2024年高考試題天津卷

高中數(shù)學(xué)網(wǎng)站長：鄭建軍PAGE4-2001年普通高等學(xué)校招生全國統(tǒng)一考試〔天津卷〕數(shù)學(xué)〔理工農(nóng)醫(yī)類〕本試卷分第一卷〔選擇題〕和第二卷〔非選擇題〕兩局部.第一卷1至2頁.第二卷3至10頁.共150分.考試時(shí)間120分鐘.第一卷〔選擇題共60分〕本卷須知：1．答第一卷前,考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考號(hào)、考試科目用鉛筆涂寫在答題卡上.2．每題選出答案后,用鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑,如需改動(dòng),用橡皮擦干凈后,再選涂其它答案,不能答在試題卷上.3．考試結(jié)束,監(jiān)考人將本試卷和答題卡一并收回.參考公式：如果事件A、B互斥,那么正棱錐、圓錐的側(cè)面積公式P〔A·B〕=P〔A〕·P〔B〕其中c表示底面周長,L表示斜高或母線長Pn(k)=CknPk(1-P)n-k其中S表示底面積,h表示高一、選擇題：本大題共12小題,每題5分,共60分.在每題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)為哪一項(xiàng)符合題目要求的.〔1〕函數(shù)的周期，振幅依次是〔A〕4π、3 〔B〕4π、-3 〔C〕π、3 〔D〕π、-3分析：此題考查三角函數(shù)性質(zhì)問題。此題選A，難度為★〔2〕假設(shè)Sn是數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和,且Sn=n2,那么{an}是〔A〕等比數(shù)列,但不是等差數(shù)列〔B〕等差數(shù)列,但不是等比數(shù)列〔C〕等差數(shù)列,而且也是等比數(shù)列〔D〕既非等比數(shù)列又非等差數(shù)列分析：此題考查等差數(shù)列與等比數(shù)列的性質(zhì)。等差數(shù)列的前n項(xiàng)和都能寫成一個(gè)關(guān)于項(xiàng)數(shù)的二次函數(shù)形式。此題選B，難度為★〔3〕過點(diǎn)A〔1,-1〕、B〔-1,1〕且圓心在直線x+y-2=0上的圓的方程是〔A〕(x-3)2+(y+1)2=4〔B〕(x+3)2+(y-1)2=4〔C〕(x-1)2+(y-1)2=4〔D〕(x+1)2+(y+1)2=4分析：此題考查直線和圓的問題。對(duì)于求圓的方程，可以采用兩種策略，一是可以找到圓上的三個(gè)點(diǎn)聯(lián)立解方程組；二是求出圓心和半徑。而第二種策略往往比較簡單。此題選C，難度為★★〔4〕假設(shè)定義在區(qū)間〔-1,0〕內(nèi)的函數(shù)f(x)=log2a(x+1)滿足f(x)>0,那么a的取值范圍是〔A〕 〔B〕 〔C〕 〔D〕分析：此題考查對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì)問題，利用對(duì)數(shù)函數(shù)圖象很容易判斷。此題選A，難度為★★〔5〕假設(shè)向量a=(1,1)，b=(1,-1)，c=(-1,2)，那么c=〔A〕a+b 〔B〕a-b 〔C〕ab 〔D〕-a+b分析：此題考查向量運(yùn)算。此題選B，難度為★★〔6〕設(shè)A、B是x軸上的兩點(diǎn),點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為2且|PA|=|PB|.假設(shè)直線PA的方程為x-y+1=0,那么直線PB的方程是〔A〕x+y-5=0〔B〕2x-y-1=0〔C〕2y-x-4=0〔D〕2x+y-7=0分析：此題考查直線方程問題，利用直線PA的方程可將P點(diǎn)和A點(diǎn)的坐標(biāo)解出，再利用中點(diǎn)坐標(biāo)公式求出B，最終求出PB的方程。此題選A，難度為★★〔7〕假設(shè)，那么〔A〕a<b〔B〕a>b〔C〕ab<1〔D〕ab>2分析：此題考查三角函數(shù)的性質(zhì)，先利用輔助角公式將兩個(gè)三角函數(shù)合成一個(gè)，再進(jìn)行判斷。此題選A，難度為★★〔8〕函數(shù)y=1+3x-x2有〔A〕極小值-1，極大值1〔B〕極小值-2，極小值3〔C〕極小值-2，極大值2〔D〕極小值-1，極大值3分析：此題考查導(dǎo)數(shù)求極值問題。此題選D，難度為★★〔9〕某賽季足球比賽的計(jì)分規(guī)那么是：勝一場,得3分；平一場,得1分；負(fù)一場,得0分.一球隊(duì)打完15場,積33分.假設(shè)不考慮順序,該隊(duì)勝、負(fù)、平的可能情況共有〔A〕3種〔B〕4種〔C〕5種〔D〕6種分析：此題考查簡單線性規(guī)劃問題。約束條件為x+y=15,x>=0,y>=0，目標(biāo)函數(shù)為3x+y=33，最后求可行域內(nèi)滿足目標(biāo)函數(shù)的整點(diǎn)個(gè)數(shù)。此題選A，難度為★★★〔10〕設(shè)坐標(biāo)原點(diǎn)為O，拋物線y2=2x與過焦點(diǎn)的直線交于A、B兩點(diǎn)，那么 〔Ａ〕 〔Ｂ〕 〔Ｃ〕3 〔Ｄ〕－3分析：此題考查直曲聯(lián)立的相關(guān)知識(shí)。先把直線按點(diǎn)斜式設(shè)出來，然后與拋物線方程聯(lián)立，再利用韋達(dá)定理求出結(jié)果。此題選B，難度為★★★〔11〕一間民房的屋頂有如圖三種不同的蓋法：①單向傾斜；②雙向傾斜；③四向傾斜.記三種蓋法屋頂面積分別為P1、P2、P3.假設(shè)屋頂斜面與水平面所成的角都是а,那么〔A〕P3>P2>P1〔B〕P3>P2=P1〔C〕P3=P2>P1〔D〕分析：此題考查了射影面積定理〔一個(gè)面上取個(gè)三角型面積為S1，在另一個(gè)面上做或者找到那個(gè)三角形的射影〔即以3個(gè)點(diǎn)的射影為頂點(diǎn)的三角形〕的面積S2，二面角為X，那么COSX=S2/S1〕。此題選D，難度為★★★〔12〕如圖,小圓圈表示網(wǎng)絡(luò)的結(jié)點(diǎn),結(jié)點(diǎn)之間的連線表示它們有網(wǎng)線相聯(lián).連線標(biāo)注的數(shù)字表示該段網(wǎng)線單位時(shí)間內(nèi)可以通過的最大信息量.現(xiàn)從結(jié)點(diǎn)A向結(jié)點(diǎn)B傳遞信息,信息可以分開沿不同的路線同時(shí)傳遞.那么單位時(shí)間內(nèi)傳遞的最大信息量為〔A〕26〔B〕24〔C〕20〔D〕19分析：此題考查識(shí)圖問題，屬腦筋急轉(zhuǎn)彎。此題選D，難度為★★★★第二卷〔非選擇題共90分〕本卷須知：1．第二卷共8頁,用鋼筆或圓珠筆直接答在試題卷中.2．答卷前將密封線內(nèi)的工程填寫清楚.二、填空題：本大題共4小題,每題4分,共16分.把答案填在題中橫線上.〔13〕〔14〕一個(gè)袋子里裝有大小相同的3個(gè)紅球和2個(gè)黃球，從中同時(shí)取出2個(gè)，那么其中含紅球個(gè)數(shù)的數(shù)學(xué)期望是_______________.(用數(shù)字作答)分析：此題考查期望與方差。列出分布列，并利用概率和等于1作檢驗(yàn)，沒問題后，再求期望。此題答案：1.2，難度為★★〔15〕在空間中,①假設(shè)四點(diǎn)不共面,那么這四點(diǎn)中任何三點(diǎn)都不共線.②假設(shè)兩條直線沒有公共點(diǎn),那么這兩條線是異面直線.以上兩個(gè)命題中,逆命題為真命題的是__________〔把符合要求的命題序號(hào)都填上〕.分析：此題考查立體幾何根底與簡易邏輯，〔1〕的逆命題為假命題，〔2〕的逆命題為真命題。此題答案：〔2〕，難度為★★〔16〕設(shè){an}是公比為q的等比數(shù)列,Sn是它的前n項(xiàng)和.假設(shè){Sn}是等差數(shù)列,那么q=_______.分析：此題考查等差等比數(shù)列根底，先由等比數(shù)列前n項(xiàng)和公式將Sn展開。由于Sn為等差數(shù)列，因此其通項(xiàng)應(yīng)為一次函數(shù)，但當(dāng)q不為1時(shí)，其通項(xiàng)不可能為一次函數(shù)。故q=1，驗(yàn)證無誤。此題答案：1，難度為★★★三、解答題：本大題共6小題,共74分.解容許寫出文字說明,證明過程或演算步驟.〔17〕〔本小題總分值12分〕

〔18〕(本小題總分值12分)如圖,用A、B、C三類不同的元件連接成兩個(gè)系統(tǒng)N1、N2.當(dāng)元件A、B、C都正常工作時(shí),系統(tǒng)N1正常工作；當(dāng)元件A正常工作且元件B、C至少有一個(gè)正常工作時(shí),系統(tǒng)N2正常工作.元件A、B、C正常工作的概率依次為0.80,0.90,0.90.分別求系統(tǒng)N1、N2正常工作的概率P1、P2.

〔19〕(本小題總分值12分)〔Ⅰ〕求a的值:〔Ⅱ〕證明f(X)在(0,+∞)上是增函數(shù)

注意：考生在〔20甲〕、〔20乙〕兩題中選一題作答,如果兩題都答,只以〔20甲〕計(jì)分.〔20甲〕〔本小題總分值12分〕如圖,以正四棱錐V—ABCD底面中心O為坐標(biāo)原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系O—xyz,其中Ox//BC,Oy//AB.E為VC中點(diǎn),正四棱錐底面邊長為2a,高為h.〔Ⅱ〕記面BCV為а,面DCV為β,假設(shè)∠BED是二面角а-VC-β的平面角,求cos∠BED的值

〔20乙〕〔本小題總分值12分〕如圖,在底面是直角梯形的四棱錐S—ABCD中,∠ABC=900,SA⊥面ABCD,SA=AB=BC=1,AD＝．〔Ⅰ〕求四棱錐S—ABCD的體積；〔Ⅱ〕求面SCD與面SBA所成的二面角的正切值.

〔21〕某電廠冷卻塔的外形是如以下列圖雙曲線的一局部繞其中軸〔即雙曲線的虛軸〕旋轉(zhuǎn)所成的曲面，其中A、A是又曲線的頂點(diǎn)，C、C是冷卻塔上口直徑的兩個(gè)端點(diǎn)，B、B是下底直徑的兩個(gè)端點(diǎn)，AAˊ=14m,CCˊ=18=22m，塔高20m?！并瘛辰⒆鴺?biāo)系并寫出該雙曲線方程：〔Ⅱ〕求冷卻塔的容積〔精確到10m3

〔22〕〔本小題總分值14分〕〔Ⅰ〕求θ的取值范圍；〔Ⅱ〕證明這4個(gè)交點(diǎn)共圓,并求圓半徑的取值范圍.

2001年普通高等學(xué)校招生全國統(tǒng)一考試〔天津卷〕數(shù)學(xué)試題〔理工農(nóng)醫(yī)類〕參考解答及評(píng)分標(biāo)準(zhǔn)說明：一．本解答指出了每題要考查的主要知識(shí)和能力,并給出了一種或幾種解法供參考,如果考生的解法與本解答不同,可根據(jù)試題的主要考查內(nèi)容比照評(píng)分標(biāo)準(zhǔn)制訂相應(yīng)的評(píng)分細(xì)那么.二．對(duì)計(jì)算題,當(dāng)考生的解答在某一步出現(xiàn)錯(cuò)誤時(shí),如果后繼局部的解答未改變?cè)擃}內(nèi)容和難度,可視影響的程度決定后繼局部的給分,但不得超過該局部正確解容許得分?jǐn)?shù)的一半；如果后繼局部的解答有較嚴(yán)重的錯(cuò)誤,就不再給分.三．解答右端所注分?jǐn)?shù),表示考生正確做到這一步應(yīng)得的累加分?jǐn)?shù).四．只給整數(shù)分?jǐn)?shù).選擇題和填空題不給中間分.一、選擇題：此題考查根本知識(shí)和根本運(yùn)算.每題5分,總分值60分.〔1〕A〔2〕B〔3〕C〔4〕A〔5〕B〔6〕A〔7〕A〔8〕D〔9〕A〔10〕B〔11〕D〔12〕D二、填空題：此題考查根本知識(shí)和根本運(yùn)算.每題4分,總分值16分.〔13〕 〔14〕1.2 〔15〕② 〔16〕1三、解答題〔17〕本小題主要考查分式不等式的解法，考查分類討論的數(shù)學(xué)思想，總分值12分。解：原不等式的解集是下面不等式組〔Ⅰ〕、〔Ⅱ〕的解集的并集：〔Ⅰ〕 〔Ⅱ〕……2分分情況討論〔ⅰ〕當(dāng)a<0或a>1時(shí)，有a<a2，此時(shí)，不等式組〔Ⅰ〕的解集為∣x∣a<x<a2∣,不等式組〔Ⅱ〕的解集為空集Ф……6分〔ⅱ〕當(dāng)0<a<1時(shí)，有a2<a，此時(shí)，不等試組〔Ⅰ〕的解集為空集Ф不等式組〔Ⅱ〕的解集為∣x∣a2<x<a∣；……10分〔?！钞?dāng)a=0或a=1時(shí)，原不等式無解，綜上，當(dāng)a<0或a>1時(shí)，原不等式無解集為∣x∣a<x<a2∣；當(dāng)0<a<1時(shí)，原不等式的解集為∣x∣a2<x<a∣；當(dāng)a=0或a=1時(shí)，原不等式的解集為Ф……12分〔18〕本小題考查相互獨(dú)立事件同時(shí)發(fā)生或互斥事件有一個(gè)發(fā)生的概率的計(jì)算方法,考查運(yùn)用概率知識(shí)解決實(shí)際問題的能力.總分值12分.解：分別記元件A、B、C正常工作為事件A、B、C,由條件P(A)=0.80，P(B)=0.90，P(C)=0.90.〔Ⅰ〕因?yàn)槭录嗀、B、C是相互獨(dú)立的,所以,系統(tǒng)N1正常工作的概率P1=P(A·B·C)=P(A)·P(B)·P(C)=0.80×0.90×0.90=0.648.故系統(tǒng)N1正常工作的概率為0.648.……5分〔Ⅱ〕系統(tǒng)N2正常工作的概率∵……10分∴P2=0.80×[1-0.10×0.10]=0.80×0.99=0.792.故系統(tǒng)N2正常工作的概率為0.792.……12分〔19〕本小題主要考查函數(shù)的奇偶性和單調(diào)性等根本性質(zhì)，指數(shù)函數(shù)和不等式的根本性質(zhì)和運(yùn)算，以及綜合分析問題的能力，總分值12分?！并瘛辰猓阂李}意，對(duì)一切x∈R有f(x)=f(-x)，即所以對(duì)一切x∈R成立由此得到，即a2=1……4分又因?yàn)閍>0，所以a=1.(Ⅱ)證明一：設(shè)0<x1<x2，……8分由x1>0，x2>0，x2-x1>0,，得x1+x>0，ex2-x1－1>0，1－ex2+x1<0．∴f(x1)－f(x2)<0,即f(x)在〔0，+∞〕上是增函數(shù)，……12分證明二：由f(x)=ex+e-x,得f′(x)=ex－e-x=e-x(e2x－1).……8分當(dāng)x∈(0,+∝)時(shí)，有e-x(e2x－1).此時(shí)f′(x)>0,所以f(x)在〔0，+∞〕上是增函數(shù)。……12分注意：考生在〔20甲〕、〔20乙〕兩題中選一題作答,如果兩題都答,只以〔20甲〕計(jì)分.〔20甲〕本小題考查空間直角坐標(biāo)的概念、空間點(diǎn)和向量的坐標(biāo)表示以及兩個(gè)向量夾角的計(jì)算方法；考查運(yùn)用向量研究空間圖形的數(shù)學(xué)思想方法.總分值12分.解：〔Ⅰ〕由題意知B(a，a，0)，C(－a，a，0)，D(－a，－a，0)，由此得∴……3分由向量的數(shù)量積公式有〔Ⅱ〕假設(shè)∠BED是二面角―VC―的平面角，那么,即有又C(－a，a，0)，V(0，0，h)，那么，且∴即，這時(shí)有……9分即 ……12分〔20乙〕本小題考查線面關(guān)系和棱錐體積計(jì)算,考查空間想象能力和邏輯推理能力.總分值12分.解：〔Ⅰ〕直角梯形ABCD的面積是……2分∴四棱錐S—ABCD的體積是……4分〔Ⅱ〕延長BA、CD相交于點(diǎn)E，連結(jié)SE，那么SE是所求二面角的棱……6分∵AD//BC，BC=2AD，∴EA=AB=SA，∴SE⊥SB，∵SA⊥面ABCD，得面SEB⊥面EBC，EB是交線,又BC⊥EB，∴BC⊥面SEB，故SB是CS在面SEB上的射影，∴CS⊥SE，所以∠BSC是所求二面角的平面角……10分∵