2023年中考數(shù)學復習11 圖形的變換（平移、旋轉(zhuǎn)、對稱）解答分析

熱點11圖形的變換（平移、旋轉(zhuǎn)、對稱）

命題趨勢

從近年全國各地區(qū)中考數(shù)學試卷來看，在“圖形的變化”的命題中，不僅突出對基礎知識、基本技能

和基本思想方法的考查，還重視對能力要求的分層考查，這有利于檢測出不同能力層次的學生對知識的掌

握、應用及思維發(fā)展情況。很多試題以幾何情境、現(xiàn)實情境和數(shù)學傳統(tǒng)文化等為載體進行命制，凸顯了數(shù)

學學科核心素養(yǎng)，體現(xiàn)了圖形的變化的考查目標?？傮w上看，2023年全國各地區(qū)中考數(shù)學試卷中“圖形的

變化”試題的考查特點主要體現(xiàn)在以下幾個方面.

滿分技巧

命題熱點1：圖形的軸對稱

通過具體實例認識軸對稱，探索它的基本性質(zhì)，理解對應點所連的線段被對稱軸垂直平分的性質(zhì)；能夠按

要求作出簡單平面圖形經(jīng)過一次或兩次軸對稱后的圖形；能利用軸對稱進行圖案設計。

命題熱點2：圖形的平移

通過具體實例認識平移，理解對應點連線平行且相等的性質(zhì)；能按要求作出簡單平面圖形平移后的圖形;

利用平移進行圖案設計，認識和欣賞平移在現(xiàn)實生活中的應用。

命題熱點3：圖形的旋轉(zhuǎn)

通過具體實例認識旋轉(zhuǎn)，理解對應點到旋轉(zhuǎn)中心的距離相等、對應點與旋轉(zhuǎn)中心連線所成的角彼此相等的

性質(zhì)；能夠按要求作出簡單平面圖形旋轉(zhuǎn)后的圖形；靈活運用軸對稱、平移和旋轉(zhuǎn)的組合進行圖案設計。

命題熱點4：圖形與坐標

認識并能畫出平面直角坐標系；在給定的直角坐標系中，會根據(jù)坐標描出點的位置、由點的位置寫出它的

坐標；能在方格紙上建立適當?shù)闹苯亲鴺讼?，描述物體的位置；在同一直角坐標系中，感受圖形變換后點

的坐標的變化，靈活運用不同的方式確定物體的位置。

限時檢測1:最新各地模擬試題（60分鐘）

1.（2022?江蘇淮安?統(tǒng)考一模）如圖，平面直角坐標系中，線段A8的兩個端點A、B都在網(wǎng)格的格點上,

將AB向右平移機個單位長，使AB的中點恰好在），軸上，則根的值是（）

【答案】B

【分析】先根據(jù)平面直角坐標系確定點A,點8的坐標，再根據(jù)中點坐標公式求出A8的中點，由中點坐標

橫坐標的絕對值可確定平移的距離.

【詳解】解，根據(jù)平面直角坐標系可知：A（-3,4）,B（-2,1）

-3-24+155

.?.線段AB的中點坐標為（與‘，歲），即（一］最）當AS的中點恰好在y軸上，此時中點坐標為（0,

3）

2

???原中點平移到現(xiàn)在的中點時，平移的距離為0-（-5=!，即向右平移1■個單位長度，,偌=3=2.5選B.

2222

【點睛】本題主要考查了平面直角坐標系，平移的性質(zhì)以及兩點間中點坐標公式的應用，熟練掌握平面直

角坐標系是解答本題的關鍵.

2.（2022.北京海淀.統(tǒng)考一模）北京2022年冬奧會的開幕式上，各個國家和地區(qū)代表團入場所持的引導牌

是中國結(jié)和雪花融合的造型，如圖1是中國體育代表團的引導牌，觀察發(fā)現(xiàn)，圖2中的圖案可以由圖3中

的圖案經(jīng)過對稱、旋轉(zhuǎn)等變換得到.下列關于圖2和圖3的說法中，不正確的是（）

圖1圖2圖3

A.圖2中的圖案是軸對稱圖形

B.圖2中的圖案是中心對稱圖形

C.圖2中的圖案繞某個固定點旋轉(zhuǎn)60。，可以與自身重合

D.將圖3中的圖案繞某個固定點連續(xù)旋轉(zhuǎn)若干次，每次旋轉(zhuǎn)120。，可以設計出圖2中的圖案

【答案】D

【分析】根據(jù)軸對稱圖形和中心對稱圖形的定義即可判斷A、B選項，作出對稱軸，根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，即可

判斷C、D選項.

【詳解】如圖，圖2中的圖案是軸對稱圖形，也是中心對稱圖形，故A、B正確；

這3條對稱軸將圖2平均分成了六份，其中每份所占的圓心角的度數(shù)為360案6=60?

圖2中的圖案繞對稱軸的交點旋轉(zhuǎn)60。，可以與自身重合，故C正確；將圖3中的圖案繞某個固定點連續(xù)旋

轉(zhuǎn)若干次，每次旋轉(zhuǎn)120。，不能設計出圖2中的圖案，故D錯誤；故選：D.

【點睛】本題考查了軸對稱圖形和中心對稱圖形的定義、旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，熟練掌握知識點是解題的關鍵.

3.（2022?四川綿陽?統(tǒng)考三模）如圖，正六邊形ABCz）EF的頂點A點在y軸正半軸上，B、C兩點都在X軸

上，且C點坐標為（3,0）,把正六邊形ABCDEF繞C點順時針旋轉(zhuǎn)，使。點恰好落在X軸上的。'處,

下列說法錯誤的是（）

A.旋轉(zhuǎn)后的正六邊形可由六邊形ABCQEF向右平移2個單位得到

B.旋轉(zhuǎn)前、后兩個正六邊形組成的圖形關于直線CE、AO對稱

C.旋轉(zhuǎn)前、后兩個正六邊形重疊部分面積為26

D.旋轉(zhuǎn)過程中，E點經(jīng)過的路線長為立Jt

7

【答案】D

【分析】由AAOB可知，O8+AB=3,OB=BAB,得至IJO8=1,AB=2；

A、旋轉(zhuǎn)后的正六邊形可由六邊形ABCDEF向右平移2個單位得到即可判定；

B、觀察圖形可知，旋轉(zhuǎn)前、后兩個正六邊形組成的圖形關于直線CE、AC對稱即可判定;

C、觀察圖形可知，重疊部分的圖形為菱形，算出其面積即可判定；

D、觀察圖形可知，E點經(jīng)過的距離是一段弧，計算出圓心角的度數(shù)和半徑長，即可判定；

【詳解】由正六邊形ABCQE尸的性質(zhì)可知，ZABD=120°

二/480=60。，Λ0B+AB=3,OB=^AB,得至IJoB=1,AB=2,

A、旋轉(zhuǎn)后的正六邊形可由六邊形ABCOEF向右平移2個單位得到，故A選項正確；

B、觀察圖形可知，旋轉(zhuǎn)前、后兩個正六邊形組成的圖形關于直線CE、AO對稱，故B選項正確；

C、觀察圖形可知，重疊部分的圖形為菱形，菱形的對角線長度分別為2和2√L故重疊部分的面積=gx2x2

用=26故C選項正確；D、觀察圖形可知，E點經(jīng)過的距離是一個圓弧，圓心角=120。，半徑是2,故弧

長=空空立="，故D選項錯誤.故選：D.

18003

【點睛】本題考查圖形的旋轉(zhuǎn)、正多邊形的性質(zhì)和弧長公式，熟練掌握旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)是解決本題的關鍵.

4.（2022?浙江臺州?統(tǒng)考二模）如圖，把正方形ABC。繞著它的對稱中心。沿著逆時針方向旋轉(zhuǎn)，得到正

方形AECZ>',A0和BC分別交4B于點E,F,在正方形旋轉(zhuǎn)過程中，NEoF的大小（）.

A.隨著旋轉(zhuǎn)角度的增大而增大B.隨著旋轉(zhuǎn)角度的增大而減小

C.不變，都是60°D.不變，都是45°

【答案】D

【分析】連接OAOB,O3',AB',BB',證明㈤B=NEBN,可得EA=EBf,進而根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)與正方

形的性質(zhì)可得Ao=AB'，根據(jù)SSS證明AAEO紂EEO,可得。E平分NAO8’，同理可得。尸平分NbCW,

即可氣得NEO/7=JNAOB=45。，即可求解.

2

【詳解】如圖，連接0A,OB,OB',AB',BB',

0是正方形ABCD,A'B'C'D'的對稱中心，

.?.OA=OB=OB',ZAOB=90o,ZOAE=NoBF=ZOB,E=ZOB1F=45°,

AOAB'=AOBA,：.ZOAB,-ΛOAE=Z0B,A-ZOB'E,即/EAR'=∕ERlA,..EA=EB1,

AE=B1E

在ΛAEOii:B'E0中，,E。=E。，.?.AAEO絲B1EO,

AO=B'0

ZAoE=NB'OE,即OE平分∕AO3',同理可得NBO/=NQoF,即。F平分NBo

QZAo8=90。，.?.ZEOF=AEOB'+ZFOB'=?(ZAOB'+ABOB')=45°.故選D.

【點睛】本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，正方形的性質(zhì)，三角形全等的性質(zhì)與判定，等角對等邊，證明OE,。產(chǎn)分

別平分NAO8'，NBar是解題的關鍵?

5.（2022?江蘇南京?統(tǒng)考二模）如圖，已知菱形ABCO與菱形AEFG全等，菱形AEFG可以看作是菱形A8C。

經(jīng)過怎樣的圖形變化得到？下列結(jié)論：①經(jīng)過1次平移和1次旋轉(zhuǎn)；②經(jīng)過1次平移和1次翻折；③經(jīng)過1

次旋轉(zhuǎn)，且平面內(nèi)可以作為旋轉(zhuǎn)中心的點共有3個.其中所有正確結(jié)論的序號是（）

【答案】A

【分析】利用平移，旋轉(zhuǎn)，翻折的性質(zhì)等知識一一判斷即可.

【詳解】解：將菱形ABCD向右平移至點8與點G重合，然后以點G為旋轉(zhuǎn)中心旋轉(zhuǎn)即可得到菱形AEFG；

故①符合題意；將菱形ABa）向右平移至點C與點F重合，然后以過點F的垂線為對稱軸翻折即可得到菱

形AEFG；故②符合題意；將菱形ABC。以點A為旋轉(zhuǎn)中心旋轉(zhuǎn)即可得到菱形AEFG；

設直線BD、GE相交于點0,將菱形ABCD以點0為旋轉(zhuǎn)中心旋轉(zhuǎn)即可得到菱形AEFGi

但旋轉(zhuǎn)中心只有點A和點。兩個個，故③不符合題意；故選：A.

【點睛】本題考查平移，旋轉(zhuǎn)，翻折等知識，解題關鍵是靈活運用所學知識解決問題，屬于中考常考題型.

6.（2022?山東淄博?統(tǒng)考二模）如圖，在平面直角坐標系中，點A的坐標是（0,2）,點C的坐標是（0,-2）,

點8（x,0）是X軸上的動點，點B在X軸上移動時，始終保持..ABP是等邊三角形（點P不在第二象限），連

接PC,求得AP+!PC的最小值為（）

2

【答案】C

【分析】如圖I所示，以OA為邊，向右作等邊AAOD,連接P。，過點力作DEJ于E,先求出點。的

坐標，然后證明4a4。且△見。得到NPQA=NBoA=90。，則點尸在經(jīng)過點。且與AO垂直的直線上運動，

當點P運動到y(tǒng)軸時，如圖2所示，證明此時點P的坐標為（0,-2）從而求出直線PD的解析式；如圖3

所示，作點A關于直線P。的對稱點G,連接PG,過點P作PFLV軸于凡設直線產(chǎn)。與X軸的交點為從

先求出點，的坐標，然后證明/“C0=3（Γ,從而得到AP+；PC=GP+Pf,則當G、P、E三點共線時，

GP+PF有最小值，即AP+（PC有最小值，再根據(jù)軸對稱的性質(zhì)求出點G在X軸上，則OG即為所求.

【詳解】解：如圖1所示，以04為邊，向右作等邊AAOQ,連接尸Q,過點。作Z）Ej_OA于E,

：點A的坐標為（0,2）,.?.0A=0C=2,二0E=4E=l,ΛDE=>∕OD2-OE2=√3,二點。的坐標為（G1）；

：AABP是等邊三角形，ZMOD是等邊三角形，：.AB=AP,NBAP=60。，AO=AD,ZOAD=60o,

：.ZBAP+ZPAO^ZDAO+ZPAO,即∕BA8N∕?3,Λ?BAO?Δ∕?D（SAS）,NPZM=∕8OA=90°,

二點P在經(jīng)過點。且與AD垂直的直線上運動，

/Y/

圖2∕∣c

"圖

圖13

當點P運動到y(tǒng)軸時，如圖2所示,此時點P與點C重合，

：ZXABP是等邊三角形，BOlAP,J.AO=PO=I,

.??此時點P的坐標為（0,-2）,設直線PD的解析式為N=G+b,

∫√3?+?=l=、萬

.?.V,.?.直線PD的解析式為y=√3x-2;

[b=-2b=-2

如圖3所示，作點A關于直線P力的對稱點G,連接PG,過點尸作尸F(xiàn)Ly軸于F,連接CG,設直線Pn與

X軸的交點為H,.?.點”的坐標為（半，0），.??tanNOC4=^=J,

ΛZOCH=30o,：.PF=-PC,由軸對稱的性質(zhì)可知AP=GP,ΛAP+-PC=GP+PF,

22

二當G、尸、尸三點共線時，GP+PF有最小值，即AP+工尸C有最小值，

2

WG兩點關于直線PD對稱，且NADC=90。，.?.AD=G∕）,即點。為4G的中點，

?；點A的坐標為（0,2）,點力的坐標為（61）,.MG=2AD=2OA=4,

VAC=4,NCAG=60。,；.△ACG是等邊三意形,"：OC=OA,：.OG±AC,即點G在X軸上，

由勾股定理得OG=J4?_2?=25，當點/'運動到，點時，GP+P尸有最小值，即AP+；PC有最小值，

最小值即為OG的長，.?.4P+gpC的最小值為2港，故選：C.

【點睛】本題主要考查了等邊三角形的判定與性質(zhì)，全等三角形的性質(zhì)與判定，一次函數(shù)與幾何綜合，軸

時稱最短路徑問題，解直角三角形等等，正確作出輔助線確定點尸的運動軌跡是解題的關鍵.

7.（2022?江蘇無錫??？级＃┤鐖D，邊長為√∑個單位長度的正方形ABCr>,以AO為斜邊在正方形左側(cè)

作等腰直角三角形E4D,ZE=90o,將_皿>繞點。順時針旋轉(zhuǎn)得VEAO,旋轉(zhuǎn)一周，當邊Eq所在直線

經(jīng)過點8時，則班，的長為（）

A.√3-lB.√J-1或G+lC.2-6或2+√?D.2+√3

【答案】B

【分析】需要分兩種情況進行討論，結(jié)合勾股定理及等腰直角三角形的性質(zhì)求解.

【詳解】解：第一種情況，如下圖：

AE-DE,AD=?^2,AD2->JAE2+DE1=2>解得：AE—DE=1,

根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，A'E=DE=1,BD=y∣AD-+AB2=2，

/.BE=?∣BD2-DE,2=y/3，.?.BA'=BE'-A'E'=>∕3-l:

第二種情況，如下圖：AE=DE,AD=g,AD2=>jAE2+DE2=2.解得：AE=DE=X,

根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，A'E=DE=1,BD=>jAD2+AB2=2>

.?.BE=BD2-DE,2=√3-?-?BA,=BE'+A'E'=>∕3+?；故選：B.

【點睛】本題考查了正方形的性質(zhì)、等腰直角三角形、勾股定理、旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，解題的關鍵是需要進行分

類討論，不能漏解.

8.（2022?河南商丘?統(tǒng)考一模）張老師在課堂上展示了一道題：如圖（1）,在四邊形ABCO中，AB=AD,

NA=NC=90°,已知/邊形.Co=9,8=2,求AE）的長.

小明的方法：過點A作AEL8C于點E,如圖（2）,將一ASE繞點4逆時針旋轉(zhuǎn)90。，得到AAO尸，將不

規(guī)則四邊形轉(zhuǎn)化為正方形進行求解.類比小明的方法解題：如圖（3）,在RtAfiC中，AC=BC,ZACB=90°,

點”是一ABC內(nèi)一點，且AM=6,8M=3,CM=√Σ,則陰影部分的面積為（）

A.√5B.√5+lC.√5+2D.2√5+2

【答案】B

【分析】如圖，將△8CM繞點C逆時針旋轉(zhuǎn)90。，得到AACM連接則NMeN=90。，CN=CM=母,

AN=BM=3f可得MN=2,再由勾股定理逆定理可得NAMN=90。，可得S陰影=SδBCM+SΔACJW=SΔΛCN+SΔΛCM

SACMN+^ΔAMN,即可求解.

【詳解】解：如圖，將^BCM繞點、C逆時針旋轉(zhuǎn)90。，得到△ACN,連接MM則/MC290。，CN=CM二母,

AN=BM=3，：?MN=√CM2+OV2=2，

?：AM=下,.?AM2+MN2=(√5)2+22=9=AN2,：.ZAM∕V=90o,

2

=→(√2)+?∣X√5×2=√5+1故選：

??S陰影=SABCM+SΔΛC,M=SSCN+S?ΛCΛ∕B

【點睛】本題主要考查了圖形的旋轉(zhuǎn)，勾股定理及其逆定理，熟練掌握圖形的旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，勾股定理及其

逆定理是解題的關鍵.

9.(2022?河南南陽?統(tǒng)考一模)如圖，正方形04BC中，點C(0,4),點。為AB邊上一個動點，連接C￡>,

點P為CD的中點，繞點。將線段DP順時針旋轉(zhuǎn)90。得到線段DQ,連接BQ,當點Q在射線OB的延長線

上時，點。的坐標為().

A.(4.2)B.(4,3)C.(4尚)D。(吟)

【答案】C

【分析】如圖，過尸作PNLQ4,交X軸于點N,過。作。E_LX軸于E,過。作平行于X軸的直線交PN于

M,交QETF,交y軸于G,貝IJZ)P=D。，?PDQ90?,證明VPZW絲VOQF,設D(4,f),再求解。的坐標,

再代入直線OB的解析式即可.

【詳解】解：如圖，過P作RV_L04,交X軸于點N,過Q作QEj_x軸于E,過D作平行于X軸的直線交PN

于M,交QE于F,交y軸于G,∣J1∣JDP=DQ,?PDQ90?,\?PMD90??QFD,

\?PDMIQDF90??QDF?DQF,\?PDM1DQF,WPDM爾DQF,?PM=DF,QF=MD,

正方形OABC中，點C(0,4),?OC=OA=A3=3C=4,設￡>(41),而點尸為CZ)的中點，

4+Z4+r4-t4-t1

?P靜，〒，?PM=--t=-=DF,QF=MD=2,QE=2+t,OE=4+-=6^-t,

?ρp-→,2+r,設08的解析式為y=H而3(4,4),?4?=4,解得：k=l,

的解析式為：y=x,?6-*2+f,解得：r=∣,\哪I.故選C

【點睛】本題考查的是全等三角形的判定與性質(zhì)，坐標與圖形，正比例函數(shù)的性質(zhì)，正方形的性質(zhì)，求解

β∣-→.2+/是解本題的關鍵.

10.(2022.遼寧營口?一模)如圖，將等邊三角形ABC沿AC邊上的高線8。平移到一EFG,陰影部分面積

記為S,若萼=!，Sv4flc=16,則S=

FD3

【答案】9

[分析]根據(jù)平行的性質(zhì)可知SABC=SEFG，AC//EG進而可證得FMNSLEFGSCABC，根據(jù)相似三角

形的面積之比等于相似比的平方可得結(jié)論.

【詳解】解：???等邊三角形ABC沿AC邊上的高線BO平移到EFG，

FD,.FB1.FD3

?,—---???-----一---

:?sABC=SEFG，AC//EG,:.FMNS二EFGSABC,—?Y.=

SABC~BDFD3BD4

?.?,FMN的面積記為S,5VABC=16,.?.A=(?,解得s=9.故答案為:9.

【點睛】本題考查了平移的性質(zhì)，相似三角形的性質(zhì)，解題的關鍵是根據(jù)平移的性質(zhì)證得陰影三角形與原

來的三角形相似.

11.(2022?吉林長春?統(tǒng)考一模)如圖，拋物線y=-V+?r+c與)，軸交于A點，與X軸交于5、C兩點，

β(-I,0),C(3,0),連接AC,將線段AC向上平移落在E尸處，且E尸恰好經(jīng)過這個拋物線的頂點。，則

四邊形ACFE的周長為

【答案】4+6√2

【分析】根據(jù)拋物線y=-χ2+?χ+c與X軸交于8、C兩點，B(-[,0),C(3,0),

j-1-?+c=0↑b=2Jl--------t

得到；C“n-*「得至Uy=-X+2X+3,推出A(0,3),得到AC=后于=3及，設AC的解析式

f-9+3。+C=O?c=3YY

[3k+m=0

為y=h+m,得到〈?,推出產(chǎn)-戶3,根據(jù)平移得到EF〃ACEF=AC,推出四邊形EAC尸是平行四

[m=3

邊形，設E尸的解析式為產(chǎn)-x+m根據(jù)y=-f+2x+3=-(x-iy+4,得到。(1,4),推出∣4=-l+v,/?=5,得

到E(0,5),推出AE=5-3=2,得到EF+AE+AC+CF=2(AE+4C)=4+6√Σ.

【詳解】解：：拋物線y=-χ2+?χ+c與X軸交于8、C兩點，B(-l,0),C(3,0),

T-I-b+c=O↑h=2.--------_

,22,

??OJ-QAJ-∩解得，！.，??y=-f+2x+3,??Λ=°時，y=3,?二A(0,3),.*.∕?(J=y∣3+3=3?∣2

f?9+3。+C=Oic=3YY

[3k+m=0[k=—\

設AC的解析式為y=fcr+∕n,貝"，?'?{,?'.y=-x+3,

[/?=3[m=3

由平移知，EF//AC,EF=AC,二四邊形EAeF是平行四邊形，

設EF的解析式為γ=-x+",：y=-V+2x+3=-(尤一I)，+4,

ΛD(1,4).Λ4=-l+w,n=5,ΛE(0,5),.,.AE=5-3=2,

.?.EF+Af+AC+CF=2(AE+AC)=4+6√Σ.故答案為：4+6√2.

【點睛】本題主要考查了二次函數(shù)，平移，平行四邊形，解決問題的關鍵是熟練掌握二次函數(shù)的性質(zhì)，用

待定系數(shù)法求函數(shù)解析式，平移的性質(zhì)，平行四邊形的判定和性質(zhì).

12.(2022.貴州銅仁.統(tǒng)考二模)如圖，將一個矩形紙片OABC放置在平面直角坐標系中，點0(0,0),點

B(2√3.2).。是邊BC上一點(不與點B重合)，過點。作OE〃OB交。C于點E.將該紙片沿DE折疊，得

點C的對應點。.當點。落在OB上時，點。的坐標為.

【分析】根據(jù)B點坐標可求出48、OB,得到AB=LO3,所以N4O5=30o,ZBOC=GOo,再利用折疊與平

行的性質(zhì)，證明△OEC是等邊三角形，OE=CD=《AB,然后可利用三角函數(shù)求出點C的坐標.

2

【詳解】：點B坐標為(26，2),：.AB=2,OA=2√3,二08=戶卬可=4

AB=-OB：.ZAQB=30o,ABOC=60°：C是C關于DE的對稱點

2

.?.NCED=NC'ED,EC-EC'：DE//OB：.NCED=NEOC=60°

二NoEC=I80o-2×60o=60o.,?ZXOEC'是等邊三角形二OE=EC=EC=-AB=IXI=I

22

:.C橫坐標=1×sin60。=立，縱坐標=IXSin30°=：；.C坐標為f《

22122）

【點睛】本題考查了三角形，熟練運用特殊三角形的性質(zhì)是解題的關鍵.

13.（2022?福建廈門?福建省廈門第六中學?？级＃┤鐖D，菱形ABCQ,/8=60。，點E在5C邊上運動,

其中1<后<正+1'點8與8'關于AE對稱，直線EB'和直線CZ）交于點F,隨著E的運動，下列幾個量:

①EF的長度；②EB'的長度；③aCE尸的周長；④4CEF的面積；其中隨BE的增大而增大的是.

【分析】連接CB',過下作FHLBCT”,利用等腰三角形性質(zhì)及判定可得CF=F8',則ACEF的周長為

BC,保持不變，可判斷③；設BC=I,BE=x,CF=y,根據(jù)勾股定理求出y關于X的函數(shù)表達式，再求出EA

△CE尸面積關于X的函數(shù)表達式，由1<絲<有+1,得X的取值范圍為!<X<√5-1,判斷各函數(shù)增減性

EC2

即可.

【詳解】解：連接C8',過尸作"/L8C于”，

；四邊形ABC。為菱形，N8=60。，ΛZACD=60o,

由折疊知，ZAB'E=60o,AC=AB',ΛZACB'=ZAB'C,：.ZFCB'=ZFB'C,.?FC=FB',

：.?CEF的周長為CE+CF+EF=CE+FB'+EF=CE+EB'=CE+BE=BC,

即ACE尸的周長保持不變，故③不符合題意；設8C=1,BE=x,CF=y,

VZFCH=ZB=GO0,貝IJEF=X-y,CE=?-x,CH=-y,FH=是y,

22

r√32

二在放中，由勾股定理得：2

AEFH(x-j)=x+√

整理，得：y=-=2—?*.*1<——<Λ∕3+1,1<<Λ∕3+1,

x÷lx+1ECI-X

即l-x<x<(且+l)(l-x),解得：g<%<J5-l,???_?隨X增大而增大，

3

故y隨犬的增大而增大，②符合題意；TE"*尸“-2+-

x+?

342

整理得：EF=(X+1)+GTlJ-3,構(gòu)造函數(shù)y=r+:,1</<代，作出該函數(shù)圖象,

可知y隨，的增大而減小，即E尸將隨X增大而減小，故①不符合題意；

__3x_3

SACEF1=CEFH=3"(1-2-2x+-------

x+1

(χ+ι)=*2f(M+3),

7一寸2。+1)

-EF隨X增大而減小，；.隨X增大而增大，故④符合題意；故答案為：②④.

【點睛】本題考查了菱形性質(zhì)、等腰三角形判定與性質(zhì)、折疊性質(zhì)、特殊角的三角函數(shù)值、勾股定理解直

角三角形、根據(jù)函數(shù)圖象判斷增減性等知識點，作出輔助線，求出各量與自變量的函數(shù)關系式是解題關鍵.

14.(2022?河南開封?統(tǒng)考二模)直角三角形ABC中，AB=3,?B90?,ZC=30°,折疊三角形使得點A

與8C邊上的點。重合，折痕分別交AC、AB于點M,N,當VcZW是直角三角形時，AM=

［分析］根據(jù)折疊的性質(zhì)可得AM=MnAN=DN,當YCDM是直角三角形時，分NCDM=90o,NCMD=90°,

兩種情況分類討論.

【詳解】解：根據(jù)折疊的性質(zhì)可得AM=MaAN=OV,?.?AB=3,/8=90。，/C=30。，；.AC=6,

當VcDA/是直角三角形時，當NCDM=90。時，ZC=30o,：.MC=2DM,：.AC=AM+MC=3AM=6,.?AM=2,

當NCMD=90°時，ZC=30o,'MC=KDM,：.AC=AM+MC=AM+y/5AM=6,

ΛAM≈3√3-3,故答案為：2或36-3.

【點睛】本題考查了翻折變換，含30度角的直角三角形的性質(zhì)，勾股定理，利用分類討論思想解決問題是

本題的關鍵.

15.（2022?江蘇南通?統(tǒng)考一模）如圖，等邊△OAB中08=3,將同一平面內(nèi)邊長為2的等邊△OCD繞點、0

旋轉(zhuǎn)一周的過程中，點8到直線CC的距離最大值為.

【答案】3+√3

【分析】如圖1,OGLCD^G,。。的半徑為0G,的半徑為OB+0G,利用直線與圓相交時，圓心到

直線的距離小于半徑，便可解答；

【詳解】解：如圖1,OGl.CD于G,。。的半徑為0G,。8的半徑為08+0G,

—一一

圖1

OGlCD,AOCO是等邊三角形，OC=2,則CG=；0C=l,由勾股定理可得。G=√J,

當邊CO繞。點旋轉(zhuǎn)時，CO的中點G在。。上運動，當G點不在80延長線上，則C。所在直線必定與。8

相交，即8點到直線C。的距離小于。B的半徑：當點G在8。延長線HI寸，CQ所在直線與G）B相切，此

時8點到直線CD的距離等于OB的半徑；

二點3到直線CD的最大距離為O8+OG=3+石，故答案為：3+√3；

【點睛】本題考查J'等邊三角形的性質(zhì)，勾股定理，直線與圓的位置關系，旋轉(zhuǎn)的特征等知識；掌握直線

與圓相交的性質(zhì)是解題關鍵.

16.（2022.江蘇揚州?校聯(lián)考二模）如圖，在平面直角坐標系中，有7個半徑為1的小圓拼在一起，下面一

行的4個小圓都與X軸相切，上面一行的3個小圓都在下一行右邊3個小圓的正上方，且相鄰兩個小圓只有

一個公共點，從左往右數(shù)，y軸過第2列兩個小圓的圓心，點P是第3列兩個小圓的公共點.若過點尸有一

條直線平分這7個小圓的面積，則該直線的函數(shù)表達式是

I3

【答案】y=→+∣

【分析】當直線)，過RN兩點時一，由中心對稱圖形的特征可得直線)，平分7個小圓的面積，由直線和圓的

位置關系，圓和圓的位置關系求得MP的坐標，再待定系數(shù)法求一次函數(shù)解析式即可；

【詳解】解：如圖，OMOG、G)M與X軸相切于R。、E,連接N尸、NG、GM、ME、PM,直線y過P、

N兩點，

：右邊6個小圓關于點P中心對稱，直線y經(jīng)過點R.?.直線y平分右邊6個小圓的面積，

T直線y經(jīng)過左邊小圓的圓心，.?.直線y平分。N的面積，.?.直線y平分7個小圓的面積，

N尸_LX軸，G0_LX軸，貝IJN尸〃GO,NF=Go=I,則NFOG是平行四邊形，ZGOF=90o,則NFoG是矩形,

VQN,G)G相切，.?.NG=2,即N(-2,1),同理可得M(2,1),

在。M的正上方，E點在。M的正下方，,PE為。M的直徑，即RM、E共線，

??=-2k+b~4I313

.?.P(2,2),設直線產(chǎn)齒也貝,八，解得：：,??.y=N+],故答案為：j=4%+?;

[2=2κ+θb_§4242

.~2

【點睛】本題考查「中心對稱圖形的特征，直線和圓的位置關系，圓和圓的位置關系，一次函數(shù)解析式；

掌握中心對稱圖形的特征是解題關鍵.

17.(2022?四川綿陽?校考模擬預測)如圖，點M、N分別為8C上的兩動點(點M在點N的左側(cè))，將線

段MB繞點M旋轉(zhuǎn)，將線段NC繞N點旋轉(zhuǎn)，點B、點C的對應點恰好重合，記作點A.

圖1圖2

⑴若N8AC=135。，判斷一AMN的形狀并證明.（2）如圖2,當NAM8=90。，繼續(xù)將線段N4繞N點逆時針旋

轉(zhuǎn)90。得到線段M2,連接A￡）、BD,求證：ABLBD.⑶在（2）的條件下，若AD=20,ZBCD=30°,

貝IJCAMN=---------

【答案】（1）,AMN是直角三角形，證明見解析（2）見解析（3）3+6

【分析】(1)ZBAC=135°,則∕B+NC=45o,M3=M4,Λ?=NCuR^Nβ4C=NB+NC+NΛWV,進而可

oo

得/M4N的值，即可判斷出［4WN的形狀；(2)MA=MB,ZAMB=90,NA-ND,ZAND=90,^?ΛABM

ΛβΛ?A

和AADV是等腰直角三角形，ABM^Afw,則——=——，再證NBAD=NMAN,可得A4B%AAMN,

ADAN

即可證明Aβ,8D;(3)CAWN=MA+Λ∕N+NA=MB+MN+NC由(2)的條件，可求出/BND=60。，

進而可得N3N4=3(Γ,根據(jù)直角三角形特殊角的關系可求出MMAM的值，進而可求出CAAw的值.

【詳解】⑴解：4WN是直角三角形，證明如下：根據(jù)題意得：MB=MA,NA=NC,

：.NB=NMAB/C=NAC,VABAC=MAB+ZMAN+ZNAC?35°,：.ZB+ZC+ZMATV=I35°,

,.?ZB+ZBAC=180o,ZBAC=135o,/.ZB+ZC=180°-ZBAC=180°-135°-45°,

ΛZWW=135o-(ZB+ZC)=135o-45o=90o,AAZN是直角三角形；

(2)證明：根據(jù)題意得：MA=MB,ZAMB=90o,NA=ND,ZAND=90°,

AR4A4

???AHM和△相>可是等腰直角三.角形，ΛABMADN,ZBAM=ZDAN=45o,Λ-

ADAN

?.?ZBAD=ZBAM÷ZMAE,ZMAN=ZDAN+ZMAE,ZBAM=ZDAN=45°,

ΛZBAD=ZMANf：.?ΛBD^?AMN.ΛZABD=ZAMN,

?；ZAMN=ZAMB=90°,：.ZABD=ZAMN=90°fΛAβ±BD;

(3)解：根據(jù)題意得：MA=MB,NA=NC,：.CAMN=MA+MN+NA=MB+MN+NC,

?：BN=MB+MN`：.CAMN=BN+NC,；ZXADN是等腰直角三角形，AD=2近,

：.NC=NA=ND=NA=2,,：ZBCD=30°,NC=ND、：.NBCD=NM)C=30°,

ABND=ZBCD+ZNDC=30o+30o=60o,*/ZATV￡>=90。，/.∕BΛ?=ZAND-∕8NE>=90°-60°=30°,

?/ZAMB=ZAMN=90o,:?MN=AN?cos300=曲義2=小，AM=AN?sin30°=^x2=l,

22

ΛBM=AM=?<：.BN=BM+MN=1+6ΛCAΛ7Λ,=BN+7VC=l+√3+2=3+√3.

【點睛】本題考查了三角形的變換、等腰直角三角形的性質(zhì)等知識點，證明三角形的相似得等角、根據(jù)特

殊直角三角形求值是解本題的關健，綜合性較強，難度較大.

18.（2022?湖北?校聯(lián)考一模）如圖，4A8C和AAOE都是等腰直角三角形，AE=DE,AC=BC=6屈,E為

BC的中點，連接BD（I）求證：AACEs^ABD;（2）將線段CE繞點C順時針旋轉(zhuǎn)α角（0。&）區(qū)60。），其他

條件不變，①線段8。的長度是否會發(fā)生變化？若不變，求出的長度；若變化，請說明理由；

②當a=。時，BD//AC.當α=。時，8O_LA。；（3）當旋轉(zhuǎn)角a從0。增大到60。時，直接寫

出點。運動的路徑長.

圖2

【答案】⑴見解析⑵①不變、BD=6?.②45°、30。⑶2萬

【分析】（1）根據(jù)已知條件可推導出NCAS=NAW,再根據(jù)兩邊對應成比例且夾角相等的兩個三角形相

似即可證明.（2）①根據(jù)（1）可知.ACEs.ABD,根據(jù)題意CE長度可求，再根據(jù)相似三角形的性質(zhì)即

可求得8D的長度.②分別畫出30〃AC、。時圖形，再根據(jù)（1〉可知AAcESCAβr>及平行線的

性質(zhì)、垂直的性質(zhì)即可解答.（3）點D運動軌跡在以8為圓心，BO長為半徑的圓上，點。運動軌跡即為

劣弧〃4,再求得仞?所對圓心角，再根據(jù)圓弧長度公式即可求得.

（I）YAABC和AAOE都是等腰直角三角形，AE=DE,AC=BC=6直.?.ZC4B=ZEAD=45°

,/ZCAB=ZCAE+NEAB,ZEAD=/FAR+NBADZCAE=ZBAD

"?'AB=√AC2+BCΞ=√2AC2=√2AC同理AD=√2AE

ΛβΛΓ）

：.—=—=√2,ZCAE=ZBAD：.ACE^ABD

ACAE

（2）∣?（1）可得AACESaΛBf）.?.空=警=夜：.BD=6CE

?.?E為BC的中點.?.CE=38C=3√Σ：.BD=辰E=?X3^=6；?BD長郵變,長度為6.

②如圖所示，'：BD//ACZDBC+ZBCA=180°

,.?ZBCA=90°ZDBC=90°；NCBA=45o,ZDBC=NCBA+ADBA/.ADBA=45°

由(1)可得「4CES,Afif).?.NEe4=/￡>84=45。

,Za=ΛBCA-ZECA=90°-45°=45°當Na=45。時8。〃AC.

如圖所示，BDLAZ)由(1)可得ACESABD

：.ZAEC=ZADB=90°：.ZECA+ZEAC=90°'：Za+ZECA=90°：.Z?=ZEAC

?：CE=LBC=3丘,AC=6他二在府，AEC中SinNEAC=四=斗=L

2AC6√22

ΛZEAC=30°二當Na=30°時,BCJMO故答案為45°、30°.

(3)如圖所示，YB。長度不變，.?.點。運動軌跡在以B為圓心，8。長為半徑的圓上，點。運動軌跡即為劣

弧如JVZa=60°由（1）可得ACESABD：.ZACE=ZABD=90°

.?.ZACE=30°=ZABD.?NDBn=60°，DD=Wpe=2π：.點D運動的路徑長為2萬.

11t360

【點睛】本題考查了三角形相似的判定及性質(zhì)、平行線的性質(zhì)、勾股定理、圓弧長度公式及三角函數(shù)等知

識點，正確的根據(jù)題意畫出圖形并正確掌握上述知識點是解答本題的關鍵.

19.（2022?浙江金華?校聯(lián)考模擬預測）已知扇形OA3的半徑為4,NAO8=90。，點P是OA的中點，點Q

是弧AB上的一個動點，如圖1,將扇形沿P0折疊，點A的對應點為A,連接AA.

（1）如圖2,當點。與點4重合時，求弧8。的長.（2）在點Q的運動過程中，求點4與點B之間的最小距離.

⑶如圖3,當。是弧AB上的中點時，求tan/APQ的值.

2

【答案】⑴§〃（2）2有-2⑶2+&

【分析】（1）如圖2中，連接OQ.想辦法證明/1=/2=30。即可解決問題；（2）如圖1中，連接B4,

PB.設AA'交尸。于，.根據(jù)軸對稱的性質(zhì)，三角形的三邊關系即可解決問題；（3）如圖3中，作Q∕ΛL0A

于從連接。Q?首先證明AOQ”是等腰直角三角形，解直角三角形APQ”即可解決問題；

⑴解：如圖2中，連接OQ.

；點P是。A的中點，J.OP=^-OA=?θQ,YsinnNl=黑=；,ΛZ1=30°,

由折疊的性質(zhì)知當點。與點A'重合時，ZOPQ=ZAPQ=90o,

'：ZAOB=90o,.?PQ∕∕OB,ΛZ2=Z1=30°,弧8。的長==2萬.

1803

（2）解：如圖1中，連接84,P8.設A4交P。于”.

?.?將扇形沿P。折疊，點A的對應點為4,...∕?=av,

.?.P在以點P為圓心，以Rr為半徑的圓上運動，在MAPOB中，PB=及2+不=2遙，

??PA,=^OA=2,BA,>PB-PA,,...BA的最小值為2石-2.故答案為2逐-2.

（3）解：如圖3中，作Q”_LOA于”.連接。Q?

：超=存Q，/408=90°,ZQOH