2022-2023學(xué)年湖南省長沙市天心區(qū)長郡中學(xué)高二（上）入學(xué)數(shù)學(xué)試卷

2022-2023學(xué)年湖南省長沙市天心區(qū)長郡中學(xué)高二（上）入學(xué)數(shù)

學(xué)試卷

一、選擇題（本大題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有

一項是符合題目要求的）

1.（5分）己知i是虛數(shù)單位，復(fù)數(shù)Z=（X2-4）+（Λ+2）i是純虛數(shù)，則實數(shù)X的值為（〉

A.2B.-2C.±2D.4

2.（5分）若α>6>0,則下列不等式成立的是（）

A.a>b>--?->7αbB.a>—?->7ab>b

C.a>-?-■>b>7abD.”>-"≥7ab>b

3.（5分）平面四邊形48。。中成+3=O,{AB-AD）-AC=0,則四邊形ABa）是（）

A.矩形B.菱形C.正方形D.梯形

4.（5分）《九章算術(shù)》是中國古代人民智慧的結(jié)晶，其卷五“商功”中有如下描述：”今有

圓亭，下周三丈，上周二丈，高一丈”，譯文為“有一個圓臺形狀的建筑物，下底面周長

為三丈，上底面周長為二丈，高為一丈”，則該圓臺的側(cè)面積（單位：平方丈）為（）

5√l+π25√l+4π25√l+τr25√l+4π2

A.-----------B.-------------C.-----------D.-------------

4π4π2π2π

5.（5分）已知α"是兩條不重合直線，α,β是兩個不重合平面，則下列說法正確的是（）

A.若a〃b,b∕∕a,則a〃aB.若&_1_0,a∕∕a,則a_LB

C.若a_L0,?0a,a±β,則q〃aD.若6_1_0（,a∕∕b,β±a,貝!]a"β

6.（5分）在BC中，角4,B,C所對的邊分別為a,b,c,若a-c=ftcosC-灰:osA,

則AABC的形狀為（）

A.等腰三角形

B.直角三角形

C.等腰三角形或直角三角形

D.等腰直角三角形

Q—Q）2,?≤Q

1一，若/（0）是/（X）的最小值，則。的取值范圍是

IXH--X---1-a,x>0

)

A.[-1,2]B.[-1,0]C.[1,2]D.[0,2]

8.（5分）蹴鞠（如圖所示），又名蹴球，蹴圓，筑球，踢圓等，蹴有用腳蹴、踢、蹋的含

義，鞠最早系外包皮革、內(nèi)實米糠的球因而蹴鞠就是指古人以腳蹴、蹋、踢皮球的活動，

類似于今日的足球.2006年5月20日，蹴鞠作為非物質(zhì)文化遺產(chǎn)經(jīng)國務(wù)院批準已列入第

一批國家非物質(zhì)文化遺產(chǎn)名錄.已知某鞠（球的表面上有四個點A,B,C,P,且球心O

在PC上，AC=BC=4,AC.LBC,tan/PAB=tan/PBA=學(xué),則該鞠（球）的表面

積為（）

A.9πB.18πC.36πD.64π

二、選擇題（本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項中，有多項符合

題目要求，全部選對的得5分，有選錯的得0分，部分選對的得2分）

（多選）9.（5分）下列選項中，與sin30°的值相等的有（）

A.1-2COS275O

B.sin135ocosl5σ-cos45ocos75o

cos35o√l-sm20o

C.---------------

√f2cos20o

D.ta∏20o+tan250÷ta∏20ota∏250

（多選）10.（5分）某同學(xué)在研究函數(shù)/（x）=τ?p（XeR）時，分別得出下面幾個結(jié)論，

?'l?l

其中正確的結(jié)論是（）

A.等式/（-χ）+f（Λ）=0在XeR時恒成立

B.函數(shù)/（x）的值域為（-1,1）

C.若X1≠X2,則一定有/（xι）≠f（X2~）

D.方程f（x）-X=O在R上有三個根

→T

（多選）11.（5分）已知Q=（2cosωχfsinωx'）,b=（-V3cosωx,2cosωx）fω>0,/（x）=

→→TT

α?b+√3,且/Xx）的圖象的對稱中心與對稱軸的最小距離為二，則下列說法正確的是

4

（）

A.ω=l

B./（x）的圖象關(guān)于直線x=-今對稱

Tl

C.把/（x）圖象向左平移不單位，所得圖象關(guān)于），軸對稱

D.保持f（X）圖象上每一點的縱坐標不變，橫坐標變?yōu)樵瓉淼?倍，然后把圖象向左平

移孑個單位，得到函數(shù)y=2sinx的圖象

（多選）12.（5分）已知正方體ABC。-AIBICIDI的棱長為1,如圖，點F,G,M分別為

CC∣,BB?,8∣C∣的中點，則下列說法正確的是（）

A.平面A。IF〃平面AlMG

B.直線ADi與直線AlG所成角的余弦值為絲

10

9

C.平面AFD］截正方體ABCD-A?B?C?D?所得截面的面積為百

D.點Ci與點G到平面AFDi的距離相等

三、填空題（本題共4小題，每小題5分，共20分）

13.（5分）歐拉公式/=COSX+ishu?（i為虛數(shù)單位）是由瑞士著名數(shù)學(xué)家歐拉提出的，它

將指數(shù)函數(shù)的定義域擴大到復(fù)數(shù)集，則復(fù)數(shù)華的共輸復(fù)數(shù)為.

e4l

14.（5分）已知SinG+α）=4，則COs。-2α）=.

15.（5分）己知函數(shù)y=3la∏3x+l在,E）內(nèi)是減函數(shù)，則ω的取值范圍

是.

16.（5分）已知三角形的三邊長，其面積是固定的，而已知平面凸四邊形的四邊長，其面

積是不確定的.現(xiàn)有一平面凸四邊形ABCD,AB=3,BC=4,CD=5,D4=6,則其面

積最大值為.

四、解答題（本題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟.）

17.（10分）如圖所示，三棱柱4BCTι8ιCι中，CA=a,CB=b,CC1=c,C4=CB=

CCi=L（a,b）=（a,c）=?,（b,c）=≡,N是AB中點.

(1)用α,b,C表示向量4N；

(2)在線段ClBl上是否存在點M,使薪1A；N?若存在，求出M的位置，若不存在,

說明理由.

18.(12分)已知函數(shù)/(x)=3一*,函數(shù)g(x)的圖像與f(x)的圖像關(guān)于y=x對稱.

(1)求g(9)的值;

(2)若函數(shù)y=∕(x)-3Ir在Xe［-2,1］上有且僅有一個零點，求實數(shù)Z的取值范圍;

(3)是否存在實數(shù)使得函數(shù)y=4-m一%字二?。>0)在［”,句上的值域為［24,

2b］,若存在，求出實數(shù)〃?的取值范圍；若不存在，說明理由.

.一TT一.

19.(12分)如圖所示，已知QoE是半徑為遮，中心角為§的扇形，P為弧踮上一動點,

四邊形PQΛ∕N是矩形，ZPOD=x(0<x<J).

(1)求矩形PQWN的面積/(x)的最大值及取得最大值時的X值；

(2)在AABC中，/(C)=空，c=2,其面積SAABC=2我，求AABC的周長.

20.(12分)如圖所示，四棱錐PTBCZ)中，底面ABC。為矩形，以_1_平面4BCO,PA=

AB=2,Ao=√Σ,點E是P6的中點.

(1)證明：AELPC-,

(2)求二面角CTE-D的大小.

)TT3TC_>T

21.(12分)向量Q=(2,2),向量b與向量Q的夾角為一，且α?b=-2,

4

(I)求向量b;

-'T-'―>(~,

(2)若t=(1,0),且6_13c=(cosA,2cos2^,其中A,B,C是aABC的內(nèi)角，

且B=*試求值+占的取值范圍.

22.(12分)如圖①所示，長方形ABCO中，AO=1,AB=2,點例是邊CO的中點，將4

AQM沿AM翻折到△/?M,連結(jié)P8,PC,得到圖②的四棱錐P-ABCM.

(1)求四棱錐P-ABCM的體積的最大值;

(2)若棱PB的中點為M求CN的長；

⑶設(shè)尸-AM-。的大小為0,若0∈(0,另，求平面∕?M和平面尸8C夾角余弦值的

最小值.

2022-2023學(xué)年湖南省長沙市天心區(qū)長郡中學(xué)高二（上）入學(xué)數(shù)

學(xué)試卷

參考答案與試題解析

一、選擇題（本大題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有

一項是符合題目要求的）

1.（5分）已知i是虛數(shù)單位，復(fù)數(shù)2=（/-4）+（》+2*是純虛數(shù)，則實數(shù)X的值為（）

A.2B.-2C.+2D.4

【解答】解：W是虛數(shù)單位，復(fù)數(shù)Z=（Λ2-4）+（x+2）i是純虛數(shù)，

.Cx2-4=0.?

??i_?,??Λ乙、

（%÷2≠0

故選：A.

2.（5分）若。>〃>0,則下列不等式成立的是（）

A.a>b>?~?->7abB.。>'>y∕ab>b

C.>babD.Cl>—7ab>b

【解答］解：a>b>0f可得20>"6,可得竽，

并且a>b>0f可得2>y∕~abf

ab>b2.'.>Iab>b,

可得：>y∕ab>b.

故選：B.

3.（5分）平面四邊形ABCO中/+C?=Ot（AB-AD）-AC=0,則四邊形ABe。是（）

A.矩形B.菱形C.正方形D.梯形

【解答】解：?.???+c3=G,

：.AB=-CD^AB=DC,可得線段AB、CQ平行且相等

.?.四邊形ABC。是平行四邊形

又：（幾一而?A=0,

：.AB-AD±AC,^DBLAC,四邊形ABCQ的對角線互相垂直

因此四邊形43CQ是菱形

故選：B.

4.（5分）《九章算術(shù)》是中國古代人民智慧的結(jié)晶，其卷五“商功”中有如下描述：“今有

圓亭，下周三丈，上周二丈，高一丈”，譯文為“有一個圓臺形狀的建筑物，下底面周長

為三丈，上底面周長為二丈，高為一丈”，則該圓臺的側(cè)面積（單位：平方丈）為（）

5√l+π25√l+4π25√l+π25√l+4π2

A.B.C.-----------D.--------

4π4π2π2π

【解答】解：設(shè)圓臺的上底面半徑為r,下底面半徑為R,

貝IJ有2πr=2,2πR=3,

解得）R=急

又圓臺的高為1丈,

-------------------/4乃24-1

所以圓臺的母線長為I=√l2+（R+r）2=與廣，

-1?147124-15/1+4加2

所以圓臺的側(cè)面積為S=Tr（R+r）」=TTX。/）X與六=?二.

故選：B.

5.（5分）已知a,b是兩條不重合直線,α,β是兩個不重合平面,則下列說法正確的是（）

A.若4〃匕，b//α,則a〃aB.若&_1_0,a//a,則aJ_0

C.若al,β,aΦa,a±β,則a〃aD.若/?_1_&,a∕∕b,β±a,貝!]a"β

【解答】解：若a〃〃，h∕∕a,則a〃a或aua,故A錯誤；

若ot"Lβ,a〃a,則quβ或“〃B或”與β相交，相交也不一定垂直，故B錯誤；

若a_L|3，a，。,則aua或a〃a,而aCa,則a〃a,故C正確；

若b_La,a//b,則6_La,又β?La,則auβ或a〃p,故。錯誤.

故選：C.

6.（5分）在AABC中，角A,B,C所對的邊分別為a,b,c,若a-c=反OSC-匕COSA,

則AABC的形狀為（）

A.等腰三角形

B.直角三角形

C.等腰三角形或直角三角形

D.等腰直角三角形

【解答】解：Ta-c=bcosC-?cosA,

，由正弦定理可得：SinA-sinC=sinBcosC-sinBcosA,

可得：sinA-SinAcosB-CosAsinB=SinBcosC-SinBcosA,

.*.sinΛ-SinAcosB=SinBcosC,可得：SinA=SinBCoSC+sinACoSB,

.*.sinβcosC+cosBsinC=sinβcosC+sinAcosβ,可得：COSBSinC=SinACoS8,

ΛcosB=0,或SinA=SinC,

???3為直角，或A=C

???△43C的形狀為等腰三角形或直角三角形.

故選：C.

((x-a)2,X≤0

7.(5分)設(shè)f(X)=1,若/(0)是/G)的最小值，則α的取值范圍是

a,

v(%4--X---Fx>0

()

A.[-1,2]B.[-I,0]C.[I,2]D.[0,2]

【解答】解：當(dāng)尤>0時，/(x)=x+^+a≥a+2Jx~^=a+2,此時函數(shù)的最小值為

。+2,

若α<0,則函數(shù)的最小值為/(a)=0,此時/(O)不是/(x)的最小值，此時不滿足

條件，

若“20,則要使/(0)是/(x)的最小值，則滿足/(0)=∕≤α+2,

即/-q-2≤0

解得-1≤α≤2;

.?.0WαW2,

故選：D.

8.(5分)蹴鞠(如圖所示)，又名蹴球，蹴圓，筑球，踢圓等，蹴有用腳蹴、踢、蹋的含

義，鞠最早系外包皮革、內(nèi)實米糠的球因而蹴鞠就是指古人以腳蹴、蹋、踢皮球的活動，

類似于今日的足球.2006年5月20日，蹴鞠作為非物質(zhì)文化遺產(chǎn)經(jīng)國務(wù)院批準已列入第

一批國家非物質(zhì)文化遺產(chǎn)名錄.已知某鞠(球的表面上有四個點A,B,C,P,且球心O

在PC上，AC=BC=4,AC.LBC,tan/PAB=tan/PBA=學(xué),則該鞠(球)的表面

積為()

A.9πB.18πC.36πD.64π

【解答】解：如圖，取AB的中點連接MP,由AC=BC=4,AC,BC得：AB=4√2,

由tαn∕AB=tanZPBA=?,得：MP=2√2×?=2√3,

連接CM并延長，交球。于點H,連接PH,因為PC球O的直徑，

設(shè)球的半徑為R，則PH±CH,MH=TCH=^AB=2√2,

貝IJPH=√PM2-MH2=√12-8=2,

所以（2R）2=PC2=CH2+PH2=（4√2）2+4=36,

解得：R—3,球的表面積為4πR2=36τr.

故選：C.

二、選擇題（本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項中，有多項符合

題目要求，全部選對的得5分，有選錯的得0分，部分選對的得2分）

（多選）9.（5分）下列選項中，與sin30°的值相等的有（）

A.1-2COS275O

B.sin135ocosl5o-cos45ocos75o

cos35o√l-sin20o

C.---------------

√F2cos20o

D.ta∏20o+ta∏25o+tan20otan25o

【解答】解：對于A,1-2COS275°=-cos150o=COS30°,故錯誤;

對于5,sinl35°cosl5o-cos45ocos75o=sin45ocos15o-cos45osinl5o=sin(45

-15o)=sin30σ，故正確;

Ccos35o√l-sin20oCoS(45。-10。)J(COSlO。-Sinl0。-

'√2cos20o-√2cos20o

泉COSl0。+SinI0。)(CoSlO。-SinI0。)?(eos2IOo-Sin210°)號CoS20。

√2cos20o√2cos20o√2cos20o

1

一=sin30o,故正確;

2

對于D,tan200+tan25o+tan20otan25o=tan(25o+20°)(1-tan25otan20o)+tan20o

tan25o=1-tan25σtan20o+tan20otan25o=1,故錯誤.

故選：BC.

(多選)10.(5分)某同學(xué)在研究函數(shù)F(X)=占p(XeR)時，分別得出下面幾個結(jié)論,

??IxI

其中正確的結(jié)論是()

A.等式?(-x)+f(x)=O在x∈R時恒成立

B.函數(shù)/(x)的值域為(-1,1)

C.若X1#X2,則一定有/(xι)≠f(X2)

D.方程F(X)-X=O在R上有三個根

【解答】解：f(x)=γ?,(x∈R).

于(-x)V(X)=1二刈+=0,故A正確；

由圖象可知函數(shù)/(x)是奇函數(shù)，且在R上為單調(diào)增函數(shù)，值域為(-11),所以BC正

確；

因為g(x)=f(?)-JG所以g(O)=f(O)-0=0,

當(dāng)尤>0時，g(x)=/(%)-X=??<0,

當(dāng)XVO時，g(X)=f(x)-X=-γ->0,

g(x)=∕(x)7在R上只有一個零點，即/(x)的圖象與y=x只有一個交點(0,0),

所以D不正確.

故選：ABC.

TT

yy

(多選)11.(5分)已知α=(2cosωχfsinωx),b=(―√3cosω%/2cosωχ),ω>0,/(x)=

α??+√3,且/(x)的圖象的對稱中心與對稱軸的最小距離為巴，則下列說法正確的是

4

()

A.ω=l

B./(x)的圖象關(guān)于直線X=-4對稱

JIz

n

C.把f(X)圖象向左平移石單位，所得圖象關(guān)于J軸對稱

D.保持/(x)圖象上每一點的縱坐標不變，橫坐標變?yōu)樵瓉淼?倍，然后把圖象向左平

Tt

移I個單位，得到函數(shù)y=2sinx的圖象

T

→y

【解答】解：Va=(2cosωx,sinωχ),b=Q-yj3cosωx,2cosωx)fω>0,

Λ∕(x)=α?b÷√3=-2V3cos2ωx+2sinωxcosωx÷V3=—2√3X1+笠23"+sin2ωx÷√3

=—V3cos2ωΛ+sin2ωx=2sin(2ωx-

12.71TT

V/(x)的圖象的對稱中心與對稱軸的最小距離為-X—=一,.?.ω=l,f(x)=2sin

42ω4

(2x-∣),故A正確；

令X=-各可得/(x)=-2,是最小值，故(X)的圖象關(guān)于直線X=-今對稱，故B

正確；

把/(x)圖象向左平移石單位，可得)，=2Sin(2x-∣)的圖象，

由所得函數(shù)為非奇非偶函數(shù)，故所得函數(shù)的圖象不關(guān)于y軸對稱，故C錯誤；

保持f(x)圖象上每一點的縱坐標不變，橫坐標變?yōu)樵瓉淼?倍，可得y=2sin(Λ-∣)

的圖象,

Tl

然后把圖象向左平移目個單位，得到函數(shù)y=2sinx的圖象，故。正確，

故選：ABD.

（多選）12.（5分）已知正方體ABCr>-A186P的棱長為1,如圖，點凡G,M分別為

CC1,BBi,BlCl的中點，則下列說法正確的是（）

A.平面AAF〃平面AlMG

B.直線Anl與直線4G所成角的余弦值為絆

10

9

C.平面AFDi截正方體ABCD-Aι2ιCIz）I所得截面的面積為百

D.點Ci與點G到平面AFD?的距離相等

【解答】解：對于A：因為G,M分別為BB∣,BICl的中點，

所以MG〃BCi,

又AQI〃BCI,

所以MG//ADi,

又尸為CCl的中點,

所以AIQI〃GF且4。I=G凡

所以四邊形4。IFG是平行四邊形,

所以AlG〃。凡

因為MG∩4G=G,ADi∩DiF=Di,

所以平面A。IF〃平面AIMG,故A正確;

對于5：因為正方ABCf）-AlBIcIDi的棱長為1,

所以4O∣=√I,D?F=Jl+g）2=卓,AF=√?C2+CF2=12+分=|,

/W∕+%尸2一爐_（封+（鏟（|）2

√10

CoSNADlF=故正確;

所以24^10^,8

JD1DIF2×√2×^

對于C：取8C的中點N,連接FN,AN,

因為FN〃BCi,又BCi〃AQ1,

所以FN//ADi,

所以FN在平面AfT）I內(nèi),

所以平面AFDi截正方體ABCD-AIBICIDI所得截面為等腰梯形ADiFN,

過點N作N0_L4￡>i,垂足為Q,

9

r~3√2

1√2X4=-

所以S儲礴NFa=2（三+6）8故C正確;

對于￡>：因為CIB〃平面AQIF,

所以ClG不會平行于平面ADiF,且線段CIG不與平面AolF相交，

所以點Ci與點G到平面AFf）I的距離不相等，故D不正確；

故選：ABC.

三、填空題（本題共4小題，每小題5分，共20分）

13.（5分）歐拉公式#=CoSX+isinx（i為虛數(shù)單位）是由瑞士著名數(shù)學(xué)家歐拉提出的，它

√2i

將指數(shù)函數(shù)的定義域擴大到復(fù)數(shù)集，則復(fù)數(shù)的共粒復(fù)數(shù)為1-1.

e4t

（解答］解：:e'x=cosx+isinx,

√2t√2i√2i2i2i（l-i）2+2t

??=CoS:+is*=5ΛF=（l+i）（l-0=彳=1+'

e4422

則復(fù)數(shù)華的共輾復(fù)數(shù)為1-i?

e4l

故答案為：1-i?

77"1τr7

14.(5分)己知Sin(W+α)=g,則cos(γ-2α)=

【解答】解：Vsin(^+a)=/.cos(—―a)=?,

cos(W—2a)=2cos2(^-a)—1=2×(^)2—1=—

故答案為：—

15.(5分)已知函數(shù)y=3tanα)x+l在(一號,引內(nèi)是減函數(shù),則ω的取值范圍是∣-∣,0).

【解答】解：:函數(shù)y=3tan(O)X)+1在(—/，/)內(nèi)是減函數(shù)，

.?.ω<0且函數(shù)y=3tan(ωx)+1在(一生~)內(nèi)也是減函數(shù)，

???τ弋/一T)=箏

3

Λ∣ω∣≤^,

.3/-3

^^-2≤ω≤2f

又ω<0,

3

；?-2≤3<0.

故答案為：［―參0).

16.(5分)已知三角形的三邊長，其面積是固定的，而已知平面凸四邊形的四邊長，其面

積是不確定的.現(xiàn)有一平面凸四邊形ABCD,A8=3,3C=4,CD=5,DA=6,則其面

積最大值為_6V10_.

【解答】解：設(shè)∕4BC=α,ZADC=β,

連接AC,作圖如下：

在AABC中，由余弦定理可得，AC2=AB1+BC2-2ABXBCXcosa=25-24cosa,

在AACQ中，由余弦定理可得，AC2=AD2+CD2-2×AD×DCXcosβ=61-60cosβ,

則25-24cosa=61-60cosβ,即5cosβ-2cosa=3,

11

四邊形ABCD的面積S=^×AB×BC×sinaΛ-^×AD×CD×sinβ=3(5sinβ+2sina),

令5sinβ+2sina=m,則25sin20+4sin2a+2OsinasinB=，〃2①，

V5cosβ-2cosa=3,

Λ25cos2β+4cos2a-20CoSaCosβ=9②，

①+②可得，29-20COS(a+β)=m2+9,BP∕π2=20-20cos(a+β),

當(dāng)且僅當(dāng)α+B=π時，扇取得最大值40,此時機的最大值為2√IU,

四邊形ABCQ的面積S=3(5sinβ+2sina)=3，"，其最大值為6√TU.

故答案為：6√Tθ.

四、解答題(本題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟.)

17.(10分)如圖所示，三棱柱ABCT∣B1C1中，CA=a,CB=b,CC1=c,CA=CB=

CCi=I,(a,b)=(a,c)-?,{b,C)=N是AB中點.

(1)用工b,"表示向量4N；

(2)在線段ClBl上是否存在點M,使薪_L4；N?若存在，求出M的位置，若不存在，

說明理由.

TTTTITTITTITlTT

【解答】解：(1)4IN=A^A+AN=ClC+)/B=—CCl+訝(CB—CA)=—IQ+—c；

(2)假設(shè)存在點M,使AM,AIM設(shè)Ch=入G?,(λ∈[0,1]),

顯然入CB=λb,AM-AA1+Tl1C1+ClM=c—a+入b,

因為AM_L4N,所以薪_LA：N=0,

→→TITlfT

即(c—a+入b)?(—IQ+—C)=0，

一[C?Q+c?b—c~+2Q2—2。"+c?a--^K,o,9b+3入戶—入b?c=0

TTTT27TTTπ

u

?CA=CB=CCi=If<a,b>=<a,c>=芋，<b,c>=J,

1?~÷?~÷-C111-≠--?-?1-

-?c?α—c2÷?α-^-(一+一入)Q?b+c?α+亍入匕=O

22222

即工XlXlX(-?)-12+∣×12-(?+??)×1×1×(-?)+??l2=0,

2222222

??

解得人=泉所以當(dāng)ClM=算IBl時，AMLAiN.

18.(12分)已知函數(shù)/(x)=3'x,函數(shù)g(無)的圖像與f(x)的圖像關(guān)于y=x對稱.

(1)求g(9)的值；

(2)若函數(shù)y=∕(x)-3∣-k在Xe［-2,1］上有且僅有一個零點，求實數(shù)4的取值范圍;

(3)是否存在實數(shù)m使得函數(shù)y=4-m/。引廣e(QO)在⑷口上的值域為已小

2b］,若存在，求出實數(shù)機的取值范圍；若不存在，說明理由.

【解答】解：(1)由題意可得，5(x)=log1x,

所以g(9)=IOgl9=-2；

?

(2)問題轉(zhuǎn)化為關(guān)于X的方程&=|3-x-3|在X∈L2,1］上有且僅有一個實根，

作出函數(shù)〃(x)=∣3*-3∣在x∈［-2,1］上的圖像(如右圖),

∕ι(-2)=6,/J(I)=由題意，直線y=左與該圖像有且僅有一個公共點，

所以實數(shù)k的取值范圍是向I<fc≤6Mfc=0｝；

(3)記F(X)=4一m一，。的廣4)=4_血+久

其中x>0,因為函數(shù)F(X)在［”,切上單調(diào)遞增，

若存在實數(shù)見使得尸(x)的值域為［2m2b］,

則FCa)=2a,F(?)=2b,所以F(x)=2x,

BPa,一是/+(Zn-4)x+4=0的兩個不等正根,

所以A=(機-4)2-16>0,α+b=4-"z>0,ab=4>0,

解得m<0,

所以實數(shù)機的取值范圍是(-8,0).

—TC

19.(12分)如圖所示，已知。OE是半徑為遮，中心角為孑的扇形，P為弧力上一動點,

四邊形PQMN是矩形，NPoD=X(OVX<J).

(1)求矩形PQMN的面積/(x)的最大值及取得最大值時的X值；

(2)在AABC中，/(C)=芋c=2,其面積S-BC=2遮，求AABC的周長.

【解答】解：(1)由題意QM=PN=OPSinA=V5si∏Λ,

ON=OPcosx=√3cosx,

πQML√3√3/-

*/tan-=----=Λ∕3>?*?OM=FQM=丁X遮StnX=SinJG

3OM??

：?MN=ON-OM=V3cosx-SirU,

?,.矩形PQMN的面積為：

f(x)=(V3cosx-sin?)?√3siru

=3si∏Λcosx-V3sin2x

3./?■、/l-cos2x

=-^smπλx—√3×-----2-----

=?si??reos?-√3sm2x

=∣sin2x—V3×l-cos2x

2

.√3.1_/3

=√r3(—sin2jf÷77cos2x)

22~τ

=y∕3sin(2x+石)--?-,

TCπ5τr

V0<x<≡,—<2x+—V

666

當(dāng)2x+5=多時，即X=看時T（%）的最大值為

（2）由（1）得。=看，

VSABC=^absi∏γ-=2√3,：.岫=8如,

ΔLO

由余弦定理得C2=α2÷h2-2abcos1τ=4,

O

(α+b)2-(2+√3)"=4,g∣J(α+b)2=28+16√3,

??ti+?=4+2V3,

?ABC的周長為α+?+c=6+2√3.

20.(12分)如圖所示，四棱錐PTBC。中，底面ABC。為矩形，∕?±￥≡ABCD,PA=

AB=2,AO=VL點E是PB的中點.

(1)證明：AELPC；

(2)求二面角CTE-。的大小.

【解答】（1）證明：，平面ABCZx底面ABCZ）為矩形,

：.PALBC,BClAB,又∕?∩AB=A,PA,ABc5PffiPAB,

,Be,平面∕?B,又平面必B,

ΛBC±AE,'：PA=AB,點E是PB的中點，

ΛAE±PB,又PBnBC=B,PB,BCU平面PBC,

ΛAE±5P≡PBC,

：.AElPC.

(2)解：由于AO_LAE,AELEC,故取PC中點M,連接EM,DM,

因為E,M分別為尸8,PC中點，所以EM〃BC,即EM〃AO,故EM_LAE,

則NMEC為二面角C-AE-。的平面角，

又在AEMC中，EC=2,EM=WBC=號,ΛfC=∣PC=?×J22+√62=

所以COSNME1C=(均二冬乂NMECe(0,π),

2xgx2z

所以NMEC=

即二面角C-心力的大小足.

(1)求向量b；

TTTT(",

(2)若t=(1,0),且bJ,t,c=(cosA,2cos2p,其中A,B,C是AABC的內(nèi)角,

且B=半試求值+占的取值范圍.

【解答】解：(1)設(shè)％=(x,y),

TT_

a?b=2x+2y=-2①，

TTTT3τrL,T

a?b=IaIIbICoS—=-2,解得Ibl=I，

4

22

即x+y=l(2)f

由①②解得｛；:/或｛；二1，

：.b=(-1,0)或(0,-1).

(2)Vt=(1,0),且b_Lt,

：.b=(O,-1),

TTC

.?.b+c=(cosA,2cos7z2_1)=(COSA,COSe),

?b÷c?=?Jcos2A+cos2C,

VZB=60o,ΛA+C=120o,

?b+C∣2=COS2A+COS2C

=COS2A+cos2(120o-A)

_l+cos24l+cos(240°-24)

=2+2

=l+%OS(2A+60o),

VOo<A<120o,

Λ60o<2A+60o<300o,

.?.-l≤cos(2A+60°)<∣,

1→→925

.?.-≤∣h+c∣<^,

.√2..7,→-√5

.?-≤?b÷c?lVl^.

22.(12分)如圖①所示，長方形ABCD中，AO=I,AB=2,點例是邊CD的中點，將4

AOM沿AM翻折到4B4M,連結(jié)PB,PC,得到圖②的四棱錐P-ABCM.

圖①圖②

(1)求四棱錐尸-ABCM的體積的最大值；

(2)若棱PB的中點為M求CN的長；

(3)設(shè)P-AM-