2023年新高考高考模擬測(cè)試卷03（解析版）高中數(shù)學(xué)

2023年上海市高考模擬測(cè)試卷03

一、填空題

1.設(shè)z=-3-2i,則區(qū)+2]=_.

【答案】√5

【分析】先求出乞+2,再求模即可.

【解析】.z=—3-2i,

.?.z+2=-3+2i+2=-l+2i,

.?.∣z+2∣=√l+4=√5,

故答案為：√5.

2.已知函數(shù)y=αττ的定義域?yàn)锳,且-3eA,則a的取值范圍是.

【答案】卜^^

【分析】由一3∈A,可知-3α+l≥O,解不等式即可.

【解析】由一3∈A,可知-3α+l≥0,

解得α≤g,

故答案為：卜OOq-

3.已知α,人均為單位向量，且,-2對(duì)=2,則α與b-ɑ的夾角為.

【答案】π-arccosJL∕-arccosJL

+π

44

【分析】利用向量數(shù)量積的運(yùn)算律及向量的模公式，結(jié)合向量的夾角公式即可求解.

【解析】?a?=?b?=l?a-2b?=2,

.?.∣d-2b^=]d∣2+41Z?I-4d??=1÷4-4d,??=4,

ab=-

4

?3

:.a?(b-a)=a-b-?a?1=——1=——，

44

.*.∣b-a?=y∣(b-a)2=y∣b2÷a2-2a?b=-?=-?,

,a(b-a)Λ√6

.?.cos<ci,b-ci>=--------=—j≡≡?=-------

?a??b-a?y∣64'

~τ

0≤<a,b-a>≤π,

.'.a與b-a的夾角為兀一arccos邁.

4

故答案為：兀-arccos如

4

4.若直線2+5=l(α>αb>°)過點(diǎn)(23)，則2α+b的最小值為.

【答案】7+46/4員7

【分析】由直線上+為=l(">0,/，>0)過點(diǎn)(2,3),可得2+1=1,利用基本不等式"1"的代換，求出最小值.

abab

【解析】因直線>怖=13>0/>0)過點(diǎn)(2,3),

23

..—I—=1.

ab

2a+?=(2ct+?)f-+—?=7+—+—≥7+4.1—■—=7+,當(dāng)且僅當(dāng)6=?/?t(,即4=2+6>b=2y∣3+3

?ab)abNab

時(shí)取等號(hào).

.?.2α+b的最小值為7+4√J.

故答案為：7+4退.

5.若數(shù)列｛%｝為等比數(shù)列，al+aπ=-6,a5at3=β,貝∣J的=.

【答案】-√6

【分析】根據(jù)等比數(shù)列的性質(zhì),得%=±",再通過分析可得佝=

【解析】解：根據(jù)等比數(shù)列的性質(zhì)得，W,3=W=6,所以O(shè)g=土娓,

又4+α∣7=40+q*')=-6<O,所以α∣<0,所以出=6/<。

所以佝=->/6,

故答案為：

6.已知一組成對(duì)數(shù)據(jù)如下表所示.若該組數(shù)據(jù)的回歸方程為y=-2x+61,則α=.

X181310一1

y243438a

【答案】68

【分析】求出樣本中心點(diǎn)的坐標(biāo)，代入回歸直線方程可得出實(shí)數(shù)4的值.

-

■?√J4?L.U-?4√Gu→AΛ>∣√.in—r/日—18÷13÷101—24+34+38+QCl

【解析】由表格中的數(shù)據(jù)可得X=-----------------=10,），=--------------------=24+-,

444

將點(diǎn)伍?。┑淖鴺?biāo)代入回歸直線方程可得-2x10+61=24+3,解得α=68.

故答案為：68.

7.一個(gè)袋子中有大小和質(zhì)地相同的5個(gè)球，其中有3個(gè)紅色球，2個(gè)白色球，從袋中不放回地依次隨機(jī)摸

出2個(gè)球，則第2次摸到紅色球的概率為.

【答案】I/0.6

【分析】通過分析第一次不放回摸出的球的不同情況，即可得到第2次摸到紅色球的概率.

【解析】由題意，

袋子中有相同的5個(gè)球，3個(gè)紅球，2個(gè)白球，

不放回地依次隨機(jī)摸出2個(gè)球，

回第1次可能摸到1白色球或1紅色球

回第2次摸到紅色球的概率為：P=C曦了;=|,

3

故答案為：

Tr8_

8.記0ABC的內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c,若B=.,ac=~,sinA+sinC=√2sinB,貝胞ABC的

1?

周長(zhǎng)為.

【答案】4+2√2∕2^+4

【分析】由正弦定理化簡(jiǎn)已知式可得α+c=后，對(duì)其兩邊同時(shí)平方結(jié)合余弦定理即可求出SABC的周長(zhǎng).

【解析】由SinA+sinC=>^sin8得α+c=,貝IJq2+/=2〃一2。。.

5La1+c2=b'+2ɑccosB=b2+ac>貝IJ2b2-2ac=b2+ac>

故〃=34c=8,?=2√2,a+c=√2?=4>

故SABC的周長(zhǎng)為4+2√∑.

故答案為：4+2>∣2.

9.已知QJ<1，αI<r則實(shí)數(shù)α的取值范圍是.

【答案】[θ?j

【分析】先根據(jù)(J)<1求出α>0,分0<α<l,a=?,α>l三種情況，結(jié)合IOg“g<1求出實(shí)數(shù)”的取值范

圍，利用j<ι來驗(yàn)證，最終求出答案.

【解析】6J<l=eJ,而y=(gj單調(diào)遞減，

故。〉0,

若OVaV1,由Ioga5<1=log/可得〃,故

?

此時(shí)一<(;><],滿足要求，

若α=l,此時(shí)Cl不-1合要求，

若α>l,由log*Cl=Iog"可得”>g,故”>l,此時(shí)/>1，不合要求.

故答案為：(。,￡|

10.古希臘數(shù)學(xué)家阿基米德是世界上公認(rèn)的三位最偉大的數(shù)學(xué)家之一，其墓碑上刻著他認(rèn)為最滿意的一個(gè)

數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)，如圖，一個(gè)"圓柱容球"的幾何圖形，即圓柱容器里放了一個(gè)球.該球頂天立地，四周碰邊，在該

圖中，球的體積是圓柱體積的I,并且球的表面積也是圓柱表面積的I,若圓柱的表面積是24萬，現(xiàn)在向圓

柱和球的縫隙里注水，則最多可以注入的水的體積為.

【分析】利用圓柱的表面積求出球的表面積，然后求出球的半徑，最后求出圓柱的底面半徑和高，利用圓

柱和球的體積差，求出水的體積即可.

【解析】設(shè)球的半徑為，?，由題意得球的表面積為4∕∕=(χ24τr,

所以r=2,所以圓柱的底面半徑為2,高為4,

Λ1?萬

所以最多可以注入的水的體積為"22x4.乃X23=詈.

故答案為：等

11.已知曲線-F"y)=0對(duì)坐標(biāo)平面上任意一點(diǎn)P(x,y),定義/儼]=尸(x,y).若兩點(diǎn)P,Q滿足

F[P]F[Q?<Q,稱點(diǎn)P,Q在曲線r兩側(cè).記到點(diǎn)(0,1)與到X軸距離和為5的點(diǎn)的軌跡為曲線C,曲線

Γ:F(x,y)=x2+√-y-∏=0,若曲線C上總存在兩點(diǎn)“，N在曲線「兩側(cè)，則實(shí)數(shù)〃的取值范圍是

【答案】6Va<24.

【分析】到點(diǎn)(0，1)與到X軸距離和為5的點(diǎn)的軌跡為曲線C,求出軌跡方程.分類討論：當(dāng)0≤y≤3時(shí)和當(dāng)

-2≤y≤0時(shí)，利用尸[P]∕[Q]V0,求解。的范圍.

【解析】設(shè)曲線C上的動(dòng)點(diǎn)為(X,y),則Jχ2+(y-l>+∣y∣=5,

化簡(jiǎn)得曲線C的方程為x2=8(3-y),(θ≤y≤3萬0x2=12(y+2),(-2≤y≤θ).

其軌跡為兩段拋物線弧

當(dāng)0≤y≤3時(shí)，尸(x,y)=ξy2-9y+24-00[6-a,24-a]；

當(dāng)-2≤y≤0時(shí)，F(xiàn){x,y)=y2+llj+24-a0[6-a,24-a]；

故若有F[M]?F[∕V]<0,則(6-a)(24-a)<0=6VaV24.

故答案為：6<a<24.

12.設(shè)函數(shù)F(X)的定義域?yàn)镽,滿足設(shè)(2—2x)=f(2+2x),f(l+x)+f(l—x)=4.若域(O)=0,且/⑶在數(shù),1]

單調(diào)遞增，則滿足/(x)sin≤≥√Σ的X的取值范圍是.

【答案】{Λ∣8)t+l≤x≤8A+3,?∈Z}

【分析】由題意可知，.f(χ)是周期為4的周期函數(shù)，y=si吟X的最小正周期為8,結(jié)合.f(χ)與y=sin%

的單調(diào)性，易知在一個(gè)周期內(nèi)，由f(x)?sin晟≥√Σ,可得xe[l,3],再結(jié)合周期求出范圍即可.

【解析】因?yàn)?(2-2X)=∕(2+2X),可得/(2—X)=∕(2+X),所以/(6+x)=/(r-2),f(χ)關(guān)于χ=2對(duì)

稱，

由“l(fā)+x)+∕(l-x)=4,可得"6+x)+"-4-x)=4,"x)關(guān)于(1,2)對(duì)稱，

因?yàn)?(l+x)+"l-x)=4,"l-x+3)+∕(l+x-3)=4,"4-x)+∕(x-2)=4,

所以川+(x+3)]+∕[l-(x+3)]=4,

則/(x+4)=∕[l+(x+3)]=-用-(x+3)]+4=-∕[-(x+2)]+4,

因?yàn)?(—2-X)=/(6+x),所以—/[一(犬+2)]=—/(6+x),

)(x+4)=—∕?(x+6)+4=∕(Y-x)-4+4=∕(T-x),所以.”x)關(guān)于》軸對(duì)稱，

所以-/[-(x+2)]=-r(x+2),

因?yàn)?(l+x)+∕(l-x)=4,所以/[l+(x+l)]+∕[l-(x+l)]=4,

則f(x+4)=—"x+2)+4=-∕[l+(l+x)]+4=∕[l-(l+x)]=∕(r)"(x),

所以函數(shù)/(x)是周期為4的周期函數(shù).

因?yàn)?(x)是偶函數(shù)，且在[()/單調(diào)遞增，所以/(x)在[T0]單調(diào)遞減，

令/(l+x)+∕(l-x)=4中X=0,則∕?(1)+∕(1)=4,則/(1)=2,

又因?yàn)?(x)關(guān)于(1,2)對(duì)稱，所以f(x)在『,2]上單調(diào)遞增，[2,3]上單調(diào)遞減，

結(jié)合函數(shù)/(x)是周期為4的周期函數(shù)，

綜上可得/。)在[0,2],[4,6]上單調(diào)遞增，[2,4],[6,8]上單調(diào)遞減,

T=2π=

因?yàn)閥=sin^x的最小正周期為/^T-δ,結(jié)合y=sinfx圖象可知，

4—4

y=sin：X在[0,2],[6,8]上單調(diào)遞增，在[2,6]上單調(diào)遞減，

令/(l+x)+"l-x)=4中χ=l,則〃2)+/(0)=4,則/(2)=4,

當(dāng)x=l,y=sin；=孝，又/(1)=2,所以/(l)-sin：=√Σ,

當(dāng)x=3,y=sin包=也，又"3)=/(-1)=/(1)=2,所以〃3)?Sin3=√Σ,

所以當(dāng)xe[0,8]時(shí)，/(X)?sin≤>√2,解得xe[l,3].

又因?yàn)?(x)與y=sin：X均為周期函數(shù)，且8均為其周期，

所以/。)與吟2五的》的取值范圍是[1+8%,3+8打《屹

故答案為：映+1,8+3打,Z∈Z.

【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題解題的關(guān)鍵是求出y=∕(x)與y=sin^x的周期性，由/(l)?sin^=√∑,

/(3)?sin^=√2,結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性和周期性求解即可.

二、單選題

13.設(shè)αeR,則""=l"是"/(x)=In(GTT+αx)為奇函數(shù)”的()

A.充分不必要條件B.必要不充分條件C.充要條件D.既不充分也不必要條件

【答案】A

【分析】根據(jù)/(x)=In(JT7T+Ur)為奇函數(shù)，可得〃x)+"r)=0,即可求得”,再根據(jù)充分條件和必

要條件的定義即可得解.

【解析】若/(x)=ln(477T+0x)為奇函數(shù)，

則f(X)+f(~x)=In(JX2+1+0r)+In^>Jx2+1-αvj=In[0+1]=O,

.?.l-tz2=(),

解得4=±l,經(jīng)檢驗(yàn)，符合題意，

.?.""=1"是"f(X)=In(m+同為奇函數(shù)”的充分不必要條件.

故選：A.

14.對(duì)成對(duì)數(shù)據(jù)(如名)、(為，幻、…、(%，%)用最小二乘法求回歸方程是為了使()

)=°

%-K）最小,,?-x)最小

【答案】D

【分析】由最小二乘法的求解即可知.

【解析】根據(jù)最小二乘法的求解可知：回歸方程是為了使得每個(gè)數(shù)據(jù)與估計(jì)值之間的差的平方和最小，

故選:D

15.如圖，在長(zhǎng)方體ABC。-ABCQ中，若E,尸,G,H分別是棱片片，BBl,CC1,Ca上的動(dòng)點(diǎn)，且EH//FG,

則必有（）

DjHC

Λ711

A.BDt1EHB.AD//FG

C.平面8與。Qj_平面EFGHD.平面ABCA//平面EFGH

【答案】B

【分析】根據(jù)題意，結(jié)合圖形，分別判斷選項(xiàng)中的命題是否正確即可.

【解析】若點(diǎn)E與A重合，點(diǎn)H與點(diǎn)。重合，

則BR與EH的夾角便是BDl與AiDl的夾角，顯然BD1與AQ的夾角不是?,

所以8。LE”錯(cuò)誤，A錯(cuò)誤；

當(dāng)FG與B1C1重合時(shí)，由AD"B?C?可得AD//FG,

當(dāng)FG與BC不重合時(shí)，

因?yàn)镋H"FG,EHu平面ABCQ,JFGCZ平面ABCQ∣,

所以EG〃平面AlBlClDt,尸GU平面BCCtBl,

平面BeG8「平面AAGR=BC,

所以FG//B?,又AD〃B￡,

所以A?！ㄊ珿,B正確；

當(dāng)平面EFG”與平面BCGBl重合時(shí)，平面BBQQ與平面BCGBl不垂直，C錯(cuò)誤;

當(dāng)FG與BC重合時(shí)，平面ABCA與平面EFG”相交，D錯(cuò)誤.

故選；B.

16.等差數(shù)列｛%｝的通項(xiàng)是4=3〃-1,等比數(shù)列也｝滿足仇=%,b1=aq,其中q>p≥l,且，、P、q均

為正整數(shù).有關(guān)數(shù)列｛"｝,有如下四個(gè)命題:

①存在。、q,使得數(shù)列｛〃｝的所有項(xiàng)均在數(shù)列｛q｝中；

②存在P、q,使得數(shù)列也,｝僅有有限項(xiàng)(至少1項(xiàng))不在數(shù)列｛4｝中;

③存在。、'I,使得數(shù)列｛〃,｝的某一項(xiàng)的值為2023；

④存在。、夕，使得數(shù)列｛〃｝的前若干項(xiàng)的和為2023.

其中正確的命題個(gè)數(shù)是()個(gè)

A.0B.1C.2D.3

【答案】B

【分析】利用反證法結(jié)合整除性可判斷②③④的正誤，利用特例可判斷①的正誤.

【解析】由題設(shè)條件可得4=3p7,H=3q-l,故2=(3P-I)X［四二.

(3P-IJ

對(duì)于①：

取p=l,q=3,則d=2x4"τ,

πnlM2l

當(dāng)〃22時(shí)，2×4^-'=2×(3+l)^'=2×(ct,3^+C^I3^++C^3+1)

=2×(cθ.,3n-'+C"3"2++C^3I)+3-1

=3｛2XCT3B^2+CT3"-3++C：：)+l｝-l,

故N("≥2)均為｛q,｝中的項(xiàng)，而4=冊(cè)也為｛叫中的項(xiàng),故①正確.

對(duì)于②：

若存在P、(1,使得數(shù)列｛〃｝僅有有限項(xiàng)(至少1項(xiàng))不在數(shù)列｛q｝中,

則從某項(xiàng)％(A0≥4)開始,所有的項(xiàng)均在｛4｝中，且仿也在｛4｝中,

Z?k-l

故(3p-l)χ

=3u-?,u>qf

OPT

若子一不是正整數(shù)，

3/7-1r

3/7—1VV

設(shè)j?=一且MZ互質(zhì)且Z≥2,Z為3pT的約數(shù)，

故(3p-l)x>√τ=(3"—I)ZJ,故ZI為(3p—l)x"τ的約數(shù)，

因?yàn)閣，z互質(zhì)，故Z1為3p-l的約數(shù)，故k只能取有限個(gè)整數(shù)，

這與“從某項(xiàng)％化≥4)開始，所有的項(xiàng)均在｛叫中”矛盾，故必為正整數(shù).

設(shè)=C,則3qT=c(3pT),

而％-l,(3P-I)除以3的余數(shù)均為2,故C除以3的余數(shù)為1即C=3/+1,/為正整數(shù).

所以當(dāng)“22時(shí)，?=(3p-l)×(3∕+l)n^'

=(3p-l)×[c3(3/廣'+CL,(3∕Γ2++C露(3/)+1]

=(3P-I)X[Cθ-,(3∕Γ)+CL(3廣++C=;(3∕)]+3p-l,

=3/(3P-I)XlC3(3/廣2+((3/片++G]+3p-l,

=3｛∕(3p-l)x[c3(3/+C(3/++C^]+p)-l,

所以"為｛%｝中項(xiàng)，而々為｛q,｝中項(xiàng)，故他｝中所有的項(xiàng)均為｛為｝中項(xiàng)，

故②錯(cuò)誤.

對(duì)于③：

因?yàn)?023=7x17?,若存在人9,使得數(shù)列也｝的某一項(xiàng)的值為2023,

則(3p-l)x(∣仁θ=2023即(3q-l)"T=2023x(3p-l)"2,

若"=1,貝∣J2023=3p7,故2024=3p,但2024不是3的倍數(shù)，矛盾，舍；

若〃=2,則2023=3q-l,故2024=3q,但2024不是3的倍數(shù)，矛盾，舍；

若“≥3,

當(dāng)〃為偶數(shù)時(shí)，(3q-l)"T=C3(3。I-C3(3q)"-,+C：二：x3”l

wM2

=Cθ.l(3?)^'YT(3√)?+?..+C-3+2

故(34-l)"T除以3的余數(shù)為2,同理(3P-I)T除以3的余數(shù)為1,

而2023=2022+1=3x674+1,故2023除以3的余數(shù)也為1,

故2023(3p-l)”-除以3的余數(shù)為1,故(3夕-1廣,=2023x(3p-l廣?不成立，

同理當(dāng)”為奇數(shù)時(shí)，(3q-l)"τ除以3的余數(shù)為1,同理(3p-l)"-2除以3的余數(shù)為2,

而2023=2022+1=3x674+1,故2023除以3的余數(shù)也為2,

故2023x(3p-l)T除以3的余數(shù)為2,

故(3q-l)"τ=2023x(3p-l廣2不成立，故③錯(cuò)誤.

對(duì)于④：

若存在P、夕，使得數(shù)列步,｝的前若干項(xiàng)的和為2023,

此時(shí)?=(3P-I)X(包二D,若答I不是正整數(shù)，

“、〃/(3P-IJ3p-l

設(shè)3='=±且s/互質(zhì)且f≥2,f為3p-l的約數(shù)，

3>p-?t

故3p-l=制,

Γ,S(sy?(sX^'~?t"^'+?r,'^2++ts"2+s"T

H.2023=mt×1+—+1—1++1—1=m×--------------------------------,

n12n2

故2023廣2=w×(∕-'+st-++ts-+s'z),

因?yàn)镾J互質(zhì)，故廣2與廣Js產(chǎn)2++*-2+s"T互質(zhì),

2,,2

故t"-為，"的約數(shù)，故m=kt-,所以2023=犬X(z^-'+S廣2+..+*-2+r-.),

而/22,s≥3,n≥3,HLt"-'+st"-2++r√-2+5/,^'>22+2×3+32=19.

故/=7或1=17,

若〃=7,則17?=t'-'+stn-2++tsn-2+s'-'.

結(jié)合s≥3,122可得：

172=tn^'+st'-2++ts"-2+s"∣>2"-'+3×2"-2++2×3π^2+3"T=3"-2",

設(shè)〃〃)=3"—2",則/(〃+1)—/(〃)=2X3n^l-2"τ>0,

故｛/(?)｝為遞增數(shù)列，而/(6)=36-26=729-64>289,

故〃≤5,所以”=3,4,5,

又3p=3+l=7U+l,當(dāng)n-1為偶數(shù)時(shí)，尸除以3的余數(shù)要么為0,要么為L(zhǎng)

此時(shí)3p=7∕τ+l不成立，故n-1必為奇數(shù)即〃=4.

所以172=ti+st2+s2t+si,所以172=尸+5產(chǎn)+￡2/+$3>4/，

故f=2,3,4,

當(dāng)1=2時(shí)，J3+2?+4J-281=0,

當(dāng)s=5時(shí)，53+2?2+4Λ-281=-86<0,當(dāng)s=6時(shí)，?+2?+45-281=31<0,

因丫=/+2./+4$-281為(0,+e)上的增函數(shù)，故$3+2s?+4s-281=0無正整數(shù)解.

當(dāng)f=3時(shí)，53+352+9Λ-262≈0-

當(dāng)s=5時(shí)，?+3?+9.v-262=-l7<0?當(dāng)s=6時(shí)，?+3?+95-262=116>0.

同理$3+2s2+4s-281=0無正整數(shù)解.

當(dāng)f=4時(shí)，/+4S2+16S-225=0,

2

當(dāng)s=4時(shí)，?+4S+16.V-225=-33<0,當(dāng)s=5時(shí)，?+4?+16,v-225=80>0.

同理53+2.*+45-281=0無正整數(shù)解.

故1=7不成立.

若Ie=I7,則17x7=/I+s+tsn-2+s"-',

結(jié)合s≥3,r≥2可得：

119≥2π^l+3×2π^2++2×3n^2+3,,^l=3,,-2,'>

由｛/(〃)｝為遞增數(shù)列及/(5)=35-25≈243-32>119,

i?∏<4,所以〃=3,4,

又3p=""+l=7f"-l+l,當(dāng)n-1為偶數(shù)時(shí)，f"T除以3的余數(shù)要么為0,要么為1,

此時(shí)3p=7k+l不成立，故n-l必為奇數(shù)即〃=4.

所以119=∕+s*+s2f+s3,所以119=r+5/+$2/+$3>4/，

故I=2,3,4,

當(dāng)t=2時(shí)，./+2./+45-111=0,

323

當(dāng)s=3時(shí)，S+25+45-111=-54<0,當(dāng)s=4時(shí)，5+2r+45-lll=l>0,

同理S3+2S2+4ST11=0無正整數(shù)解.

當(dāng)f=3時(shí),?+3?+95-92=0,

當(dāng)s=3時(shí)，?+3?+95-92=-11<0,當(dāng)s=4時(shí)，?+3?+95-92=56>0.

同理$3+3$2+9,$—111=0無正整數(shù)解.

當(dāng)r=4時(shí)，Λ3+452+165-55=0,

當(dāng)S=I時(shí)，Λ3+452+I65-55=-34<0,當(dāng)s=2時(shí)，?+4?+16Λ-55=1>0.

同理s^+4s2+16s-55=0無正整數(shù)解.

故/=17不成立.

故”是正整數(shù)，同②，有"=c,c=3∕+l,∕eN”,

3p-l3p-l

故(3P-D(I+c+c?++C^-')=2023=7×172,

2,,l2

而c≥4,"≥3,?l+c+c++c^>l+4+4=21,

Q

故3p-l=17或3p-l=7(因p=?∣,舍).

故P=6且1+c+c?++cn^l=119,BPc+C2++c"~'=118,

故C為118的約數(shù)，結(jié)合“≥3,c≥4可得c=59,

但c+c?++C"-'≥59+592>118,故C+C?++c"-'=118無解，

綜上，所以不存在P、4,使得數(shù)列｛〃,｝的前若干項(xiàng)的和為2023,故④錯(cuò)誤

故選：B.

【點(diǎn)睛】思路點(diǎn)睛：對(duì)于數(shù)列中與數(shù)論有關(guān)的存在性問題，往往需要結(jié)合整數(shù)的整除性來處理，必要時(shí)還

需要利用同余理論來討論存在性問題.

三、解答題

17.設(shè)函數(shù)/(x)=COS(2x+葛)+2cos?x,χ∈R.

(1)求函數(shù)/O)的最小正周期和單調(diào)遞減區(qū)間；

TTJT

(2)將函數(shù)/(x)的圖象向右平移!■個(gè)單位長(zhǎng)度后得到函數(shù)g(x)的圖象，求函數(shù)g(x)在區(qū)間θ,y上的最小

值.

【答案】(1)最小正周期為不，單調(diào)遞減區(qū)間為「萬-J,如?+g],keZ.(2)?

【分析】(I)利用三角恒等變換公式將函數(shù)化簡(jiǎn)，再根據(jù)余弦函數(shù)的性質(zhì)計(jì)算可得；

(2)首先根據(jù)三角函數(shù)的變換規(guī)則得到g(x),再根據(jù)X的取值范圍，求出2x-?的取值范圍，再根據(jù)余弦

函數(shù)的性質(zhì)計(jì)算可得;

【解析】解：(1)?(?)=COS2x+—J+2COS2%

_2;T._.2兀__

=COS2xcos------sm2xsιn——+1+cos2x

33

1?6?OO

=——cos2x------sin2Λ^+1+cos2x

22

1C√3.?,

=-cos2.x------sin2x÷1

22

(

=COS2x+-+1,

I3J

所以函數(shù)/O)的最小正周期為乃，

×φ2kπ≤2x+-≤(2k+?)π,攵eZ,解得kτr--kπ+—ZeZ,

3631

所以單調(diào)遞減區(qū)間為kn-jkn+5,keZ.

63_

(2)將函數(shù)∕α)=cos"x+∣?+l的圖象向右平移?個(gè)單位長(zhǎng)度得

g(x)=c0s[2(x-]+1=COS(2%一?1+1.

JF

因?yàn)?≤x≤U,

2

所以-g≤2x-g≤與，

333

所以-g≤cos(2x-g)≤l,

因此;≤cos"xj)+lV2,

所以當(dāng)2x-g=?,即Xq時(shí)，g(x)取最小值，即g(x)*=g修)=；.

??乙、乙)乙

18.如圖，在四棱錐P-ABC。中，底面ABCQ為矩形，尸D0平面ABCC,PD=AD=2,A8=4,點(diǎn)E在線

段AB上，且BE=！A8.

⑴求證：C￡0平面PBZ）；

⑵求二面角P-CE-A的余弦值.

【答案】（1）證明見解析

⑵嚕

【分析】（I）結(jié)合三角函數(shù)的定義證明BOLCE,然后由線面垂直的判定定理得證線面垂直:

（2）建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，用空間向量法求二面角.

【解析】（1）設(shè)W）與CE相交于點(diǎn)H,

因?yàn)镻D0平面ABCDCEU平面ABCD,

所以PDj_CE,

由AB=4,BE=-AB,得BE=I,

4

因此tanNECB='，tanAABD=-,

22

可得ZECB=ZABD,

因?yàn)?05C=ZA

所以NBHC=NBAD=90°,即LC￡,

又因?yàn)镻D_LCE,PDcBD=D,228。U平面尸Q,

所以C￡0平面PBD；

(2)如圖，建立空間直角坐標(biāo)系力-盯z,

則C(0,4,0),P(0,0,2),E(2,3,0),

UlBlUUI

所以PC=(0,4,-2),C￡=(2,-1,0),

設(shè)平面PCE的一個(gè)法向量〃=（χ,y,z）,

n?CE=O2x-y=0

即

n-PC=4γ-2z=O

令X=1,則y=2,z=4,于是"=(1,2,4),

平面ACE的一個(gè)法向量為機(jī)=（0,0,1）,

m?n44后

則cos<∕n,n>=L=-/

λj同WFnl?√l+4+1621

由圖形可知二面角P—CE—4為銳角，

所以二面角P-CE-A的余弦值是也.

21

19.下表是某工廠每月生產(chǎn)的一種核心產(chǎn)品的產(chǎn)量x（4≤x≤20,xwZ）（件）與相應(yīng)的生產(chǎn)成本y（萬元）

的四組對(duì)照數(shù)據(jù).

X46810

y12202884

⑴試建立X與y的線性回歸方程；

（2）研究人員進(jìn)一步統(tǒng)計(jì)歷年的銷售數(shù)據(jù)發(fā)現(xiàn).在供銷平衡的條件下，市場(chǎng)銷售價(jià)格會(huì)波動(dòng)變化.經(jīng)分析,

每件產(chǎn)品的銷售價(jià)格q（萬元）是一個(gè)與產(chǎn)量X相關(guān)的隨機(jī)變量，分布為

q100—X90—X80-x

?\_?

P2^

44

假設(shè)產(chǎn)品月利潤=月銷售量X銷售價(jià)格一成本.（其中月銷售量=生產(chǎn)量）

根據(jù)（1）進(jìn)行計(jì)算，當(dāng)產(chǎn)量X為何值時(shí).月利潤的期望值最大？最大值為多少？

【答案】⑴;=三》-手（X∈[4,20],xeZ）

⑵X=20時(shí)，月利潤的期望值最大，最大值為蟠.

【分析】（1）由線性回歸方程計(jì)算公式可得答案；

（2）由題可得月利潤的期望值表達(dá)式f（x）,后由/（x）單調(diào)性可得答案.

ΛZXiyi-4Xy

【解析】(1)設(shè)X與＞的回歸方程為；=iχ+=則I=十二~~—

∑H-4f

/=1

4_1

又∑x∕=48+120+224+840=1232,I=一(4+6+8+10)=7,

/=I4

_I4

?=-(12+20+28+84)=36,Zx；=16+36+64+100=216.

4'r=l

4___

χ4χ

λΣiyi-y

1232-4×7×3656^—^-56212

則.=母.......-—.ay-bx=36-y×7=則回歸方程為:

216-4×495

∑x；-4x

?=1

y=X----(X∈[4,2θ],X∈Z).

(2)設(shè)月利潤的期望值為/(χ),則由題可得：

/(%)=?(100-Λ)%+?(90-Λ)Λ+?(80-Λ)X

1424兒55J

費(fèi)》+雷=一,一三］+^則”X）在［4,20］上單調(diào)遞增,

則當(dāng)X=20時(shí)，/（x）最大，?{x）maχ=f（20）=噂

月利潤的期望值最大，最大值為『萬元

即X=20件時(shí),

y1

20.已知橢圓Γ:—+=1（。>6>0）的左、右焦點(diǎn)分別為F^F.

a~鏟2

⑴以巴為圓心的圓經(jīng)過橢圓的左焦點(diǎn)K和上頂點(diǎn)B,求橢圓Γ的離心率;

⑵已知α=5S=4,設(shè)點(diǎn)尸是橢圓「上一點(diǎn)，且位于X軸的上方，若耳巴是等腰三角形，求點(diǎn)尸的坐標(biāo)；

⑶已知α=21=G,過點(diǎn)心且傾斜角為∣?的直線與橢圓「在X軸上方的交點(diǎn)記作A,若動(dòng)直線/也過點(diǎn)F2且

與橢圓「交于ΛΛN兩點(diǎn)（均不同于A）,是否存在定直線4：X=%,使得動(dòng)直線/與％的交點(diǎn)C滿足直線

A"、AC、AN的斜率總是成等差數(shù)列？若存在，求常數(shù)%的值；若不存在，請(qǐng)說明理由.

【答案】⑴T

⑵答案見解析

⑶存在，Xo=4,理由見解析

【分析】（1）由題意知α=2c,即可知離心率;

(2)分IPKl=IP聞,IP)=忸閭和戶閭=閨局三種討論即可;

(3)設(shè)直線Ly=Mx-I),聯(lián)立橢圓方程得到韋達(dá)定理式，計(jì)算ξw+3w,將韋達(dá)定理式整體代入，再計(jì)

算怎C，得到方程即可.

【解析】(1)由題意得產(chǎn)萬=2c?即α=2c,所以離心率e=(=g.

(2)由題意得橢圓r。+蔣=1

①當(dāng)IP町=IPRI時(shí),由對(duì)稱性得P(O,4).

②當(dāng)IP用=忸段時(shí)，|尸周=出閭=6,故IPKI=2-|P￡|=4,設(shè)P(x,y),

,..(x+3)~+y2=36(χ2+6x+y2=27

由月一3,0,瑪一3,0得:，;=,

')',(χ-3)2+∕=16[x2-6x+y2=l

兩式作差得x=∣，

代入橢圓方程，得y=華(負(fù)舍)，故P

③當(dāng)IP用=巧同時(shí)，根據(jù)橢圓對(duì)稱性可知P--,?

(3)由題意得橢圓「：?+方=1,國(TO),E(LO),A1,|)

設(shè)直線/：y=Mx-1),

y=?(x-l)

由.χ2y2(4?2+3)x2-8?2x+4λ2-12=0.

----1----—1

43

8?2

x+x

l2-4?2+3

設(shè)Ma,y),N(%,%),則

4?2-12

xx=

i24公+3

X-I?2-∣?(?r∣->)-∣Λ(?-I)-∣

L4-kI-I

^AM十。N

x∣_1X2-1芭一1X]—1

2ΛXX-^2?+?∣^(X+X)+2?+34?2-122?+∣8?2

12122h+2k+3

4Jl2+34/+3

=2k-l

22

x1x2-(x1+x2)+l4?-128?

4fc2+34/+3

>,o-lλ(?^^1)^t3

b=__?.=_________乙=k_________，

ac?-i?-i2(?-0

3

?2?-l=2?--------得Λ0=4.

XOT

【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：對(duì)于第三問，我們通常選擇設(shè)線法，設(shè)直線/：y=&(x-l),從而將其與橢圓方程聯(lián)立得

到兩根之和與之積式，然后再計(jì)算出(W+怎Z的值，再將韋達(dá)定理式整體代入，當(dāng)然本題也可引入小，設(shè)

直線/:x-l=my.

21.已知常數(shù)k為非零整數(shù)，若函數(shù)y=∕(x),xe[0,“滿足：對(duì)任意辦,馬?0』，

t

∣∕(x,)-∕(x2)∣≤∣(x1+l)*-(x2+l)∣,則稱函數(shù)y=∕(x)為L(zhǎng)(Z)函數(shù).

(1)函數(shù)y=2x,XWO,1]是否為"2)函數(shù)？請(qǐng)說明理由；

(2)若y="x)為L(zhǎng)(I)函數(shù)，圖像在xe[0,l]是一條連續(xù)的曲線，/(0)=0,/⑴=J,且/(x)在區(qū)間(0,1)上

僅存在一個(gè)極值點(diǎn)，分別記〃x)a、F(XL為函數(shù)y=f(χ)的最大、小值，求/(χ)ιrax-/(XL的取值范

圍；

(3)若α>0,/(x)=0.05x2+0.1x+αln(x+l),且y=∕(x)為L(zhǎng)(T)函數(shù),g(x)=∕'(x),對(duì)任意x,ye[θ,l],

恒有Iga)-g(y)∣≤M,記M的最小值為M(。)，求”的取值范圍及M(a)關(guān)于”的表達(dá)式.

【答案】(1)是，理由見解析

(2)匕(1a3'

⑶M(α)=0.1-],

【分析】(1)根據(jù)“2)函數(shù)的定義，即可證明;

(2)分X。為/(x)在區(qū)間(0,1)上僅存的極大值點(diǎn)或極小值點(diǎn)討論單調(diào)性，以及根據(jù)MI)函數(shù)的性質(zhì)，列式

求解；

(3)首先根據(jù)函數(shù)/(x)是L(T)函數(shù)，構(gòu)造函數(shù)∕z(x)="x)++=0.05χ2+0.1χ+Mn(x+l)++，再求

函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，參變分離后轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的值域，并求M