2023-2024屆新高考一輪復(fù)習(xí)湘教版 4-5 三角函數(shù)的圖象與性質(zhì) 學(xué)案

第五節(jié)三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)

【課標(biāo)標(biāo)準(zhǔn)】1.能畫(huà)出三角函數(shù)的圖象2了解三角函數(shù)的周期性、奇偶性、最大(小)

值.3.借助圖象理解正弦函數(shù)、余弦函數(shù)在［O,2π］±,正切函數(shù)在(一》》上的性質(zhì).

必備知識(shí)夯實(shí)雙基

知識(shí)梳理

1.用“五點(diǎn)法”作正弦函數(shù)和余弦函數(shù)的簡(jiǎn)圖

⑴在正弦函數(shù)y=sinΛ,x∈［0,2π］的圖象中，五個(gè)關(guān)鍵點(diǎn)是(O,O),ξ,1),

,(2π,0).

(2)在余弦函數(shù)y=cosX,x∈［0,2兀］的圖象中，五個(gè)關(guān)鍵點(diǎn)是(0,1),G0),

,(2π,1).

2.正弦'余弦、正切函數(shù)的圖象與性質(zhì)(下表中A∈Z)

［常用結(jié)論］

(1)正弦曲線、余弦曲線相鄰兩對(duì)稱中心、相鄰兩對(duì)稱軸之間的距離是半個(gè)周期，相鄰

的對(duì)稱中心與對(duì)稱軸之間的距離是［個(gè)周期.

(2)若y=4sin(S：+p)為偶函數(shù)，則有9=也+云左≡Z);若y=Asin(①工+3)為奇函數(shù),

則有8=%π(%∈Z).

(3)若y=4cos(3x+°)為偶函數(shù)，則有“=航伏GZ)；若y=Acos(sx+夕)為奇函數(shù)，則

有夕=E+汰GZ).

(4)若y=Atan((OX+夕)為奇函數(shù)，則有?>=Λπ(?∈Z).

夯實(shí)雙基

1.思考辨析(正確的打“J”，錯(cuò)誤的打“X”)

(l)y=sinX在第一象限是增函數(shù).()

(2)正切函數(shù)y=tanX在定義域內(nèi)是增函數(shù).()

(3)已知y=ksinx+l,x∈R,則y的最大值為￠+1.()

(4)y=sin㈤是偶函數(shù).()

2.(教材改編)下列函數(shù)中，最小正周期為無(wú)的奇函數(shù)是()

A.y=sin(2x+g

B.y=cos(2x+1)

C.y=sin2x÷cos2x

D.y=sinx+cosx

3.(教材改編)函數(shù)y=3+2sin(x+a的最大值為,此時(shí)X=.

4.(易錯(cuò))函數(shù)y=binx∣的最小正周期為.

5.(易錯(cuò))函數(shù)y=?+2sin6一x)的單調(diào)遞增區(qū)間是.

關(guān)鍵能力題型突破

題型一三角函數(shù)的定義域

例1(1)函數(shù)兀0=1+的的定義域?yàn)?

(2)[2023?河南南陽(yáng)模擬]函數(shù)y=lg(l+tanU)+√l-4χ2的定義域?yàn)?/p>

題后師說(shuō)

求三角函數(shù)的定義域，實(shí)際上是構(gòu)造簡(jiǎn)單的三角不等式(組)，有時(shí)候還需要借助三角函

數(shù)圖象求解.

鞏固訓(xùn)練1

[2023?江西臨川一中月考]函數(shù)y=lg(2cos"一百)的定義域?yàn)?

題型二三角函數(shù)的值域或最值

例2(l)[2023?河北甘F鄲模擬]函數(shù)兀T)=Sin(2%+柒在(一]，全上的值域?yàn)?)

A.(O,1]B.(-y,0)

C.(-y,1]D.[-1,1]

(2)函數(shù)y=cos2x+2sinX的最大值為.

(3)[2023?河南新蔡一中月考]函數(shù)段)=sinxcosx+√∑sin(x+)的值域?yàn)?/p>

題后師說(shuō)

求解三角函數(shù)的值域(最值)的3種方法

形如?-Gsinx+bcosx+c的三角函數(shù)，化為

y=Λsin(ωx+φ)+k的形式，再求值域(最值)

形如v=αsin2x+Z>sinx+c的三角函數(shù)，可設(shè)

∕=sinx,化為關(guān)于t的二次函數(shù)，再求值域

(最值)

形如y=αsinxcosx+/?(Sinx±cosx)+c的三角

函數(shù)，可設(shè)∕=sinx±cosx,化為關(guān)于/的二

次函數(shù)，再求值域(最值)

鞏固訓(xùn)練2

(1)[2023?江西名校聯(lián)考]函數(shù)刎=sinα+cos2(γ一α)的值域?yàn)?)

1313

A」)，/B.jzj

C.[-?,2]D.日,2]

(2)[2023?河南汝州一中模擬]已知函數(shù)yU)=2sin(ox+zι)(cυ>0)的最小正周期為π,則∕x)

6

在區(qū)間Lg,號(hào)上的最小值為.

題型三三角函數(shù)的性質(zhì)

角度一三角函數(shù)的周期性

例3下列函數(shù)中最小正周期為π的是（）

A.y=sinIXl

B.y=∣cosx?

C.Ax）=∣3sin（2A--）∣

6

D.y=tan（；一0

題后師說(shuō)

求三角函數(shù)最小正周期常用的2種方法

鞏固訓(xùn)練3

[2023?河北石家莊二中模擬J已知函數(shù)火x）=tan（cox+，m>0）的相鄰兩個(gè)零點(diǎn)之間的距

離是以則居）=.

角度二三角函數(shù)的奇偶性

例4[2023?山東威海模擬]已知函數(shù)代T）=SinXCoS（2%+夕）（“右[0,捫）為偶函數(shù)，則夕=

（）

A.0B.-

4

C.-D.π

2

鞏固訓(xùn)練4

下列函數(shù)中是奇函數(shù)的是（）

A.y=cos∣2x∣

B.γ=∣sinx?

C.y=sin(1+2x)

D.y=cos(γ-2x)

角度三三角函數(shù)的對(duì)稱性

例5(l)[2023?江西部分學(xué)校聯(lián)考]已知函數(shù)段)=Qsinx+cos工的圖象關(guān)于直線x=g對(duì)

稱,則人》=()

?√6+√2

A.√3D.------------

2

c.-?/?

(2)已知函數(shù)y(x)=cos(3x+s)(m>0,|夕|竹)的最小正周期為π,且其圖象關(guān)于直線X=g對(duì)

稱，則函數(shù)於)圖象的一個(gè)對(duì)稱中心是()

A.(-?,0)B.(?,0)

C.吟，0)D.(g,0)

題后師說(shuō)

對(duì)于函數(shù)?x)=Asin(cox+e)或y(x)=Acos(ωx+φ)f其圖象的對(duì)稱軸一定經(jīng)過(guò)函數(shù)圖象

的最高點(diǎn)或最低點(diǎn)，對(duì)稱中心的橫坐標(biāo)一定是函數(shù)的零點(diǎn)，因此在確定直線X=Xo或點(diǎn)(的,

0)是否是函數(shù)圖象的對(duì)稱軸或?qū)ΨQ中心時(shí)，可通過(guò)檢驗(yàn)大沏)的值進(jìn)行判斷.

鞏固訓(xùn)練5

(l)[2023?山東濟(jì)南模擬]已知函數(shù)段)=2Sin(2s@>0)的最小正周期為π,則於)的

6

圖象關(guān)于()

A.X=2對(duì)稱B.X=2對(duì)稱

63

C.吟,0)對(duì)稱D.(≡,0)對(duì)稱

(2)函數(shù)y=2cos2g+g)-l,(x∈R)的圖象的一條對(duì)稱軸方程為()

角度四三角函數(shù)的單調(diào)性

例6(1)(多選)下列函數(shù)的周期為n,又在(0,》上單調(diào)遞增的是()

A.y=sin(2X+5

B.y=∣sin(x+≡)∣

C.y=cos∣2x∣

D.y=∣tanx?

(2)[2023?遼寧鞍山模擬]函數(shù)y=sin(弓一2%)的單調(diào)減區(qū)間是()

A.伙兀一/?π+γJ(?∈Z)

B.[2?π~7,2*π+?(?eZ)

C.I2?π+γ,2?π+γ](?∈Z)

D.伏π+等,?π+?(?∈Z)

88

題后師說(shuō)

求三角函數(shù)的單調(diào)區(qū)間的兩種常用方法

鞏固訓(xùn)練6

(l)[2023?山東煙臺(tái)二中模擬]若函數(shù)兀V)=ICoS2Λ∣在區(qū)間D上單調(diào)遞減，貝∣JD可以為

()

A.[-=,OlB.[0,=]

C.[=,γ]D.ξ,π]

(2)函數(shù)/(x)=2cos2χ+2sinxcosx,x∈[->；],兀￥)單調(diào)遞增區(qū)間為.

專題突破?三角函數(shù)中的”的求解

在三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)中ω的求解是一個(gè)難點(diǎn)，很多同學(xué)對(duì)其掌握不好.

微專題1利用三角函數(shù)的單調(diào)性求。

例1[2023?河南信陽(yáng)模擬]已知5>0,函數(shù)/Λ)=sin(cor+;在區(qū)間(一三，》內(nèi)單調(diào)遞增，

則ω的取值范圍為()

A.6，JB.(0,1]

9IQ

c?(0,/D.(-,-]

題后師說(shuō)

首先明確已知的單調(diào)區(qū)間應(yīng)為函數(shù)單調(diào)區(qū)間的子集；其次要確定已知函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，

從而利用他們之間的關(guān)系列不等式組求解.

鞏固訓(xùn)練1

[2023?河北張家口模擬]己知函數(shù)火X)=Sin(ωx+^)(ω>0,刷W》，<0)=號(hào)且函數(shù)段)在

區(qū)間(9，》上單調(diào)遞減，則。的最大值為_(kāi)______.

168

微專題2利用三角函數(shù)的最值、對(duì)稱性求G

例2(1)已知函數(shù)/)=cos(eυx+?Xm>0)的圖象關(guān)于點(diǎn)(：，0)對(duì)稱，則式工)的最小正周

84

期T的最大值為()

(2)［2023?河南商丘模擬］已知函數(shù)式x)=3cos(5+/cυ>0),若詹)=0,段)在g，爭(zhēng)內(nèi)

有最小值，沒(méi)有最大值，則。的最大值為()

A.19B.13

C.10D.7

題后師說(shuō)

若已知函數(shù)的最值，則利用三角函數(shù)的最值與對(duì)稱軸或周期的關(guān)系，可以列出關(guān)于ω

的不等式(組)，進(jìn)而求出。的值或取值范圍.

鞏固訓(xùn)練2

(l)［2023?河北保定模擬］已知函數(shù)yU)=2sin(cox+學(xué)+l(co>0),VX∈R,./U)Wy(》，且加)

在［0,§上單調(diào)遞增，則。=()

A.-B.-

32

C.2D.3

(2)［2023?河南駐馬店模擬］已知函數(shù)火x)=2Sin(ωx+7)(ω>O),若左)的圖象關(guān)于直線X=

6

?對(duì)稱，且在(瞿，》上單調(diào)遞減，則”的最大值是()

?Io4

A.10B.13

C.16D.19

第五節(jié)三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)

必備知識(shí)?夯實(shí)雙基

知識(shí)梳理

1.(1)(π,O)(―,-1)(2)(π,-1)(No)

22

2.%r≠E+,[-1,IJLI,IJ2π2ππ奇函數(shù)偶函數(shù)奇函數(shù)[-?+

2kπ,^÷2?π][―π+2?π,2kπ](一；+%兀,?÷?π)[]+2E,^÷2?π][2?π,π÷2?π]

QkjI,0)(?π+-,0)x=kπ+-x=kπ

22

夯實(shí)雙基

I.答案：(I)X(2)×(3)×(4)√

2.解析：由于函數(shù)y=sin(2x+I)=CoS2x為偶函數(shù)，故排除A；

由于函數(shù)y=cos(2%+])=—sin2x為奇函數(shù)，且周期為與=兀，故B滿足條件；

由于函數(shù)y=sin2r+cos2x=√2sin(2x+：)為非奇非偶函數(shù)，故排除C；

由于函數(shù)y=sinx+cosx=&sin(x+分為非奇非偶函數(shù)，故排除D.

故選B.

答案：B

3.解析：函數(shù)y=3+2sin(x+》的最大值為3+2=5,此時(shí)x+E=]+2Zπ(Z∈Z),即X

=-+2?π(?∈Z).

4

答案：5-+2?π(?∈Z)

4

4.解析：函數(shù)y=∣sinM的最小正周期是函數(shù)y=sinX的周期的一半，故函數(shù)y=kinx∣

的最小正周期是兀

答案：π

5.解析：y=l+2sinG—X)=I-?2sin(x—令"=x一三，根據(jù)復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性知，

666

所給函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間就是y=sin4的單調(diào)遞減區(qū)間，解與+2EWL牌:+2E(%∈Z),

得空+2匕TWXW紀(jì)+2%π(%WZ),故函數(shù)y=l+2sin(2—x)的單調(diào)遞增區(qū)間是[空+2%兀，—÷

33633

2?π](?∈Z).

答案：[g+2E,y+2?π](?∈Z)

關(guān)鍵能力?題型突破

例1解析：(1)由題意，2sin?-l>O=>sinx>→x∈(-÷2?π,—+2?π)(?∈Z).

266

'1+tanπx>O

(2)由題意得?nx=kπ+],k∈Z,解得—卜；<}.

、1-4x2≥O

答案：⑴q+2E,1+2E)(A∈Z)(2)(-i,?)

鞏固訓(xùn)練1解析：由y=lg(2cos2χ-√5)可得2COS2Λ-b>0,

即cos2x>^,貝!]—￡+2攵兀<2x<^÷2?π,?≡Z,

故函數(shù)y=lg(2cos2x—√5)的定義域?yàn)?一號(hào)+E,y∣+?π),?∈Z.

答案：(一.+far,1+?π),?∈Z

例2解析：⑴當(dāng)x∈T,?時(shí)，2x+=∈(-pπ),當(dāng)2x+l=J時(shí),即尸喉時(shí)，危)

=sin(2x+g)取最大值1,當(dāng)2x+[=_,即X=W時(shí)，y(x)=sin(2x+g)=一*所以於)<

—?,故值域?yàn)?一今1]?

故選C.

(2)y=cos2x+2SinX=-2sin2χ+2sinx+l.設(shè)f=sinx,則一lWf≤l,所以原函數(shù)可以化

為產(chǎn)一2戶+2，+1=—2(，一]+|,所以當(dāng)[=；時(shí),函數(shù)取得最大值為|.

(3)由于/(x)=SinXcosx÷V2sin(x÷^)=sinxcosx÷sinx÷cosx,

令sinx÷cosx=t,貝IJsinxcos?,

于是函數(shù)化為尸子+看》+1)2—1,

而I=SinX+cosX=V∑sin(工+三)仁[一&，V2],

4

所以當(dāng)f=-1時(shí)，函數(shù)取最小值一1,

當(dāng)f=&時(shí)，函數(shù)取最大值之+或，故值域?yàn)閇―1,∣+√2].

答案：(I)C(2)∣(3)[-b∣+√2]

鞏固訓(xùn)練2⑴解析:y(α)=sina+cos2(y—a)=sina+sin2a=(sina+∣)2—?,

Vsina∈[―1,1],

當(dāng)Sina=-^時(shí)，人砌取最小值一點(diǎn)當(dāng)sina=l時(shí)，<a)取最大值2；

.?∕(a)的值域?yàn)閇一；，2].

故選C.

(2)因?yàn)椤?gt;0,且函數(shù)的最小正周期為兀，

所以一=π=3=2,

ω

所以段)=2Sin(2x+γ),

6

由XeLi/得級(jí)+料一。?b

又函數(shù)y=sinx在［一襄A上單調(diào)遞增，在成，爭(zhēng)上單調(diào)遞減，

所以當(dāng)法+三=一三即X=一三時(shí)，函數(shù)段)取得最小值，且最小值為-2.

623

答案：(I)C(2)-2

例3解析：在A中，根據(jù)圖象可知y=sin∣x∣不是周期函數(shù)；

在B中，y=∣cosx∣的最小正周期為：X*=π;

在C中，由y=3sin(2χ-”的周期為T(mén)=W?=π,

因?yàn)?(x)=∣3sin(2x—?)l的圖象是y=3sin(2χ-?)圖象在X軸下方的圖象翻折到X軸上方,

66

X軸上方的保持不變，所以火X)=I3sin(Zr-J)I的周期為三；

62

在D中，y=tan6一；)的最小正周期為T(mén)—?-2π.

24—

2

故選B.

答案：B

鞏固訓(xùn)練3解析：函數(shù)兀v)=tan(3x+》(<o>0)的相鄰兩個(gè)零點(diǎn)之間的距離是去則有

/(x)的周期7=2=)解得0=3,

ω?

于是得於)=tan(3x+：),所以yφ=tan(π+')=tan^=1.

答案：1

例4解析：??7U)的定義域?yàn)镽,且為偶函數(shù)，

—?)—-cos(―π+g)=cos(兀+3)=CoS。=-cos8=cosΦ=0,

,;￠￡(0,7T),:?9=5.

當(dāng)3=］時(shí)，1無(wú))=-sinxsin2x為偶函數(shù)滿足題意.

故選C.

答案：C

鞏固訓(xùn)練4解析：y=cos∣2Λ∣是偶函數(shù)，A錯(cuò)；

y=∣sinx∣是偶函數(shù)，B錯(cuò)；

y=sing+2x)=cos2x是偶函數(shù)，C錯(cuò)；

y=cos垮-2X)=-SinZX是奇函數(shù)，D正確.

故選D.

答案：D

例5解析：⑴因?yàn)殪?的圖象關(guān)于直線X三對(duì)稱，所以購(gòu)=A爭(zhēng)，即I=茅一也

解得〃=百，則咫=√5χ4+約”.

故選B.

(2)?.?函數(shù)的最小正周期為π,

ΛT=-=π,則①=2,

ω

則7(x)=cos(2x+p),

???圖象關(guān)于直線X=W對(duì)稱，

.".2×^+φ=kπ,Λ∈Z,即夕=E一與，Λ∈Z,

,.?∣^∣<=

，當(dāng)A=I時(shí)，?3=π-

則4X)=COS(2x+?∣?),

由2X+E=2+E,k∈Z,解得X=5+二，k∈Z,

32212

當(dāng)Z=O時(shí)，X=M

即函數(shù)段)圖象的一個(gè)對(duì)稱中心為臉，0).

故選B.

答案:(I)B(2)B

鞏固訓(xùn)練5解析：⑴因?yàn)楹瘮?shù)y(x)=2sin(2。比一今(3>0)的最小正周期為π,

6

由7=普得，。=1,即7U)=2sin(2χ-9),

∣Z60∣6

/(—)=1z≠2,故X=:不是對(duì)稱軸，(&,0)也不是對(duì)稱中心；

用)=2,故X=］是對(duì)稱軸，$0)不是對(duì)稱中心.

故選B.

(2)y=2cos2(^+1=COS(X+爭(zhēng)，

由x+詈=E,?∈Z,可得對(duì)稱軸為X=E一學(xué)，∕r∈Z,

當(dāng)無(wú)=1時(shí)，可得對(duì)稱軸方程為X=M其它選項(xiàng)不符合.

故選D.

答案：⑴B(2)D

例6解析：(1)選項(xiàng)A,由2E-2W2x+2W2E一二k∈Z,

262

則E-EWXW?π+?,?∈Z,當(dāng)k=0時(shí)，-EWXWc

3636

所以y=sin(2v+m)在(0,5上單調(diào)遞增，在G，今上單調(diào)遞減，故A不正確.

6664

選項(xiàng)B,由y=∣sinx|在［kπ,kπ+JMZ上單調(diào)遞增，在［E+］,?π+π］,A∈Z上單

調(diào)遞減.

由上τt<x+E<E+E,?∈Z,得E—EWx≤k兀+工，?∈Z.

4244

所以y=bin(x+》|在(0,E)上單調(diào)遞增，故B正確.

選項(xiàng)C,y=cos∣2x∣=cos2x,由2EW2xW2E+兀，?∈Z,

*il!∣?π≤x≤?π+p攵∈Z,

所以y=cos∣2x∣=cos2x在［0,勺上單調(diào)遞減，所以在(0,P)上單調(diào)遞減，故C不正確.

24

選項(xiàng)D,當(dāng)x∈(0,①時(shí)，〉=Μ11川=1211》在(0,會(huì)上單調(diào)遞增，故D正確.

故選BD.

(2)y=sin(；—2X)=-Sin(Zr―》，要求函數(shù)y=sin(弓一2%)的單調(diào)減區(qū)間，即求函數(shù)y=

sin(2x—E)的單調(diào)增區(qū)間.

4

令--+2?π≤2x一—≤-+2?π,fc∈Z,

242

所以一S+EWXWF+E，?≡Z.

故選A.

答案：(I)BD(2)A

鞏固訓(xùn)練6解析：(1)對(duì)于A,當(dāng)x∈L?,0］時(shí)，2r∈［-p0J,y=cos2x20且單調(diào)

遞增，7(x)=∣cos2x∣=cosZx單調(diào)遞增，A錯(cuò)誤；

對(duì)于B,當(dāng)犬$時(shí)，2x≡［p兀］,y=cos2x≤0且單調(diào)遞減，?x)=ICOS2x|=-cos2x

單調(diào)遞增，B錯(cuò)誤；

對(duì)于C,當(dāng)Xeg,學(xué)時(shí)，2χW∣π,爭(zhēng)，y=cos2xW0且單調(diào)遞增，段)=ICoS2x|=-cos

2x單調(diào)遞減，C正確;

對(duì)于D,當(dāng)χe[學(xué)，π]時(shí)，2.r∈[γ,2π],y=cos2x》0且單調(diào)遞增，./(x)=∣CoSzXI=COS

2x單調(diào)遞增，D錯(cuò)誤.

故選C.

(2)化簡(jiǎn)可得yCx)=2cos2χ+2siαrcosx=l+cos2x÷sin2r=V2sin(2x÷^)÷1,由一1+

2?π≤2x+-≤-+2kπ,?∈Z,解得一郊+EWxW11+kπ,?∈Z,又：--≤x≤-,Λ≤x≤-,

42882288

即危)的單調(diào)遞增區(qū)間為L(zhǎng)9,?].

OO

答案：(I)C(2)[-?,勺(區(qū)間開(kāi)閉均可以)

OO

專題突破?三角函數(shù)中的3的求解

例1解析：x￡(—W)時(shí)，ω>0,ωx÷^∈(^—,羊+：)，

3244324

∕πωππ

3

由于步(：—詈，~+~)>所以"ωππ<:，且0>0,解得0<6υW^.

故選B.

答案：B

鞏固訓(xùn)練1解析：因?yàn)榇驩)=Sine=拳，又IplW所以9=：,所以兀T)=Sin(sx+》，

當(dāng)Xe(工?，E)且cυ>O時(shí)，—+^<ωx÷?→:-+

'168’164484

因?yàn)槎?在區(qū)間管