數(shù)學(xué)準(zhǔn)備-矢量及其運(yùn)算1課件

數(shù)學(xué)預(yù)備知識(shí)

——矢量及其運(yùn)算一、矢量的概念

1.矢量的定義——既有大小又有方向的量叫做矢量（向量）記號(hào)：大小表示：F標(biāo)量：僅有大小的量叫做標(biāo)量如：質(zhì)量m、時(shí)間t、路程s、動(dòng)能Ek

、勢(shì)能Ep等。標(biāo)量?jī)H有大小沒(méi)有方向但有正負(fù)，如溫度tABABAB數(shù)學(xué)準(zhǔn)備—矢量及其運(yùn)算12.矢量的圖形表示：帶有箭頭的線段線段長(zhǎng)度——矢量大小箭頭指向——矢量的方向

ABF起點(diǎn)終點(diǎn)F=5N，方向?yàn)樗较蛴?/p>

3.兩矢量相等的條件：大小相等，方向相同.與起點(diǎn)無(wú)關(guān)ABCDAB=CD數(shù)學(xué)準(zhǔn)備—矢量及其運(yùn)算14.矢量可以平移

abbaabba二.矢量的加法1.矢量加法的平行四邊形法則兩矢量與的和是以這兩個(gè)矢量為兩邊的平行四邊形的對(duì)角線矢量,記為：

5.負(fù)矢量——兩矢量等大反向互稱為負(fù)矢量●ab=-aba=-b或:aa=-bbcab=+矢量加法的表示式c數(shù)學(xué)準(zhǔn)備—矢量及其運(yùn)算1

通常將這種用平行四邊形的對(duì)角線來(lái)求出兩矢量和的方法叫——矢量加法的平行四邊形法則.

——稱為、的合矢量、稱為的兩個(gè)分矢量據(jù)余弦定理：∴cbacababc—c矢量的大小數(shù)學(xué)準(zhǔn)備—矢量及其運(yùn)算1規(guī)定：矢量的方向是：與任一分矢量之間的夾角。

矢量的定義:既有大小又有方向,加法運(yùn)算時(shí)滿足平行四邊形法則的物理量叫做矢量。cccba數(shù)學(xué)準(zhǔn)備—矢量及其運(yùn)算1

兩矢量相加，要將一個(gè)矢量的起點(diǎn)移到另一個(gè)矢量的終點(diǎn)，然后連結(jié)一矢量的始點(diǎn)和另一矢量的終點(diǎn),即為兩矢量的和。由于三個(gè)矢量構(gòu)成一個(gè)三角形，所以稱為矢量加法的三角形法則。應(yīng)當(dāng)注意：合矢量可大于、等于、小于其它任一分矢量obca或obcaobccba=+2.矢量加法的三角形法則數(shù)學(xué)準(zhǔn)備—矢量及其運(yùn)算1即三角形的任一邊可大于、等于、小于其它任一邊bacc>a，c>bbcac<a，c<bacbc=a=b數(shù)學(xué)準(zhǔn)備—矢量及其運(yùn)算1

依次作出各個(gè)矢量，其中后一個(gè)矢量的起點(diǎn)正好是前一個(gè)矢量的終點(diǎn)，那么從第一個(gè)矢量的起點(diǎn)到最后一個(gè)矢量的終點(diǎn)所引的矢量，即它們的矢量和.此時(shí)所有的分矢量與合矢量圍成一個(gè)多邊形.所以稱為矢量加法的多邊形法則。

abccbad3.矢量加法的多邊形法則

數(shù)學(xué)準(zhǔn)備—矢量及其運(yùn)算1②在共點(diǎn)力的作用下，物體處于平衡狀態(tài)時(shí)，合力為零，構(gòu)成一個(gè)封閉的多邊形——多力平衡力多邊形自行封閉.F1F2F3F4F1F2F3F4F1F2F3F1F2F3注：①三力平衡時(shí)，構(gòu)成一個(gè)封閉的三角形.

——三力平衡力三角形自行封閉

數(shù)學(xué)準(zhǔn)備—矢量及其運(yùn)算1三.矢量的減法

1.矢量減法的平行四邊形法則

∵

∴

可見(jiàn)求與的差即求與的和，可以按平行四邊形法則或三角形法則計(jì)算——即矢量的減法實(shí)質(zhì)上仍是矢量的加法，矢量的加、減法統(tǒng)稱為矢量的合成.cab數(shù)學(xué)準(zhǔn)備—矢量及其運(yùn)算1

2.矢量減法的三角形法則

兩矢量相減，要將它們移到一個(gè)共同的起點(diǎn)，然后從減項(xiàng)矢量的終點(diǎn)向被減項(xiàng)矢量的終點(diǎn)所引的矢量即為所求之差。

如：

小結(jié)：由分矢量求合矢量（加法）或由合矢量求分矢量（減法），從數(shù)學(xué)角度來(lái)說(shuō)就是求解三角形的邊和角的問(wèn)題,因此一切解算三角形的數(shù)學(xué)方法均可使用。cabbacbac可見(jiàn)：數(shù)學(xué)準(zhǔn)備—矢量及其運(yùn)算1如：正弦定理、余弦定理、勾股定理、等邊三角形、相似三角形、全等三角形、菱形特性等都可以使用。注意：①.已知合矢量F的大小和方向與另一個(gè)分矢量F1的方向，則另一個(gè)分矢量F2與F1相互垂直時(shí)F2有極小值且②.已知一個(gè)分矢量F1的大小和方向與合矢量F的方向，則另一個(gè)分矢量F2與合矢量F相互垂直時(shí)有極小值即：F2F1FFF1F2數(shù)學(xué)準(zhǔn)備—矢量及其運(yùn)算1四.矢量的正交分解合成法（矢量的正交分解法）

矢量的加、減法的平行四邊形法則或三角形法則,均為矢量合成的幾何法，用幾何法處理兩個(gè)矢量的合成還是比較簡(jiǎn)單的，但對(duì)于多個(gè)矢量的合成問(wèn)題再用幾何法就顯得麻煩了.為解決此問(wèn)題人們引入了矢量合成的解析法——正交分解合成法，從而將矢量計(jì)算轉(zhuǎn)化為代數(shù)計(jì)算，使多個(gè)矢量的合成問(wèn)題變的簡(jiǎn)單了。

1.正交分解：一個(gè)矢量a對(duì)應(yīng)一個(gè)平行四邊形的對(duì)角線，一個(gè)對(duì)角線對(duì)應(yīng)有無(wú)數(shù)個(gè)平行四邊形，而一個(gè)矢量可以由平行四邊形法則分解為無(wú)數(shù)對(duì)分矢量，在這無(wú)數(shù)對(duì)分矢量中必然包括一對(duì)相互垂直的分矢量。

數(shù)學(xué)準(zhǔn)備—矢量及其運(yùn)算1

將一個(gè)矢量在選定的直角坐標(biāo)系中，沿兩個(gè)坐標(biāo)軸的方向分解——矢量的正交分解法。如右圖所示：

矢量的方向：

矢量的大小:

0——矢量a與x軸正向夾角（可正、可負(fù)）（可正、可負(fù)）數(shù)學(xué)準(zhǔn)備—矢量及其運(yùn)算1

注：已知一個(gè)矢量的大小和方向，它在直角坐標(biāo)系中的分量唯一確定,反之已知一個(gè)矢量在直角坐標(biāo)系中的兩個(gè)分量則可完全確定該矢量的大小和方向。2.正交合成求：解：ab+=?∵∴又xybaco數(shù)學(xué)準(zhǔn)備—矢量及其運(yùn)算1∴方向：再求：abc－==?解：∵xyabo數(shù)學(xué)準(zhǔn)備—矢量及其運(yùn)算1∴==數(shù)學(xué)準(zhǔn)備—矢量及其運(yùn)算1再如：計(jì)算∵∴bxyao數(shù)學(xué)準(zhǔn)備—矢量及其運(yùn)算1

計(jì)算∴∴xyab數(shù)學(xué)準(zhǔn)備—矢量及其運(yùn)算1例：已知方向如圖，求合力F.解：利用正交分解合成法

=-155=-93N

×=-155×=-124N=-300×=-212N=300×=212NxY45°53°45°53°45°53°30°∴數(shù)學(xué)準(zhǔn)備—矢量及其運(yùn)算1F與x軸負(fù)方向夾角為55°F與x軸方向夾角xY45°53°45°53°45°53°30°數(shù)學(xué)準(zhǔn)備—矢量及其運(yùn)算1五在同一直線上的矢量的運(yùn)算

在同一直線上的矢量其方向僅有兩個(gè),因此可以用正、負(fù)兩個(gè)符號(hào)表示兩個(gè)方向，具體做法是：沿著矢量所在的直線選定一個(gè)正方向,即建立一維坐標(biāo)系（直線坐標(biāo)系）.凡方向與正方向相同的矢量取正值，凡方向與正方向相反的矢量取負(fù)值。這樣用一個(gè)帶有正、負(fù)號(hào)的數(shù)值把矢量的大小和方向都表示出來(lái)，從而將同一直線上的矢量運(yùn)行轉(zhuǎn)化為代數(shù)運(yùn)算，實(shí)際上這也是平行四邊形法則在特殊情況下的運(yùn)用。如：∵a=5b=-3∴c=a+b=5-3=2a=5b=-3x方向與正方向同數(shù)學(xué)準(zhǔn)備—矢量及其運(yùn)算1當(dāng)然也可用平行四邊形法則：數(shù)學(xué)準(zhǔn)備—矢量及其運(yùn)算1或

∵

∴

六.兩矢量的乘法1.兩矢量的點(diǎn)積（數(shù)量積）定義：兩個(gè)矢量和的乘積定義為

——兩矢量之間的夾角。b=3a=-5xC矢量大小為2方向與規(guī)定正方向相反b=3a=-5c=a+b=-5+3=-2ab數(shù)學(xué)準(zhǔn)備—矢量及其運(yùn)算1

注：由于這種矢量的乘法是在和之間放上一點(diǎn)來(lái)表示的，因此積得點(diǎn)積。由于這種乘積的實(shí)際定義是，這是一個(gè)數(shù)量（標(biāo)量），因此又稱為數(shù)量積。如：物體向右運(yùn)動(dòng)求力F可作的功W=？fNFmg1Fsab數(shù)學(xué)準(zhǔn)備—矢量及其運(yùn)算12.兩矢量的叉積（矢量積）定義：兩個(gè)矢量和