遼寧省鞍山市2023屆高三第九次模擬數(shù)學試題（含答案與解析）

遼寧省鞍山市2023屆高三第九次模擬試題

數(shù)學

考試時間：120分鐘滿分：150分

注意事項：

1.答卷前，考生務必將自己的姓名、準考證號填寫在答題卡上.

2.回答選擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應題目的答案標號涂黑.如需改

動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標號.回答非選擇題時，將答案寫在答題卡上.寫在本

試卷上無效.

3.考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回.

第I卷(選擇題)

一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項

是符合題目要求的.

A-[x?2x<11AA-

1.已知集合CJ,則/A-()

A.(-∞,0)B.(→o,0]C.(0,+∞)D.[0,+∞)

2.等差數(shù)列｛4｝中，%—則｛%｝的前9項和為()

A.-180B.-90C.90D.180

3.據(jù)統(tǒng)計，在某次聯(lián)考中，考生數(shù)學單科分數(shù)X服從正態(tài)分布N(90,2()2),考生共50000人，估計數(shù)學單

科分數(shù)在130?150分的學生人數(shù)約為()

(附：若隨機變量自服從正態(tài)分布,則P(χ∕-σ<?≤A+σ)≈0.6827,

P｛μ-2CrCgW〃+2σ)≈0.9545,P(^∕j-3σ<ξ≤μ+3σ^)≈0.9973)

A.1070B.2140C.4280D.6795

4.用模型y=α*擬合一組數(shù)據(jù)組(4M(i=1,2,…,7),其中％+々+…+/=7；設(shè)Z=Iny,得變換

后的線性回歸方程為2=x+4,則Xy2…%=()

A.e7°B.70C.e35D.35

5.任給”∈[一2,0],對應關(guān)系/使方程“2+u=o的解U與“對應，則V=/(M)是函數(shù)的一個充分條件是

()

Av∈[-4,4]B.v∈(-4,2]C.v∈[-2,2]D.v∈[→4,-2]

6.如圖，在三棱柱ABC-ABCl中，AAj■底面ABC,AB=BC=C4=AA∣,點。是棱AA1上的點,

AD=^AAi,若截面8。G分這個棱柱為兩部分，則這兩部分的體積比為()

A1:2B.4:5C.4:9D.5:7

7.“埃拉托塞尼篩法”是保證能夠挑選全部素數(shù)的一種古老的方法.這種方法是依次寫出2和2以上的自然

數(shù)，留下第一個數(shù)2不動，剔除掉所有2的倍數(shù)；接著，在剩余的數(shù)中2后面的一個數(shù)3不動，剔除掉所

有3的倍數(shù)：接下來，再在剩余的數(shù)中對3后面的一個數(shù)5作同樣處理；……，依次進行同樣的剔除.剔除

到最后，剩下的便全是素數(shù).在利用“埃拉托塞尼篩法”挑選2到20的全部素數(shù)過程中剔除的所有數(shù)的和為

()

A.130B.132C.134D.141

8.函數(shù)/(x)=ACoS(S+9)∣A>0M>0,刨苦)的部分圖象如圖所示，將函數(shù)“X)的圖象向左平移1個

單位長度后得到函數(shù)g(x)的圖象，則g￡=()

V?7

二、多選題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項中，有多項符合題

目要求.全部選對的得5分，有選錯的得O分，部分選對的得2分.

9.已知向量α=(且,1),ZJ=(COSaSin8),則下列說法正確的是()

A.若B,則QlB.若W/〃，則B=/

36

C.Q小的最大值為2D,卜-,的取值范圍是[1,3]

10.下列關(guān)于復數(shù)的四個命題正確的是（）

A.若目=2,則z?z=4

B.若z（2+i'）=3+i,則Z的共枕復數(shù)的虛部為1

C.若|z+l—i∣=l,則∣z-l-i∣的最大值為3

D.若復數(shù)Z],Z2滿足∣zj=2,團=2,zl+z2=1+T3i.則∣z∣-Z2∣=2g

11.將一組數(shù)據(jù)從小到大排列為：at,a2,ai],中位數(shù)和平均數(shù)均為α,方差為s；,從中去掉第6項，從

小到大排列為：bl,b2,,bi0,方差為s；,則下列說法中一定正確的是（）

A.4,=。B.4也,…,仿O的中位數(shù)為。

C.bi,h2,,仇O的平均數(shù)為“D.s；＞s；

22

12.已知雙曲線C：5-方=1（人＞0）的左、右焦點分別為月，F(xiàn)2,雙曲線具有如下光學性質(zhì)：從右焦點

工發(fā)出的光線機交雙曲線右支于點P，經(jīng)雙曲線反射后，反射光線〃的反向延長線過左焦點耳，如圖所

示.若雙曲線C的一條漸近線的方程為Sx-y=0,則下列結(jié)論正確的有（）

A.雙曲線C方程為上一匕=1

412

B.若機_L〃，貝∣J∣P∕"?∣Pg∣=12

C.若射線〃所在直線的斜率為鼠則％?（√3,√3）

D.當"過點M（8,5）時，光由乙一＞P→例所經(jīng)過的路程為10

第∏卷（非選擇題）

三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.

l2i4

13.若（l+x）^+（2+X）3-aυ+alx+a2x+a3x+a4x,則q+a2+a3+a4=.

14.一個袋子中有大小和質(zhì)地相同的5個球，其中有3個紅色球，2個白色球，從袋中不放回地依次隨機摸

出2個球，則第2次摸到紅色球的概率為.

22

15.阿波羅尼奧斯在其著作《圓錐曲線論》中提出：過橢圓0+六=l(4>b>O)上任意一點P(Xo,%)

22

的切線方程為誓+薦=1.若已知aABC內(nèi)接于橢圓氏=+]=l(α>∕7>0),且坐標原點。為

a2b2crb1v,

S

△ABC的重心，過A,B,C分別作橢圓E的切線，切線分別相交于點。，E,F,則鏟旺

^VABC

16.已知函數(shù)/(x)=χ2+me'—1有兩個極值點演，xd且z≥2x∣,則實數(shù)機的取值范圍是

四、解答題：本題共6小題，共70分.其中17題10分，18-22每題12分.解答應寫出文字

說明、證明過程或演算步驟.

17.已知數(shù)列｛%｝的前八項和為S“，且S“=2%+2〃-5.

(1)求數(shù)列｛a,,｝通項公式；

⑵記hn=log,(4M-2),求數(shù)列1—?-，的前〃項和I,.

IA?%J

18.在JRe中，角A、B、C所對的邊分別為。、b、c,已知屜=α(?^cosC-SinC).

(1)求A；

(2)若a=8,_/3C的內(nèi)切圓半徑為G，求一ABe的周長.

19.如圖所示，在直四棱柱ABCC-44G2中，底面ABS為菱形，ZABC=60，

AB=2,AAl=243>,E為線段OA上一點.

(1)求證：AClB1D;

2

(2)若平面AgE與平面ABC。的夾角的余弦值為二，求直線BE與平面AgE所成角的正弦值.

22

20.已知橢圓C：三+*?=l(α>b>0)的左、右頂點分別為A(-2忘,0),β(2√2,θ),右焦點為巴，

O為坐標原點，OB的中點為。(。在工的左方)，|。段=2—0.

(1)求橢圓C的標準方程；

(2)設(shè)過點。且斜率不為O的直線與橢圓C交于M,N兩點，設(shè)直線AM,AN的斜率分別是占，右，試

問尤a2是否為定值？若是，求出定值；若不是，請說明理由.

21.已知/(X)=竽.

(1)求/(x)在∣,e上的最值；

(2)若4∕(x)WmL—,α恒成立，求〃的取值范圍.

22.為了避免就餐聚集和減少排隊時間，某校開學后，食堂從開學第一天起，每餐只推出即點即取的米飯

套餐和面食套餐.已知某同學每天中午會在食堂提供的兩種套餐中選擇，已知他第一天選擇米飯?zhí)撞偷母?/p>

率為《，而前一天選擇了米飯?zhí)撞秃笠惶炖^續(xù)選擇米飯?zhí)撞偷母怕蕿橐唬耙惶爝x擇面食套餐后一天繼續(xù)

34

選擇面食套餐的概率為如此往復.

(1)求該同學第二天中午選擇米飯?zhí)撞偷母怕剩?/p>

(2)記該同學第〃天選擇米飯?zhí)撞透怕蕿?/p>

(i)證明：[2一]}為等比數(shù)列；

(H)證明：當〃22時，勺≤2~.

12

參考答案

一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項

是符合題目要求的.

A=[x∣2'<l]AA-

?.已知集合C>,則-()

A.(-oo,θ)B,(→o,0]C.(0,+助D.[(),+<?)

【答案】D

【解析】

【分析】根據(jù)補集的定義結(jié)合指數(shù)函數(shù)分析運算.

【詳解】由題意可得：eRA={x∣2'21}={xk≥θ}.

故選：D.

2.等差數(shù)列｛α,,｝中，/一4=%-1°，貝乂見｝的前9項和為()

A.-18()B.-90C.90D.180

【答案】C

【解析】

【分析】根據(jù)下標和性質(zhì)求出。5,再根據(jù)等差數(shù)列前〃項和公式及下標和性質(zhì)計算即可.

【詳解】因為的一=%—1°，所以%+1°=%+。3，

又%+。3=2%，所以%=10，

所以品=9(，；%)=史等=9%=90.

故選：C.

3.據(jù)統(tǒng)計，在某次聯(lián)考中，考生數(shù)學單科分數(shù)X服從正態(tài)分布N(90,202),考生共50000人，估計數(shù)學單

科分數(shù)在130?150分的學生人數(shù)約為()

(附：若隨機變量J服從正態(tài)分布N1小吟,則P(A-σ<?≤∕z+σ)≈0.6827,

P(JU-2σ<ξ^ju+2σ)≈0.9545,P(^μ-3σ<ξ<μ+3σ)≈0.9973)

A.1070B.2140C.4280D.6795

【答案】A

【解析】

【分析】利用3σ■區(qū)間上的概率及正態(tài)分布的對稱性求P(13O<X≤15O),進而估計區(qū)間人數(shù).

【詳解】由題設(shè)P(130<X≤150)=P(4+2b<X≤4+3σ?)=

?[p(//-?er<ξ<μ+3cr)-P^μ-2σ<ξ<χz+2cr)]

=；X(0.9973-0.9545)=0.0214,

所以數(shù)學單科分數(shù)在130~150分的學生人數(shù)約為0.0214x50000=1070人.

故選：A

4.用模型>=。心擬合一組數(shù)據(jù)組α,.,yj(i=l,2,…,7),其中％+々+…+/=7；設(shè)Z=Iny,得變換

后的線性回歸方程為2=x+4,則My2…%=()

A.e7°B.70C.e35D.35

【答案】C

【解析】

【分析】根據(jù)回歸直線方程，必過樣本點中心(元N),再利用換元公式，以及對數(shù)運算公式，化簡求值.

【詳解】因為％+%2^1----FΛ?=7,所以了=1,彳=無+4=5,

即InX+ln%+.??+l"7=E(y∣%…%)=5

'7-7-'

所以,必…%=e"?

故選：C

5.任給α∈[-2,0],對應關(guān)系/使方程“2+u=o的解V與“對應，則V=/(M)是函數(shù)的一個充分條件是

()

A.V∈[-4,4]B.V∈(-4,2]C.v∈[-2,2]D.v∈[→4,-2]

【答案】A

【解析】

【分析】根據(jù)函數(shù)的定義，v=-w2,-M2∈[-4,0],則U的范圍要包含[-4,0].

2

【詳解】根據(jù)函數(shù)的定義，對任意“W[-2,O],按U=T在V的范圍中必有唯一的值與之對應，u∈[0,4],

則—“2el-4,0J,則V的范圍要包含[-4,0],

故選：A.

6.如圖，在三棱柱ABC-AgG中，AAj?底面ABC,AB=BC=CA=A4∣,點。是棱AA上的點，

ADAAi,若截面6。G分這個棱柱為兩部分，則這兩部分的體積比為()

A.1:2B.4:5C.4:9D.5:7

【答案】D

【解析】

【分析】根據(jù)題設(shè)易知ABC-ABlG為直三棱柱，即側(cè)面為矩形，利用柱體體積公式、錐體體積公式求

%-A∣w匕icq。，進而確定比值.

【詳解】不妨令AB=BC=CA=AA1=4,且上下底面等邊三角形,

又44∣J.底面ABC,易知ABC-AqG為直三棱柱，即側(cè)面為矩形,

所以三棱柱ABC-AgG體積V=44l?SA8c=4xgx42χ等=163

而A。=LCG=4,故SACCN=；AC(A。+CG)=I0,

所^(^8-ACCI/)3X213X1?！?，故-?β∣Bt)=VACCw=-?-'

^B-ACC1D_5

所以V…D=3

故選：D

7.“埃拉托塞尼篩法''是保證能夠挑選全部素數(shù)的一種古老的方法.這種方法是依次寫出2和2以上的自然

數(shù)，留下第一個數(shù)2不動，剔除掉所有2的倍數(shù)；接著，在剩余的數(shù)中2后面的一個數(shù)3不動，剔除掉所

有3的倍數(shù)；接下來，再在剩余的數(shù)中對3后面的一個數(shù)5作同樣處理；……，依次進行同樣的剔除.剔除

到最后，剩下的便全是素數(shù).在利用“埃拉托塞尼篩法”挑選2到20的全部素數(shù)過程中剔除的所有數(shù)的和為

()

A.130B.132C.134D.141

【答案】B

【解析】

【分析】利用等差數(shù)列求和公式及素數(shù)的定義即可求解.

【詳解】由題可知，2到20的全部整數(shù)和為Sl=20)=209,

2到20的全部素數(shù)和為S2=2+3+5+7+11+13+17+19=77,

所以挑選2到20的全部素數(shù)過程中剔除的所有數(shù)的和為209-77=132.

故選：B.

8.函數(shù)"x)=ACoS(5+0),＞0,。＞0,闞＜￡]的部分圖象如圖所示，將函數(shù)/(x)的圖象向左平移1個

單位長度后得到函數(shù)g(x)的圖象，則g[9)=(

D.1

3

【答案】D

【解析】

【分析】先根據(jù)函數(shù)的圖象求出函數(shù)y=∕(χ)的解析式，然后再根據(jù)平移得到g(χ),最后求出g∣g]的

值.

T2ττJr

【詳解】由圖象可知，一=1一(一1)=2,得T=8=-,所以口=一，

4''ω4

所以，/(x)=ACOSIx+“，

又因為(一1,0)在函數(shù)/(x)的圖象上，

所以ACOSI-；+*]=(),

所以----VCp-.......F2kκ,keZ,即0=1-2kn,AeZ,

424

又所以9=一2，即/(x)=ACOS

又倒,、間在函數(shù)〃x)的圖象上，

所以ACOS(一；)=JΣ,即A=2,

即/(x)=2COSGX-W

所以g(x)=∕(x+l)=2CoS+=2COS

4

所以g0=2cos(￡xg)=2cosg=l.

故選：D.

二、多選題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項中，有多項符合題

目要求.全部選對的得5分，有選錯的得0分，部分選對的得2分.

9.已知向量α=(S",l),?=(cos6>,sin6>),則下列說法正確的是()

A.若則B.若?則。=5

36

C.的最大值為2D.卜―H的取值范圍是[1,3]

【答案】ACD

【解析】

【分析】根據(jù)數(shù)量積的坐標表示判斷A,根據(jù)向量平行的坐標表示得到tan6=史?，求出仇即可判斷B,

3

根據(jù)數(shù)量積的坐標表示及三角函數(shù)的性質(zhì)判斷C、D.

2yr?√cos^,sin?J,3]

【詳解】對于A:當6=」時,,

3I33)^2Tj

此時α?∕?=—∣H——×1=0?故a_l_b，即A正確；

I2；2

對于B：若R/b,則COS7=J5^siny,所以tan8=所以。=%?+E,kerZ,故B錯誤;

對于C：α?b=6cose+si∏e=COSe+Line=2sin^+∣j∈[-2,2],故C正確；

2

對于D：因為α=(G,l),b=(cos8,sin6),所以Y=J(J^)~+產(chǎn)=2,W=JCoS'e+sin?6=1,

所以卜-4=J(4一b)=-2ab+b

=Jal-2α?b+W

=J5—4sin(e+',因為sin(。+,)∈[-1,1],所以5-4sin(e+,)∈[1,9],

所以,―0∈[1,3],故D正確；

故選：ACD

10.下列關(guān)于復數(shù)的四個命題正確的是()

A.若國=2,則z?z=4

B.若z(2+i')=3+i,則Z的共枕復數(shù)的虛部為1

C.若|z+l—i∣=l,貝IJlZ—1-i|的最大值為3

D.若復數(shù)ZI,N2滿足∣zj=2,同=2,z∣+Z2=l+曲，則∣z∣-Z2∣=2G

【答案】ACD

【解析】

【分析】根據(jù)復數(shù)模、共規(guī)復數(shù)的積運算即可判斷A,由復數(shù)除法的運算及共筑復數(shù)、虛部的概念判斷B,

根據(jù)復數(shù)模的幾何意義及圓的性質(zhì)判斷C,利用復數(shù)的加減運算、模的運算求解可判斷D.

【詳解】設(shè)z=>+bi,(4力∈R),

對A,∣z∣=2=>4Z2+b1=4,z?z=(α+"i)(α-〃i)=/+/=4,故正確；

對B,z(2+i')=3+inz(2-i)=3+i,所以z=?∣^?=I；+?)；+R==]+i,

\72-1(2-ι)(2+ι)5

z=1-i?其虛部為—1,故錯誤；

對C,由|z+l—i∣=l的幾何意義，知復數(shù)Z對應的動點Z到定點(一1,1)的距離為1,

即動點Z的軌跡為以(一1,1)為圓心，1為半徑的圓，∣z-l-i∣表示動點Z到定點(1,1)的距離，由圓的性

質(zhì)知，IZTTk、=J(TT)2+(lT)2+1=3,故正確；

對D,設(shè)z∣=m+/i,Z2=c+di,(∕”,”,c,deR),因為團=2,同=2,

所以//+"2=4,c2+d^=4>又Z]+Z2=l+Gi,所以機+c=l,"+d=Q,

所以mc+nd=-2,所以|4-z?|=|(C)+(〃-<∕)i∣=?^(m-c)2+(π-d)2

22-

3-/?+d—2(mc+nd)=y∣4+4—2?——J-故正確

故選：ACD

11.將一組數(shù)據(jù)從小到大排列為：al,a2,,中位數(shù)和平均數(shù)均為α,方差為s；,從中去掉第6項，從

小到大排列為：仿力2，,狐，方差為門，則下列說法中一定正確的是()

A.∕=4B.4也，?，4O的中位數(shù)為°

C.bi,b2,,九的平均數(shù)為“D.s；>s；

【答案】AC

【解析】

【分析】由中位數(shù)的定義即可判斷A、B選項；由平均數(shù)的定義即可判斷C選項：由方差的定義即可判斷

D選項.

【詳解】由。1，。2，的中位數(shù)和平均數(shù)均為4，可知4=α,q+%++q∣=llα,故A正確；

白,包,…的中位數(shù)為"區(qū)=巴愛，％+。7不一定等于2。，故4，4，，廂的中位數(shù)不一定為“，

B錯誤；

?∣+b2++/)=α∣+4+」+%-4=11。一α=10α,故乙也，…，仿0的平均數(shù)為C正確；

：(4-a。+3-a。++(《「a)-『：(4_")一+(Q++(小-々)一.由于

LH'2-10~

2

(a6-a)=O,

故(α∣—α)+(α,^^α)++(a”一。)-=(e―。)一+(“一αj++(瓦一。)，

故s；<s；,D錯誤.

故選：AC.

22

12.已知雙曲線C：?-5=l(0>0)的左、右焦點分別為6，F(xiàn)1,雙曲線具有如下光學性質(zhì)：從右焦點

入發(fā)出的光線機交雙曲線右支于點P,經(jīng)雙曲線反射后，反射光線葭的反向延長線過左焦點大，如圖所

示.若雙曲線C的一條漸近線的方程為氐-y=O,則下列結(jié)論正確的有()

C.若射線”所在直線的斜率為匕則%?(-Λ,√3)

D.當"過點M(8,5)時，光由心→P→M所經(jīng)過的路程為10

【答案】AC

【解析】

【分析】利用雙曲線的漸近線方程及勾股定理，結(jié)合雙曲線的定義及兩點間的距離公式即可求解.

【詳解】對于A,由題意可知，a=2,因為雙曲線C的一條漸近線的方程為氐-y=0,

bLI_1*2γy2

所以5=6,即匕=2石，所以雙曲線的方程為亍一力=1,故A正確；

對于B,由。=2"=26，得c?=2?+(26)=16,解得c=4,

在鳥中，N耳尸?=90,由勾股定理及雙曲線的定義知，

IPK『+|「用2=QPKHPKD：2IPKHPgI=4∕+2∣P6∣?∣P周=4/,

即2|班HP用=4卜2一片)=4/=48,解得|產(chǎn)制忖用=24,故B錯誤；

對于C,由題意可知，雙曲線的漸近線方程為y=±J5x,

由雙曲線的性質(zhì)可得射線〃所在直線的斜率范圍為卜后,石)，故C正確；

對于D,由題意可知，耳(T,0),當〃過點M(8,5)時，

由雙曲線定義可得光由F2→P→M所經(jīng)過的路程為

2

?F2P?+?PM?^?FlP?+?PM?-2a^?MFt?-4^^[8-(→4)J+(5-O)-4=9，故D錯誤.

故選：AC.

第∏卷(非選擇題)

三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.

13.若(l+x)"+(2+x),=α0+α∣x+4χ2+/Y+ɑ*，則q+/+%+%=.

【答案】34

【解析】

【分析】令X=0,得∕=9,令X=I,得/+4+4+/+4=2"+33=43,即可得到答案.

4234

[詳解】依題意(1+x)+(2+X)，=a()+aix+a2x+a3x+a4x,

令X=0,得4=9,

令X=1,得%+α∣+&+%+4=24+3^=43.

故q+4+%+4=34.

故答案為：34

14.一個袋子中有大小和質(zhì)地相同的5個球，其中有3個紅色球，2個白色球，從袋中不放回地依次隨機摸

出2個球，則第2次摸到紅色球的概率為.

3

【答案】-##0.6

【解析】

【分析】通過分析第一次不放回摸出的球的不同情況，即可得到第2次摸到紅色球的概率.

【詳解】由題意，

袋子中有相同的5個球，3個紅球，2個白球，

不放回地依次隨機摸出2個球，

.?.第1次可能摸到1白色球或1紅色球

C1C1+C1C13

???第2次摸到紅色球的概率為：P=3=二3

3

故答案為：~

15.阿波羅尼奧斯在其著作《圓錐曲線論》中提出：過橢圓，+,=1(a>萬>0)上任意一點75(%,均)

22

的切線方程為誓+誓=1.若已知aABC內(nèi)接于橢圓氏=+]=l(α>∕>O),且坐標原點。為

a2b2crb1v,7

S

△ABC的重心，過A,B,C分別作橢圓E的切線，切線分別相交于點。，E,F,則飛但=.

^VABC

【答案】4

【解析】

【分析】設(shè)A(x∣,y)?B(x2,y2),C(x3,y3),由重心的性質(zhì)有上上&=&、及=上、

X,+x2X3X2+X3X1

V+?V

1=-7,寫出過A,8C切線方程并求交點。,乙/坐標，進而判斷△OE尸重心也為。，再由

X1+X3X2

AB,C在橢圓上可得0,0,C、EQ,B、￡0,A共線，即C,3,A分別是跖,?！辍Ｊ闹悬c，即可確

定面積比.

【詳解】若A(x”x)、B(X2,%)、C(X3，％)，則A5,BC,AC的中點G(土產(chǎn),豆產(chǎn))、

%+毛%+為

”()、/盧+%321±?)

2'22'2

由。為AABC的重心，則k<>G=Zoc、k()H=k(iλ、k∩l=kOB,

「…X+>2%%+%XX+%%?

所以------=一、-------=-、-------=—，可得玉％一μ%=工3%一工2%=工2必一玉必，

xl+x2x3x2+x3x1x1+x3X2

?-y.y2y_.匕X,%y

由題設(shè),過",C切線分別為於於人C十.C一■!、■十人2I,

,2h,2a,2

所以KS?*。2(%-)'1)。2(工|73)產(chǎn)(/(%一%)尸(占72)),

)，,

^y2-^2y3^y2-^y3'

Xly3-*5χXIy3-XJy

所以/⑸一%)+/(%—y)+片(%—%)=0,同理萬Q—玉)+”(Xr3)+〃(當一W)=0,即

%X—玉為Xy3一七必x3y2-Λ2y3%2乂一%%Xy3一七乂七%-w%

ΔDEF重心也為O,

222222

可得肯h(x2+x)_bx3

又+lt1

2—7T-

4=〃％)a"y

I、A*La^b^(+γ3

222+x

y3-yi_?(χ3+χ1)_bx2y3~~y2_^(?2)_力％

—2/7一?、-??Γ-2

a

X3-Xa(γ3÷yι)礦%W一%2+~y↑

-==

所以k0D-~~T~^^~~=(^2^)×(一~koc，同理可得kOE=*、kOF=kθλ，

a(y2一χ)a~bx3x3

所以。,0,C、E,O,B、尸,O,A共線,

S

綜上，C,B,A分別是ERoEoE的中點，則73=4

^VABC

【點睛】關(guān)鍵點點睛：設(shè)點坐標及過AB,C切線方程，并求出E,F■坐標，利用重心的性質(zhì)確定△

DEF重心為0,并求證C,B,A分別是所,。RoE的中點即可.

16.已知函數(shù)/(%)=%2+7相'-1有兩個極值點/，/，且％≥2x∣,則實數(shù)小的取值范圍是

【答案】［―ln2,0)

【解析】

【分析】根據(jù)極值點的定義，結(jié)合函數(shù)零點的定義，通過構(gòu)造函數(shù)，利用數(shù)形結(jié)合思想進行求解即可.

【詳解】由/(X)=x2+∕7∕et-l=>/'(X)=2x+7∏e'=O有兩個不同實根",當，

-2x

且乙之2x1,.?.m=——,

設(shè)MX)=譽，，

當x>l時，Λ,(x)>O,當尤<1時，Λ,(x)<O.

2

.?/(X)在(一8,1)單調(diào)遞減，在(1,”)單調(diào)遞增，所以∕2(χ)min=∕2⑴=一)

顯然當χ>o時，MX)<o,當x<o時，MX)>o,

MX)圖象如下：

當々=2x∣時，B∣J..?.xl=ln2,∕ι(ln2)=-ln2,

.?.Λ2N2X∣時，一In2≤m<0,

故答案為：［一In2,0)

【點睛】關(guān)鍵點睛：根據(jù)函數(shù)極值的定義，結(jié)合構(gòu)造函數(shù)法、數(shù)形結(jié)合法進行求解是解題的關(guān)鍵.

四、解答題：本題共6小題，共70分.其中17題10分，18-22每題12分.解答應寫出文字

說明、證明過程或演算步驟.

17.已知數(shù)列｛0,,｝的前〃項和為S“，S,Sll=2an+2n-5.

(1)求數(shù)列｛α,,｝的通項公式；

(2)記O,,=?og?(?+,-2),求數(shù)列\(zhòng)I的前”項和7；.

l???÷.J

【答案】(1)α,,=2"T+2

(2)——

/7+1

【解析】

S[,〃=1

【分析】(1)根據(jù)C求出首項及4=2α,ι-2,構(gòu)造法求出通項公式;

S〃一S〃7,n≥2

(2)求出2=log2(qf+∣-2)=〃，從而利用裂項相消法求和.

【小問1詳解】

當〃=1時，S∣="∣=2α∣+2-5,解得q=3,

當〃≥2時，SrlT=2a,Li÷2(n-1)—5.

可得S4-S“_|=2a“+2〃—5—[20ziτ+2(”—1)—5],

整理得：q=2勾“一2,

從而%-2=2(%-2)(〃≥2),

又q-2=l,所以數(shù)列｛α,,-2｝是首項為1,公比為2的等比數(shù)列;

所以a“_2=(o,_2>2"T=2"T,

所以”,,=2"T+2,經(jīng)檢驗，q=3滿足q,=2"T+2,

綜上，數(shù)列｛““｝通項公式為q,=2"T+2;

【小問2詳解】

由（1）得/一2=2"τ,所以。用一2=2",所以d=l0g2（q用—2）=〃,

,_J_11__1_

bn^-bn〃（及+1）n〃+1'

n÷ln÷l

18.在」中，角A、8、C所對的邊分別為。、b、C,已知限="(J^cosC-sin。).

(1)求A；

(2)若a=8,一ABC的內(nèi)切圓半徑為√L求一ABC的周長.

【答案】(1)—

3

(2)18

【解析】

【分析】(1)由正弦定理結(jié)合兩角和的正弦公式化簡可得出tanA的值，結(jié)合角A的取值范圍可求得角A的

值；

(2)利用三角形的面積公式可得出人+c+8='牡，結(jié)合余弦定理可求得A+c的值，即可求得一ABC的

2

周長.

【小問1詳解】

解：因為G》=。(GCoSC-Sinc),

由正弦定理可得J^Sin3=sinA(石CoSC-Sinc?,①

因為A+8+C=兀，所以sin5=sin（A+C）=sinAcosC+cosAsinC,

代入①式整理得JJCOSASinC=-SinASinC,

又因為A、C∈(0,π),sinC≠0,則6cosA=-sinA<0，所以tanA=-G，

2π

又因為AW(O,兀)，解得A=彳.

【小問2詳解】

2Ti

解：由(1)知，A=-,因為JIBC內(nèi)切圓半徑為百，

所以S.Be=](α+h+c)?=-bc?sinA,即(/?+c+8)?=be，

所以，b+c+8=^bc②,

2

2τrO

由余弦定理/-b2+c2-2人。?以尤可得y+c2+be=64所以。+c)~-bc=64③,

聯(lián)立②③，得(8+c)2-2(入+c+8)=64,解得力+c=M),

所以一43C的周長為α+b+c=18.

19.如圖所示，在直四棱柱ABCDA4G。中，底面ABCQ為菱形，ZABC=60，

AB=2,AAi=2y∕3,E為線段OA上一點.

(1)求證：ACLByD.

2

(2)若平面ABIE與平面ABCo的夾角的余弦值為二，求直線BE與平面AgE所成角的正弦值.

【答案】(1)證明見解析

⑵晅

85

【解析】

【分析】(1)連接3。，利用線面垂直的判定定理和性質(zhì)即可證明；

(2)根據(jù)線面垂直的性質(zhì)可得AAlA8,AA_LAF,建立如圖空間直角坐標系，利用空間向量法求出平

面AB∣E的法向量，由題意和向量的數(shù)量積的定義求出點E的坐標，結(jié)合線面角的定義即可求解.

【小問1詳解】

連接8。，

底面ABCo為菱形，.?.AC,BD

又8旦J.平面ABCD,ACI平面ABCD,:.BBt±AC.

又BDBB[=B,BD,BB}U面BDB1,

.-.AC±平面8。用.又gOu平面BDBi,:.AClByD.

【小問2詳解】

BC

設(shè)Cr）的中點為尸，連接A",如圖：

?.?△48為等邊三角形，，4￡_1_8,又C￡>〃A5,則A/_LA8.

又AA∣1.平面ABe。，則AAl_LAB,AA_LAb.

以A為坐標原點建立如圖所示空間直角坐標系，

則A(0,0,0),8(2,0,0),C(1,6,0),E(T,6,∕Z)(0≤∕Z≤2G),耳(2,0,2碼,

AB∣=(2,0,2⑹,AE=(-1,3力，

設(shè)平面ABlE的一個法向量為。=(x,y,z),

n-ABl=02X+2Λ∕3Z=0

.?.<,*.V

n?AE-0-x+?∣3y+hz=0

令x=3,則〃=(3,0+6,_石).

又平面ABCD的一個法向量為加=(0,0,1),

/?ιim-^∣3

則cos{n,m)==-/,L=.

IrtIIwI√A2+2√3∕7+15

2

又平面ABIE與平面ABCO的夾角的余弦值為y,

-8=-,0≤∕z≤2√3,

√∕72+2√3∕I+155

.,√3

??〃=----,

2

-8√∏

cos(BE,n

∣gg∣∣H∣-√51√7585

~22~

直線BE與平面AgE所成角的正弦值為M∑.

85

22

20.已知橢圓C：土+匕=l（α>b>0）的左、右頂點分別為A（-2&,0bβ（2√2,θ）,右焦點、為F2,

02b2

0為坐標原點，。8的中點為。（。在尸2的左方），I。閭=2-J5.

（1）求橢圓C的標準方程;

（2）設(shè)過點。且斜率不為0的直線與橢圓C交于M,N兩點，設(shè)直線AM,AN的斜率分別是勺，k2,試

問是否為定值？若是，求出定值；若不是，請說明理由.

22

【答案】（O-+-=1

84

（2）是定值，定值為一

6

【解析】

【分析】（I）根據(jù)橢圓的幾何性質(zhì)求出α力,可得橢圓的標準方程；

22

（2）設(shè)過點。且斜率不為0的直線方程為χ=∕y+J∑,代入合+3=1,設(shè)MUl,y）,N（x2,y2）,根

據(jù)韋達定理得y+%和My2,再利用斜率公式得人他，代入y+%和Xy2,化簡可得

6

【小問1詳解】

依題意，a=2近,D(√2,0),c-√2=2-√2-c=2,

所以Z?2=a2-C2=8—4=4,

22

所以橢圓C的標準方程為：—+?-=1.

84

【小問2詳解】

設(shè)過點D且斜率不為O的直線方程為x=ty+√2,

x=ty+Λ∕2

聯(lián)立《√2,消去X并整理得(r+2)V+2">，一6=(),

——+—=1

[84

△=8產(chǎn)+24儼+2)=32產(chǎn)+48>0,

設(shè)Ma,y),N(x2,y2),

.∣2?∕2t6

則m一^,必必

r+2

,yy________h2?________

所以勺"z=UΞ&≡2.麗西E國

=________y1y2________

/)跖+3"(/+必)+18

6

=__________*+2________

-~^→3"?Ξ∣^+18

/+2尸+2

__________-6________

--60一12『+18『+36

J

6

所以《?與為定值

21.已知〃X)=等.

(1)求/(X)在-,e上的最值；

(2)若4/(X)W網(wǎng)士