高考熱點(diǎn)問題和解題策略之探索性問題

二、探究性咨詢題近年來，隨著社會主義經(jīng)濟(jì)建設(shè)的迅速開發(fā)，要求學(xué)校由“應(yīng)試教育〞向“素養(yǎng)教育〞轉(zhuǎn)化，培養(yǎng)全面開發(fā)的開拓型、制造型人才。在這種要求下，數(shù)學(xué)教學(xué)中開放型咨詢題隨之產(chǎn)生。因此，探究性咨詢題成了近幾年來高考命題中的熱點(diǎn)咨詢題，它既是高等學(xué)校選拔高素養(yǎng)人材的需要，也是中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)培養(yǎng)學(xué)生具有制造能力、開拓能力的任務(wù)所要求的。實(shí)際上，學(xué)生在學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)知識時，知識的形成過程也是看看、分析、回納、類比、猜度、概括、推證的探究過程，其探究方法是學(xué)生應(yīng)該學(xué)習(xí)和把握的，是今后數(shù)學(xué)教育的重要方向。一般地，關(guān)于雖給出了明確條件，但沒有明確的結(jié)論，或者結(jié)論不穩(wěn)定，需要探究者通過看看、分析、回納出結(jié)論或判定結(jié)論的咨詢題〔探究結(jié)論〕；或者雖給出了咨詢題的明確結(jié)論，但條件缺少或未知，需要解題者尋尋充分條件并加以證實(shí)的咨詢題〔探究條件〕，稱為探究性咨詢題。此外，有些探究性咨詢題也能夠改變條件，探討結(jié)論相應(yīng)發(fā)生的變化；或者改變結(jié)論，探討條件相應(yīng)發(fā)生的變化；或者給出一些實(shí)際中的數(shù)據(jù)，通過分析、探討解決咨詢題。探究性咨詢題一般有以下幾種類型：猜度回納型、存在型咨詢題、分類討論型。猜度回納型咨詢題是指在咨詢題沒有給出結(jié)論時，需要從特不情況進(jìn)手，進(jìn)行猜度后證實(shí)其猜度的一般性結(jié)論。它的思路是：從所給的條件動身，通過看看、試驗(yàn)、不完全回納、猜度，探討出結(jié)論，然后再利用完全回納理論和要求對結(jié)論進(jìn)行證實(shí)。其要緊顯示是解答數(shù)列中等與n有關(guān)數(shù)學(xué)咨詢題。存在型咨詢題是指結(jié)論不確定的咨詢題，即在數(shù)學(xué)命題中，結(jié)論常以“是否存在〞的形式出現(xiàn)，其結(jié)果可能存在，需要尋出來，可能不存在，因此需要講明理由。解答這一類咨詢題時，我們能夠先假設(shè)結(jié)論不存在，假如推論無矛盾，因此結(jié)論確定存在；假如推證出矛盾，因此結(jié)論不存在。代數(shù)、三角、幾何中，都能夠出現(xiàn)此種探討“是否存在〞類型的咨詢題。分類討論型咨詢題是指條件或者結(jié)論不確定時，把所有的情況進(jìn)行分類討論后，尋出滿足條件的條件或結(jié)論。此種題型常見于含有參數(shù)的咨詢題，或者情況多種的咨詢題。探究性咨詢題，是從高層次上考查學(xué)生制造性思維能力的新題型，正確運(yùn)用數(shù)學(xué)思想方法是解決這類咨詢題的橋梁和向?qū)ВǔＰ枰C合運(yùn)用回納與猜度、函數(shù)與方程、數(shù)形結(jié)合、分類討論、等價轉(zhuǎn)化與非等價轉(zhuǎn)化等數(shù)學(xué)思想方法才能得到解決，我們在學(xué)習(xí)中要重視對這一咨詢題的練習(xí)，以提高我們的思維能力和開拓能力。Ⅰ、再現(xiàn)性題組：1.是否存在常數(shù)a、b、c，使得等式1·2＋2·3＋…＋n(n＋1)＝(an＋bn＋c)對一切自然數(shù)n都成立？并證實(shí)你的結(jié)論?！?9年全國理〕，…，，…。S為其前n項和，求S、S、S、S，推測S公式，并用數(shù)學(xué)回納法證實(shí)?！?3年全國理〕【簡解】1題：令n＝1、2、3代進(jìn)明確等式列出方程組，解得a＝3、b＝11、c＝10，推測a、b、c的值對所有的n∈N都成立，再運(yùn)用數(shù)學(xué)回納法進(jìn)行證實(shí)?！矊僖虼朔翊嬖谛妥稍冾}，也可屬于猜度回納型咨詢題〕2題：計算得到S＝、S＝、S＝、S＝，看看后推測S＝，再運(yùn)用數(shù)學(xué)回納法進(jìn)行證實(shí)。Ⅱ、示范性題組：【例1】明確方程kx＋y＝4，其中k為實(shí)數(shù)，關(guān)于不同范圍的k值，分不指出方程所代表圖形的類型，并畫出曲曲折折線簡圖。〔78年全國高考題〕【分析】由圓、橢圓、雙曲曲折折線等方程的具體形式，結(jié)合方程kx＋y＝4的特點(diǎn)，對參數(shù)k分k>1、k＝1、0<k<1、k＝0、k<0五種情況進(jìn)行討論。【解】由方程kx＋y＝4，分k>1、k＝1、0<k<1、k＝0、k<0五種情況討論如下：①當(dāng)k>1時，表示橢圓，其中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在y軸上，a＝2，b＝;②當(dāng)k＝1時，表示圓，圓心在原點(diǎn)，r＝2；③當(dāng)0<k<1時，表示橢圓，其中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在x軸上，a＝，b＝2；④當(dāng)k＝0時，表示兩條平行直線y＝±2；⑤當(dāng)k<0時，表示雙曲曲折折線，中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在y軸上。yyyyy

xxxxx所有五種情況的簡圖依次如下所示：【注】分類討論型咨詢題，把所有情況分類討論后，尋出滿足條件的條件或結(jié)論。【例2】給定雙曲曲折折線x－＝1，①過點(diǎn)A(2,0)的直線L與所給雙曲曲折折線交于P及P，求線段PP的中點(diǎn)P的軌跡方程；②過點(diǎn)B(1,1)能否作直線m，使m與所給雙曲曲折折線交于兩點(diǎn)Q、Q，且點(diǎn)B是線段Q、Q的中點(diǎn)？如此的直線m假如存在，求出它的方程；假如不存在，講明理由?！?1年全國高考題〕【分析】兩咨詢都能夠設(shè)直線L的點(diǎn)歪式方程，與雙曲曲折折線方程聯(lián)立成方程組，其解確實(shí)是基本直線與雙曲曲折折線的交點(diǎn)坐標(biāo)，再用韋達(dá)定理求解中點(diǎn)坐標(biāo)等?！窘狻竣僭O(shè)直線L：y＝k(x－2)∴消y得(2－k)x＋4kx－(2＋4k)＝0∴x＋x＝∴x＝代進(jìn)直線L得：y＝∴消k得2x－4x－y＝0即－＝1線段PP的中點(diǎn)P的軌跡方程是：－＝1②設(shè)所求直線m的方程為：y＝k(x－1)＋1∴消y得(2－k)x＋(2k－2k)x＋2k－k－3＝0∴x＋x＝＝2×2∴k＝2代進(jìn)消y后的方程計算得到：△<0，∴滿足題中條件的直線m不存在?！咀ⅰ窟@道題綜合性對照強(qiáng)，將解析幾何知識進(jìn)行了橫向綜合。關(guān)于直線與曲曲折折線的交點(diǎn)咨詢題和有關(guān)交點(diǎn)弦長及其中點(diǎn)的咨詢題，一般能夠利用韋達(dá)定理和根的判不式求解。這道題屬于存在型咨詢題，其一般解法是：假設(shè)結(jié)論不存在，假如推論無矛盾，因此結(jié)論確定存在；假如推證出矛盾，因此結(jié)論不存在。在解題思路中，分析法與反證法起了要害作用。這類咨詢題一般是先列出條件組，通過等價轉(zhuǎn)化解組。【例3】設(shè){a}是正數(shù)組成的數(shù)列，其前n項的和為S，同時關(guān)于所有的自然數(shù)n，a與2的等差中項等于S與2的等比中項。①寫出數(shù)列{a}的前3項；②求數(shù)列{a}的通項公式〔寫出推證過程〕；③令b＝〔＋〕(n∈N)，求(b＋b＋…＋b－n)。(94年全國高考題)【分析】由題意輕易得到＝，由此而求得a、a、a，通過看看猜度a，再用數(shù)學(xué)回納法證實(shí)。求出a后，代進(jìn)不難求出b，再按照要求求極限。【解】①∵＝＝∴a＝2∵＝＝＝∴a＝6∵＝＝＝∴a＝10因此數(shù)列{a}的前3項依次為2、6、10。②由數(shù)列{a}的前3項依次為2、6、10猜度a＝4n－2，下面用數(shù)學(xué)回納法證實(shí)a＝4n－2：當(dāng)n＝1時，通項公式是成立的；假設(shè)當(dāng)n＝k時結(jié)論成立，即有a＝4k－2，由題意有＝,將a＝4k－2代進(jìn)得到：S＝2k；當(dāng)n＝k＋1時，由題意有＝＝∴()＝2(a＋2k)即a－4a＋4－16k＝0由a>0，解得a＝2＋4k＝4(k＋1)－2，因此n＝k＋1時，結(jié)論也成立。綜上所述，上述結(jié)論對所有的自然數(shù)n都成立。③設(shè)c＝b－1＝〔＋〕－1＝〔＋－2〕＝[〔－1〕＋(－1)]＝－b＋b＋…＋b－n＝c＋c＋…＋c＝〔1－〕+〔－〕＋…＋(－)＝1－∴(b＋b＋…＋b－n)＝(1－)＝1【注】這道題求數(shù)列的通項公式，屬于猜度回納型咨詢題，其一般思路是：從最簡單、最特不的情況動身，推測出結(jié)論，再進(jìn)行嚴(yán)格證實(shí)。第③咨詢對極限的求解，使用了“裂項相消法〞，設(shè)立新的數(shù)列c具有一定的技巧性。此外，這道題第②咨詢數(shù)列通項公式的求解，屬于給出數(shù)列中S與a的函數(shù)關(guān)系式求a，對此類咨詢題我們還能夠直截了當(dāng)求解，解答思路是由a＝S－S的關(guān)系轉(zhuǎn)化為數(shù)列通項之間的遞推關(guān)系，再發(fā)覺數(shù)列的特征或者通過構(gòu)造新的數(shù)列求解。具體的解答過程是：由題意有＝，整理得到S＝(a＋2)，因此S＝(a＋2)，∴a＝S－S＝[(a＋2)－(a＋2)]整理得到(a＋a)(a－a－4)＝0由題意a>0能夠得到：a－a－4＝0,即a－a＝4∴數(shù)列{a}為等差數(shù)列，其中a＝2，公差d＝4，即通項公式為a＝4n－2?！纠?】明確x>0，x≠1，且x＝(n∈N)，對照x與x的大小。(86年全國理)【分析】對照x與x的大小，采納“作差法〞，判不差式的符號式，分情況討論?！窘狻縳－x＝－x＝由x>0及數(shù)列{x}的定義可知，x>0，因此x－x與1－x的符號相同。假定x<1，當(dāng)n＝1時，1－x>0；假設(shè)n＝k時1－x>0，那么當(dāng)n＝k＋1時，1－x＝1－[]＝>0，因此對一切自然數(shù)n都有1－x>0,即x<x。假定x>1，當(dāng)n＝1時，1－x<0；假設(shè)n＝k時1－x<0，那么當(dāng)n＝k＋1時，1－x＝1－[]＝<0，因此對一切自然數(shù)n都有1－x<0,即x<x。因此，對一切自然數(shù)n都有x<x?！咀ⅰ窟@道題對1－x的符號的探討，由于其與自然數(shù)n有關(guān)，考慮使用數(shù)學(xué)回納法解決。一般地，探究性咨詢題與自然數(shù)n有關(guān)時，我們能夠用回納→猜度→證實(shí)的方法解出。Ⅲ、穩(wěn)定性題組：1.設(shè){a}是由正數(shù)組成的等比數(shù)列，S是前n項和。①.證實(shí)：<lgS；②.是否存在常數(shù)c>0，使得<lg〔S－c〕成立？并證實(shí)你的結(jié)論。(95年全國理)2.明確數(shù)列是等差數(shù)列，b＝1，b＋b＋…＋b＝100。①.求數(shù)列的通項；②.設(shè)數(shù)列{a}的通項a＝lg(1＋)，記S是數(shù)列{a}的前n項和，試對照S與lgb的大小，并證實(shí)你的結(jié)論?！?8年全國高考題〕3.是否存在a、b、c，使得a＝an＋bn＋c，且滿足a＝1,3S＝(n＋2)a，對一切自然數(shù)n都成立〔其中S＝a＋a＋…＋a〕？試證實(shí)你的結(jié)論。＝(1＋x)，Q＝1＋nx＋x，n∈N，x∈(-1,+∞)，對照P和Q的大小。5.明確數(shù)列{a}滿足關(guān)系式a＝a(a>0)，a＝(n≥2，n∈N)。①用a表示a、a、a；②猜度a的表達(dá)式，并證實(shí)你的結(jié)論。Ay

BOCx△ABC中，∠A、∠B、∠C的對邊分不是a、b、c，且b、a、c成等差數(shù)列，b≥c。明確B(-1,0)、C(1,0)。①求頂點(diǎn)A的軌跡L；②是否存