直線(xiàn)與橢圓的夾角關(guān)系練習(xí)題_第1頁(yè)
直線(xiàn)與橢圓的夾角關(guān)系練習(xí)題_第2頁(yè)
直線(xiàn)與橢圓的夾角關(guān)系練習(xí)題_第3頁(yè)
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直線(xiàn)與橢圓的夾角關(guān)系練習(xí)題題目描述在$x$軸正半軸上給定兩點(diǎn)$A(a,0)$，$B(b,0)$，設(shè)$\angleBOA=\theta$，橢圓$E:\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}=1$。直線(xiàn)$l$經(jīng)過(guò)點(diǎn)$B$，與$OA$夾角為$\alpha$，交橢圓于$C$，過(guò)點(diǎn)$C$的切線(xiàn)交直線(xiàn)$OA$于點(diǎn)$D$。證明：(1)直線(xiàn)$l$在橢圓$E$上的切線(xiàn)$CD$與$y$軸平行。(2)$\tan\alpha=\dfrac{a}\tan(\theta-\alpha)$。解答(1)過(guò)點(diǎn)$C$的橢圓$E$的切線(xiàn)$CD$的斜率為$-\frac{a^2}{b^2}\frac{x}{y}$。設(shè)$CD$與$y$軸的交點(diǎn)為$(0,k)$，則$k=\frac{b^2}{a}$。因此直線(xiàn)$CD$與$y$軸平行。(2)過(guò)$A$且與直線(xiàn)$l$平行的直線(xiàn)交$BO$于點(diǎn)$F$，則$\angleAOF=\alpha$。因?yàn)橹本€(xiàn)$l$與橢圓$E$的切線(xiàn)$CD$平行，所以$\angleOCB=\angleAOC=\angleACD$。因此$$\begin{aligned}\tan(\alpha-\theta)&=\frac{FB}{BO}=\frac{FA+AB}{BO}=\frac{a\tan\alpha+b}{a+b\frac{\sqrt{1-\frac{a^2}{b^2}}}{\sqrt{1-\frac{x^2}{b^2}}}}\\&=\frac{a\tan\alpha+b}{a\sqrt{1-\frac{a^2}{b^2}}+bx}\\&=\frac{a\tan\alpha+b}{\sqrt{b^2-a^2}+b\tan\angleOCB}\\&=\frac{a}\tan(\theta-\alpha)。\end{aligned}$$因此$\tan\alpha=\df

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