高中數(shù)學(xué)北師大版必修2第一章7.1簡(jiǎn)單幾何體的側(cè)面積作業(yè)-1

[學(xué)業(yè)水平訓(xùn)練]eq\a\vs4\al(1.)圓錐的底面直徑為6，高是4，則它的側(cè)面積為()A．12π B．24πC．15π D．30π解析：選C.作圓錐截面如圖，高AD＝4，底面半徑CD＝3，則母線AC＝5，得S側(cè)＝π×3×5＝15π.eq\a\vs4\al(2.)已知圓錐的側(cè)面展開圖為半圓，半圓的面積為S，則圓錐的底面面積是()A．2S B.eq\f(S,2)C.eq\r(2)S D.eq\f(\r(2),2)S解析：選B.設(shè)圓錐的母線長(zhǎng)為l，則側(cè)面展開圖半圓的半徑R＝l.∴S＝eq\f(1,2)πR2＝eq\f(1,2)πl(wèi)2，∴l(xiāng)＝eq\r(\f(2S,π))，∴圓錐的底面周長(zhǎng)C＝πR＝πl(wèi)＝eq\r(2πS)，∴圓錐的底面半徑r＝eq\f(C,2π)＝eq\f(\r(2πS),2π)＝eq\r(\f(S,2π))，∴圓錐的底面積為S′＝πr2＝eq\f(S,2)，故選B.eq\a\vs4\al(3.)若一個(gè)底面是正三角形的三棱柱的主視圖如圖所示，則其側(cè)面積等于()A．6 B．2eq\r(3)C.eq\r(3) D．2解析：選A.由主視圖可知底面邊長(zhǎng)為2，高為1，因?yàn)槿庵酌鏋榈冗吶切?，所以其?cè)面積S＝6×1＝6.eq\a\vs4\al(4.)正三棱錐的底面邊長(zhǎng)為a，高為eq\f(\r(6),6)a，則三棱錐的側(cè)面積等于()A.eq\f(3,4)a2 B.eq\f(3,2)a2C.eq\f(3\r(3),4)a2 D.eq\f(3\r(3),2)a2解析：選A.如圖所示，VO＝eq\f(\r(6),6)a，OA＝eq\f(a,2)·eq\f(\r(3),3)＝eq\f(\r(3),6)a，∴VA＝eq\f(1,2)a，∴S側(cè)＝eq\f(1,2)·3a·eq\f(1,2)a＝eq\f(3,4)a2，故選A.eq\a\vs4\al(5.)如圖所示，有一個(gè)圓柱，在圓柱下底面的點(diǎn)A處有一只螞蟻，它想吃到上底面的點(diǎn)B處的食物．當(dāng)圓柱的高等于12cm，底面半徑為3cm時(shí)，螞蟻沿圓柱表面爬行的最短路程是()A．12cmB.eq\r(15π)cmC.eq\r(144＋9π2)cmD．18cm解析：選C.如圖所示，在圓柱的側(cè)面展開圖中，BC的長(zhǎng)為底面圓周長(zhǎng)的一半，即BC＝eq\f(1,2)×2π×3＝3π，螞蟻所走路程為AB＝eq\r(122＋（3π）2)＝eq\r(144＋9π2)cm.所以螞蟻沿圓柱表面爬行的最短路程是eq\r(144＋9π2)cm.6．一個(gè)圓柱的底面面積是S，側(cè)面展開圖是正方形，那么該圓柱的側(cè)面積為________．解析：設(shè)圓柱的底面半徑為r，則πr2＝S，r2＝eq\f(S,π).又因?yàn)閭?cè)面展開圖是正方形，故S側(cè)＝2πr·2πr＝4π2r2＝4π2·eq\f(S,π)＝4πS.答案：4πSeq\a\vs4\al(7.)若圓臺(tái)的上、下底面半徑和母線長(zhǎng)的比為1∶4∶5，高為8，則其側(cè)面積為__________．解析：不妨設(shè)上、下底面半徑和母線長(zhǎng)分別為k、4k、5k(k>0)，高為8，如圖：則母線l＝eq\r(（4k－k）2＋64)＝eq\r(9k2＋64)，可得：eq\r(9k2＋64)＝5k，解得k＝2，∴上、下底面半徑r1＝2、r2＝8，母線長(zhǎng)l＝10，因此S圓臺(tái)側(cè)＝π(r1＋r2)l＝π×10×10＝100π.答案：100πeq\a\vs4\al(8.)如圖所示，一圓柱內(nèi)挖去一個(gè)圓錐，圓錐的頂點(diǎn)是圓柱底面的圓心，圓錐的底面是圓柱的另一個(gè)底面．圓柱的母線長(zhǎng)為6，底面半徑為2，則該組合體的表面積等于________．解析：由已知得圓錐的母線：l＝eq\r(62＋22)＝eq\r(40)＝2eq\r(10).該組合體的表面積S＝π×4＋2π×2×6＋π×2×2eq\r(10)＝4π＋24π＋4eq\r(10)π＝(28＋4eq\r(10))π.答案：(28＋4eq\r(10))πeq\a\vs4\al(9.)一個(gè)直角梯形的兩底長(zhǎng)為2和5，高為4，將其繞較長(zhǎng)的底旋轉(zhuǎn)一周，求所得旋轉(zhuǎn)體的表面積．解：如圖所示，梯形ABCD中，AD＝2，AB＝4，BC＝5.作DM⊥BC，垂足為點(diǎn)M，則DM＝4，MC＝5－2＝3，在Rt△CMD中，由勾股定理得CD＝eq\r(32＋42)＝5.在旋轉(zhuǎn)生成的旋轉(zhuǎn)體中，AB形成一個(gè)圓面，AD形成一個(gè)圓柱的側(cè)面，CD形成一個(gè)圓錐的側(cè)面，設(shè)其面積分別為S1，S2，S3，則S1＝π·42＝16π，S2＝2π·4·2＝16π，S3＝π·4·5＝20π，故此旋轉(zhuǎn)體的表面積為S＝S1＋S2＋S3＝52π.eq\a\vs4\al(10.)直四棱柱的底面為菱形，過(guò)不相鄰兩條側(cè)棱的截面面積分別為Q1、Q2，求它的側(cè)面積．解：設(shè)直四棱柱的底面邊長(zhǎng)為a，側(cè)棱長(zhǎng)為l，如圖，S側(cè)＝4al.∵過(guò)AA1、C1C與過(guò)B1B、D1D的截面都為矩形，設(shè)eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(Q1＝AC·l，,Q2＝BD·l，))即AC＝eq\f(Q1,l)，BD＝eq\f(Q2,l).又∵AC⊥BD，∴(eq\f(AC,2))2＋(eq\f(BD,2))2＝a2，即(eq\f(Q1,2l))2＋(eq\f(Q2,2l))2＝a2.∴4a2l2＝Qeq\o\al(2,1)＋Qeq\o\al(2,2)，∴2al＝eq\r(Qeq\o\al(2,1)＋Qeq\o\al(2,2)).∴S側(cè)＝4al＝2eq\r(Qeq\o\al(2,1)＋Qeq\o\al(2,2)).[高考水平訓(xùn)練]eq\a\vs4\al(1.)在正方體ABCD-A1B1C1D1中，三棱錐D1-AB1C的表面積與正方體的表面積的比為()A.eq\r(3) B.eq\f(\r(3),3)C.eq\f(\r(2),3) D.eq\f(\r(3),2)解析：選B.設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為a，則正方體的表面積為6a2.三棱錐D1-AB1C是棱長(zhǎng)為eq\r(2)a的正四面體．SD1-AB1C表＝4×eq\f(\r(3),4)×(eq\r(2)a)2＝2eq\r(3)a2，所以eq\f(SD1-AB1C表,S正方體表)＝eq\f(2\r(3)a2,6a2)＝eq\f(\r(3),3).eq\a\vs4\al(2.)一個(gè)正四棱臺(tái)上、下兩底面邊長(zhǎng)分別為m、n，側(cè)面積等于兩個(gè)底面面積之和，則這個(gè)棱臺(tái)的高為________．解析：如圖，設(shè)O1、O分別為棱臺(tái)上、下底面中心，M1、M分別為B1C1、BC的中點(diǎn)，連接O1O、M1M、O1M1、OM，則M1M為斜高．過(guò)M1作M1H⊥OM于H點(diǎn)，則M1H＝OO1，S側(cè)＝4×eq\f(1,2)(m＋n)·M1M，S上底＋S下底＝m2＋n2.由已知得2(m＋n)M1M＝m2＋n2，∴M1M＝eq\f(m2＋n2,2（m＋n）).在Rt△M1HM中，MH＝OM－O1M1＝eq\f(1,2)(n－m)，∴M1H＝O1O＝eq\r(M1M2－MH2)＝eq\r(\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(m2＋n2,2（m＋n）)))\s\up12(2)－\f(1,4)（m－n）2)＝eq\f(mn,m＋n).答案：eq\f(mn,m＋n)3．圓臺(tái)的母線長(zhǎng)為2a，母線所在直線與軸所在直線的夾角為30°，一個(gè)底面的半徑是另一個(gè)底面半徑的2倍．求兩底面的半徑與兩底面面積之和．解：不妨設(shè)圓臺(tái)上底面半徑為r，下底面半徑為2r，如圖作出圓臺(tái)的軸截面，并延長(zhǎng)母線交于S，∠ASO＝30°.在Rt△SA′O′中，eq\f(r,SA′)＝sin30°，則SA′＝2r.在Rt△SAO中，eq\f(2r,SA)＝sin30°，則SA＝4r，有SA－SA′＝AA′，即4r－2r＝2a，r＝a，所以兩底面面積之和為S1＋S2＝πr2＋π(2r)2＝5πr2＝5πa2.綜上，圓臺(tái)兩底面半徑分別為a，2a，兩底面面積之和為5πa2.eq\a\vs4\al(4.)正四棱臺(tái)的兩底面邊長(zhǎng)分別是a和b(a<b)．(1)若側(cè)棱所在直線與上、下底面正方形中心的連線所成的角為45°，求棱臺(tái)的側(cè)面積；(2)若正四棱臺(tái)的側(cè)面積等于兩底面積之和，求它的高．解：(1)如圖所示，設(shè)O′，O分別為上、下底面的中心，過(guò)C1作C1E⊥AC于E，過(guò)E作EF⊥BC于F，連接C1F，則C1F為正四棱臺(tái)的斜高．由題意知，∠EC1C＝45°，CE＝CO－EO＝CO－C1O′＝eq\f(\r(2),2)(b－a)．在Rt△C1CE中，C1E＝CE＝eq\f(\r(2),2)(b－a)，又EF＝CE·sin45°＝eq\f(1,2)(b－a)，所以C1F＝eq\r(C1E2＋EF2)＝eq\f(\r(3),2)(b－a)，所以S側(cè)＝eq\f(1,2)(4a＋4b)×eq\f(\r(3)