2023年安徽省六安市成考專升本高等數學二自考真題(含答案帶解析)

2023年安徽省六安市成考專升本高等數學

二自考真題(含答案帶解析)

學校:班級:姓各考號:

一、單選題(30題)

?設/(x)=xlnx,∕r,(x)=()

?l÷Inx

?+?

B.?

A

C.X

?

D.X

已知函數/(x)=χ3,則Iim/(13)-八1)=

2.…―()o

A.-3B.0C.1D.3

——?，，?—一.???*w???Y

下列極限正■的是()

面工

?-M5T^=*BM5St^?e,lu^?sm?-lD.lirn-γi=l

函數/(?r)=工,一3>-91+】在［-2.6］上的最大值點,

5若點（1,3）是曲線）=α∕+6工2的拐點，則

_3.9

A.A.a~2『

3,9

_3._9

3,9

DaF6=一彳

點N=O是函數f（H）=廣"F的

∣er-l,x≥0

A.連續(xù)點

B.可去間斷點

C,第二類間斷點

D.第一類間斷點,但不是可去間斷點

7.由曲線y=-x2,直線x=l及X軸所圍成的面積S等于（）.

A.-l∕3B.-l∕2C.1/3D.1/2

8.設y=1.”力止整數?畫、.一（）o

A.0B.lC.nD.n!

9.設事件A,B相互獨立，A,B發(fā)生的概率分別為0.6,0.9,則A,B都不

發(fā)生的概率為（）。

A.0.54B.0.04C.0.1D.0.4

2

函數/(x)=∕+±的單調地加區(qū)間是

10.X

A.A.(-∞,-1)B.(-1,0)C.(0,1)D.(1,+∞)

IL設函數/(，)=%.則/?)在點X=O處().

A.可微B.不連續(xù)C.無切線D.有切線，但該切線的斜率不存在

12.已知f(x)=aretanx2,則f'⑴等于().

A.A.-1B.OC.1D.2

??定積分(工：?aretan?+COSJJ)<LΓ=.

∫?ln(l+2∕)d∕

Iim------------z----------=

14.zXOc

A.3B.2C.1D.2/3

]5設函數/(x)=COSX,則/'信)=()?

A.-lB.-l∕2C.0D.1

16.

在區(qū)間儲,b)內,如果∕G)=g'G),則下列各式一定成立的是(

A./(1)=#(M)

B.f(N)=g(H)+l

Cjjf(ι)dr[=UKcr)CkT

D.?∕7(N)Clr=∣"/(?r)<Lr

∫1[2+xln(I+Λ2)]dx=

A.4B.2C.OD.-2

17.

設fix)具有任意階導數,且/u)-l/(?)]1,則/V)=()

18A.V(?r)]4B.q∕(x)rC6(∕ωΓDja/Cr)r

19.

函數/⑴=∣2χ-lI在點XW處的導數是（）.

a?0b?yC.2D.不存在

20.f(x)=Ix-2I在點x=2的導數為

A.A.1B.0C.-lD.不存在

21.

設/(x)為連續(xù)函數，則，/'(2x)dr=

A.〃2)力0)B.2(∕?(2)√(0)J

C.i[f(2)√(O)JD.∣[∕?(l)√(0)]

22.

下列變量在給定的變化過程中為無窮小量的是

A.sin-?-(x→0)B.e?(αr→O)

X

C.ln(l+x2)(x-*0)D.^??(X→3)

X—9

23微分方程v,τVlnriz--eos?的通解為,

24.

設函數y=∕(u),U=WM),且/與r均可導.則白/[9(工)]等于()?

A.M.?eB.更+業(yè)C?￥+半D.手?學

dxdxd?dxdudxdudx

25.

設由轂/(?=M∣∣(√-r-.β∣j∕r(*轉于j.

λc0*'*'B.2xcos{xj)-2e^j*

C-2jcoix：r“D.2ΛCOS(XJ)+ej?

設U=7,則需等于()

Λ.HHy

K.ry'

C.y,

26.D?V

27.

設函數/(X)=Hl(Wi),則Iimy(X)=

Λ-lIl

A.0B.-1C.1D.不存在

已知g[∕(ZS)]=工，則∕,(x)=____________.

drX

29.

設z=∕(x,必在點(1.D處有。1,l)=∕/l,1)=0,&/；(1,1)=2,∕?0,1)=0.

1)=1,則/(1,I)

A.A.是極大值B.是極小值C.不是極大值D.不是極小值

設函數/(x)在*=1處可導且廣(1)=2,則IimK包3=().

?u.??OT

A.-2B.-1/2C.l/2D.2

二、填空題(30題)

如果b>0,且廣InXdr=1,R1Jh=.

31.

通?eo,1?12)-

32.

1

d?=

J0?2-41+3

33.

34.

f1+ZX

JEdx=_________

設Iim(I+-)to,=ej?則k=.

35."一n

dr≡

36.

37.

設f(cos2x)=sin%,且/(0)=0,則/(?)等于.

38.

已知P(A)=().6,P(B)=().4,P(BlA)=O.5,則P(A+B)=

不定積分f57?=<k=__________.

39..JG+4

40.

曲線f(z)=2+kT的拐點是.

設/(tJ)=；7^(1會一1)，則八彳)=_______.

41.jt1

42.

廣義積分J[eτ*dx=.

43.設函則盜=f≡

下列做分方程中,其通解為y=C,??x+a.idr的是

44.A..v"y,flI-.=OC.y*+y≡0IL->≡0

45.

若∫J~eadx收斂，則k應滿足的條件是.

“設/"(x)=χ2,g(X)=COSX.則1/(g(x))=---------------------

46.j4

47.

函數/(工)=皿的極大值點是Z=_________.

X

48.

“一1,工V1?

設函數fG)=J,J'=1'則lim/Cr)=

1Ll

工，N>l,

?

A.1B.0C.2D.不存在

rarrtanxl

449cJI---?--+--*-52Γ?αx≡

50.曲線y=(x-l)3-l的拐點坐標是

㈣(I-SinN)'

[了CoSZdΓ?_

52.

設//(sinx)=cos2X,則/(Λ)=.

53.

設區(qū)域D由?=31=h(b>a).y≡所闡成?則區(qū)域D的面枳為

(

A.f[/Q)—<(x)]dzB.|￡[/(x)M<j)]<lr∣

54d'I/(?)—g(?)Id?

55.

若y<n^2)=χarctanx,則yM⑴=.

56設函數/⑴寸二在點I處連續(xù)'則常數"=

57.

函數曲線y=xe-的凸區(qū)間是

59.

設函數f(?)≡Inainx.Mdιy≡?

A?d?K-eoi?d?

sin?

C.eot?d?D.tan?d?

設y'=2x,且X=1時，y=2,則y=

60.

三、計算題(30題)

6］設八幻=Je''dr,求j)∕Q)dr

xisin-,?r≠O.

求函數八力=∣?r的導數.

62.除工=。

設函數Z=/W(M-y'?“).求賓親.

63.

計算口(/?+'—-)CLrdy,其中D為工，+y≤L

64.

求「必

65.JG(1+幻

x≥0.

S∕<χ>求「/(?)d?.

x<0>

66.

r(≥≤^)sirΛr..^η

求極限Iim+χsn

XX

67.

68計算定積分JCoS'∕j?inzd∕.

69.已知X=-I是函數f(x)=ax3+bx2的駐點，且曲線y=f(x)過點(1,5),

求a,b的值.

70.設Z為由方程八工+y,y+z)=O所確定的函數,求偏導數z,.

設函數==e-I+粵"W+”(3'-y).其中/為可導函數,求李.

71.?+yox

72.求微分方程=1，的通解.

設函數t=s(?.v)由方程?*+y,-xyxt=O確定.求學亭.

73.ara>

74.求健分方程y"-2∕—3y-=L的通解?

--求It分方程y"=』，1清足y(0>-2,√(0)-0./(0)=J的特解.

/??

76求不定積分∣[e'+ln(l+r)]<Lr.

77.①求曲線y=x2(x≥0),y=l與x=0所圍成的平面圖形的面積S：

②求①中的平面圖形繞Y軸旋轉一周所得旋轉體的體積Vy.

求IimZ?——'.\

78.e,-If

X≡=all-sin/)?亞d1,

已知參數方程.；

y=a(?-cos/),djdj：

79.

Qn設函數y=N(”)由參數方程I=CO"??-sin/八(刈確定.求學.

OV.ɑ?

設/(?)-?

??0?

81.

82.求現Kn-TTi

設函數八］)=一?∣?,+5求/(外在［-1.2］上的最大值與最小值.

83.?J

求函數y=2∕+3J-12J?+1的單■區(qū)間.

84.

85.已知函數f(x)=-x2+2x.

①求曲線y=f(x)與X軸所圍成的平面圖形面積S；

②求①的平面圖形繞X軸旋轉一周所得旋轉體體積Vx.

3

CIiml1,,J+1)?

86?—L+1

87求Iirn?(e7-!).

o?

求曲線＜‘在點＜1.-2.1)處的切線方程和法平面方程.

88.∣3x+2y+l-0

89.設函數y=χ3+sinx+3,求y'.

求極限Iim/2Q..;-----F(ej-1)cos—\.

90…'?ɑs?n??J-)

四、綜合題(10題)

Cr來函數N=「(，一Dα-2>dr的單in區(qū)間及極值.

91.J。

證明：方程［,由山=、在(0.1)內恰有_實根.

93.討論函數八工)=3J?`的單調性?

n,證明I方程/r?d∕=0在區(qū)間(0?D內有唯一的實根.

94.乙-??

ff/(?)ΛCα.A］上連續(xù),存在E.M網個常數.且稠足α≤4W九證明，恒有

95.mij∣-??)≤/(?i)-/(?i)<M<x,-τ>.

巳知曲線y=αG(α>0)與曲線∣n√7在點(工。.山)處有公切線.試求:

(1)常數a和切點(?r°.y,)1

96.<2)兩曲線與工軸圍成的平面圖形的面積S.

U明［當］>0時.有j1<InL±f<?,

97.??,

求由曲線y=F與直線?r=1.?r=2及y=。圍成平面圖形的面枳S以及該圖形燒

?r軸旋轉一周形成的旋轉體的體積.

平面圖形由拋物線y'=2].與該曲線在點（｝?1）處的法線所圍成.試求，

（1）該平面圖形的面積I

99.（2）讀平面圖形繞?軸旋轉所成的旋轉體的體積.

Inn證明；當工》。時?∣n（l+G2筆詈?

?wlz?

五、解答題（10題）

IOL求函數y-χ3-3χZl的單調區(qū)間，極值及其曲線的凹凸區(qū)間和拐點。

102.求曲線y=x2與直線y=0,x=l所圍成的平面圖形繞X軸旋轉一周

所得旋轉體的體積.

103.證明雙曲線y=l∕x上任一點處的切線與兩坐標軸組成的三角形的

面積為定值。

104.

求由曲線y=2一/與直線y=Mz>0）及y軸圍成的平面繞丈軸旋轉形成的旋

轉體體積匕

105.

設T=n，求證""+g第=°，

?■?、9??，?-一-，

設函數3=1'沏.r.求Jv

106.

107.r<n在區(qū)間JOo,?∞)內足奇函殷,

口當尸1時./(x)有極小值求另?個極值及此曲線的拐點.

108.求由方程siny+xe>=0確定的曲線在點(0,π)處的切線方程。

V?2-?-cue-?-b匚+L

Iim--------------------=5,求a,6.

109.設工7“-1

在曲線y=χ2(χN0)上某點A處作一切線，使之與曲線以及X軸

所圍圖形的面積為工，試求：

12

(1)切點A的坐標.

(2)過切點A的切線方程.

no(3)由上述所圍平面圖形繞X軸旋轉一周所成旋轉體的體積V*.

六、單選題(0題)

設Iim/(x)存在，H∣Jf(x)在劭處

111.*→?

士士占\、，「占工』\、,有定義且/(X。)=hm/(X)

a.—*定有定義b.-?定無定義C."fd.可以有定義,

也可以無定義

參考答案

1.D

因為F（X）=InX+1,所以f"（x）=l∕x（,

2.A

li?n1-⑴=Iim婦二空）一⑴.（-D

?XTO??AXTO—?X

2（

=r（i）-（-i）=（3^）|x=1?-D=-3

3.D

4.x=-2

5.A

6.A

7.C

【解析）此時的/（*）=-，<0,所以曲邊梯形的面積S=1九）叫或§=。/（工）1也.

因為S=II/（x）IdZ=（=-∣^χ,=J,所以選C

JAJo3I03

8.D

9.B

10.D

2

因為/Yx)=2x-彳，使/Yx)>0的區(qū)間是x>l,

X

所以函數的單調增加區(qū)間為G+8).

【提示】宜接求出?'=；?』，當XTO時,yJ+8,故選D.

11.D3"

12.C

先求出f'(x),再將χ=l代入.

w?∕,(>)≡?,∣w∕,(n-1選C

I“

13.16/15

14.D

∫?ln(l+2∕)dz

洛必達法則，.χln（l+2x）等階代換.Ix22

Iim■IimI1im—Z-=一----------

x→0X3x→0X→03X23

15.A此題暫無解析

16.D

［解析］因為XIn（I+，）是奇函數

2

所以∫.'l[2+X?n(1+X)]dx=2∫θ2dx=4

17.A

18.C

19.D

答應選D.

分析絕對值求導的關犍是去絕對值符號.然后根據分段函數求導數?

2.τ-1.。彳.

因為

1

1-2x,x<~2'

/C）=31升2.

所以

因為《（；）8/.'（；）.所以在*=4_處的導數不存在,故選D?

20.D

2-JGx≤2

因為/(x)=∣x-2∣=<

X-2?X>2.

x≤2

x>2.

八2)=Iim∕,(x)=Iim(-D=-I.

*→J^*→2^

∕*(2)=Iim∕,(x)=Iim1=I.

*→j*Ir

r(2)≠∕r<2>.

所以f(2)不存在.選D.

Cf'(2x)dx=^Cf?(2x)d(2x)=:∕(2x)=^[∕(2)-/(O)I

2LC解析：力2%2O2

22.C

23.y=(x+C)cosx

24.D

答應選D?

分析本題號杳的知識點是更合函數的求導公式?

根據復合函數求導公式.可知D正確?

需要注意的是：選項\錯誤的原因是/是X的熨合函數,所以必須通過對中間變量求導后才

?時*求導.

25.B

答應選B.

提示本題主要考杳復合函數的求導計算.

求合函數導數的關鍵是?理清其it合過程：第一項是Sinu.u=x：;第二項是e..a=-2x.f

用求導公式即知選項B是正確的.

26.D

27.D解析

先去函數的絕對值，使之成為分段函數；然后，運用函數在一點處極

限存在的充分必要條件進行判定.

由/(幻=匕!=<-1x<1

1x>1

因為Iim/(x)=lim(-l)=-l

J?！T「

Iim/(x)=Iim1=1

x→l*x→l+

Iimf(x)≠Iim/(x)

XTl-XTI，

所以lim∕(x)不存在.

28.1∕3x

29.B

根據極值的充分條件：B2-AC=-2,A=2>0所以f(l,1)為極小值，選

B0

30.A此題暫無解析

31.e

Ir

32.

33.-l∕21n3

‘?T-∏dj=f'Γ-1)1(υdj=7f2(A^A)dj=Iln?

o?-4J+3JO(?-l)(?-3)2Jo'?-3?-P2?-1

=--∣?ln3.

34.

2√x+√+C

l+2x

dx7==^?d(x+K?)=2Jx+x"+C

Λ+X2J√Λ+Λ2

35.-(3/2)

36.

arcsinx-√l-x2+C

1,1?

r——rkβ7----—r*^

37.22

0.7

［解析］因為P(A+B)=P(A)+P(B)-P(AB)

=P(A)+P(B)-P(A)P(MA)

38=θ?6+0.4~0.6X0.5=0.7

39.

【答案】應填J(X'+4)?C?

湊微分后用積分公式計算即可.

?-,f----dx-4^f4(/+4)=y(x5+4)t+C.

JJxi+43J√x+42

40.(42)

41.

1

(2-χ)j

42.1/2

43.6x2y

44.C

45.k<0

/e%x=;『∕d(反)(W))

tζ

=lc∣^=?-l)(當左H0時)

kk

1

~k

46.

［解析)因為f<g(x)):/(CoSr)=(co&x)j.

所以-—(?(g(X)))=［(cosx)2］,=2cosx?(cosxf

dx

=-2cosXSinX=-sin2x.

47.e

48.D

49.

【答案】應填;(arctanx)'+C.

用湊微分法積分可得答案.

F1*■-la---d?=FarctanXd(arctanx)=—(arctan*)^+C.

J?+xJ2

50.(1-1)

-JT

51/e

52.0

［解析］因為∕z(si∏x)=cos2%=1-sin2X

設r=sinX則/'(1)=1-/

即f,(χ)=l-χ2

于是/(x)=?f?x}dx=∫(l-x2)(k=x-^x3+C

53.

54.D

55.1/2

l

yS-ι'=(XarCtanx)'=arctanx+—-5-

1+x

Zx*11÷X2-2√2

嚴=(arctan+----=-------τ

l+x2l+x2(l+χ2)2(l+x2)2

所以嚴

56.1

57.(-∞2)

(-∞,2)

x

因為yn=(2-x)e<0?得x<2,即(一8,2)

58.2

59.C

X2+1

［解析］由y=Jy'dx=12xdx=χ2+0

又由初值條件，有y(l)=l+C=2

60.得C=IHLy=X2+1

61.

因為/C)=∫'e''d∕.于是

∫>∕(x)dx=∫∕(χ)d(lχ>).?(?).??*?∣^-r1?e,'?2x<Lr

=?c,?(-X1)dj?=-?-eI=：(cI-］).

因為/(?)=J：e-''d∕.于是

JVSCLr=∫7(x)d(l√)-∕(x).∣x>-∫'#.門.2也

≡Jcr?(—?1)d?=?eJ≡=:(e1一1)?

62.

當工會0時./⑺=√sin-^是初等函數.可直接求導.即

f(?)=(j2sin?)7

=2xsin?+X1cos-?-(-----ζ?)

?XX1

.11

=9Zxsin------cos—?

?Jr

當ar=O時,

/(O)=Iim八二一/(。)=Hm---------=Iinvrsin?=0.

1-0??r-*0XJ-??X

當J?≠O時./⑺=√siny是初等函數,可直接求導.即

f(Jr)=(JJSin—Y

=2j?sin-?-÷?2cos-?-(----ζ?)

XJT?*

O.11

=Ztsin------cos—?

??

當工=O時?

/(O)=Iim.])一八°)=Iim"Smj^=Iinrrsin?=0.

上一。?<r→0?Λ-?0?

親=2xyf(xl-yIR)+???r//?2x+x,y∕/?y

oxI

=2jryfixl—y'?/y)+jr,y(2x∕/+?//).

t

生=??/(JΓ,一yt??r)+/”!’?(一2>)工

?y

63=?r"(∕一丁卜?r,(?r∕/2>∕∕>.

ll,

.=Zxyf(x-y?JT>)+xy∕/?2J+??y∕/?>

ɑ?

,

=2x>∕(√-/.jy)+√y(2x∕l+?∕/).

手=xtf{X1—yt.?v)+j?,y∕/?(―2>)-?-xtyf'?Jr

θyj

:1,

=x/(??—√,j-y)÷xy{χft'-2y∕∣).

64.

根據積分區(qū)域與被積函數的特點,該二重積分用極坐標計算比用直角坐標計

算簡便.

枳分區(qū)域/)由M+yτ≤1化為r≤1?0≤8≤2A,故

(√jr÷jr—τy)clrd>r(r-r?eosesine)rdrdθ

=jde?3——CoMsinZ?)”

=P[：-—cosβsintfI]此

=—??sinΛisin?

πain

?^?^l?7π?

根據枳分區(qū)域與被積函數的特點?該二重積分用極坐標計算比用直角坐標計

算簡便.

積分區(qū)域Q由/+V≤1化為，≤l.0≤8≤2n?故

jj(y∕τ`÷y2—xy)<Lrdv=J<r—r?eosesine)rdrdd

=?MJ(ri-rjcos^sin￠)dr

=P[y-ycos^sintf∣Jd0

=--?-?siπ?dsin0

=?n-[?ein?tf]∣,"=yπ.

?3oIOw

65.

令石=，，則I=J?d?=2rd∕,故

f-=f——旦——d'=2jd'=2arctan/÷C=2arctan?/?÷C.

J√7(i+x)JMI+Q"ZJ1+?

令G=，，則1=r.dα=2fd∕?故

=2arctanZ+C=2arctanG+C.

原式,j,i?業(yè)+f昂尸公

≡ln(l+^>∣*ι÷∫*π?dx

.I

=In2-ln(1+c1)÷I「尸工”

Jo1÷4J

=ln2—ln(?+e,)+?aretanz?|

ln2-ln(I+c-1)+i.

66.O

隙式=∫?r?業(yè)+CR?業(yè)

=ln(?+ej)I+「r??-jd?

≡In2-ln(l÷e,)+..?-^d?

JC1÷4ι

=In2-ln(?÷e1)÷yarctan2τ|

?ln2-ln(I+c-,)+-≡-.

O

67.

由于當Hfo時,d是無窮小量，且卜in∕∣≤1,故可知Iiry?in∕=0.

當JrfO時.1—e~,j,?3τ2,故

(1-e-v，)sin2x∣.??2?sin??.3sin2j

rhm----------；------------Iim-------：=lIim=—=3o.

,一。?r-*V?∕→4)JC

所以網=e)in??+3in4]=3.

由于當?r?*0時,K是無窮小量，且卜in5I≤1.故可知IiTdSin.=0.

當?r-0時.1-e-J?3/.故

I-(1—e^,r)sin2j..??2?s?n??∣.3sinzj_

Iim--------------------=Iim-------：------=Iim——≡-=3.

，一。Xr→0X,一0X*,

設U=coz*.則du=—SifLrdT■當J?！?O時U=Ii當HUm■時?u=0

設U=cow.則du=—sin?d??當Jr=SO時U=11當工"?￡?時?u=0

?原式=-1u'du=-j∣"-?.

69.Γ(x)=3ax2+2bx,Γ(-l)=3a-2b=0,再由f(l)=5得a+b=5,聯立解得

a=2,b=3.

∕1(j?+y?y+:)

由隱函數求導公式知

70.ft(x+y.y÷τ)

/[(■r+y.y+:)

由隱函數求與公式知",

ft(x+y.y÷≡>

令qHc"T血="⑹一?

=e…÷(一3)?

次.!wc,(?τy)y3+y')-2?rtan(j^y)

左(√÷√>,'

女>

y?3,ln3?∕*(3,->).

dr

??z

??孕+孕+?,

e?drdrHr

y(jr'+y')sec"<ry)一2?Ttan<*y)

ι+y?3Jn2?/(3"-y).

(√+/),

；爭二，---3)?:上

次:=scc'(jηy+y、)-21um(jy)

aΓ=(x,+y,)*

竽=y?3jln3?/(3"?)?

OJT

??__?∣,?z?z,

-a7~a7+?l+a7

+y')sec"j?y)—2□rtan(內)

j+y?3'ln2?f(3,-y).

(??÷√)j

所給方程是可分離變陸方程,先將方程分離變量，得

兩邊積分

可得

4->2=--l-?*+lnI?1+?nICI,

即-?-(?2÷y)=InICrI.

從而可得√+y2=In(Cr)2

72.為原方程的通解，其中C為不等于零的任意常數.

所給方程是可分離變中方程,先將方程分離變量,得

1_?i.

Iydy=---cLr,

兩邊積分

Jlydy=??-?-dj?

可得

另2=-??1+InI?1+?nICI.

2

即-?-(?÷√)=?n!OI.

C?

從而可得xi+y2=In(Cr)2

為原方.程的通解.其中C為不等于零的任意常數.

設F(∕.y.z)=?2+y'—Jryz1,則

ttl

Ft=2.T—y∑.Fτ=3y—xz.F1=-2τyz.

?zF,2x—yz2?zF,3——Z

-

73.W-E=Fv怎=F=Ixyz-

設F(?r,y,z)=?2÷y,—xyzl,則

1lz

F,=2.r-yz,Fτ=3y—j?z.F,=—2τyz.

?z.T=?f1?T=?ξ1?

?x

74.

與原方程對應的齊次線性方程為

，-2y-3>=0.

特征方程為r,-2r-3≡0?

故

3.

于是

y=Ger+Ge”

為齊次線性方程的通解.

而e'中的A=一】為單一特征根.故可設

y,=XAer

為

y*-2y-3y=e^,

的一個特解，于是有

,

3)'=Aer-Arer.3)?=-Ae?-Λe^+Are*,

知

Are,—2Ae'j—2(Aer—Are',)—3Are-*He^,.

即

-4A「=尸,

于是由-4A=】.知A=—?-,

所以

y'=—?e_,

為

yr—Zy-3y=e->

的一個待解,因此原方程的通解為

y=Ge'+J"一千e'(GC為任意常數).

與原方程對應的齊次線性方程為

y9—2y-3y=0.

特SE方程為rl-2r-3=0.

故

3.

于是

y=Ger+Ge”

為齊次線性方程的通解.

而e'中的人—1為單一特征根,故SI設

y'=xAfΓ*

為

y,-2y-3y≈t~*

的一個特解,于是有

(y?)'=Aer-Are-?3)"≈-Aer-Ae-t+Are,,

知

Are'—2Ae~t—2(Ae^,—Are'*)-3Are-*He^*?

即

-4Ae"=e-',

于是由-4A=1.知A=—?,

所以

y'=--j-e^,

為

>*—Zy-3>=『

的一個特解,因此原方程的通解為

y=Ge'+J"一千e'(Ge為任意常數).

75.

該題屬于=/(?)型的微分方程,可通過連續(xù)積分求得通解?

對∕=r+l兩邊積分.得/=}∕+α?+G.將初始條件y"(0)≡1代人.得G

1.即

y,--?-?,+X+1.

兩邊再積分.得，=*/+}?r'+τ+α.將y'(0)=0代人?得Cl-O.EP

y="/+y-r*+?.

兩邊再積分?得y=拉'+春/+獷+C,.將y(0)=2代人.得C,≡2.

故所求特解為

該題屬于=/(?)型的微分方程?可通過連續(xù)枳分求得通解?

對/=1+1兩邊積分.得y"H}?r'+?r+G.將初始條件：Λθ)≡1代人，得G=

1.UP

y,--?-?*+?Γ+I.

兩邊再積分?得y'=+[F+?r+G,將y'(O)=。代人?得G=0.即

DL

兩邊再積分?得y.??<+1/+-∣?J2+Cj?將y(0)=2代人?得C?≡2.

故所求特解為

，=#+>+獷+2.

?[?2'+In(I+x)J<Lr=y?Jel,d(2j)+??n(l+1)dx

≡-l-e2j+?ln(1+?)—Γ--γ—d?

=Je"十?ln(1+?)-j[l-τ-7—JeLr

4J1+?

=4"屋’+??n(1÷?)—?r+?n(14.τ)+C.

76.

f[e'÷ln(l+?)jd?=??e?'d(2x)+ln(1+”)CLr

=÷?ln(1+?)-fτ-γ--d?

/J1+JT

=?ye2j+工ln(1+/)—j[l—?-?^jd?

=?en+?ln(1+?)—X+ln(1÷?)+C.

77.①由已知條件畫出平面圖形如圖陰影所示

s≡∫?ι-√)<k≡(*4)∣*?

②旋轉體的體積

亞

黑

-

農a§inl_Kinf

業(yè)ɑ(1—cos/)1-cos/

〔1d7

S-CO

?

±

-asinl=sin，

業(yè)

一α(1—cos/)1—cost

山

co”?(1—CoSQ-sin?Z.1

(1-cos/)2d?

di

cos/-1.1

(1—COSf)24(1—cosr)

——1■1,-=——1rsr1—/

a(1—cos/)jAa2'

上