新高考數(shù)學基礎復習講義 15 遞推公式求通項（教師版含解析）

考點15遞推公式求通項

知識理解

公式法求通項

1.使用特征：前n項和與項數(shù)或項的關系

2.公式為：通項=前n項和-前n-1項和

3.解題思路

求通項相關的：求首項、列兩式、作差、化簡

'有首項,此步略

求首項:<

無首項,令n=1進行求解

(一式含有S,此式題目已給

列兩式：《n

一式含有Snj根據(jù)題目的式子把n變n-1

作差：將上面兩式相減

'(1)得到通項公式，檢驗n=l是否滿足條件

化簡:?(2)得到等差或等比數(shù)列

(3)得到數(shù)列兩項的關系式

二.累加法求通項

1.使用特征：a后-a^=f(n)表示含n的式子

2.解題思路

aa=a-aa-

∏-ι(2∣)+(3a2)+...+(an.,-an.2)+(an-an.∣)

=根據(jù)f(n)中與前后項下標的關系寫出每個括號的結果

=觀察f(n)的特征選擇合適的求和方法

=計算化簡

注意：記得最后a∣進行移項

≡.累乘法求通項

1.使用特征：^1=f(n)含有n的式子

a前

2.解題思路

Aa=_a51_.也a.a￡-.....a,a`

a∣a∏-la∏-2a∏-3a2a∣

=根據(jù)f(n)中的n與前后項下標的關系列式

=整理化簡

注意：將為進行移項

四.構造法求通項

1.通項特征：兩項放兩邊，系數(shù)則不同，相差常數(shù)項.形如an+∣=pan+k

解題思路：待定系數(shù)法

(1)設方程：設aιl+]+λ=p(an+λ)

(2)移項解：aιl+j=pan+pλ-λ,令pλ-λ=k解λ

(3)λ代入：將λ代入(1)中，再移項匕也=p,構成等比數(shù)列｛at,+λ｝

an+λ

2.通項特征：兩項放兩邊，系數(shù)則不同，相差一次函數(shù).形如an,∣=pan+kn+b

解題思路：待定系數(shù)法

=

(1)設方程：?∏n+1÷λ(n÷1)÷ap(an÷λn÷a)

pλ-λ=k

(2)移項解：aγparι+(pλ-λ)n+pa-a-λ,對比得《解得λ和b

pa-a-λ=b

λ

⑶λ,b代入：將λ代入(1)移項a,"+(n+l)+a=p,構成等比數(shù)列｛a,,+λn+a｝

aιι+λn+a

通項3.特征：兩項放兩邊，系數(shù)不同，相差指數(shù)函數(shù)且底數(shù)與項的系數(shù)不同.形如am=pa∕kbn

解題思路：待定系數(shù)法

n

(1)設方程:設atl,∣+λb向=P(an+λb)

n

(2)移項解：an+,=pan+(p-b)λb,?(p-b)λ=k??λ

?IΛL∏+I

⑶λ代入：將λ代入(1)中，再移項芻嗎i=P，構成等比數(shù)列｛an+λb?

a?'λb

n

4.an+l=Pa“+kP（PHl/0指數(shù)的底數(shù)與項數(shù)的系數(shù)相同）

解法：同時除以p-'（注意指數(shù)的次數(shù)是由后一項的下標決定）

即J=旦+型n?=L+K

p"1p"lp"lpn+,pnp

=是首項文，公差是V的等差數(shù)列

IpnJPP

五.倒數(shù)法求通項

1.分式：a0=Pan-I或ae=Pan

kanJPka,,+p

解法：兩邊同時取倒數(shù)，即J-=旦0=人+」一即_L--L=K

aaaa

nPn-1Pn.∣∏an.∣P

或」_=包±E=K+J_即」_」=￡..（工］是以首項L公差K的等差數(shù)列

an÷1PalUPa?an+1anpIaiJa1P

整式：∣或?兩項相減相乘

2.na-na—I.=knana-ιnana+l1=kna+1+1na

解法：兩邊同時除以乘的部分，即

aa,kaa,11[11

—=，n曰n-----------二—kn｛一)等差數(shù)列

anan-l1anan-1,anan-l,anan-1,Ian√

考向一公式法求通項

【例1】（1）（2020?廣西民族高中）數(shù)歹u｛α,,｝的前〃項和S“=一/+〃，則它的通項公式是%=.

（2）（2020?廣東深圳市?明德學校高三月考）設S,是數(shù)列｛q｝的前n項和，且S,=2a,l+n,則｛α,,｝的通項公

式為=__________

,,

(3)(2020?榆林市第十中學高三月考)已知數(shù)列｛”,J滿足α∣+2a2+3q++nan=(2〃-l)?3,n∈N",則

3,H=1

【答案】(1)4=-2"+2("∈M)(2)l-2"("∈N)(3)3

4X3"T∕≥2

［解析］(D"=1時，q=S∣=-1+1=0；

22

“≥2且〃eN+時，an=Sn-S,,.l=(-n+?)----(n-l)+(n-l)j=2∕?,易見，〃=1也適合該式.故

an=-2〃+2(〃∈N+).故答案為：an=-2∕7+2(n∈TV+).

(2)當〃=1時,al=2al+l,al=-1

當〃>1時，all=2an+n-2al^i-(n-?),：.an=2aπ,1-1,Λα,ι-1=2(απ-l-1),

n

Vtzl-1=-2,.?an-l=-2,.?an=?-2".故答案為：l-2"(neN*).

(3)當〃=］時，O1=(2—1)×3=3,

當〃之2時，由題意可得：

4+24,+?iz?++na”=(2∕?-?,3”,

4+24+3%+?..+(〃—1)a,—=(2〃—3)?3"∣,

兩式作差可得：nα,,=(2∕ι-l)?3n-(2π-3)?3π^l=4π?3,'^l,

故α,,=4χ3"τ(“≥2),

3,H=1

因為％=3,不滿足a,,=4χ3"T,所以

M,,-',n≥2'

3,〃=1

故答案為:3；a,,=<

4×3π^1,n>2,

【方法總結】

s∣,("=ι)

數(shù)列｛4｝的前n項和S.,當已知Sn求an時，按照兩者關系，由q=■計算，當〃=1

S,,-S,,-1,(n≥2)

也適合通項公式時，合并作答，否則寫出分段形式.

【舉一反三】

1.（2020?西藏昌都市第一高級中學）已知數(shù)列｛0,,｝的前〃項和S,,=3〃2-2〃，則.

【答案】6/1-5

2

［解析］由于數(shù)列也｝的前?項和S11=3n-2n.

當〃=1時，4=S］=1;

當〃22時，4=S“-S,*=（3〃2-2〃）一3（〃一1）2-=6〃-5.

%=1滿足=6〃-5.因此，對任意的〃eN"，4=6〃-5.故答案為：6n-5.

2.（2020.全國高三專題練習）數(shù)列｛叫的前〃項和為S“=〃2-2〃+3,則％=.

2,〃=1

【答案】

2H-3,Π≥2

【解析】當“≥2時，a”=S"一5“_|=（〃2-2〃+3）-［（九一1『一2（九一1）+3=2〃-3；

2,H=12,〃=1

而4=S］=2不適合上式，.?.〃〃二.故答案為：,

2n-3,n>22〃-3,〃≥2

3.（2020.河北保定市?高碑店一中）已知數(shù)列｛an｝的前〃項和為Sn,4=1,an=2S,-（〃≥2）,則an

【答案】b3"4≥2）

【解析】因為an=2S,ι（〃≥2）,故all+l=2Sn,故an+i-an=2%即=3all（π≥2）.

又4=2q=2,故當〃22時，4=2X3”-2,

fι,rt=ι=

故4=O爐、0?故答案為：-∕>v

2×3,n≥2［29?3r2（πn≥29）

21

4.（2020?全國高三專題練習）若數(shù)列｛凡｝的前〃項和5〃=§%+§,則｛〃〃｝的通項公式是為=

【答案】（-2）1

21

［解析］當"=1時，q=—q+—,cιl=1f

33

2122

當“≥2時，ST=all^Sll-Sn^=-an--an_｝,

.?.4=-2αι,｛α,J是首項為1，公比為-2的等比數(shù)列，氏=（-2尸.故答案為：（一2嚴

5.(2020?安徽省舒城中學)若數(shù)列｛《,｝是正項數(shù)列，且向+日+…+n=∕+3”("∈N*),則為=

【答案】4(π+l)2

【解析】數(shù)列｛為｝是正項數(shù)列，且J[+Jξ^+…+"鼠=〃2+3〃(〃€“)所以4=4,B[J=16

“≥2時+y∣cζ+—卜Ja=(n-l)^+3(n-l)(n∈N')

兩式相減得口=2〃+2,

所以q=4(〃+1)2(〃≥2)當”=1時，％=16適合上式，所以a“=4(〃+l)-

考向二累加法求通項

【例2】(2020戒都市?四川電子科大實驗中學)設數(shù)列｛α,J滿足%=1，an+i-an=鼻(〃eN*),則數(shù)列｛q｝

的通項公式為

【答案】a“=2(l-5[(〃eN*)

aa

【解析】an+i-an=^,所以當“≥2時，T=擊，％一限=/，，2-ι=^T>

將上式累加得：一巧=*+*+…+,

/T=??J=>RΓ''即。，，=2一(3'〃N2)，

1—

2

又〃=1時，％=1也適合，.?q=2—擊=2，一/1.

【舉一反三】

1.(2020?全國高三專題練習)已知數(shù)列｛a,,｝滿足：4=1,4用=4+￡；(〃∈N*),則〃=________

22λ

31

【答案】τ-τττ

22

【解析】：數(shù)列｛a,,｝滿足：ai=∣,an+｝=aπ+?(?∈Λ^*),?.all+i~=??

1

.?.當論2時,Cln=a?+Cl2~。|+〃3-。2+…——=--F

2

2.（2020?全國高三專題練習）已知在數(shù)列｛α,,｝的前〃項之和為S,,,若q=2,α,,+∣=α,,+2"T+l,則°

【答案】2n^'+n

n

[解析]4=2,勺M=an+2'-'+1=>an+i-an=2^'+1

=",,=(an-αn.1)+-a,.)++(tz3-a2)+(α2-0l)+czl=

=2"-+2"`++2+l+∕ι-1+6!∣,

I_2n^1

---------+〃-1+2=21+〃.

1-2

2

3.（2020.通榆縣第一中學校高三期中）已知數(shù)列｛4｝滿足q=1,a,,+1=an+-τ-^-,則4=o

【答案】?

3--

n

可得高=2：W），

【解析】由a=a+-T——

n+[nn+〃

所以4,=(4一an-2)+(αn-2-??-3)++(生-4)+4

^?-?+2μq+2pq++2」+x」+心二,

?n-ln)?n-2n-?)(〃-3n-2J(12)(n)n

考向三累乘法求通項

/7

【例3】(2020?江西九江市)設數(shù)列(?。校力?2,斯+i=——m，則Z=.

π+l

2

【答案】一

n

na.,n

[Wttff]???〃〃+1=-----an,a?=2Λa∏≠0Λ.tl=7

〃+19f4〃+1

a,a.an-1n-2?22

,當〃≥2時，a,1=t…1=~?q=--------------...—2=一,0=2也符合上式，則〃“=一.

《Ia2a?nn-12nn

—“2

故答案為：一.

n

【舉一反三】

H

L(202。蘇州市相城區(qū)陸慕高級中學)已知在數(shù)列｛%｝中，q=2,q+∣=——a〃,則《=_______

π+l

2

【答案】一

n

na—n

【解析】Qam=——即*■=—7,

,,+l

n+l"ann+1

an?-lan-2.幺.竺?ɑJ-I〃-2〃-32.12

1X2

an_2an_3a2ainn-?n-232n

2.(2020?安徽省泗縣第一中學)已知%=1，4="(α,小一α,,)("∈N+),則數(shù)列｛為｝的通項公式是

【答案】?

【解析】由4="(%+1—。”)(〃€乂)得：("+l)%=zκz,,+]("∈N+),即%I="?(/eM),

ljin???Q?-l-n~1ar-2-n-2"=2

、??.1n-?'an_2n-2'an_3n-3,.........aiT，

由累乘法可得YL=",又因為4=1,所以q,=".

考向四構造法求通項

[例4](2020?全國高三專題練習)若q=1,an=2a,,.1+l(n≥2,〃∈N),則an=.

【答案】2,'-l

[解析】原式可化為an+↑=2(α,,τ+l)(n>2),

因為4+1=2,所以｛α,,+l｝是首項為2,公比為2的等比數(shù)列，

所以4,,+l=2",即.故答案為：2,--l?

【舉一反三】

1.(2020.靜寧縣第一中學高三月考)已知數(shù)列｛4｝中，％=1,4=3??_,+4(〃eN*且〃≥2),則數(shù)歹IJ｛an｝

通項公式凡為

【答案】3"-2

an+2C

【解析】由q=1,an=3?！╛]+4知：a2=l且------=3(n≥2),而q+2=3,+2=9,

an-?+2

???｛%+2｝是首項、公比都為3的等比數(shù)列，即4=3”一2,

2.(2021?懷仁市第一中學校)已知數(shù)列｛4｝滿足q=1,。,川=2α,,+l,5∈N+),則數(shù)列｛4｝的通項公式為

【答案】%=2"-1

【解析】因為α,,+∣=2.,,+l,("∈N+),所以。,㈤+1=2(α,,+1),所以烏葉=2,

所以數(shù)列｛α,,+l｝是一個以％+1=2為首項，以2為公比的等比數(shù)列，

n

所以4+1=2?2"τ=2,.?.4=2"-L所以數(shù)列｛a,,｝的通項公式為4=2"-L故答案為：an=2"-?

+

3.(2020.廣東清遠市.高三月考)若數(shù)列｛4,｝滿足4=1,an+i=6an+2"',則數(shù)列｛a,,｝的通項公式可=

【答案】2x6"-∣-2"T

【解析】由-=60,,+2"M,可得翁=3x/+1,設N=會

則bll+l=3bn+l,則bn+i+；=3(2+g)

所以｛"''+g｝是以1為首項，3為公比的等比數(shù)列.

則d+g=3"τ,則勿=3"T—g,所以”,=2χ6"T-2"τ

故答案為：2x6"T-2"T

考向五倒數(shù)法求通項

【例5】(2020?四川省闿中東風中學校高三月考)已知數(shù)列｛4,｝滿足：q=1,。,川=/Lw(〃wN").則/=

【答案】2"

anIa“+2211?1

【解析】因為%+∣=T7,所以兩邊取倒數(shù)得——=--=一+1,則——+1=2—+1

%+2%ananan+}{aιl)

所以數(shù)列1」-+1]為等比數(shù)歹U,則1?+1=(工+1]?2"T=2",

IAJa,>lβ∣)

【舉一反三】

z、2a.

1.(2020.湖南婁底市)在數(shù)列{4}中，已知4=2,L=“鼻,(rt≥2),則4等于

zj-l

【答案】-

n

I1112

所以《?是以:為首項，公差為:的等差數(shù)列，—=-?,

an=-

22an2n

2.(2020?四川成都市?)若數(shù)列｛0,,｝滿足%=才七("≥2,"GN*),且G=g,則氏=

【答案】—

2n

an112an1+11C

【解析】當〃≥2且〃eN*，在等式q=cI兩邊取倒數(shù)得一="—=—+2,

a

2j+lan%,1-t

IlCIC1

-----------=2,且一=2,所以，數(shù)列一為等差數(shù)列，且首項為2,公差為2，

%％?ia,l

1,H=1

【答案】

—?一,n≥2且〃∈N

[3⑴

【解析】當〃=1時，a2=:S]=?；

333

當〃≥2時，％+1_〃〃=：(S〃_S,I)=Ja〃，二乎=1,

3?un?

1(A4

.?.數(shù)列｛q,｝從第二項開始為等比數(shù)列，.?.ɑ,=^??(n≥2,nwN*);

3?3√

1(4V-2

經(jīng)檢驗：〃=1不滿足α,,=l?2

3⑶

1,∏=1

綜上所述：a“=,

,rt>2Mn∈7V*'

1,77=1

t

故答案為：cιn—W?≥2且〃W

2

2.(2020?江蘇宿遷市)已知數(shù)列｛all｝的前〃項和Sn=n(n∈N*),則｛α,,｝的通項公式為.

【答案】an=2n-l

22

【解析】QB,=/,.?.當Λ2≥2時，an=S11-S1^=n-(n-l)=2n-l,

當〃=1時，4=S∣=1,上式也成立，；.a”=2n—1("eN*),

3.(2020?江蘇高三)己知q=l,q=〃(%—a,,)("∈N'),則數(shù)列｛a,,｝的通項公式是

【答案】an=n

【解析】由a“=〃(a“+i-a”)(〃eN+)得：(〃+1)%=叫,M("∈N+),即空M),

ann

叫ML_=」_a'>-i-n-ia'>-2-n-2"=2

,

、??_1n-?4Zn-2n-2`an_3n-3,....，ai]，

由累乘法可得口=〃，又因為q=l,所以為=〃.

4.(2020?全國)已知數(shù)列｛4,,｝滿足4=；,n(n+1)(a,,+1-)=an+iall,則數(shù)列｛4｝的通項公式為=

n

【答案】n∈N''

n+1

易知≠0,由n(n+1)(4+1—％)=aa,得=^??)

【解析】n+λn

11?11」=白」5??2).

aann+1aan-?n

nn+ln-lt1

111?J___111_?

.?.當〃..2時，有------=T-

4a212Or?23Zi-In

111?〃一1/C'

將以上〃—1個等式相加得，------1—=------(〃..2).

%qnn

n-1n+1

又%=L一=2-（幾.2）,經(jīng)驗證，當〃=1時符合上式，.?.α,=∕-（"eN*）.

nnf

2ann÷l

5.（2020?岑溪市第一中學）若數(shù)列｛α,J滿足q印2部3立部“=*+3〃+2,則數(shù)列｛q｝的通項公式為

6,n=l

【答案】％=,〃+2

------,π≥2,n∈Tv

、n

【解析】qg?第安g?=∕+3zι+2,

當〃=1時，q=6；

40分…q=(〃+i)(〃+2)

當〃≥2時，,

ay?a2?a3??an^=π(n+l)

〃+2

故當"≥2時，a

nn

6,∏=1

所以4=《〃+2

,n≥2,neN

n

6,n=1

故答案為：4=絲2,”N*

n

6.(2020.全國高三專題練習)在數(shù)列｛4｝中，q=2,αfl+∣=%+ln(l+?),貝∣J4=

【答案】2+ln〃

【解析】因為4=2,4+∣=4+ln(l+'),

n

???a〃+]-a〃=ln5+l)—ln〃，

aa

?'?fl=3〃_n-?)+(?！═—Q〃一2)++(出—)+4

=(In〃-ln(〃-l))+(ln(〃-1)—ln(∕ι-2))÷?÷(In2-lnl)÷2

=2+lnπ.

n

7.(2020?四川遂寧市?射洪中學)若數(shù)列｛α,,｝滿足：q=l,an+i=an+2,則4=.

【答案】2,1-l

23

【解析】由α∣=l,a2-ai=2,ai-a2=2,a4-a3=2,...?an-an_x=2"~'(n≥2),

累加可得%=1+2+2?++2"T("≥2),得見=2"—1("≥2),

,,,

當〃=1時，α1=2-l=l,也符合，故?！?2"-1.故答案為：2-l

8.(2020?吉林長春市?長春外國語學校)設數(shù)列｛α,,｝中，4=2,%+J=%+〃+1,則通項a“=

【答案】△——<+1

2

【解析】=2,a,,+∣=。“+〃+1；.4,,=α,τ+("-l)+l,an_x=izn_2+(n-2)+l,

α,,-2=α,,-3+("—3)+1，,??,%=4+2+l,a2=4+1+】，α∣=2=l+l

將以上各式相加得：an=[(∕ι-l)+(∕ι-2)+(∕ι-3)++2+l]+∕2+l

(zz-l)Γ(∕ι-l)+ll(n-?]n++1

=1——ΛA——L_l+n+↑^?——2_+?+1=_\——Z+ι故座填一^——^+1；

2222

9.(2020?吉林市第二中學)在數(shù)列｛4｝中，an+i-an=2n+?,ai=1,則數(shù)列的通項公式為可

【答案】n2

【解析】由題意，數(shù)列｛4｝中，q=l,4+ι-4=2〃+1,

可得=q+(%-。|)+(。3一。2)+,÷(an'~~an-?)

〃(1+2〃-1)2

=1+3+5++(2n-1)=---------------=n^,

即數(shù)列的通項公式為4="2.

故答案為：rr-

10.(2020?全國高三專題練習)設數(shù)列｛a,,｝滿足a∣?2a2Sa3?…?nan=2l則an=.

2

【答案】一

n

n1

【解析】由題得aι?2a2?3a3,…?nan=2",(I)a∣?2a2?3aj?...?(n-1)an.?=2-,n>2,(2)

2222

兩式相除得na∏=2,所以。“=一(〃≥2).由題得Cti=2,滿足O“=一(M≥2).故。“=—.故答案為一

nnnn

11.(2020?興仁市鳳凰中學)設數(shù)列｛α,,｝中，4/1=1,?÷>=57Γ,則通項-

3

【答案】a,l=

/1+2

3a13+6!11

【解析】因為/“=一，所以——=-r^=~+a-

3+%an+i3anan3

11111,1

即--------=不，所以數(shù)列《一｝是以首項為一=1,公差為一的等差數(shù)歹∣J?

4+1an3UJ43

11/?/7+23

故一=11+彳(〃_1)=二—，所以”,,=-~7?

a,33n+2

故答案為：an=——

〃+2

12.(2020?全國高三專題練習)已知數(shù)列｛?！埃凉M足％=1,一0用=nanan+,(n∈N"),則aιl=

U—a..,

nLx11

【解析】因為?！耙?+∣=na,lan+i,所以上~"=--------=",

aaaa

n,l+ln+ln

-=(-———)+(—--------…+(-!---!-)+-!-=(〃-1)+(〃-2)+―+3+2+1+-!-=

anananΛ??-2?2444

(rt-l)(n-l+l)n-n+22

------------------+1=------------=>a=-----

22nn2-n+2

13.(2020?全國高三專題練習)S”為數(shù)列｛4｝的前〃項和，若4>0,αj+2%,=4S,,+3,則%=,

【答案】2n+l

(解析］當〃=1時，a；+2α∣=45l+3=4q+3,

因為aa>0>所以a∣=3,

當〃N2時，a；+2%-a1∣-2a,-=4S,,+3-4Sn.l-3=4all,

即(an+an,l)(an-an,l)=2(a,1+%),

因為。“>0,所以?！耙籥,z=2,

所以數(shù)列｛q｝是首項為3,公差為2的等差數(shù)列，

所以a“=2〃+1；

故答案為：2n+l.

21

14(2020?全國)若數(shù)列［a,,｝的前?項和S11=§4+§,則｛q,｝的通項公式是a“=

【答案】(―2)"τ

21

【解析】當〃=1時，fl∣=-tz∣+—>a∣=1,

2122

當“≥2時，S,,,,=-all^+-,an=Sll-Sn,l=-an--a^i,

.?.∕=-2%τ,僅“｝是首項為1，公比為-2的等比數(shù)列，?！?(-2產(chǎn).

故答案為:(—2)1

15.(2020?寧夏長慶高級中學高三月考)已知數(shù)列｛4｝的前〃項和為S,,若4=1,a,,+1=∣S,,(n≥l),則

4=.

l,n=1

【答案】％=1(41T、。日『

［3⑴

［解析］當〃=1時，a1=—Si=—a］=?；

~333

L

當〃22時，a,i+l-a,,=∣(5,,-S,,-1)=∣αn,二^=I

?un?

,數(shù)列｛”,,｝從第二項開始為等比數(shù)列，.?.α,=g—(n≥2,neN*);

k?/

經(jīng)檢驗：〃=1不滿足.

1,∏=1

綜上所述：4=?

,n>2.an∈7V,

l,z?=1

n-2

故答案為："4

,n≥2且〃∈N"

16.（2020.湖南高三期中）設數(shù)列｛a,,｝的前〃項和為S,,,且S“+1=2%,則可

【答案】2,,^l

【解析】ξ,+1=2an,當〃=1時，S]+l=2q,解得q=l；

當〃≥2時,(5rt+1)-(5n,j-1)=Srt—5rt-1=an=2an-2an_x,即an=2an^l,

故q二2小，驗證〃=1時成立，故%二2小

故答案為：2n^l.

17.（2020?羅山縣楠桿高級中學高三月考）已知數(shù)列｛0,,｝的首項4=4,誓牛"，貝∣j｛4｝的通項公

【答案】n?2n+l

a.2(〃+1)

【解析】4=4,△——L

4,n

所以，…曾，Jx2×22×32nCN