1數(shù)與數(shù)的發(fā)展

趣味數(shù)學(xué)主講人：李小春手機(jī)/p>

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Qq：14586701湖南農(nóng)業(yè)大學(xué)東方科技學(xué)院九教南105第一章數(shù)與數(shù)學(xué)的發(fā)展第一節(jié)數(shù)的發(fā)展第二節(jié)數(shù)學(xué)的發(fā)展1.1整數(shù)的誕生

公共汽車上，有一位年輕的媽媽抱著她的小寶寶坐在車窗邊，她正在教她的小寶寶數(shù)數(shù)呢。她伸出一個(gè)手指問：“這是幾呀？”正在咿呀學(xué)語的小孩望了望媽媽，答道：“一”。媽媽伸出了兩個(gè)手指問：“這是幾呀？”小孩想了想答道：“二”。媽媽又伸出三個(gè)手指，小孩猶豫了好一陣，回答：“三?！痹偕焖膫€(gè)手指時(shí)，小孩答不出來了。在這個(gè)小孩看來，那些手指實(shí)在太多了，他已經(jīng)數(shù)不清了。其實(shí)，能數(shù)到三，對一個(gè)黃口孺子來說，已經(jīng)很不簡單了。第一節(jié)數(shù)的發(fā)展

要知道，學(xué)會數(shù)數(shù)，那可是人類經(jīng)過成千上萬年的奮斗才得到的結(jié)果。我們的祖先--類人猿，他們根本不識數(shù)，他們對事物只有“有”與“無”這兩個(gè)數(shù)學(xué)概念。

結(jié)繩記事法

五千年前的埃及和美索不達(dá)米亞開始采用此方法。埃及人是把數(shù)字寫在一種紙草上，美索不達(dá)米亞的巴比倫人是把數(shù)字寫在軟粘土上，他們都是用單劃表示個(gè)位數(shù)，用不同的記號表示十位數(shù)和更高位的數(shù)。結(jié)繩記事契刻文字

又經(jīng)過了很長的時(shí)間，原始人終于從一頭野豬，一只老虎，一把石斧，一個(gè)人，……這些不同的具體事物中抽象出一個(gè)共同的數(shù)字--“1”。數(shù)“1”的出現(xiàn)對人類來說是一次大的飛躍。

例如在一個(gè)馬來人的部落里，如果你去問一個(gè)老頭的年齡，他只會告訴你：“我8歲”。這是怎么回事呢？因?yàn)樗麄冞€不會數(shù)超過“8”的數(shù)。對他們來說，“8”就表示“很多”。有時(shí)，他們實(shí)在無法說清自己的年齡，就只好指著門口的棕櫚樹告訴你：“我跟它一樣大?！?/p>

總之，人類由于生產(chǎn)、分配與交換的需要，逐步得到了“數(shù)”，這些數(shù)排列起來，可得：

1，2，3，4，…，10，11，12，…這就是自然數(shù)列。古漢語中數(shù)字的痕跡“九霄”指天的極高處“九派”泛指江河支流之多這說明，在一段時(shí)期內(nèi)，“九”曾用于表示“很多的意思。可能由于古人覺得，打了一只野兔又吃掉，野兔已經(jīng)沒有了，“沒有”是不需要用數(shù)來表示的。所以數(shù)“0”出現(xiàn)得很遲。換句話說，零不是自然數(shù)。后來由于實(shí)際需要又出現(xiàn)了負(fù)數(shù)。我國是最早使用負(fù)數(shù)的國家。西漢（公元前二世紀(jì)）時(shí)期，我國就開始使用負(fù)數(shù)?！毒耪滤阈g(shù)》中已經(jīng)給出正負(fù)數(shù)運(yùn)算法則。人們在計(jì)算時(shí)就用兩種顏色的算籌分別表示正數(shù)和負(fù)數(shù)，而用空位表示“0”，只是沒有專門給出0的符號?！?”這個(gè)符號，最早在公元五世紀(jì)由印度人阿爾耶婆哈答使用。到這時(shí)候，“整數(shù)”才完整地出現(xiàn)了。1.2.十進(jìn)制手指與數(shù)學(xué)的關(guān)系

幾百萬年前原始人捕殺的野獸抬到火堆邊點(diǎn)數(shù)。他們是怎么點(diǎn)數(shù)的呢？就用他們的“隨身計(jì)數(shù)器”吧。一個(gè)，二個(gè)，……，每個(gè)野獸對應(yīng)著一根手指。等到十個(gè)手指用完，怎么辦呢？先把數(shù)過的十個(gè)放成一堆，拿一根繩，在繩上打一個(gè)結(jié)，表示“手指這么多野獸”（即十只野獸）。再從頭數(shù)起，又?jǐn)?shù)了十只野獸，堆成了第二堆，再在繩上打個(gè)結(jié)。這天，他們的收獲太豐盛了，一個(gè)結(jié)，二個(gè)結(jié)，……，很快就數(shù)到手指一樣多的結(jié)了。于是換第二根繩繼續(xù)數(shù)下去。假定第二根繩上打了3個(gè)結(jié)后，野獸只剩下6只。那么，這天他們一共獵獲了多少野獸呢？1根繩又3個(gè)結(jié)又6只，用今天的話來說，就是

1根繩=10個(gè)結(jié)，1個(gè)結(jié)=10只。所以1根繩3個(gè)結(jié)又6只=136只。海德堡人狩獵復(fù)原圖

其它的進(jìn)位制比如瑪雅人用的是二十進(jìn)制。我國古時(shí)候還有五進(jìn)制（算盤）而巴比侖人則用過六十進(jìn)制，現(xiàn)在的時(shí)間進(jìn)位，還有角度的進(jìn)位就用的六十進(jìn)制，換算起來就不太方便。英國人則用的是十二進(jìn)制（1英尺=12英寸，l籮=12打，1打=12個(gè)）。在我們的日常生活中還用到過什么別的進(jìn)制嗎？干支記數(shù)法是一種特有的60進(jìn)制的記數(shù)方法十天干：甲、乙、丙、丁、戊、己、庚、辛、壬、癸十二地支：子、丑、寅、卯、辰、巳、午、未、申、酉、戌、亥干支計(jì)數(shù)法六十甲子

干支干支干支干支干支干支干支干支干支干支甲子乙丑丙寅丁卯戊辰己巳庚午辛未壬申癸酉甲戌乙亥丙子丁丑戊寅己卯庚辰辛巳壬午癸未甲申乙酉丙戌丁亥戊子己丑庚寅辛卯壬辰癸巳甲午乙未丙申丁酉戊戌己亥庚子辛丑壬寅癸卯甲辰乙巳丙午丁未戊申己酉庚戌辛亥壬子癸丑甲寅乙卯丙辰丁巳戊午己未庚申辛酉壬戌癸亥1.3記數(shù)法直到兩萬五千年前，人們說“用你的槍頭換我的鹿”的時(shí)候，還只能用一個(gè)指頭表示一只鹿，三個(gè)指頭表示三個(gè)槍頭。這種一個(gè)指頭表示一件東西、三個(gè)指頭表示三件東西的原始計(jì)數(shù)法，就是他們掌握的全部算術(shù)知識了。在那以后的幾千年里，他們一直把任何大于三的數(shù)量理解為“一群”，或者“一堆”。

五千到八千年前，生產(chǎn)力的發(fā)展導(dǎo)致國家雛形的產(chǎn)生，生產(chǎn)規(guī)模的擴(kuò)大則刺激了人們對大數(shù)的需要。比如某個(gè)原始國家組織了一支部隊(duì)，國王陛下總不能老是說：“我的這支戰(zhàn)無不勝的部隊(duì)共計(jì)有9名士兵！”于是，慢慢地就出現(xiàn)了“十”、“百”、“千”、“萬”這些符號。在我國商代的甲骨文上就有“八日辛亥允戈伐二千六百五十六人”的刻文。即在八日辛亥那天消滅敵人共計(jì)2656人。在商周的青銅器上也刻有一些大的數(shù)字。以后又出現(xiàn)了“億”、“兆”這樣的大數(shù)單位。而在古羅馬，最大的記數(shù)單位只有“千”。他們用M表示一千?！叭А眲t寫成“MMM”?！耙蝗f”就得寫成“MMMMMM－MMMM”。真不敢想象，如果他們需要記一千萬時(shí)怎么辦，難道要寫上一萬個(gè)M不成？

在古印度，使用了一系列大數(shù)單位后，最后的最大的數(shù)的單位叫做“恒河沙”。是呀，恒河中的沙子你數(shù)得清嗎！然而，古希臘有一位偉大的學(xué)者，他卻數(shù)清了“充滿宇宙的沙子數(shù)”，那就是阿基米德。他寫了一篇論文，叫做《計(jì)沙法》，在這篇文章中，他提出的記數(shù)方法，同現(xiàn)代數(shù)學(xué)中表示大數(shù)的方法很類似。他從古希臘的最大數(shù)字單位“萬”開始，引進(jìn)新數(shù)“萬萬（億）”作為第二階單位，然后是“億億”（第三階單位），“億億億”（第四階單位），等等，每階單位都是它前一階單位的1億倍。

阿基米德的同時(shí)代人、天文學(xué)家阿里斯塔克斯曾求出地球到天球面距離10，000，000，000斯塔迪姆（1斯塔迪姆=188米），這個(gè)距離當(dāng)然比現(xiàn)在我們所認(rèn)識的宇宙要小得多，這才僅僅是太陽到土星的距離。阿基米德假定這個(gè)“宇宙”里充滿了沙子。然后開始計(jì)算這些沙子的數(shù)目。最后他寫道：“顯然，在阿里斯塔克斯計(jì)算出的天球里所能裝入的沙子的粒數(shù)，不會超過一千萬個(gè)第八階單位?！比绻堰@個(gè)沙子的數(shù)目寫出來，就是或者就得在1后邊寫上63個(gè)0：1，000，000，000，000，000，000，000，000，000，000，000，000，000，000，000，000，000，000，000，000。這個(gè)數(shù)，我們現(xiàn)在可以把它寫得簡單一些：即寫成

而這種簡單的寫法，據(jù)說是印度某個(gè)不知名的數(shù)學(xué)家發(fā)明的?，F(xiàn)在，我們還可更進(jìn)一步把這種方法推廣到記任何數(shù)，例如：32，000，000就可記為1.4皮亞諾公理一位聰明天真的小朋友問他的媽媽：“為什么2加2等于4？”媽媽答道：“連這么簡單的算術(shù)都不懂！”于是這位母親伸出左手的兩個(gè)指頭，又伸出右手的兩個(gè)指頭，左右的兩個(gè)指頭往一起一并，說：“這就叫2加2，你數(shù)一數(shù)，看是不是4？”孩子勉強(qiáng)點(diǎn)頭，接著又問：“可是4是什么玩意兒呢？”媽媽語言無語。是呀，如果說母親說這些指頭的數(shù)目就叫做4，孩子再追問什么叫做999999999，那可就不好用指頭之類的東西來比劃著解釋了！

為什么2+2=4,4+4=8，等等，確實(shí)是一個(gè)嚴(yán)肅的數(shù)學(xué)問題。

原始人已有自然數(shù)的原始概念。他們用小石頭來記錄捕捉的獵物的個(gè)數(shù)（或用“結(jié)繩記事”法）公元6世紀(jì)，印度數(shù)學(xué)家引入零的符號“0”，它是自然數(shù)的“排頭”。到了19世紀(jì)，皮亞諾（G.Peano，1858～1932）提出了五條算術(shù)公理，才從理論上徹底解決了什么是自然數(shù)，為什么2＋2＝4等數(shù)學(xué)上的這些幾本問題，五條公理：

公理10是自然數(shù)。公理2

任何自然數(shù)的后繼是自然數(shù)。公理30不是任何數(shù)的后繼。公理4

不同的自然數(shù)后繼不同。公理5

對于某一性質(zhì)，若0有此性質(zhì)，而且若某自然數(shù)有此性質(zhì)時(shí)，它后繼也有此性質(zhì)，則一切自然數(shù)都有此性質(zhì)。

第五公理談的是數(shù)學(xué)歸納法。一個(gè)自然數(shù)生出它的后繼的過程是加法，記成0＋1＝1，1＋1＝2，2＋1＝3，3＋1＝4，n＋1＝（n＋1）等等。

由皮式的公理可以明確無誤地回答什么是自然數(shù)的問題，例如4是什么？答：4是3的后繼，或曰4是3之子，3呢？3是2的后繼，2呢？2是1的后繼，1呢？1是0的后繼，0呢？0是祖宗，它不是誰的后繼，是自然數(shù)的發(fā)源點(diǎn)。2＋2＝4證明如下：因?yàn)?＋1＝2，所以2＋2＝（1＋1）＋（1＋1），由結(jié)合律得

2＋2＝（1＋1）＋（1＋1）＝（1＋1＋1）＋1，又因?yàn)?＋1＋1＝（1＋1）＋1＝2＋1＝3

所以2＋2＝3＋1，而3＋1＝4，故知2＋2＝4是正確的。證畢。

有了加法的概念，減法是加法的逆運(yùn)算，乘法是幾個(gè)數(shù)連加的“簡寫”，除法是乘法的逆運(yùn)算?？梢?，從皮式公理出發(fā)已經(jīng)把＋－×÷的概念弄的水落石出，不再是那種原始的直觀感覺（例如結(jié)繩記事）或死記的九九表了。

查閱《現(xiàn)代漢語》上的加法詞目，詞典稱：“加法，數(shù)學(xué)中的一種運(yùn)算方法，兩個(gè)或兩個(gè)以上的數(shù)合成一個(gè)數(shù)的方法?！边@種解釋實(shí)在科學(xué)，例如它只說“合成一個(gè)數(shù)”，并不說這個(gè)數(shù)（我們稱其為和）是多少。事實(shí)上，現(xiàn)代數(shù)學(xué)對于1＋1的和未必總是算出2來的。遙想原始人只是“有”與“無”兩個(gè)概念，就是現(xiàn)代，有時(shí)也只需要考慮有與無，是與否，而不必細(xì)說有多少，例如我們要寫字，關(guān)心的是有筆還是沒有筆，至于有筆時(shí)有幾枝，那都是一回事，如果這個(gè)時(shí)候規(guī)定0代表無（或否），1代表有（或是），則應(yīng)有

0＋0＝00＋1＝11＋0＝11＋1＝1

這個(gè)1＋1＝1的算式有點(diǎn)不習(xí)慣，但對于此處的實(shí)際背景，如此定義加法是再合適不過了。這種1＋1不等于2，而等于1的加法稱為“邏輯和”，1＋1＝1。于是播放電視也是如此1.5無理數(shù)公元前5世紀(jì)，圖3.5黃金比的幾何作圖法(一)畢德哥拉斯學(xué)派發(fā)現(xiàn)了一些直角三角形的三邊不能用整數(shù)或整數(shù)之比來表示的事實(shí)有理數(shù)和無理數(shù)的小數(shù)表達(dá)式任何有理數(shù)都具有一個(gè)有限的或循環(huán)的小數(shù)表達(dá)式，反之，任何有限的或循環(huán)的小數(shù)表達(dá)式都表示一個(gè)有理數(shù)。而無理數(shù)的小數(shù)表達(dá)式是無限不循環(huán)的；反之，任何無限不循環(huán)小數(shù)表達(dá)式都表示一個(gè)無理數(shù)。重要的性質(zhì)：在任何兩個(gè)不同的正無理數(shù)之間都存在一個(gè)有理數(shù)。事實(shí)上，如果a和b（o＜a＜b）表示兩個(gè)無理數(shù)，且它們的小數(shù)表達(dá)式為設(shè)i是使得（n=0，1，2，…）的第一個(gè)n值。于是，就是a和b之間的一個(gè)有理數(shù)。1.6復(fù)數(shù)虛數(shù)是負(fù)數(shù)開平方的產(chǎn)物，它是在代數(shù)方程求解過程中逐步為人們所發(fā)現(xiàn)的公元三世紀(jì)的丟番圖只接受正有理根而忽略所有其它根，當(dāng)方程兩個(gè)負(fù)根或虛根時(shí)，他就稱它是不可解的。十二世紀(jì)印度的婆什伽羅指出：“負(fù)數(shù)沒有平方根，因?yàn)樨?fù)數(shù)不可能是平方數(shù)”卡當(dāng)（1545）解方程得到根和。這使卡當(dāng)迷惑不解，并稱負(fù)數(shù)的平方根是“虛構(gòu)的”、“超詭辯的力量”。

17世紀(jì)，盡管用公式法解方程時(shí)經(jīng)常產(chǎn)生虛數(shù)，但是對它的性質(zhì)，當(dāng)時(shí)仍沒有認(rèn)識。萊布尼茲說：“那個(gè)我們稱之為虛的－1的平方根，是圣靈在分析奇觀中的超凡顯示，是介于存在與不存在之間的兩棲物，是理想世界的瑞兆?！?/p>

1.7大數(shù)

有這么一個(gè)故事，說的是兩個(gè)匈牙利貴族決定做一次數(shù)數(shù)游戲——誰說出的數(shù)字最大誰贏?！昂?，”一個(gè)貴族說，“你先說吧!”

另一個(gè)絞盡腦汁想了好幾分鐘，最后說出了他所想到的最大數(shù)字：“3”。現(xiàn)在輪到第一個(gè)動腦筋了?？嗨稼は肓艘豢嚏娨院?，他表示棄權(quán)說：“你贏啦!”

現(xiàn)在，我們都習(xí)慣地認(rèn)為，我們想把某個(gè)數(shù)字寫成多大，就能寫得多大——戰(zhàn)爭經(jīng)費(fèi)以分為單位來表示啦，天體間的距離用英寸來表示啦，等等——只要在某個(gè)數(shù)字的后面接上一串零就是了。你可以一直這樣寫下去，直到手腕發(fā)酸為止。這樣，盡管目前已知的宇宙中所有原子的數(shù)目已經(jīng)很大，等于300000000

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000，上面這個(gè)數(shù)可以改寫得短一些，即寫成

在古代，那些很大的數(shù)目字，如天上的星星，海里面游魚的條數(shù)，沙灘上的沙子的粒數(shù)等等，都是“不計(jì)其數(shù)”，就像“5”這個(gè)數(shù)字對原始部落來說也是“不計(jì)其數(shù)”，只能說成“很多”。曾經(jīng)有個(gè)人在大數(shù)目上吃了虧，那就是印度的舍罕王。國王獎賞象棋（國際象棋）的發(fā)明人和進(jìn)貢者，宰相西薩.班.達(dá)依爾。這個(gè)大臣看起來胃口不到，在每個(gè)象棋的格子上以兩倍遞增的麥子數(shù)目鋪滿象棋就可以了。國王還很欣賞這位大臣認(rèn)為他要的不多。結(jié)果卻發(fā)現(xiàn)麥子根本夠。

根據(jù)宰相的要求，一共要需要有18446744073709551615顆麥粒!這位宰相的要求竟是全世界在2000年內(nèi)所生產(chǎn)的全部小麥!

另一個(gè)由大數(shù)日字當(dāng)主角的故事也出自印度，它是和“世界末日”的問題有關(guān)的。偏愛數(shù)學(xué)的歷史學(xué)家鮑爾(Ball)是這樣講述這段故事的：在世界中心貝拿勒斯一的圣廟里，安放著一個(gè)黃銅板，板上插著三根寶石針。，每根針高約1腕尺(1腕尺大約合20英寸)，像韭菜葉那樣粗細(xì)。梵天…在創(chuàng)造世界的時(shí)候，在其中的一根針上從下到上放下了由大到小的64片金片。這就是所謂梵塔。不論白天黑夜，都有一個(gè)值班的僧侶按照梵天卜渝的法則，把這些金片在三根針上移來移去：一次只能移一片，并且要求不管在哪一根針上，小片永遠(yuǎn)在大片的上面。當(dāng)所有64片都從梵天創(chuàng)造世界時(shí)所放的那根針上移到另外一根針上時(shí)，世界就將在一聲霹靂中消滅，梵塔、廟宇和眾生都將同歸十盡。移動金片的規(guī)律是：不管把哪一片移到另一根上．移動的次數(shù)總要比移動上面一片增加一倍。第一片只需一次第二片就按幾何級數(shù)加倍。這樣，當(dāng)把第64片電移走后：總的移動次數(shù)便和西薩‘班·達(dá)依爾所要求的麥粒數(shù)一樣多，即18446744073709551615次

那么移動全部金針需要多少時(shí)間呢?一年有31558000秒。假如僧侶們每一秒鐘移動一次，日夜不停，節(jié)假日照常干，也需要將近5800億年才能完成。把這個(gè)純屬傳說的寓言和按現(xiàn)代科學(xué)得出的推測對比一下倒是很有意思的。按照現(xiàn)代的宇宙進(jìn)化論，恒星、太陽、行星(包括地球)足在大約30億年前南不定形物質(zhì)形成的。我們還知道，給恒星，特別是給太陽提供能量的“原子燃料”還能維持100億～150億年(見“創(chuàng)世的年代”一章)。因此，我們太陽系的整個(gè)壽命無疑要短于200億年，而不像這個(gè)印度傳說中所宣揚(yáng)的那樣長!不過，傳說畢竟只是傳說啊!印刷行數(shù)問題

假設(shè)有一臺印刷機(jī)器可以連續(xù)印出一行行文字，并且每一行都能自動換一個(gè)字母或其他印刷符號，從而變成與其他行不同的字母組合。這樣一架機(jī)器包括一組網(wǎng)盤，盤與盤之間像汽車?yán)锍瘫砟菢友b配，盤緣刻有全部寧母和符號。這樣，每一片輪盤轉(zhuǎn)動一周，就會帶動下一個(gè)輪盤轉(zhuǎn)動一個(gè)符號。紙張通過滾筒自動送人盤下。這樣的機(jī)器制造起來沒有太大的困難，圖4是這種機(jī)器的示意圖。

開始印刷出的都是沒有什么意思，如：

也能找出有意思但又是胡說八道的句子：horsehassixlegsand不過，只要找下去，可以找到包括莎士比亞的每一行著作，甚至世界上所有的句子。既然如此，還要出版社干什么呢？直接裝這個(gè)機(jī)器就是了，可為什么沒有人這么干呢？

英語中有26個(gè)字母、10個(gè)數(shù)碼(0，l，2，…，9)、還有14個(gè)常用符號(空白、句號、逗號、冒號、分號、問號、驚嘆號、破折號、連字符、引號、省略號、小括號、中括號、大括號)．其50個(gè)字符。再假設(shè)這臺機(jī)器有65個(gè)輪盤，以對應(yīng)每一印刷行的平均字?jǐn)?shù)。印出的每一行中，排頭的那個(gè)字符可以是50個(gè)字符當(dāng)中的任何一個(gè)，因此有50種可能性，對這50種可能性當(dāng)中的每一種，第二個(gè)字符又有50種可能性，因此共有50×50=2500種，那么整行的可能性，或者即

這個(gè)數(shù)字有多大呢？假定前面提到過宇宙的每個(gè)原子都變成一臺獨(dú)立的印刷機(jī)，這樣有部機(jī)器同時(shí)工作。再假定所有機(jī)器從地球誕生以來就一直工作，即工作了30億年或者是秒，再假定這些機(jī)器工作的頻率是以原子的振動進(jìn)行工作，那一秒可印出

行那么，這些機(jī)器印出的總行數(shù)大約是這只不過是上述可能性的三千分之一而已。無窮大的計(jì)數(shù)上面談了很多很大的數(shù)，雖然大的驚人，但是只要有足夠的時(shí)間，人們還是寫的出來的。然而，有些無窮大的數(shù)，它比我們所能寫出的無論多長的數(shù)都還要大，如“整數(shù)的個(gè)數(shù)”和“一直線所有幾何點(diǎn)的個(gè)數(shù)”，這些都是無窮大的。但這些數(shù)除了是無窮大外，我們還能說什么呢？我們可以比較一下上面那兩個(gè)無窮大的數(shù)嗎？

“所有整數(shù)的個(gè)數(shù)和一條線上所有幾何點(diǎn)的個(gè)數(shù)，究竟哪個(gè)大些?”——這個(gè)問題有意義嗎?乍一看，提這個(gè)問題可真是頭腦發(fā)昏，但是，著名數(shù)學(xué)家康托爾(GeorgCantor)首先思考了這個(gè)問題。因此，他確實(shí)可被稱為“無窮大數(shù)算術(shù)”的奠基人。

無窮大的數(shù)進(jìn)行大小的比較時(shí)，會有這個(gè)問題：這些數(shù)不能讀出來，也無法寫出來，怎么比較呢？這就像原始人面對一大堆野獸究竟是兔子多還是野雞多呢？原始人的數(shù)數(shù)不超過3，那他們怎么比較兔子多還是野雞的多呢？他們采用的方法是一一配對法則?？低袪査岢龅谋容^兩個(gè)無窮大數(shù)的方法正好與此相同：我們可以給兩組無窮大數(shù)列中的各個(gè)數(shù)一一配對。如果最后這兩組都一個(gè)不剩，這兩組無窮大就是相等的；如果有一組還有些數(shù)沒有配出去，這一組就比另一組大些，或者說強(qiáng)些。顯然這個(gè)方法很合理，但是面對實(shí)踐的時(shí)候，會大吃一驚。如所有的偶數(shù)和奇數(shù)可一一對應(yīng)。所有的整數(shù)和偶數(shù)可一一對應(yīng)無窮大的世界里，部分可能等于全部希爾伯特對無窮大的敘述：我們設(shè)想有一家旅店，內(nèi)設(shè)有限個(gè)房間，而所有的房間都已客滿。這時(shí)來了位新客，想訂個(gè)房間。旅店主說：“對不起，所有的房間都住滿了?！爆F(xiàn)在再設(shè)想另一家旅店，內(nèi)設(shè)無限多個(gè)房問，所有房間也都客滿了。這時(shí)也有一位新客來臨，想訂個(gè)房間?！安怀蓡栴}!”旅店主說。接著，他就把一號房間里的旅客移至二號房間，二號房間的旅客移到三號房間，三號房間的旅客移到四號房問，等等，這一來，新客就住進(jìn)了巳被騰空的一號房間。我們再設(shè)想一家有無限多個(gè)房間的旅店，各個(gè)房間也都住滿了。這時(shí)，又來了無窮多位要求訂房間的客人，“好的，先生們，請等一會兒?！甭玫曛髡f，，她把一號房間的旅客移到二號房間，二號房間的旅客移到四號房間，三號房間的旅客移到六號房間，如此，如此。現(xiàn)在，所有的單號房間都騰出來了：新來的無窮多位客人可以住進(jìn)去了定義：能與自然數(shù)集N構(gòu)成一一對應(yīng)關(guān)系的集合，就稱為可列集或可數(shù)集。記為（讀阿萊夫）。所有的普通分?jǐn)?shù)的數(shù)目和所有的整數(shù)相同那么是不是所有的無窮大數(shù)都是相等的呢？結(jié)論：線段上的點(diǎn)比整數(shù)的個(gè)數(shù)要多的多！也就是說線上的點(diǎn)數(shù)所構(gòu)成的無窮大數(shù)大于（或強(qiáng)于）所有整數(shù)或分?jǐn)?shù)所構(gòu)成的無窮大數(shù)?，F(xiàn)考慮一寸長的線段與整數(shù)的一一對應(yīng)關(guān)系，那么線段上的每一個(gè)點(diǎn)用這一點(diǎn)到這條線上一端的距離來表示。如0.7350624780056…

或者0.38250375632

…上面寫的這些小數(shù)和這類分?jǐn)?shù)有什么不同呢？規(guī)則：每個(gè)普通分?jǐn)?shù)可以化成無窮循環(huán)小數(shù)。如已證所有循環(huán)小數(shù)的數(shù)目必定與所有整數(shù)的數(shù)目相等

因?yàn)橐粭l線段上的點(diǎn)不可能都有循環(huán)小數(shù)表示，絕大多數(shù)點(diǎn)都是有不循環(huán)的小數(shù)表示的，所以，一一對應(yīng)關(guān)系不成立，現(xiàn)反證如下N不屬于左表的小數(shù)10.38602563078…非3非7非3非6非5非3等等20.57350762050…30.99356753207…0.52740740.25763200456…50.00005320562…0.05277365642………結(jié)論

無論多長的線段的點(diǎn)數(shù)是一樣多的簡證右圖，AB和AC為不同長度的兩條線段，現(xiàn)在要比較它們的點(diǎn)數(shù)。過AB的每一個(gè)點(diǎn)作BC的平行線，都會與AC相交，這樣就形成了一組點(diǎn)。如D與D’，E與E’等，對AB上的任意一點(diǎn)，AC上都有一個(gè)點(diǎn)和它相對應(yīng)，反之亦然。這樣，就建立了一一對應(yīng)的關(guān)系?？梢姡凑瘴覀兊囊?guī)則，這兩個(gè)無窮大數(shù)是相等的。重要結(jié)論平面上所有的點(diǎn)數(shù)和線段上所有的點(diǎn)數(shù)相等立方體內(nèi)所有的點(diǎn)數(shù)和平面上或線段上的所有點(diǎn)數(shù)相等。假定線段上某點(diǎn)的位置是O．75120386…。我們可以把這個(gè)數(shù)按奇分位和偶分位分開，組成兩個(gè)不同的小數(shù)：

0.7108…和0.5236…以這兩個(gè)數(shù)分別量度正方形的水平方向和垂直方向的距離，便得出一個(gè)點(diǎn)，這個(gè)點(diǎn)就叫做原來線段上那個(gè)點(diǎn)的“對偶點(diǎn)”。反之亦然無窮大數(shù)的頭三級最大的質(zhì)數(shù)定義：不能用兩個(gè)或兩個(gè)以上較小整數(shù)的乘積來表示的數(shù)。如，1，2，3，5等等。歐幾里德問題－最大的質(zhì)數(shù)不存在最大的質(zhì)數(shù)反證如下：設(shè)N為最大的質(zhì)數(shù)，則為一個(gè)數(shù)，但這個(gè)數(shù)是不能被到N為止任何質(zhì)數(shù)整除的，因此這個(gè)數(shù)是質(zhì)數(shù)，矛盾。1.8＋－×÷工藝品（1）1×6363121×63762312321×637762231234321×6377762223123454321×63＝777762222312345654321×637777762222231234567654321×6377777762222223123456787654321×63777777762222222312345678987654321×63777777776222222223例如第五行的7777622223是這樣得到的：

7777×（100000－1）＝7777700000－77777

＝777762222377777×99999＝7×9×（11111×11111）＝123454321×63（2）（1＋1＋1）×37＝111，（5＋5＋5）×37＝555，（2＋2＋2）×37＝222，（6＋6＋6）×37＝666，（3＋3＋3）×37＝333，（7＋7＋7）×37＝777，（4＋4＋4）×37＝444，（8＋8＋8）×37＝888，（9＋9＋9）×37＝999道理111÷37＝3（3）7×15873＝111111，35×15873＝55555514×15873＝222222，42×15873＝66666621×15873＝333333，49×15873＝77777728×15873＝444444，56×15873＝88888863×15873＝999999111111÷7＝15873

（1＋2＋1）×121＝22×22，（1＋2＋3＋2＋1）×12321＝333×333，（1＋2＋3＋4＋3＋2＋1）×1234321＝4444×4444，（1＋2＋3＋4＋5＋4＋3＋2＋1）×123454321＝55555×55555，（1＋2＋3＋4＋5＋6＋5＋4＋3＋2＋1）×1234564321＝

666666×666666，（1＋2＋3＋4＋5＋6＋7＋6＋5＋4＋3＋2＋1×12345674321＝7777777×7777777，（1＋2＋3＋4＋5＋6＋7＋8＋7＋6＋5＋4＋3＋2＋1）×123456784321＝88888888×88888888（1＋2＋3＋4＋5＋6＋7＋8＋9＋8＋7＋6＋5＋4＋3＋2＋1）×123456784321＝999999999×999999999，[1+2+3+…+(n-1)]+n+[(n－1)＋（n－2）＋…＋3＋2＋1]=

=

121＝11×11，

12321＝111×111，

1234321＝1111×1111，

123454321＝11111×11111，

12345654321＝111111×111111，

1234567654321＝1111111×1111111，

123456787654321＝11111111×11111111，

12345678987654321＝111111111×111111111

11…1

×）11…111…1111…11＋）11…11

12…（n－1）n（n－1）…211三大類科學(xué)：自然科學(xué)、社會科學(xué)、認(rèn)識和思維的科學(xué)。自然科學(xué)：數(shù)學(xué)、物理學(xué)、化學(xué)、天文學(xué)、地理學(xué)、生物學(xué)、工程學(xué)、農(nóng)學(xué)、醫(yī)學(xué)等學(xué)科。第二節(jié)數(shù)學(xué)的發(fā)展數(shù)學(xué)是自科之父，數(shù)學(xué)是思維的體操數(shù)學(xué)的本質(zhì)：研究現(xiàn)實(shí)世界的數(shù)量關(guān)系與空間形式的科學(xué)?；蚝唵沃v，數(shù)學(xué)是研究數(shù)與形的科學(xué)。

2.1初等數(shù)學(xué)時(shí)期初等數(shù)學(xué)時(shí)期是指從原始人時(shí)代到17世紀(jì)中葉，這期間數(shù)學(xué)研究的主要對象是常數(shù)、常量和不變的圖形。形成幾何、算術(shù)、代數(shù)、三角等獨(dú)立學(xué)科。大致相當(dāng)于現(xiàn)在中小學(xué)數(shù)學(xué)課的主要內(nèi)容。主要的形成地：公元前3000年左右，黃河流域的中國；尼羅河下游的埃及；幼發(fā)拉底河與底格里斯河的巴比倫國；印度河與恒河的印度。主要成果1.巴比倫數(shù)學(xué)泥版表明：（1）公元前2000年左右即開始使用60進(jìn)位制的記數(shù)法進(jìn)行計(jì)算，并出現(xiàn)了60進(jìn)位的分?jǐn)?shù)，用與整數(shù)同樣的法則進(jìn)行計(jì)算；發(fā)明倒數(shù)、乘法、平方、立方、平方根、立方根的數(shù)表并借助于倒數(shù)表，除法常轉(zhuǎn)化為乘法進(jìn)行計(jì)算。（2）公元前300年左右，已得到60進(jìn)位的達(dá)17位的大數(shù)；具有解一次、二次(個(gè)別甚至有三次、四次)數(shù)字方程的經(jīng)驗(yàn)公式；會計(jì)算簡單直邊形的面積和簡單立體的體積，并且可能知道勾股定理的一般形式。巴比倫人對于天文、歷法很有研究，因而算術(shù)和代數(shù)比較發(fā)達(dá)。特征：巴比倫數(shù)學(xué)具有算術(shù)和代數(shù)的特征，幾何只是表達(dá)代數(shù)問題的一種方法。這時(shí)還沒有產(chǎn)生數(shù)學(xué)的理論。2古埃及根據(jù)兩卷紙草書（一種植物）。公元前1850年，包含25個(gè)問題(叫“莫斯科紙草文書”，現(xiàn)存莫斯科)；另一卷約寫于公元前1650年，包含85個(gè)問題(叫“萊因德紙草文書”，是英國人萊因德于1858年發(fā)現(xiàn)的)。（1）采用10進(jìn)位制的記數(shù)法。正整數(shù)運(yùn)算基于加法，乘法是通過屢次相加的方法運(yùn)算的。除了幾個(gè)特殊分?jǐn)?shù)之外，所有分?jǐn)?shù)均極化為分子是一的“單位分?jǐn)?shù)”之和，分?jǐn)?shù)的運(yùn)算獨(dú)特而又復(fù)雜。利用了三邊比為3：4：5的三角形測量直角。（2）測量土地。幾何問題多是講度量法的，涉及到田地的面積、谷倉的容積和有關(guān)金字塔的簡易計(jì)算法。只強(qiáng)調(diào)應(yīng)用，并沒有出現(xiàn)對公式、定理、證明加以理論推導(dǎo)的傾向。埃及數(shù)學(xué)的一個(gè)主要用途是天文研究，也在研究天文中得到了發(fā)展。3古希臘

古典時(shí)期（公元前6世紀(jì)－公元前4世紀(jì)）代表人物：泰勒斯、畢達(dá)哥拉斯學(xué)派。主要成就：芝諾悖論；幾何“三大問題”；柏拉圖強(qiáng)調(diào)幾何對培養(yǎng)邏輯思維能力的重要作用；亞里士多德建立了形式邏輯；德謨克利特把幾何量看成是由許多不可再分的原子所構(gòu)成。附注：1.化圓為方——求作一正方形使其面積等於一已知圓；2.三等分任意角；3.倍立方－求作一立方體使其體積是一已知立方體的二倍。亞歷山大里亞時(shí)期（公元前4世紀(jì)末至公元1世紀(jì)）三大成就：歐幾里得的幾何學(xué)；阿基米德的窮竭法和阿波羅尼的圓錐曲線論。標(biāo)志著當(dāng)時(shí)數(shù)學(xué)的主體部分——算術(shù)、代數(shù)、幾何基本上已經(jīng)建立起來了。公元前47年，羅馬人征服了希臘并焚毀了亞歷山大里亞圖書館，公元640年，回教徒征服埃及，殘留的書籍被阿拉伯征服者歐默下令焚毀。由于外族入侵和古希臘后期數(shù)學(xué)本身缺少活力，希臘數(shù)學(xué)衰落了。5世紀(jì)到15世紀(jì)，數(shù)學(xué)發(fā)展的中心轉(zhuǎn)移到了東方的印度、中亞細(xì)亞、阿拉伯國家和中國。一千多年里由于天文學(xué)的需要使得計(jì)算有很大的發(fā)展。4印度（公元五至十二世紀(jì)的全盛時(shí)期）主要成就：499年阿耶波多著的天文書《圣使策》的第二章，已開始把數(shù)學(xué)作為一個(gè)學(xué)科體系來討論。628年婆羅門這多(梵藏)著《梵圖滿手冊》，講解對模式化問題的解法，由基本演算和實(shí)用算法組成；講解正負(fù)數(shù)、零和方程解法，由一元一次方程、一元二次方程、多元一次方程等組成。已經(jīng)有了相當(dāng)于未知數(shù)符號的概念，能使用文字進(jìn)行代數(shù)運(yùn)算。5阿拉伯穆罕默德統(tǒng)一了整個(gè)民族，并在他死(632年)后不到半個(gè)世紀(jì)內(nèi)征服了從印度到西班牙的大片土地，包括北部非洲和南意大利。阿拉伯文明在1000年前后達(dá)到頂點(diǎn)，在1100年到1300年間，東部阿拉伯世界先被基督教十字軍打擊削弱，后來又遭到了蒙古人的蹂躪。1492年西部阿拉伯世界被基督教教徒征服，阿拉伯文明被推毀殆盡。

繁榮時(shí)期(公元8至15世紀(jì))三個(gè)特點(diǎn)：實(shí)踐性；與天文學(xué)有密切關(guān)系；對古典著作做大量的注釋。翻譯歐幾里得、阿基米得等人的希臘數(shù)學(xué)著作。花拉子模著的《代數(shù)學(xué)》成為阿拉伯代數(shù)學(xué)的范例。1200年之后，阿拉伯?dāng)?shù)學(xué)進(jìn)入衰退時(shí)期。初期的阿拉伯?dāng)?shù)學(xué)在12世紀(jì)被譯為拉丁文，通過達(dá)·芬奇等傳播到西歐，使西歐人重新了解到希臘數(shù)學(xué)。6西歐中世紀(jì)（5世紀(jì)到14世紀(jì)）”黑暗時(shí)代“文藝復(fù)習(xí)（15世紀(jì)開始）主要成就：最壯觀的數(shù)學(xué)成就是塔塔利亞、卡爾達(dá)諾、拜別利等發(fā)現(xiàn)三次和四次方程的代數(shù)解法，接受了負(fù)數(shù)并使用了虛數(shù)。16世紀(jì)最偉大的數(shù)學(xué)家是韋達(dá)，他的《分析方法入門》改進(jìn)了符號，使代數(shù)學(xué)大為改觀；斯蒂文創(chuàng)設(shè)了小數(shù)；雷提庫斯是把三角函數(shù)定義為直角三角形的邊與邊之比的第一個(gè)人，他編制三角函數(shù)表。

“＋”、“—”、“＝”等符號開始出現(xiàn)。

1614年，耐普爾首創(chuàng)了對數(shù)，1624年布里格斯引入了相當(dāng)于現(xiàn)在的常用對數(shù)，2.2變量數(shù)學(xué)時(shí)期（17世紀(jì)中葉到19世紀(jì)20年代）。以笛卡兒的解析幾何的建立為起點(diǎn)(1637年)，接著是微積分的興起。17世紀(jì)主要內(nèi)容：數(shù)量的變化及幾何變換。主要成果：解析幾何、微積分、高等代數(shù)等學(xué)科，構(gòu)成了現(xiàn)代大學(xué)數(shù)學(xué)課程(非數(shù)學(xué)專業(yè))的主要內(nèi)容。三件大事：伽里略實(shí)驗(yàn)數(shù)學(xué)方法的出現(xiàn)；笛卡兒的重要著作《方法談》及其附錄《幾何學(xué)》于1637年發(fā)表；微積分學(xué)的建立。18世紀(jì)主要代表：有伯努利家族、隸莫弗爾、泰勒、麥克勞林、歐拉、克雷羅、達(dá)朗貝爾、蘭伯特、拉格朗日和蒙日等。18世紀(jì)數(shù)學(xué)的各個(gè)學(xué)科，如三角學(xué)、解析幾何學(xué)、微積分學(xué)、數(shù)論、方程論、概率論、微分方程和分析力學(xué)得到快速發(fā)展。同時(shí)還開創(chuàng)了若干新的領(lǐng)域，如保險(xiǎn)統(tǒng)計(jì)科學(xué)、高等函數(shù)(指微分方程所定義的函數(shù))、偏微分方程、微分幾何等。19世紀(jì)偉大成就：柯西于1821年在《分析教程》一書中，發(fā)展了可接受的極限理論，它就是把微積分的理論基礎(chǔ)牢固地建立在極限的概念上；高斯的《算術(shù)研究》(1801年，數(shù)論)其它成就：蒙日的《分析在幾何學(xué)上的應(yīng)用》(1809年，微分幾何)；拉普拉斯的《分析概率論》(1812年)；彭賽萊的《論圖形的射影性質(zhì)》(1822年)；斯坦納的《幾何形的相互依賴性的系統(tǒng)發(fā)展》(1832年)等。3現(xiàn)代數(shù)學(xué)時(shí)期（19世紀(jì)20年代至今）主要研究：最一般的數(shù)量關(guān)系和空間形式，數(shù)和量僅僅是它的極特殊的情形，通常的一維、二維、三維空間的幾何形象也僅僅是特殊情形。抽象代數(shù)、拓?fù)鋵W(xué)、泛函分析是整個(gè)現(xiàn)代數(shù)學(xué)科學(xué)的主體部分。它們是大學(xué)數(shù)學(xué)專業(yè)的課程，非數(shù)學(xué)專業(yè)也要具備其中某些知識。重要發(fā)現(xiàn)：羅巴契夫斯基和里耶提出的非歐幾何與哈密頓的乘法交換律不成立的代數(shù)——四元數(shù)代數(shù)（不可交換代數(shù)）1854年，黎曼推廣了空間的概念，開創(chuàng)了幾何學(xué)一片更廣闊的領(lǐng)域——黎曼幾何學(xué)。

在1843年，哈密頓發(fā)現(xiàn)了一種乘法交換律不成立的代數(shù)——四元數(shù)代數(shù)。19世紀(jì)20～30年代，阿貝爾和伽羅華開創(chuàng)了近世代數(shù)學(xué)的研究。古典代數(shù)的內(nèi)容是以討論方程的解法為中心的。群論之后，多種代數(shù)系統(tǒng)(環(huán)、域、格、布爾代數(shù)、線性空間等)被建立。上述兩大事件和它們引起的發(fā)展，被稱為幾何學(xué)的解放和代數(shù)學(xué)的解放。19世紀(jì)還發(fā)生了第三個(gè)有深遠(yuǎn)意義的數(shù)學(xué)事件：分析的算術(shù)化。19世紀(jì)后期，由于狄德金、康托和皮亞諾的工作，他們證明了實(shí)數(shù)系(由此導(dǎo)出多種數(shù)學(xué))能從確立自然數(shù)系的公設(shè)集中導(dǎo)出。20世紀(jì)初期，證明了自然數(shù)可用集合論概念來定義，因而各種數(shù)學(xué)能以集合論為基礎(chǔ)來講述。

20世紀(jì)的第二個(gè)1/4世紀(jì)，拓?fù)鋵W(xué)得到了推廣。拓?fù)鋵W(xué)可以粗略地定義為對于連續(xù)性的數(shù)學(xué)研究。科學(xué)家們認(rèn)識到：任何事物的集合，不管是點(diǎn)的集合、數(shù)的集合、代數(shù)實(shí)體的集合、函數(shù)的集合或非數(shù)學(xué)對象的集合，都能在某種意義上構(gòu)成拓?fù)淇臻g。拓?fù)鋵W(xué)的概念和理論，已經(jīng)成功地應(yīng)用于電磁學(xué)和物理學(xué)的研究。

20世紀(jì)40～50年代，世界科學(xué)史上發(fā)生了三件驚天動地的大事，即原子能的利用、電子計(jì)算機(jī)的發(fā)明和空間技術(shù)的興起。數(shù)學(xué)幾乎滲透到所有的科學(xué)部門中去，從而形成了許多邊緣數(shù)學(xué)學(xué)科，例如生物數(shù)學(xué)、生物統(tǒng)計(jì)學(xué)、數(shù)理生物學(xué)、數(shù)理語言學(xué)等等。20世紀(jì)40年代以后，涌現(xiàn)出了大量新的應(yīng)用數(shù)學(xué)科目，例如對策論、規(guī)劃論、排隊(duì)論、最優(yōu)化方法、運(yùn)籌學(xué)、信息論、控制論、系統(tǒng)分析、可靠性理論等。60年代以來，還出現(xiàn)了如非標(biāo)準(zhǔn)分析、模糊數(shù)學(xué)、突變理論等新興的數(shù)學(xué)分支。此外，近幾十年來經(jīng)典數(shù)學(xué)也獲得了巨大進(jìn)展，如概率論、數(shù)理統(tǒng)計(jì)、解析數(shù)論、微分幾何、代數(shù)幾何、微分方程、因數(shù)論、泛函分析、數(shù)理邏輯等等。以上簡要地介紹了數(shù)學(xué)在古代、近代、現(xiàn)代三個(gè)大的發(fā)展時(shí)期的情況。如果把數(shù)學(xué)研究比喻為研究“飛”，那么第一個(gè)時(shí)期主要研究飛鳥的幾張相片(靜止、常量)；第二個(gè)時(shí)期主要研究飛鳥的幾部電影(運(yùn)動、變量)；第三個(gè)時(shí)期主要研究飛鳥、飛機(jī)、飛船等等的所具有的一般性質(zhì)(抽象、集合)。從幾何上看發(fā)展過程：歐氏幾何學(xué)、解析幾何學(xué)和非歐幾何學(xué)就；而歐幾里得、笛卡兒和羅巴契夫斯基更是可以作為各時(shí)期的代表人物。數(shù)學(xué)分支：算術(shù)、初等代數(shù)、高等代數(shù)、數(shù)論、歐式幾何、非歐幾何、解析幾何、微分幾何、代數(shù)幾何學(xué)、射影幾何學(xué)、