等腰三角形的性質(zhì)

學(xué)習(xí)目標理解并掌握等腰三角形的性質(zhì)經(jīng)歷等腰三角形的性質(zhì)的探究過程，能初步運用等腰三角形的性質(zhì)解決有關(guān)問題生活中的“等腰三角形”情景引入定義及相關(guān)概念有兩條邊相等的三角形叫做等腰三角形等腰三角形中，相等的兩邊叫做腰，另一邊叫做底邊，兩腰的夾角叫做頂角，腰和底邊的夾角叫做底角ACB腰腰底邊頂角底角底角復(fù)習(xí)回顧ABCAB=AC等腰三角形知識精講1、剪一剪：把一張長方形的紙按圖中的紅線對折，并剪去陰影部分（一個直角三角形），再把得到的直角三角形展開，得到的三角形ABC有什么特點？2、折一折：△ABC是軸對稱圖形嗎？它的對稱軸是什么？等腰三角形是軸對稱圖形折痕所在的直線是它的對稱軸3、找一找：把剪出的等腰三角形ABC沿折痕對折，找出其中重合的線段和角重合的線段重合的角

ACBDAB與ACBD與CDAD與AD∠B與∠C∠BAD與∠CAD∠ADB與∠ADC猜一猜：由這些重合的線段和角，你能發(fā)現(xiàn)：等腰三角形的底角的關(guān)系嗎？為什么？AD與BC有什么關(guān)系，AD與∠BAC有什么關(guān)系？知識精講已知：△ABC中，AB=AC,求證：∠B=C思考：如何構(gòu)造兩個全等的三角形？猜想:等腰三角形的兩個底角相等如何證明兩個角相等呢？可以運用全等三角形的性質(zhì)“對應(yīng)角相等”來證知識精講已知：如圖，在△ABC中，AB=AC求證：∠B=∠CABCD證明：作底邊的中線AD，則BD=CDAB=AC已知，BD=CD已作，AD=AD公共邊，∴△BAD≌△CADSSS∴∠B=∠C全等三角形的對應(yīng)角相等在△BAD和△CAD中方法一：作底邊上的中線還有其他的證法嗎？知識精講已知：如圖，在△ABC中，AB=AC求證：∠B=∠CABCD證明：作頂角的平分線AD，則∠BAD=∠CADAB=AC已知,∠BAD=∠CAD已作,AD=AD公共邊,∴△BAD≌△CADSAS∴∠B=∠C全等三角形的對應(yīng)角相等方法二：作頂角的平分線在△BAD和△CAD中知識精講思考：由△BAD≌△CAD，除了可以得到∠B=∠C之外，你還可以得到那些相等的線段和相等的角？和你的同伴交流一下，看看你有什么新的發(fā)現(xiàn)？解：∵△BAD≌△CAD，由全等三角形的性質(zhì)易得BD=CD,∠ADB=∠ADC，∠BAD=∠CAD又∵∠ADB∠ADC=180°，∴∠ADB=∠ADC=90°，即AD是等腰△ABC底邊BC上的中線、頂角∠BAC的角平分線、底邊BC上的高線ABCD知識精講性質(zhì)1:等腰三角形的兩個底角相等等邊對等角ACB幾何語言：∵AB=AC已知,∴∠B=∠C等邊對等角性質(zhì)2:等腰三角形頂角的平分線、底邊上的中線及底邊上的高線互相重合三線合一）知識精講∵AB=AC,∠1=∠2已知，∴BD=CD,AD⊥BC（等腰三角形三線合一）∵AB=AC,BD=CD已知，∴∠1=∠2,AD⊥BC（等腰三角形三線合一）∵AB=AC,AD⊥BC已知，∴BD=CD,∠1=∠2（等腰三角形三線合一）ACBD12角平分線中線高探究新知畫出任意一個等腰三角形的底角平分線、這個底角所對的腰上的中線和高，看看它們是否重合？不重合！為什么不一樣角平分線中線高頂角底邊ACBD三線合一底邊1等腰三角形的頂角一定是銳角2等腰三角形的底角可能是銳角或者直角、鈍角都可以3鈍角三角形不可能是等腰三角形4等腰三角形的頂角平分線一定垂直底邊5等腰三角形的角平分線、中線和高互相重合6等腰三角形底邊上的中線一定平分頂角（）

（）（）√√判斷正誤：（）（）（）針對練習(xí)ABCD解：∵AB=AC，BD=BC=AD，∴∠ABC=∠C=∠BDC，∠A=∠ABD設(shè)∠A=,則∠BDC=∠A∠ABD=2,從而∠ABC=∠C=∠BDC=2,于是在△ABC中，有∠A∠ABC∠C=22=180°，解得=36°，在△ABC中，∠A=36°，∠ABC=∠C=72°x⌒2x⌒2x⌒⌒2x【點睛】在含多個等腰三角形的圖形中求角時，常常利用方程思想，通過內(nèi)角、外角之間的關(guān)系進行轉(zhuǎn)化求解典例解析例1如圖，在△ABC中，AB=AC，點D在AC上，且BD=BC=AD，求△ABC各角的度數(shù)練習(xí)1：如圖，在△ABC中，AB=AD=DC，∠BAD=26°，求∠B和∠C的度數(shù)解：∵AB=AD=DC∴∠B=∠ADB，∠C=∠DAC設(shè)∠C=，則∠DAC=，∠B=∠ADB=∠C∠DAC=2，在△ABC中，根據(jù)三角形內(nèi)角和定理，得226°=180°，解得=385°∴∠C==385°，∠B=2=77°針對練習(xí)例2等腰三角形的一個內(nèi)角是50°，則這個三角形的底角的大小是A．65°或50°B．80°或40°C．65°或80°D．50°或80°【解析】當50°的角是底角時，三角形的底角就是50°；當50°的角是頂角時，兩底角相等，根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理易得底角是65°故選AA【點睛】等腰三角形的兩個底角相等，已知一個內(nèi)角，則這個角可能是底角也可能是頂角，要分兩種情況討論．典例解析C練習(xí)3等腰三角形的一個外角是100°，則它的頂角的度數(shù)是針對練習(xí)例3已知點D、E在△ABC的邊BC上，AB＝AC1如圖①，若AD＝AE，求證：BD＝CE；2如圖②，若BD＝CE，F(xiàn)為DE的中點，求證：AF⊥BC圖②圖①典例解析證明：1如圖①，過A作AG⊥BC于G∵AB＝AC，AD＝AE，∴BG＝CG，DG＝EG，∴BG－DG＝CG－EG，∴BD＝CE；2∵BD＝CE，F(xiàn)為DE的中點，∴BD＋DF＝CE＋EF，∴BF＝CF∵AB＝AC，∴AF⊥BC圖②圖①G【點睛】在等腰三角形有關(guān)計算或證明中，有時需要添加輔助線，其頂角平分線、底邊上的高、底邊上的中線是常見的輔助線．典例解析練習(xí)4如圖，在△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC，點P是AD上的一點，且PE⊥AB，PF⊥AC，垂足分別為點E，F(xiàn)，求證：PE＝PF證明：在△ABC中，∵AB＝AC，AD⊥BC，∴AD是∠BAC的平分線又∵PE⊥AB，PF⊥AC，∴PE＝PF針對練習(xí)兩邊相等是其中隱含真奇妙性質(zhì)全由來得到等腰等邊對等角軸對稱三線合一小結(jié)梳理2如圖，在△ABC中，AB=AC，過點A作AD∥BC，若∠1=70°，則∠BAC的大小為（）A．40°B．30°C．70°D．50°A1等腰三角形有一個角是90°，則另兩個角分別是（）A．30°，60°B．45°，45°C．45°，90°D．20°，70°B達標檢測31等腰三角形一個底角為75°,它的另外兩個角為_________；2等腰三角形一個角為36°,它的另外兩個角為____________________；3等腰三角形一個角為120°,它的另外兩個角為__________75