必做03-二項(xiàng)式定理及其應(yīng)用(原卷版)

理科必做題專題3二項(xiàng)式定理及其應(yīng)用【三年高考】1.【2016年高考四川理數(shù)改編】設(shè)i為虛數(shù)單位，那么的展開(kāi)式中含x4的項(xiàng)為．2．【2016年高考北京理數(shù)】在QUOTE的展開(kāi)式中，的系數(shù)為_(kāi)_________________.〔用數(shù)字作答〕3.【2016高考新課標(biāo)1卷】的展開(kāi)式中,x3的系數(shù)是.〔用數(shù)字填寫(xiě)答案〕4.【2016高考天津理數(shù)】的展開(kāi)式中x2的系數(shù)為_(kāi)_________.(用數(shù)字作答)5.【2016高考山東理數(shù)】假設(shè)〔ax2+〕5的展開(kāi)式中x5的系數(shù)是—80，那么實(shí)數(shù)a=_______.6．【2015高考湖南，理6】的展開(kāi)式中含的項(xiàng)的系數(shù)為30，那么____________.7.【2015高考新課標(biāo)1，理10】的展開(kāi)式中，的系數(shù)為_(kāi)________.8.【2015高考湖北，理3】的展開(kāi)式中第4項(xiàng)與第8項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)相等，那么奇數(shù)項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)和為_(kāi)_____________.9.【2015高考新課標(biāo)2，理15】的展開(kāi)式中x的奇數(shù)次冪項(xiàng)的系數(shù)之和為32，那么__________．10.【2015高考上海，理11】在的展開(kāi)式中，項(xiàng)的系數(shù)為〔結(jié)果用數(shù)值表示〕．11.【2014高考湖北卷理第2題】假設(shè)二項(xiàng)式的展開(kāi)式中的系數(shù)是84，那么實(shí)數(shù)_______.14.【2014山東高考理第14題】假設(shè)的展開(kāi)式中項(xiàng)的系數(shù)為20，那么的最小值.13.【2014全國(guó)1高考理第13題】的展開(kāi)式中的系數(shù)為_(kāi)_______.〔用數(shù)字填寫(xiě)答案〕14.【2014高考安徽卷理第13題】設(shè)是大于1的自然數(shù)，的展開(kāi)式為.假設(shè)點(diǎn)的位置如下圖，那么.【2017年高考命題預(yù)測(cè)】縱觀近幾年各地高考，我們可以發(fā)現(xiàn)對(duì)二項(xiàng)式定理的考查,重點(diǎn)是二項(xiàng)式定理的通項(xiàng)公式、二項(xiàng)式系數(shù)及項(xiàng)的系數(shù)；以考查根本概念、根底知識(shí)為主，如系數(shù)和、求某項(xiàng)的系數(shù)、求常數(shù)項(xiàng)、求有理項(xiàng)、求所含參數(shù)的值或范圍等；難度不大，屬于中檔題和容易題，題型為選擇題或填空題．二項(xiàng)式定理是高考數(shù)學(xué)相對(duì)獨(dú)立的內(nèi)容，二項(xiàng)式定理的知識(shí)在高考中經(jīng)常以客觀題的形式出現(xiàn)，多為課本例題、習(xí)題遷移的改編題，難度不大，個(gè)別題有一定的難度,重點(diǎn)考查運(yùn)用二項(xiàng)式定理去解決問(wèn)題的能力和邏輯劃分，化歸轉(zhuǎn)化等思想方法.為此，只要我們把握住二項(xiàng)式定理及其系數(shù)性質(zhì)，會(huì)把實(shí)際問(wèn)題化歸為數(shù)學(xué)模型問(wèn)題或方程問(wèn)題去解決，就可順利獲解.預(yù)測(cè)2017年高考仍可能以二項(xiàng)式的通項(xiàng),二項(xiàng)式系數(shù)，展開(kāi)式系數(shù)為主，可單獨(dú)考查本節(jié)知識(shí)，也可出現(xiàn)與其他章節(jié)知識(shí)結(jié)合的小綜合.如可能與定積分結(jié)合出題，試題難度中等．復(fù)習(xí)建議:⑴運(yùn)用二項(xiàng)式定理一定要牢記通項(xiàng)，注意與雖然相同，但具體到它們展開(kāi)式的某一項(xiàng)時(shí)是不相同的，我們一定要注意順序問(wèn)題.另外二項(xiàng)展開(kāi)式的二項(xiàng)式系數(shù)與該項(xiàng)的(字母)系數(shù)是兩個(gè)不同的概念，前者只指，而后者是字母外的局部.⑵對(duì)于二項(xiàng)式系數(shù)問(wèn)題，應(yīng)注意以下幾點(diǎn)：①求二項(xiàng)式所有項(xiàng)的系數(shù)和，可采用“特殊值取代法”，通常令字母變量的值為1；②關(guān)于組合恒等式的證明，常采用“構(gòu)造法”——構(gòu)造函數(shù)或構(gòu)造同一問(wèn)題的兩種算法；③證明不等式時(shí)，應(yīng)注意運(yùn)用放縮法.⑶求二項(xiàng)展開(kāi)式中指定的項(xiàng)，通常是先根據(jù)條件求，再求，有時(shí)還需先求，再求，才能求出.⑷有些三項(xiàng)展開(kāi)式問(wèn)題可以變形為二項(xiàng)式問(wèn)題加以解決；有時(shí)也可以通過(guò)組合解決，但要注意分類清楚，不重不漏.⑸對(duì)于二項(xiàng)式系數(shù)問(wèn)題，首先要熟記二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)，其次要掌握賦值法，賦值法是解決二項(xiàng)式系數(shù)問(wèn)題的一個(gè)重要手段.⑹近似計(jì)算要首先觀察精確度，然后選取展開(kāi)式中假設(shè)干項(xiàng).⑺用二項(xiàng)式定理證明整除問(wèn)題，一般將被除式變?yōu)橛嘘P(guān)除式的二項(xiàng)式的形式再展開(kāi)，常采用“配湊法”“消去法”配合整除的有關(guān)知識(shí)來(lái)解決.【2017年高考考點(diǎn)定位】本節(jié)內(nèi)容高考的重點(diǎn)就是利用二項(xiàng)式定理的通項(xiàng)公式、二項(xiàng)式系數(shù)及項(xiàng)的系數(shù)；以考查根本概念、根底知識(shí)為主，如系數(shù)和、求某項(xiàng)的系數(shù)、求常數(shù)項(xiàng)、求有理項(xiàng)、求所含參數(shù)的值或范圍等，題型既有選擇題也有填空題，難度中等偏下，而小題目綜合化是這局部?jī)?nèi)容的考查一種趨勢(shì).【考點(diǎn)】二項(xiàng)式定理【備考知識(shí)梳理】1.二項(xiàng)式定理，這個(gè)公式所表示的定理叫做二項(xiàng)式定理，右邊的多項(xiàng)式叫做的二項(xiàng)展開(kāi)式，其中的系數(shù)()叫做二項(xiàng)式系數(shù)．式中的叫做二項(xiàng)展開(kāi)式的通項(xiàng)，用表示，即展開(kāi)式的第項(xiàng)；.2．二項(xiàng)展開(kāi)式形式上的特點(diǎn)：(1)項(xiàng)數(shù)為.(2)各項(xiàng)的次數(shù)都等于二項(xiàng)式的冪指數(shù)，即與的指數(shù)的和為.(3)字母按降冪排列，從第一項(xiàng)開(kāi)始，次數(shù)由逐項(xiàng)減1直到零；字母按升冪排列，從第一項(xiàng)起，次數(shù)由零逐項(xiàng)增1直到.(4)二項(xiàng)式的系數(shù)從，，一直到，.3.二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)：(1)對(duì)稱性：與首末兩端“等距離”的兩個(gè)二項(xiàng)式系數(shù)相等，即，，，.(2)增減性與最大值：二項(xiàng)式系數(shù)，當(dāng)時(shí)，二項(xiàng)式系數(shù)是遞增的；由對(duì)稱性知：當(dāng)時(shí)，二項(xiàng)式系數(shù)是遞減的．當(dāng)是偶數(shù)時(shí)，中間的一項(xiàng)取得最大值．當(dāng)是奇數(shù)時(shí)，中間兩項(xiàng)和相等，且同時(shí)取得最大值．(3)各二項(xiàng)式系數(shù)的和：的展開(kāi)式的各個(gè)二項(xiàng)式系數(shù)的和等于，即，二項(xiàng)展開(kāi)式中，偶數(shù)項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)的和等于奇數(shù)項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)的和，即，4.注意:〔1〕．分清是第項(xiàng)，而不是第項(xiàng).(2)．在通項(xiàng)公式中，含有、、、、、這六個(gè)參數(shù)，只有、、、是獨(dú)立的，在未知、的情況下，用通項(xiàng)公式解題，一般都需要首先將通式轉(zhuǎn)化為方程〔組〕求出、,然后代入通項(xiàng)公式求解.(3)．求二項(xiàng)展開(kāi)式中的一些特殊項(xiàng)，如系數(shù)最大項(xiàng)，常數(shù)項(xiàng)等，通常都是先利用通項(xiàng)公式由題意列方程，求出，再求所需的某項(xiàng)；有時(shí)那么需先求,計(jì)算時(shí)要注意和的取值范圍以及它們之間的大小關(guān)系.(4)在中，就是該項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)，它與，的值無(wú)關(guān)；而項(xiàng)的系數(shù)是指化簡(jiǎn)后字母外的數(shù)．5．二項(xiàng)式的應(yīng)用:〔1〕求某些多項(xiàng)式系數(shù)的和；〔2〕證明一些簡(jiǎn)單的組合恒等式；〔3〕證明整除性,①求數(shù)的末位；②數(shù)的整除性及求系數(shù)；③簡(jiǎn)單多項(xiàng)式的整除問(wèn)題；〔4〕近似計(jì)算.當(dāng)充分小時(shí)，我們常用以下公式估計(jì)近似值：①；②；〔5〕證明不等式.【規(guī)律方法技巧】1.在應(yīng)用通項(xiàng)公式時(shí)，要注意以下幾點(diǎn)：①它表示二項(xiàng)展開(kāi)式的任意項(xiàng)，只要與確定，該項(xiàng)就隨之確定；②是展開(kāi)式中的第項(xiàng)，而不是第項(xiàng)；③公式中，，的指數(shù)和為且，不能隨便顛倒位置；④對(duì)二項(xiàng)式展開(kāi)式的通項(xiàng)公式要特別注意符號(hào)問(wèn)題．=5\*GB3⑤在二項(xiàng)式定理的應(yīng)用中，“賦值思想”是一種重要方法，是處理組合數(shù)問(wèn)題、系數(shù)問(wèn)題的經(jīng)典方法．2.二項(xiàng)定理問(wèn)題的處理方法和技巧:⑴運(yùn)用二項(xiàng)式定理一定要牢記通項(xiàng)，注意與雖然相同，但具體到它們展開(kāi)式的某一項(xiàng)時(shí)是不同的，一定要注意順序問(wèn)題，另外二項(xiàng)展開(kāi)式的二項(xiàng)式系數(shù)與該項(xiàng)的(字母)系數(shù)是兩個(gè)不同的概念，前者只指，而后者是字母外的局部．前者只與和有關(guān)，恒為正，后者還與，有關(guān)，可正可負(fù)．⑵對(duì)于二項(xiàng)式系數(shù)問(wèn)題，應(yīng)注意以下幾點(diǎn)：①求二項(xiàng)式所有項(xiàng)的系數(shù)和，可采用“特殊值取代法”，通常令字母變量的值為1；②關(guān)于組合恒等式的證明，常采用“構(gòu)造法”——構(gòu)造函數(shù)或構(gòu)造同一問(wèn)題的兩種算法；③證明不等式時(shí)，應(yīng)注意運(yùn)用放縮法.⑶求二項(xiàng)展開(kāi)式中指定的項(xiàng)，通常是先根據(jù)條件求，再求，有時(shí)還需先求，再求，才能求出.⑷有些三項(xiàng)展開(kāi)式問(wèn)題可以變形為二項(xiàng)式問(wèn)題加以解決；有時(shí)也可以通過(guò)組合解決，但要注意分類清楚，不重不漏.⑸對(duì)于二項(xiàng)式系數(shù)問(wèn)題，首先要熟記二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)，其次要掌握賦值法，賦值法是解決二項(xiàng)式系數(shù)問(wèn)題的一個(gè)重要手段.⑹近似計(jì)算要首先觀察精確度，然后選取展開(kāi)式中假設(shè)干項(xiàng).⑺用二項(xiàng)式定理證明整除問(wèn)題，一般將被除式變?yōu)橛嘘P(guān)除式的二項(xiàng)式的形式再展開(kāi)，常采用“配湊法”“消去法”配合整除的有關(guān)知識(shí)來(lái)解決.多項(xiàng)式乘法的進(jìn)位規(guī)那么:在求系數(shù)過(guò)程中,盡量先化簡(jiǎn)，降底數(shù)的運(yùn)算級(jí)別,盡量化成加減運(yùn)算，在運(yùn)算過(guò)程可以適當(dāng)注意令值法的運(yùn)用，例如求常數(shù)項(xiàng)，可令.在二項(xiàng)式的展開(kāi)式中，要注意項(xiàng)的系數(shù)和二項(xiàng)式系數(shù)的區(qū)別.3.排列組合在二項(xiàng)展開(kāi)式中的應(yīng)用：展開(kāi)式可以由次數(shù)、項(xiàng)數(shù)和系數(shù)來(lái)確定．(1)次數(shù)確實(shí)定：從個(gè)相同的中各取一個(gè)(或)乘起來(lái)，可以構(gòu)成展開(kāi)式中的一項(xiàng)，展開(kāi)式中項(xiàng)的形式是，其中.(2)項(xiàng)數(shù)確實(shí)定：滿足條件的共組．即將展開(kāi)共項(xiàng)，合并同類項(xiàng)后共項(xiàng)．(3)系數(shù)確實(shí)定：展開(kāi)式中含()項(xiàng)的系數(shù)為(即個(gè)，個(gè)的排列數(shù))因此展開(kāi)式中的通項(xiàng)是：(),這種方法比數(shù)學(xué)歸納法推導(dǎo)二項(xiàng)式定理更具一般性和創(chuàng)造性，不僅可二項(xiàng)展開(kāi)，也可三項(xiàng)展開(kāi)，四項(xiàng)展開(kāi)等．4.求幾個(gè)二項(xiàng)式積的展開(kāi)式中某項(xiàng)的系數(shù)或特定項(xiàng)時(shí)，一般要根據(jù)這幾個(gè)二項(xiàng)式的結(jié)構(gòu)特征進(jìn)行分類搭配，分類時(shí)一般以一個(gè)二項(xiàng)式逐項(xiàng)分類，分析其他二項(xiàng)式應(yīng)滿足的條件，然后再求解結(jié)果．5.“賦值法”普遍適用于恒等式，是一種重要的方法，對(duì)形如、()的式子求其展開(kāi)式的各項(xiàng)系數(shù)之和，常用賦值法，只需令即可；對(duì)形如()的式子求其展開(kāi)式各項(xiàng)系數(shù)之和，只需令即可．“賦值法”是求二項(xiàng)展開(kāi)式系數(shù)問(wèn)題常用的方法，注意取值要有利于問(wèn)題的解決，可以取一個(gè)值或幾個(gè)值，也可以取幾組值，解題易出現(xiàn)漏項(xiàng)等情況，應(yīng)引起注意．例：假設(shè)，那么展開(kāi)式中各項(xiàng)系數(shù)之和為，奇數(shù)項(xiàng)系數(shù)之和為，偶數(shù)項(xiàng)系數(shù)之和為，令，可得．6.求展開(kāi)式系數(shù)最大項(xiàng)：如求()的展開(kāi)式系數(shù)最大的項(xiàng)，一般是采用待定系數(shù)法，設(shè)展開(kāi)式各項(xiàng)系數(shù)分別為，且第項(xiàng)系數(shù)最大，應(yīng)用從而解出k來(lái)，即得．7.(1)利用二項(xiàng)式定理解決整除問(wèn)題時(shí)，關(guān)鍵是進(jìn)行合理地變形構(gòu)造二項(xiàng)式，應(yīng)注意：要證明一個(gè)式子能被另一個(gè)式子整除，只要證明這個(gè)式子按二項(xiàng)式定理展開(kāi)后的各項(xiàng)均能被另一個(gè)式子整除即可．(2)求余數(shù)問(wèn)題時(shí)，應(yīng)明確被除式與除式()，商式與余式的關(guān)系及余式的范圍．(3)展開(kāi)式中常數(shù)項(xiàng)、有理項(xiàng)的特征是通項(xiàng)中未知數(shù)的指數(shù)分別為零和整數(shù)．解決這類問(wèn)題時(shí)，先要合并通項(xiàng)中同一字母的指數(shù)，再根據(jù)上述特征進(jìn)行分析．(4)有關(guān)求二項(xiàng)展開(kāi)式中的項(xiàng)、系數(shù)、參數(shù)值或取值范圍等，一般要利用通項(xiàng)公式，運(yùn)用方程思想進(jìn)行求值，通過(guò)解不等式(組)求取值范圍．【考點(diǎn)針對(duì)訓(xùn)練】1.的展開(kāi)式的前三項(xiàng)的系數(shù)成等差數(shù)列；〔1〕求展開(kāi)式中所有的有理項(xiàng)；〔2〕求展開(kāi)式中系數(shù)的絕對(duì)值最大的項(xiàng)。2.求的展開(kāi)式中的常數(shù)項(xiàng)，其中是除以的余數(shù)．【兩年模擬詳解析】1.二項(xiàng)展開(kāi)式中，第4項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)與第3項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)的比為8：3〔1〕求n的值；〔2〕求展開(kāi)式中項(xiàng)的系數(shù)〔3〕計(jì)算式子的值．2．．〔1〕求的值〔2〕求〔3〕求．3．假設(shè)展開(kāi)式中第二、三、四項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)成等差數(shù)列．〔1〕求n的值及展開(kāi)式中二項(xiàng)式系數(shù)最大的項(xiàng)．〔2〕此展開(kāi)式中是否有常數(shù)項(xiàng)，為什么？4．的展開(kāi)式中，只有第六項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)最大．〔Ⅰ〕求該展開(kāi)式中所有有理項(xiàng)的項(xiàng)數(shù)；〔Ⅱ〕求該展開(kāi)式中系數(shù)最大的項(xiàng)．5．展開(kāi)式中各項(xiàng)的系數(shù)之和比各項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)之和大．〔1〕求展開(kāi)式中二項(xiàng)式系數(shù)最大的項(xiàng)；〔2〕求展開(kāi)式中系數(shù)最大的項(xiàng)．6．解以下方程：7．在的展開(kāi)式中，前三項(xiàng)的系數(shù)成等差數(shù)列?！并瘛城笳归_(kāi)式中含有的項(xiàng)的系數(shù)；〔Ⅱ〕求展開(kāi)式中的有理項(xiàng)。8．設(shè)數(shù)列{an}是等比數(shù)列，，公比q是的展開(kāi)式中的第二項(xiàng)〔按x的降冪排列〕．〔1〕用n、x表示通項(xiàng)an與前n項(xiàng)和Sn；〔2〕假設(shè)An+1＝S1＋S2＋…＋Sn＋Sn+1，用n、x表示An+1．9．二項(xiàng)式〔N*〕展開(kāi)式中，前三項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)和是，求：〔Ⅰ〕求的值；〔Ⅱ〕展開(kāi)式中的常數(shù)項(xiàng)．10．〔1〕假設(shè)的展開(kāi)式中，的系數(shù)是的系數(shù)的倍，求；〔2〕的展開(kāi)式中,的系數(shù)是的系數(shù)與的系數(shù)的等差中項(xiàng),求；〔3〕的展開(kāi)式中,二項(xiàng)式系數(shù)最大的項(xiàng)的值等于,求.11．的展開(kāi)式中，前三項(xiàng)系數(shù)的絕對(duì)值依次成等差數(shù)列〔1〕證明展開(kāi)式中沒(méi)有常數(shù)項(xiàng)；〔2〕求展開(kāi)式中的所有有理項(xiàng)；12．:〔,n為常數(shù)〕．〔1〕求；〔2〕我們知道二項(xiàng)式的展開(kāi)式．假設(shè)該等式兩邊對(duì)x求導(dǎo)得：=,令x=1，可得=．利用此方法解答以下問(wèn)題：①求；②求．13．設(shè)．〔1〕假設(shè)數(shù)列的各項(xiàng)均為1，求證：；〔2〕假設(shè)對(duì)任意大于等于2的正整數(shù)，都有恒成立，試證明數(shù)列是等差數(shù)列．14．．⑴求及；⑵試比擬與的大小，并說(shuō)明理由．15．設(shè)且對(duì)于二項(xiàng)式〔1〕當(dāng)時(shí)，分別將該二項(xiàng)式表示為的形式；〔2〕求證：存在使得等式與同時(shí)成立．16．展開(kāi)式中各項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)和比各項(xiàng)的系數(shù)和大256；〔Ⅰ〕求展開(kāi)式中的所有無(wú)理項(xiàng)的系數(shù)和；〔Ⅱ〕求展開(kāi)式中系數(shù)最大的項(xiàng)．17．在數(shù)學(xué)上，常用符號(hào)來(lái)表示算式，如記=，其中，.〔1〕假設(shè)，，