yīng)的函數(shù)為偶函數(shù)，則。的可能取值是()

15-73

A.-B.—C.—D.—

4444

【答案】C

【分析】根據(jù)三角函數(shù)圖象的變換求得變換后的解析式，再根據(jù)偶函數(shù)的定義求解.

π

,_.ll,?-r,〃、73sin<wxA■?×

【詳解】由題可知，fM==√3cosωx-s?n(υx=2cos(<yχ+-),

1cosωx6

將/(χ)的圖像向左平移M個(gè)單位，所得函數(shù)為y=COS(S+=。+^),

336

因?yàn)樗脠D像對應(yīng)的函數(shù)為偶函數(shù)，

2ττTiI3

所以」㈤+±=E,ZeZ,解得°=一一+-?Λ∈Z,

3642

因?yàn)樽骵Z,所以0=

4444

故選：C.

7.根據(jù)以往經(jīng)驗(yàn)，一超市中的某一商品每月的銷售量八單位：件)與銷售價(jià)格X(單位：元/件)滿足

關(guān)系式y(tǒng)=-R+2(x-50)2，其中2()<X<5().己知該商品的成本為20元/件，則該超市每月銷售該

X-20

商品所獲得利潤的最大值為()

A.8600元B.8060元C.6870元D.4060元

【答案】B

【分析】根據(jù)已知銷售價(jià)格列出利潤函數(shù)，然后利用導(dǎo)數(shù)求得最大值.

【詳解】設(shè)超市每月銷售該商品所獲得的利潤為/(x)元，

則/(x)=(x-20乂一^+2(X-50)2^∣=60+2(X-20)(X-50)2,20<X<50,

LX—2。

∕,(X)=2[(X-50)2+2(X-50)(X-20)]=6(Λ-30)(X-50),

令用勾>0,得20<x<30,則"x)在(20,30)上單調(diào)遞增;令網(wǎng)x)>0,得3O<x<5O,則"x)

在(30,50)上單調(diào)遞減.所以/(x)的最大值為/(30)=8060.

故選：B.

8.設(shè)a=3(3[n3),∣,=謹(jǐn),C=孚，則”,A,c的大小關(guān)系是()

e332

A.h<a<cB.c<a<b

C.a<b<cD.a<c<b

【答案】C

【分析】根據(jù)三個(gè)式子的結(jié)構(gòu)，構(gòu)造函數(shù)/(X)=k，求導(dǎo)判斷單調(diào)性，進(jìn)而比較了b=/(6),

3J

c=f(2)的大小，即可得“，b,C的大小關(guān)系.

.Q

.,,?、InX.3(3-In3)n3?fe3

【r詳j解zi73】令J(X)=——，則π”=----3-----=-τ~=f—，

XeeI,

T

In√6In6了gln2ln4

b=——=——=/⑹，?=-=—=/(4),

3624

由"X)=T可得/'(X)=匕詈且X>O,

由/'(尤)<0可得x>e；所以〃X)=竽在(e,+8)上單調(diào)遞減,

因?yàn)镴≈6.56>6>4,所以

所以α<8<c,

故選：C.

二、多選題

9.等差數(shù)列｛%｝的公差為d,前”項(xiàng)和為S“，當(dāng)首項(xiàng)卬和"變化時(shí)，4+4+?！笔且粋€(gè)定值，則下

列各數(shù)也為定值的有

A.a-tB.asC.S15D.5,6

【答案】BC

【解析】根據(jù)等差中項(xiàng)的性質(zhì)和等差數(shù)列的求和公式可得出結(jié)果.

【詳解】由等差中項(xiàng)的性質(zhì)可得4+6+43=3%為定值，則％為定值，S”匕@；%)=]5/為定

值，但“小/=8(?9)不是定值.

故選：BC.

【點(diǎn)睛】本題考查等差中項(xiàng)的基本性質(zhì)和等差數(shù)列求和公式的應(yīng)用，考查計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題.

4

10?(多選)若雙曲線C的一個(gè)焦點(diǎn)廠(5,0),P是雙曲線上一點(diǎn)，且漸近線方程為y=±gx,則下列

結(jié)論正確的是()

A.C的方程為《―二=1B.C的離心率為之

9164

C.焦點(diǎn)到漸近線的距離為3D.∣PF∣的最小值為2

【答案】AD

【解析】由雙曲線C的一個(gè)焦點(diǎn)F(5,0),且漸近線方程為y=±1x,可得雙曲線C的5-言，再

根據(jù)雙曲線的性質(zhì)對每一個(gè)選項(xiàng)進(jìn)行逐一判斷即可.

4

【詳解】雙曲線C的一個(gè)焦點(diǎn)尸(5,0),且漸近線方程為丁=±§兀，

h4

可得c=5,焦點(diǎn)坐標(biāo)在X軸上，所以2=；,

a3

由C?=a2+b2=25,所以匕=4,。=3,

所以C的方程為'■-二=1,4正確；

916

離心率為e=g,B不正確；

4×5

焦點(diǎn)到漸近線的距離為d="2+a=4,C不正確；

IPFl的最小值為c-α=2,。正確.

故選：AD

11.如圖，平面ABCO二平面ABEF,四邊形ABCQ是正方形，四邊形ABEF是矩形，若G是EF的

中點(diǎn)，AF=I,AB=2,則()

A.ACBG=-IB.M〃平面ABCn

C.AGLBCD.三棱錐C-ABG外接球的表面積是8兀

【答案】BCD

【分析】利用已知結(jié)合數(shù)量積的運(yùn)算求解可判斷選項(xiàng)A,由線面平行的判定定理可判斷選項(xiàng)B,由面

面垂直的性質(zhì)定理可判斷選項(xiàng)C,計(jì)算可得..AGC為直角三角形，再由一ΛBC為直角三角形，可知AC

為三棱錐C-ABG的外接球的直徑，再由球的表面積公式可判斷選項(xiàng)D.

【詳解】解：；AC=AB+AD，BG=BE+^BA=AF-^AB,

：.AC-BG=(AB+AD)-[AF-^AB^,

又一AB、AF,AO兩兩相互垂直,

??AC-BG———AB——2,A錯(cuò)誤，

四邊形ABEF是矩形，

???EFHAB,JEFa平面ABC。，ABU平面ABCD,

???M〃平面ABCE>,B正確，

平面ABCDl平面ABE凡四邊形ABCO是正方形，BeJ_AB,平面ABa）C平面ABEF=A8,

..3C_L平面ABEF,AGU平面A8E產(chǎn)AG_LBC,C正確，

AG2=AF2+FG2=2,GC2=BC2+BE2+EG2=6,

AC2=AB2+BC2=8,AGC為直角三角形，

又?_ABC為直角三角形，.??AC為三棱錐C-MG的外接球的直徑，

則三棱錐C-ABG的外接球的表面積S=Φrx（竿）=8τ.

故選：BCD.

12.現(xiàn)有帶有編號1、2、3、4、5的五個(gè)球及四個(gè)不同的盒子，則下列表述正確的有（）

A.全部投入4個(gè)不同的盒子里，共有種放法

B.全部投入2個(gè)不同的盒子里，每盒至少一個(gè)，共有C>A：種放法

C.將其中的4個(gè)球投入4個(gè)盒子里的一個(gè)（另一個(gè)球不投入），共有CbC；種放法

D.全部投入4個(gè)不同的盒子里，沒有空盒，共有C，A：種不同的放法

【答案】ACD

【分析】對于A,利用分步乘法計(jì)數(shù)原理計(jì)算可判斷A正確；對于B,先將5個(gè)球分為2組，再全

排，計(jì)算可判斷B不正確；對于C,利用分步乘法計(jì)數(shù)原理計(jì)算可判斷C正確；對于D,先將5個(gè)

球分為4組，再全排，計(jì)算可判斷D正確；

【詳解】對于A,帶有編號1、2、3、4、5的五個(gè)球，全部投入4個(gè)不同的盒子里,共有4x4x4x4x4=45

種放法，故A正確；

對于B,帶有編號1、2、3、4、5的五個(gè)球全部投入2個(gè)不同的盒子里，第一步選2個(gè)盒子有C；種

選法，第二步將5個(gè)球分為兩組，若兩組球個(gè)數(shù)之比為1：4有C；種分法；若兩組球個(gè)數(shù)之比為2：

3有C；種分法，第三步將兩組排給兩個(gè)盒子有A；種排法，因此共有C；（C+C；）A；=180,故B不

正確；

對于C,帶有編號1、2、3、4、5的五個(gè)球，將其中的4個(gè)球投入4個(gè)盒子里的一個(gè)（另一個(gè)球不

投入），第一步選4個(gè)球有C；種選法，第二步選一個(gè)盒子有種C；選法，共有C；-C：種放法，故C正

確；

對于D,帶有編號1、2、3、4、5的五個(gè)球，全部投入4個(gè)不同的盒子里，沒有空盒，第一步將5

球分成2：1：1：1的四組共有C；種分法，第二步分給四個(gè)盒子有A：種排法，故共有C；A：=24O種

放法，故D正確；

故選：ACD.

13.對于函數(shù)"x)=號，下列說法正確的是()

A./(√2)<∕(√^)<∕(√3)B./")在X=正處取得極大值!

C.有兩個(gè)不同的零點(diǎn)D.若/(x)<火在(0,+s)上恒成立，貝必>|

【答案】ABD

【分析】利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)/W的單調(diào)性，結(jié)合極值的定義判斷選項(xiàng)AB；由函數(shù)零點(diǎn)的定義可判斷

選項(xiàng)C：構(gòu)造函數(shù)g(x)="x)+J,利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)g(x)的最大值，可判斷D.

【詳解】對于函數(shù)F(X)=T,χ∈(θ,+∞),

x~

N,、l-21nx小、

/W=———,x∈(0,÷oo);

X

令/'(X)=O,得21nx=l,解得X=

當(dāng)0<x<血時(shí)，尸(無)>0,所以函數(shù)在(0,遍)上為單調(diào)遞增函數(shù)，

當(dāng)x>及時(shí)，rω<o,所以函數(shù)在(人,+8)上為單調(diào)遞減函數(shù)，

“(6)</陰，又/(閭=平=f⑵</(6)，

Λ∕(√2)<∕(√^)<∕(^),故A正確；

所以函數(shù)在X=無處取得極大值/(十)=乙，故B正確；

2e

因?yàn)?(X)=O時(shí)，得InX=0,解得X=1,所以函數(shù)/(X)只有一個(gè)零點(diǎn)，選項(xiàng)C錯(cuò)誤；

因?yàn)閒(x)<&-J在(0,+8)上恒成立，則%>f(x)+5在(0,內(nèi))上恒成立，

令g(x)=∕(x)+7=?Γ-,則g(x)=-P—，

令((χ)=0,解得χ-eT,

當(dāng)0<x<e4時(shí)，g'(x)>°，g。)單調(diào)遞增，當(dāng)χ>e+時(shí)，g'(x)<°,則以工)單調(diào)遞減，

所以當(dāng)x-eT時(shí)，g(x)a=ge^i=；，所以上>；，選項(xiàng)D正確.

Λ一V'，UklX2n

故選：ABD.

14.“楊輝三角”是二項(xiàng)式系數(shù)在三角形中的一種幾何排列，在中國南宋數(shù)學(xué)家楊輝1261年所著的《詳

解九章算法》一書中就有出現(xiàn).如圖所示，在“楊輝三角”中，除每行兩邊的數(shù)都是1外，其余每個(gè)數(shù)

都是其“肩上”的兩個(gè)數(shù)之和，例如第4行的6為第3行中兩個(gè)3的和.則下列命題中正確的是()

第O行I

第1行11

第2行121

第3行1331

第4行14641

第5行1510IO51

A.在“楊輝三角”第9行中，從左到右第7個(gè)數(shù)是84

B.由“第〃行所有數(shù)之和為2"”猜想：C:+C,+C++C：=2"

C.在“楊輝三角“中，當(dāng)“=12時(shí)，從第2行起，每一行的第3列的數(shù)字之和為286

D.在“楊輝三角”中，第〃行所有數(shù)字的平方和恰好是第2〃行的中間一項(xiàng)的數(shù)字

【答案】ABCD

【分析】根據(jù)給定的“楊輝三角”，結(jié)合二項(xiàng)式定理、組合數(shù)計(jì)算、組合數(shù)的性質(zhì)逐項(xiàng)分析計(jì)算判斷

作答.

【詳解】在“楊輝三角''第9行中，從左到右第7個(gè)數(shù)是C；=84,A正確；

由“第”行所有數(shù)之和為2"”猜想：cθ+c'+c>+c?=r,

因?yàn)?l+x)"=C+C)+C>2++C'?χn,則令χ=l得：C+C"C++C：=2",B正確；

在“楊輝三角”中，當(dāng)〃=12時(shí)，從第2行起，每一行的第3列的數(shù)字之和為：

C+C+C++C?=G+C+C++<?=C+C++4==C2+C2=c1=286,C正確;

在“楊輝三角''中，第"行所有數(shù)字的平方和恰好是第2〃行的中間一項(xiàng)的數(shù)字，

22

即(C)FcJ+(C)++(q)=c^π

因?yàn)?l+x)2"=(l+x)”(l+x)"=C+c5+c)2+cχ)(cχ+cr'xn-'+CIΓ2xπ-2++Cθ)

對應(yīng)相乘可得X"的系數(shù)為?)2+(CJ+(C：?+.+(C：『，

2ntr

而二項(xiàng)式(1+x)展開式的通項(xiàng)公式τ2n=C2nx,r<2n,r∈N,當(dāng)，="時(shí),T2n=GX,

則x"的系數(shù)為：C所以?『+(Cj+?7++C"*D正確.

故選：ABCD

三、填空題

15.拋物線X=Ly2的焦點(diǎn)坐標(biāo)為_____.

4

【答案】(1,0)

【分析】將拋物線化為標(biāo)準(zhǔn)方程，根據(jù)定義求得焦點(diǎn)坐標(biāo).

【詳解】拋物線標(biāo)準(zhǔn)方程為：V=4x

???焦點(diǎn)坐標(biāo)為：(LO)

【點(diǎn)睛】本題考查根據(jù)拋物線方程求焦點(diǎn)的問題，關(guān)鍵是要將方程化為標(biāo)準(zhǔn)方程的形式，屬于基礎(chǔ)

題.

16.哈爾濱市第一二二中學(xué)高二數(shù)學(xué)組織華容道大賽，七名數(shù)學(xué)老師依次登場，在安排出場順序時(shí),

三個(gè)班主任需要排在一起登場，這樣出場順序一共有種.(用數(shù)字作答)

【答案】720

【分析】利用捆綁法即可求解.

【詳解】利用捆綁法，共有A；A；=720種安排方法，

故答案為:720.

17.已知N,)的展開式中所有二項(xiàng)式系數(shù)之和是64,則它展開式中f的系數(shù)

【答案】-3

【分析】利用二項(xiàng)式定理系數(shù)的性質(zhì)，求出小然后通過二項(xiàng)式定理的通項(xiàng)公式求出Y項(xiàng)即可.

【詳解】解：(?一步)的展開式的二項(xiàng)式系數(shù)之和為64,所以2"=64,所以〃=6,由二項(xiàng)式定

理的通項(xiàng)公式得：

J=Cz(9產(chǎn)黑-壺y=(-gycmτ當(dāng)廠=1時(shí)，展開式中Y項(xiàng)的系數(shù)為：(-gjc)=-3.

故答案為：-3.

18.已知函數(shù)/(x)=e*+0r-2,其中αeR,若對于任意的X∣,Λ2∈[2,w),且王<々，都有

W/(辦)-XJ(X2)<“(玉-Z)成立，則實(shí)數(shù)”的取值范圍是.

【答案】(-∞d+2]

【分析】根據(jù)題意轉(zhuǎn)化為‘(“)+”<J(*)+”對任意的不H目2,招))恒成立,令∕7(χ)="'H",

進(jìn)而轉(zhuǎn)化為〃'(x)≥0恒成立，得至∣Jα-2≤xe'-e、在[2,.)恒成立，令g(x)=xe*-e*,利用導(dǎo)數(shù)求

得函數(shù)g(x)為單調(diào)區(qū)間和最小值，得到α-2≤e°,即可求解.

【詳解】由對于任意的冷玉￡[2,+∞),且占<%，都有J?∕(x∣)-XJ(X2)<。(王一々)，

則/(X)+“<??H"對于任意的.々∈[2,”)恒成立，

x]X2

令Mx)="訕,則不等式等價(jià)于∕1(^)<Λ(Λ2)對于任意的Xe[2,+∞)恒成立，

X

即MX)在區(qū)間[2,+∞)單調(diào)遞增，

又由/(x)=e'+Ur-2,可得/?(X)=巴箋出，

則∕z'(x)=Xe'-)+2-",即h↑x)=Xe二[+2-"≥0在[2,y)恒成立，

即?e*-e*+2-αNO在[2,+∞)恒成立，即α-2≤Xe*-e*在[2,+∞)恒成立，

令g(x)=Λe*-e*,x∈[2,?F∞),可得g'(x)=Λe*>0恒成立，

所以函數(shù)g(x)為單調(diào)遞增函數(shù)，所以g(x)≥g⑵=e)

則α-2≤e?,解得α≤e2+2,所以實(shí)數(shù)。的取值范圍是(-4+2].

故答案為:(-∞,e2+2].

【點(diǎn)睛】知識方法：對于已知函數(shù)的單調(diào)性求參數(shù)問題：

(1)已知可導(dǎo)函數(shù)/(x)在區(qū)間O上單調(diào)遞增，轉(zhuǎn)化為區(qū)間。上/'(x)N0恒成立；

(2)己知可導(dǎo)函數(shù)/(x)在區(qū)間O上單調(diào)遞減，轉(zhuǎn)化為區(qū)間。上r(x)≤O恒成立；

(3)已知可導(dǎo)函數(shù)/(X)在區(qū)間。上存在增區(qū)間，轉(zhuǎn)化為∕<x)>0在區(qū)間。上有解；

(4)已知可導(dǎo)函數(shù)/(x)在區(qū)間。上存在減區(qū)間，轉(zhuǎn)化為/'(力<0在區(qū)間。上有解.

四、解答題

19.已知α∈R,函數(shù)f(x)=gχ3-g(α-l)χ2-or-3.

(0當(dāng)α=l時(shí),求函數(shù)y=∕(x)在點(diǎn)(3J(3))處的切線方程；

(2)若函數(shù)f(x)在區(qū)間(2,4)上是減函數(shù)，求。的取值范圍.

【答案】(1)8x-y-21=0；(2)a≥4.

【解析】(1)求出/(x)在x=3處的導(dǎo)數(shù)，即切線斜率，求出f(3),即可求出切線方程;

(2)可得/。)50在(2,4)恒成立，由此可建立關(guān)系求解.

f2

【詳解】f(x)=x-(a-l)x-af

(1)當(dāng)4=]時(shí)，/(3)=∣×33-i(l-l)×32-l×3-3=3,

∕,(3)=32-(l-l)×3-l=8,

在點(diǎn)(3J(3))處的切線方程為y-3=8(x-3),即8x-y-21=0.

(2)函數(shù)F(X)在區(qū)間(2,4)上是減函數(shù)，

.?.f,(x)=工2__l)χ_Q="+])(X_Q)≤0在(2,4)恒成立,

而x+1>0在(2,4)恒成立，

.,」-6^0在(2,4)恒成立，這時(shí)。之4,

???當(dāng)函數(shù)/(x)在區(qū)間(2,4)上是減函數(shù)時(shí)，a≥4.

20.在“WC中，α,"c分別為內(nèi)角A,B,。的對邊，且2ccosC=αcosB+抗2SA.

(1)求C的大??；

(2)若b=3a,c=幣,求JLBC的面積.

【答案】(1)C=g；(2)史.

34

【分析】(1)先利用正弦定理將2ccosC=αcos8+ACOSA轉(zhuǎn)化為

2sinCcosC=sinAcosB÷sinBCoSA,再利用兩角和的正弦公式化簡可求得答案;

(2)由余弦定理結(jié)合已知條件可求出。=1,b=3,然后利用三角形的面積公式可求得結(jié)果

【詳解】解：(1)V2ccosC=acosB-^bcosA,

.?.根據(jù)正弦定理W=工='7;可得,

sinAsinBsinC

2sinCcosC=sinAcosβ+sinBcosA,

Λ2sinCcosC=sin(A+B),

Λ2sinCcosC=sinC.因?yàn)镾inC≠0,

ΛcosC=p又C∈(0∕)

π

???Cr=-?

3

(2)由余弦定理d=a2+br-2ab∞sC，?=3α^7=9a2+a2Sa2，

解得α=1,由Z?=3。得力=3

所以.ABC的面積S=-absinC='xlx3sin2=^^

2234

所以一MC的面積主叵.

4

21.如圖，在四面體ABCZ)中，ABlAC,AO_L平面力BC,點(diǎn)M為棱AB的中點(diǎn)，AB=AC=2,

AD=B

(I)求直線BC與何。所成角的余弦值；

(II)求平面ABD和平面BDC的夾角的余弦值.

【答案】(I)也；(H)妞.

410

【解析】(I)以A為原點(diǎn)，分別以AB，AC-A。的方向?yàn)閄軸，y軸，z軸的正方向的空間直角

坐標(biāo)系,利用空間向量的夾角公式可求得結(jié)果；

(II)利用兩個(gè)平面的法向量可求得結(jié)果.

【詳解】依題意，可以建立以A為原點(diǎn)，分別以AB，AC，AZ)的方向?yàn)閄軸，y軸，Z軸的正方向

的空間直角坐標(biāo)系(如圖)，可得A(0,0,0),M(1,O,O),8(2,0,0),C(0,2,0),Z)(θ,θ,√3)

(I)依題意BC=(-2,2,0),Λ∕D=(-1,O,√3).

BCMD∣-2×(-l)+2×0+0×√3∣屈

∣cos<BC,MD>∣=

BC∣∣Λ7D√4+4+0×√l+0+34

所以直線BC與M。所成角的余弦值為也.

4

(【I)易知，AC=(0,2,0)為平面W的一個(gè)法向量,

依題意，可得BC=(—2,2,0),BD=(-2,0,√3).

加庇=0,即—2x+2γ=0

設(shè)機(jī)=(X,y,z)為平面BC。的法向量，貝小

m`BD=0,-2X+Λ∕JZ=0'

不妨令z=2,可得切=(6,6,2).

Ig此右1-4」"AjL即］一病

因此到'1網(wǎng)AC一向KXMH10,

由圖可知平面ABf)和平面BDe的夾角為銳角，

所以平面ABO和平面BDC的夾角的余弦值為強(qiáng).

10

【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量求解是解題關(guān)鍵.

22.已知數(shù)列｛q｝滿足：a2=-6,a5=0,a,,+2+an=2a,,+1.

⑴求｛%｝的通項(xiàng)公式;

⑵若數(shù)列3,%,%，%,是等比數(shù)列，且左=8,求心關(guān)于"的表達(dá)式.

【答案】(IM=2"-10

(2)?,,=3×2n^l+5

【分析】(1)根據(jù)等差數(shù)列的定義判斷得數(shù)列｛4｝是等差數(shù)列，計(jì)算公差d,再寫出通項(xiàng)公式即可;

(2)根據(jù)(1)寫出數(shù)列｛%,｝的通項(xiàng)公式，再根據(jù)等比數(shù)列計(jì)算公比，寫出等比數(shù)列｛%.｝的通項(xiàng)公

式，兩式相等即可得幻關(guān)于”的表達(dá)式.

【詳解】⑴Van+2+an=2αn+1αn+2-aπ+,=an+l-a?

所以數(shù)列｛叫是等差數(shù)列，

設(shè)其公差為d,則d=%J=2,

,

..an=O2+("-2)d=2〃-10.

所以數(shù)列｛叫的通項(xiàng)公式為q=2〃-10.

(2)由(1)知名=2"-10,.?.%=2%z,-I0.

因?yàn)閿?shù)列3,%%,,%是等比數(shù)列，且尢=8,

；?數(shù)列3,%%,%■的公比4=/=更jW=2,

由等比數(shù)列的通項(xiàng)公式可得%=3x2"

.?.2?,,-10=3×2n,抬=3X2”τ+5

23.已知函數(shù)/(x)=q+lnx-2(aeR).

⑴討論/(x)的單調(diào)性；

⑵若方程"x)=0√+?有兩個(gè)不同的實(shí)數(shù)根，求。的取值范圍.

【答案】(1)答案見解析

⑵Ul

【分析】(1)對/(x)求導(dǎo)，分類討論αW0和α>0時(shí)尸(x)的正負(fù)，即可得出的單調(diào)性；

(2)解法一：“方程"x)="+f有兩個(gè)不同的實(shí)數(shù)根”等價(jià)于"函數(shù)g(x)=InX-加-2有