成人高考高等教育數(shù)學(xué)模擬考試題及答案及解析

./成人高考《高等數(shù)學(xué)<二>》模擬試題和答案解析〔一一、選擇題：1～10小題,每小題4分,共40分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的,把所選項(xiàng)前的字母填在題后的括號(hào)內(nèi)．1．當(dāng)x→0時(shí),x2是x-1n<1+x>的〔．A．較高階的無(wú)窮小量B．等價(jià)無(wú)窮小量C．同階但不等價(jià)的無(wú)窮小量D．較低階的無(wú)窮小量2．設(shè)函數(shù)?<sinx>=sin2x,則?ˊ<x>等于〔．A．2cosxB．-2sinxcosxC．％D．2x3．以下結(jié)論正確的是〔．A．函數(shù)?<x>的導(dǎo)數(shù)不存在的點(diǎn),一定不是?<x>的極值點(diǎn)B．若x0為函數(shù)?<x>的駐點(diǎn),則x0必為?<x>的極值點(diǎn)C．若函數(shù)?<x>在點(diǎn)x0處有極值,且?ˊ<x0>存在,則必有?ˊ<x0>=0D．若函數(shù)?<x>在點(diǎn)x0處連續(xù),則?ˊ<x0>一定存在4．A．B．C．exdxD．exInxdx5．函數(shù)y=ex-x在區(qū)間<-1,1>內(nèi)〔．A．單調(diào)減少B．單調(diào)增加C．不增不減D．有增有減6．A．F<x>B．-F<x>C．0D．2F<x>7．設(shè)y=?<x>二階可導(dǎo),且?ˊ<1>=0,?″<1>>0,則必有〔．A．?<1>=0B．?<1>是極小值C．?<1>是極大值D．點(diǎn)<1,?<1>>是拐點(diǎn)8．A．?<3>-?<1>B．?<9>-?<3>C．1[f<3>-f<1>D．1/3[?<9>-?<3>]9．A．2x+1B．2xy+1C．x2+1D．x210．設(shè)事件A,B的P<B>=0．5,P<AB>=0．4,則在事件B發(fā)生的條件下,事件A發(fā)生的條件概率P<A|B>=〔．A．O．1B．0．2C．0．8D．0．9二、填空題：11～20小題,每小題4分,共40分．把答案填在題中橫線上．11．12．當(dāng)x→0時(shí),1-cos戈與xk是同階無(wú)窮小量,則k=__________．13．設(shè)y=in<x+cosx>,則yˊ__________．14．15．16．設(shè)?<x>的導(dǎo)函數(shù)是sin2x,則?<x>的全體原函數(shù)是__________．17．18．曲線y=xlnx-x在x=e處的法線方程為__________．19．20．三、解答題：21～28小題,共70分．解答應(yīng)寫出推理、演算步驟．21．22．23．24．25．<本題滿分8分>一枚5分硬幣,連續(xù)拋擲3次,求"至少有1次國(guó)徽向上"的概率．26．<本題滿分10分>在拋物線y2=4x與x=2所圍成的平面區(qū)域內(nèi)作一矩形,其一邊在x=2上,另外兩個(gè)頂點(diǎn)在拋物線上,求此矩形面積最大時(shí)的長(zhǎng)和寬,最大面積是多少?27．<本題滿分10分>設(shè)z=z<x,y>由方程ez-x2+y2+x+z=0確定,求出．28．<本題滿分10分>求由曲線y=x,y=lnx及y=0,y=1圍成的平面圖形的面積S,并求此平面圖形繞y軸旋轉(zhuǎn)一周所得旋轉(zhuǎn)體的體積Vy．參考答案及解析一、選擇題1．[答案]應(yīng)選C．[解析]本題考查兩個(gè)無(wú)窮小量階的比較．比較兩個(gè)無(wú)窮小量階的方法就是求其比的極限,從而確定正確的選項(xiàng)．本題即為計(jì)算：由于其比的極限為常數(shù)2,所以選項(xiàng)C正確．請(qǐng)考生注意：由于分母為x-ln<1+x>,所以本題不能用等價(jià)無(wú)窮小量代換ln<1+x>-x,否則將導(dǎo)致錯(cuò)誤的結(jié)論．與本題類似的另一類考題<可以為選擇題也可為填空題>為：確定一個(gè)無(wú)窮小量的"階"．例如：當(dāng)x→0時(shí),x-In<1+x>是x的A．1/2階的無(wú)窮小量B．等價(jià)無(wú)窮小量C．2階的無(wú)窮小量D．3階的無(wú)窮小量要使上式的極限存在,則必須有k-2=0,即k=2．所以,當(dāng)x→0時(shí),x-in<1壩>為x的2階無(wú)窮小量,選C．2．[答案]應(yīng)選D．[解析]本題主要考查函數(shù)概念及復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)計(jì)算．本題的解法有兩種：解法1先用換元法求出?<x>的表達(dá)式,再求導(dǎo)．設(shè)sinx=u,則?<x>=u2,所以?ˊ<u>=2u,即?ˊ<x>=2x,選D．解法2將?<sinx>作為?<x>,u=sinx的復(fù)合函數(shù)直接求導(dǎo),再用換元法寫成?ˊ<x>的形式．等式兩邊對(duì)x求導(dǎo)得?ˊ<sinx>·COSx=2sinxCOSx,?ˊ<sinx>=2sinx．用x換sinx,得?ˊ<x>=2x,所以選D．請(qǐng)考生注意：這類題是基本題型之一,也是歷年考試中經(jīng)常出現(xiàn)的．熟練地掌握基本概念及解題的基本方法,必能較大幅度地提高考生的成績(jī)．為便于考生對(duì)有關(guān)的題型有一個(gè)較全面的了解和掌握,特將歷年試卷的部分試題中的相關(guān)部分摘錄如下：<20XX>設(shè)函數(shù)?<cosx>=1+cos3x,求?ˊ<x>．<答案為3x2>3．[答案]應(yīng)選C．[解析]本題考查的主要知識(shí)點(diǎn)是函數(shù)在一點(diǎn)處連續(xù)、可導(dǎo)的概念,駐點(diǎn)與極值點(diǎn)等概念的相互關(guān)系,熟練地掌握這些概念是非常重要的．要否定一個(gè)命題的最佳方法是舉一個(gè)反例,例如：y=|x|在x=0處有極小值且連續(xù),但在x=0處不可導(dǎo),排除A和D．y=x3,x=0是它的駐點(diǎn),但x=0不是它的極值點(diǎn),排除B,所以命題C是正確的．4．[答案]應(yīng)選A．[解析]本題可用dy=yˊdx求得選項(xiàng)為A,也可以直接求微分得到dy．5．[答案]應(yīng)選D．[解析]本題需先求出函數(shù)的駐點(diǎn),再用y″來(lái)判定是極大值點(diǎn)還是極小值點(diǎn),若是極值點(diǎn),則在極值點(diǎn)兩側(cè)的yˊ必異號(hào),從而進(jìn)一步確定選項(xiàng)．因?yàn)閥ˊ=ex-1,令yˊ=0,得x=0．又y″=ex>0,x∈<-1,1>,且y″|x=0=1>0,所以x=0為極小值點(diǎn),故在x=0的左、右兩側(cè)的函數(shù)必為由減到增,則當(dāng)x∈<-1,1>時(shí),函數(shù)有增有減,所以應(yīng)選D．6．[答案]應(yīng)選B．[解析]用換元法將F<-x>與F<x>聯(lián)系起來(lái),再確定選項(xiàng)．7．[答案]應(yīng)選B．[提示]根據(jù)極值的第二充分條件確定選項(xiàng)．8．[答案]應(yīng)選D．[解析]本題考查的知識(shí)點(diǎn)是定積分的換元法．本題可以直接換元或用湊微分法．9．[答案]應(yīng)選B．[解析]用二元函數(shù)求偏導(dǎo)公式計(jì)算即可．10．[答案]應(yīng)選C．[解析]利用條件概率公式計(jì)算即可．二、填空題11．[答案]應(yīng)填e-2.[解析]利用重要極限Ⅱ和極限存在的充要條件,可知k=e-2．12．[答案]應(yīng)填2．[解析]根據(jù)同階無(wú)窮小量的概念,并利用洛必達(dá)法則確定k值．13．[解析]用復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)公式計(jì)算．14．[答案]應(yīng)填6．15．[解析]利用隱函數(shù)求導(dǎo)公式或直接對(duì)x求導(dǎo)．將等式兩邊對(duì)x求導(dǎo)<此時(shí)y=y<x>>,得16．[解析]本題主要考查的知識(shí)點(diǎn)是導(dǎo)函數(shù)和原函數(shù)的概念．17．18．[答案]應(yīng)填x+y-e=0．[解析]先求切線斜率,再由切線與法線互相垂直求出法線斜率,從而得到法線方程．19．[答案]應(yīng)填2π．[提示]利用奇、偶函數(shù)在對(duì)稱區(qū)間上積分的性質(zhì)．20．[提示]將函數(shù)z寫成z=ex2·ey,則很容易求得結(jié)果．三、解答題21．本題考查的是型不定式極限的概念及相關(guān)性質(zhì)．[解析]含變上限的型不定式極限直接用洛必達(dá)法則求解．22．本題考查的知識(shí)點(diǎn)是復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)計(jì)算．[解析]利用復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)公式計(jì)算．23．本題考查的知識(shí)點(diǎn)是不定積分的公式法和湊微分積分法．[解析]本題被積函數(shù)的分子為二項(xiàng)之差,一般情況下要考慮將它分成二項(xiàng)之差的積分．另外由于被積函數(shù)中含有根式,所以也應(yīng)考慮用三角代換去根式的方法進(jìn)行積分．解法1解法2三角代換去根號(hào)．24．本題考查的知識(shí)點(diǎn)是反常積分的計(jì)算．[解析]配方后用積分公式計(jì)算．25．本題考查的知識(shí)點(diǎn)是古典概型的概率計(jì)算．26．本題考查的知識(shí)點(diǎn)是利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)特性的方法．[解析]本題的關(guān)鍵是正確列出函數(shù)的關(guān)系式,再求其最大值．解如圖2-7-1所示,設(shè)A點(diǎn)坐標(biāo)為<x0,y0>,則AD=2-x0,矩形面積27．本題考查的知識(shí)點(diǎn)是二元隱函數(shù)全微分的求法．利用公式法求導(dǎo)的關(guān)鍵是需構(gòu)造輔助函數(shù)F<x,y,z>=ez-x2+y2+x+z,然后將等式兩邊分別對(duì)x,y,z求導(dǎo)．考生一定要注意：對(duì)x求導(dǎo)時(shí),y,z均視為常數(shù),而對(duì)y或z求導(dǎo)時(shí),另外兩個(gè)變量同樣也視為常數(shù)．也即用公式法時(shí),輔助函數(shù)F<x,y,z>中的三個(gè)變量均視為自變量．解法1直接求導(dǎo)法．等式兩邊對(duì)x求導(dǎo)得解法2公式法．解法3微分法．對(duì)等式兩邊求微分得三種解法各有優(yōu)劣,但公式法更容易理解和掌握．建議考生根據(jù)自己的熟悉程度,牢記一種方法．28．本題考查的知識(shí)點(diǎn)是曲邊梯形面積的求法及旋轉(zhuǎn)體體積的求法．[解析]首先應(yīng)根據(jù)題目中所給的曲線方程畫出封閉的平面圖形,然后根據(jù)此圖形的特點(diǎn)選擇對(duì)