2023-2024屆新高考一輪復(fù)習(xí)人教A版 第三章 第三講　第二課時(shí)　導(dǎo)數(shù)與不等式恒(能)成立 學(xué)案

第二課時(shí)導(dǎo)數(shù)與不等式恒(能)成立

?互動(dòng)探究

考點(diǎn)一分離參數(shù)法

例1(2022?石家莊模擬)已知函數(shù)fi,x)=axeχ-(a+l)(2χ-1).

(1)若α=l,求函數(shù)7U)的圖象在點(diǎn)(0,次0))處的切線方程；

⑵當(dāng)x>0時(shí)，函數(shù)兀r)20恒成立，求實(shí)數(shù)。的取值范圍.

數(shù)學(xué)求∕'(X),數(shù)學(xué)二姓數(shù)學(xué)運(yùn)算由/(I)N數(shù)學(xué)

?f(0)，旭)?≡≡rl0得a〉0?

_八川萬(wàn)程-------

分離參數(shù)構(gòu)I數(shù)學(xué)2,∏?;邏輯I求α的取

衛(wèi)遇E轆負(fù)‘≡[≡≡-

［解析］(1)若α=l,則兀0=》8—2(2k一1).

即f'(x)=xev÷ev-4,

則/'(0)=-3,貝0)=2,

所以所求切線方程為3x+y~2=0.

(2)由70)20,得。2士〉0,

∩2x—1

則/(x)20對(duì)任意的x>0恒成立可轉(zhuǎn)化為F72一k對(duì)任意的x>0恒成立.

ClI1XC

【卡殼點(diǎn)】不能把看看作整體，分離出來(lái)

a+1

_,2x—1.(2x+l)(x—1)

設(shè),n函數(shù)lkRX)=Wr(龍〉0),則rιl/(X)=--?

【易錯(cuò)點(diǎn)】導(dǎo)數(shù)運(yùn)算

當(dāng)OVKl時(shí)，F(xiàn)'(X)>0；當(dāng)尤>1時(shí)，F(xiàn)'(X)<0,

7

所以函數(shù)∕(x)在(0,1)上單調(diào)遞增，在(1,+8)上單調(diào)遞減，所以F(X)max=

HD=;.

【卡殼點(diǎn)】不能確定F(%)max=F(I)

于是備注解得心占.

故實(shí)數(shù)α的取值范圍是占，+8).

名幃A披MINGSHIDIANBO

分離參數(shù)法解決恒成立問(wèn)題的策略

(1)分離變量.構(gòu)造函數(shù)，直接把問(wèn)題轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值問(wèn)題.

(2)αWXX)恒成立臺(tái)αx)max;

aWy(X)恒成立3a≤∕(x)mi∏.

〔變式訓(xùn)練1〕

已知函數(shù)yu)=上普.

(1)若函數(shù)/U)在區(qū)間，，上存在極值，求正實(shí)數(shù)α的取值范圍；

⑵如果當(dāng)x21時(shí)，不等式兀X)—備，。恒成立，求實(shí)數(shù)攵的取值范圍.

1—1—InYInγ

［解析］(1)函數(shù)的定義域?yàn)?O,+∞),f'(X)=一h-=—學(xué)，

令/'(x)=0,得X=L

當(dāng)x∈(θ,D時(shí),f'(x)>o,yu)單調(diào)遞增；

當(dāng)x∈(l,+∞)?,f(x)<0,加)單調(diào)遞減.

所以X=I為函數(shù)?r)的極大值點(diǎn)，且是唯一極值點(diǎn)，所以0<a<l<a+；,

故T<α<l,即實(shí)數(shù)α的取值范圍為&11

⑵原不等式可化為當(dāng)時(shí)，ZWa+Df+lnx)恒成立,令g(x)=

α+D(∣+m%2i),

[1÷lnx÷1+?lv-(x+1)(1÷lnx)

X-InX

則g'-----------------，----------------------

再令4(x)=χ-lnX(X21),則/?'(X)=I—所以∕ι(x)2%(l)=1,所以

g'。)>0，

所以g(x)為增函數(shù)，所以g(x)Ng(l)=2,故4≤2,即實(shí)數(shù)Z的取值范圍是(一

8,2］.

考點(diǎn)二分類(lèi)討論法

例2(2023?綿陽(yáng)市診斷性考試)已知函數(shù)?x)=(2m+2)χ-4In%—^πu2(∕∕2∈R).

(1)若函數(shù)g(x)=∕*)+gwu2有兩個(gè)零點(diǎn)，求機(jī)的取值范圍；

(2)若兀r)20,求機(jī)的取值范圍.

［解析］⑴由g(x)="x)+%iχ2=(2∕τz+2)χ-41nx,x>0,

徂，，、c4(2∕Π+2)A-4(w+l)χ-2

(x)-(2m+2)--------2X---------------?

,一I(加+1)%一2

①當(dāng)m≤-l時(shí)，g'(%)=2×--------------<0,

此時(shí)g(x)在(0,+8)上單調(diào)遞減，

g(x)在(0,+8)上不可能有兩個(gè)零點(diǎn)，

故"zW—l不符合題意.

②當(dāng)加>—1時(shí)，g(x)在區(qū)間(0,高?上單調(diào)遞減，在區(qū)間舄了，+8)上

單調(diào)遞增.

要使得函數(shù)g。)在(0,+8)上有兩個(gè)零點(diǎn)，

rll(2)2八，曰2-e

則gKd=4—4In后γ<0'侍一1<"K-Γ??

綜上，實(shí)數(shù)加的取值范圍是(-1,冶.

4

(2)∕z(x)=(2m+2)---mx

("優(yōu)一2)(九一2)

=―------------------,x>0.

X

①當(dāng)0<機(jī)<1時(shí)，函數(shù)TW在(2,金上單調(diào)遞增，

在(0,2)和(高，+8)上單調(diào)遞減.

所以當(dāng)x>4+2>短時(shí)，∕U)=Λ(2機(jī)+2—5UI-4InX勺(4+3<0,

IIIIlv\?III，

所以yu)eo不恒成立,

即0<m<1不符合題意.

②當(dāng)加=1時(shí)，，(x)W0(僅在x=2時(shí)取等號(hào))，√U)在(0,+8)上單調(diào)遞減，

火x)20不恒成立，即〃2=1不符合題意.

③當(dāng)21時(shí)，函數(shù)段)在&2)上單調(diào)遞增，在(0,和(2,+8)上單調(diào)遞

減，

所以當(dāng)x>4+—>2時(shí)，危)=《2機(jī)+2—4InXd4+?)<0,

所以√U)20不恒成立，

即加>1不符合題意.

④當(dāng)"zWO時(shí)，函數(shù)/U)在(0,2)上單調(diào)遞減，在(2,+8)上單調(diào)遞增，

.*x)20恒成立的充要條件是7(2)20,

解得mN2In2-2,

所以21n2—2W"zW0.

綜上，實(shí)數(shù)為的取值范圍是［21n2—2,0］.

名幃點(diǎn)帔MINGSHIDIANBO

對(duì)于不適合分離參數(shù)的不等式，常常將參數(shù)看作常數(shù)直接構(gòu)造函數(shù)，常用分

類(lèi)討論法，利用導(dǎo)數(shù)研究單調(diào)性、最值，從而得出參數(shù)范圍.

〔變式訓(xùn)I練2〕

(2020?新高考全國(guó)I卷)已知函數(shù)<x)=αe*i—lnx+lnα.

(1)當(dāng)α=e時(shí)，求曲線y=?r)在點(diǎn)(1,./U))處的切線與兩坐標(biāo)軸圍成的三角

形的面積；

(2)若人》)21,求α的取值范圍.

［解析］(1)當(dāng)α=e時(shí)，,*x)=ex-?lnx+l,

f'(x)=ev-p∕,(l)=e-l,χi)=e+l,曲線y=∕(x)在點(diǎn)(1,.穴1))處的切線

方程為y—(e+l)=(e-l)(χ-1).

即y=(e—I)X+2.

直線y=(e—l)x+2在X軸、y軸上的截距分別為了告，2.

因此所求三角形的面積為一2.

e—1

(2)當(dāng)O<a<l時(shí)，Λl)=α+lnα<l.

當(dāng)a=?時(shí)，yU)=eL∣-lnx,f'(x)=eλl-?

?

當(dāng)x∈(O,D時(shí),f'(X)<O;

當(dāng)Λ∈(l,+∞)0t,f'(X)>0.

所以當(dāng)χ=ι時(shí)，/U)取得最小值，最小值為y∏)=ι,從而.*x)2i.

l1

當(dāng)”>l時(shí)，>∕(x)=tze'-ln%+lnα≥e'—Inx≥l.

綜上，α的取值范圍是［1,+∞).

考點(diǎn)三不等式能成立問(wèn)題

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例3已知函數(shù)?x)=(x—l)e*"+g2,當(dāng)0<∕%W6時(shí)，g(x)=xi-~-mx,x∈

(0,2］,若存在x∣∈R,X2∈(0,2］,使<XI)Wga2)成立，求實(shí)數(shù)機(jī)的取值范圍.

［解析］x∈(-8,+8)且/(%)=ev+l÷(χ-l)?ev+1+2mx=x(ex^'+2m),

當(dāng)〃?〉0時(shí)，因?yàn)镕HX),

所以ev'1+2m>0,

所以當(dāng)x>0時(shí)，/(X)>0；

當(dāng)x<0時(shí)，f'(x)<0.

故y(X)在區(qū)間(一8,0)上單調(diào)遞減，

在區(qū)間(0,+8)上單調(diào)遞增，

所以/(x)min=/(0)=-C.

又g'(X)=3X2÷^2-w≥4√3-m,

因?yàn)?<m≤6,所以g'(x)>0,

所以g(x)在(0,2］上為增函數(shù).

所以g(x)maχ=g(2)=8—2—2m=6—2m.

依題思有/(Xl)minWg(?X2)max,

6

所以6—2〃z，一e,所以0<〃z<3+/,

故機(jī)的取值范圍為(0,3+f.

名幃A披MINGSHIDIANBO

1.存在型不等式成立主要是轉(zhuǎn)化為最值問(wèn)題

如存在XI,Λ2∈[∏,切使√(xi)Wg(X2)成立兮∕U)minWg(x)max,轉(zhuǎn)化為最值問(wèn)題

求解.

2.如果一個(gè)問(wèn)題的求解中既有“存在性”又有“恒成立”，那么需要對(duì)問(wèn)

題做等價(jià)轉(zhuǎn)化，這里一定要注意轉(zhuǎn)化的等價(jià)性、巧妙性，防止在轉(zhuǎn)化中出錯(cuò)而使

問(wèn)題的