2023-2024屆新高考一輪復(fù)習(xí)湘教版 2-8 函數(shù)與方程 學(xué)案

第八節(jié)函數(shù)與方程

【課標標準】1.結(jié)合學(xué)過的函數(shù)圖象，了解函數(shù)的零點與方程解的關(guān)系2結(jié)合具體連

續(xù)函數(shù)及其圖象的特點，了解函數(shù)零點存在定理.

必備知識夯實雙基

知識梳理

1.函數(shù)的零點

(1)函數(shù)零點的概念

對于一般的函數(shù)y=∕U),我們把使的實數(shù)X叫做函數(shù))，=火》)的零點.

(2)函數(shù)零點與方程根的關(guān)系：

函數(shù).v=√(x)的圖象/、,函數(shù),V=Ar)

與有交點<>有

(3)零點存在性定理：如果函數(shù)y=∕(x)在區(qū)間M，口上的圖象是連續(xù)不斷的一條曲線，并

且有，那么函數(shù)y=∕(χ)在區(qū)間3,8)內(nèi)有零點，即存在XOe(“，?),使得.

2.二分法

對于在區(qū)間上圖象連續(xù)不斷且的函數(shù)，通過不斷地把它的零點所在區(qū)間

,使所得區(qū)間的兩個端點逐步逼近,進而得到零點近似值的方法叫做二分

法.

［常用結(jié)論］

1.若連續(xù)不斷的函數(shù)在定義域上是單調(diào)函數(shù)，則至多有一個零點.

2.圖象連續(xù)不斷的函數(shù)，其相鄰兩個零點之間的所有函數(shù)值保持同號.

3.連續(xù)不斷的函數(shù)圖象通過零點時，函數(shù)值可能變號，也可能不變號.

夯實雙基

1.思考辨析(正確的打“，錯誤的打“X”)

(1)函數(shù)的零點就是函數(shù)的圖象與X軸的交點.()

⑵二次函數(shù)y=ατ2+6x+c(αW0)在當拄-4"c<0時沒有零點.()

(3)若函數(shù)y=∕(x)在區(qū)間(〃，力內(nèi)有零點(函數(shù)圖象連續(xù)不斷)，則人〃求切<0.()

(4)若兀0在區(qū)間［”,句上連續(xù)不斷，且犬〃)負6)>0,則兀0在(”,力內(nèi)沒有零點.()

2.(教材改編)已知函數(shù)人幻的圖象是連續(xù)不斷的，且有如下對應(yīng)值表.

X12_345

危)-4-2147

在下列區(qū)間中，函數(shù)./(X)必有零點的區(qū)間為()

A.(1,2)B.(2,3)

C.(3,4)D.(4,5)

3.(教材改編)函數(shù)段)=2，+爐-2在區(qū)間(0,2)內(nèi)的零點個數(shù)是.

4.(易錯)(多選)已知函數(shù)在區(qū)間(0,3)上有兩個零點，且都可以用二分法求得，其

圖象是連續(xù)不斷的，若40)>0,貝1次2加3)<0,則下列命題正確的是()

A.函數(shù)/U)的兩個零點可以分別在區(qū)間(O,1)和(1,2)內(nèi)

B.函數(shù)Ar)的兩個零點可以分別在區(qū)間(1,2)和(2,3)內(nèi)

C.函數(shù)CX)的兩個零點可以分別在區(qū)間(0,1)和(2,3)內(nèi)

D.函數(shù)y(x)的兩個零點不可能同時在區(qū)間(1,2)內(nèi)

5.(易錯)函數(shù)/)=αχ2rτ有且僅有一個零點，則實數(shù)。的值為

關(guān)鍵能力?題型突破

題型一函數(shù)零點所在區(qū)間的判定

例1(l)[2023?安徽安慶一中月考]函數(shù)?∕(x)=x+lOgM的零點所在的區(qū)間為()

A3B?(O

CBl)D?(∣,l)

(2)設(shè)函數(shù)y(x)=1一Inx,則函數(shù)y=∕(x)()

A.在區(qū)間Q，1)，(1.e)內(nèi)均有零點

B.在區(qū)間1),(1,e)內(nèi)均無零點

C.在區(qū)間(：，1)內(nèi)有零點，在區(qū)間(1,e)內(nèi)無零點

D.在區(qū)間1)內(nèi)無零點，在區(qū)間(1,e)內(nèi)有零點

Zi?X—3

(3)[2023?河南南陽模擬]已知函數(shù)√(x)=81In%-—80的零點位于區(qū)間(比"+1)內(nèi),

則整數(shù)k=()

A.1B.2C.3D.4

題后師說

判定函數(shù)零點所在區(qū)間的2種方法

7

鞏固訓(xùn)練1

⑴[2023?河北唐山模擬]在下列區(qū)間中，函數(shù)/)=e'+2r-3的零點所在的區(qū)間為(

(2)設(shè)火X)=O.8入一1,g(x)=lnx,則函數(shù)〃(幻=%)一g(x)的零點一定位于下列哪個區(qū)間

)

A.(0,1)B.(1,2)

C.(2,e)D.(e,3)

題型二零點個數(shù)的判定

例2(1)函數(shù)./U)=lnx+2x—6的零點的個數(shù)為()

A.0B.1

C.2D.3

(∣x∣+2,X<1,

(2)[2023?遼寧沈陽模擬]已知函數(shù)TU)=2則函數(shù)>=%)一14零點個數(shù)為

X÷-,X≥1.

)

A.OB.1

C.2D.3

2

(3)已知函數(shù)TU)=×,x>°'則方程Tu)—2R=O的解的個數(shù)是()

X+2,X≤0,

A.OB.1

C.2D.3

題后師說

判定函數(shù)零點個數(shù)的3種方法

鞏固訓(xùn)練2

(l)[2023?山東濟寧模擬]函數(shù)/(x)=[I'+2>“'°的零點個數(shù)為()

V2_9v_QV、n

A.1個B.2個

C.3個D.4個

(2)函數(shù)八幻=：-k>g2χ-l的零點個數(shù)為.

題型三函數(shù)零點的應(yīng)用

角度一根據(jù)函數(shù)零點的個數(shù)求參數(shù)

1__?X<]

二一’X,若函數(shù)g(x)=/(X)—MX

1Inx,X≥1

—1)有4個零點，則實數(shù)Z的取值范圍為.

題后師說

已知函數(shù)零點個數(shù)求參數(shù)范圍，常利用數(shù)形結(jié)合法，先對解析式變形，變?yōu)殛P(guān)于兩個初

等函數(shù)的方程再在同一平面直角坐標系中，準確畫出兩個函數(shù)的圖象，利用圖象寫出滿足條

件的參數(shù)范圍.

鞏固訓(xùn)練3

(-x,X≥O

[2023?河北滄州模擬]已知式X)=2一,若函數(shù)y=?r)一近一1:沒有零點，則實數(shù)Z

(2∣x∣,x<02

的取值范圍是()

?-&1)B-[I'+8)

C.[|.1)D.[1,+∞)

角度二根據(jù)函數(shù)零點所在的區(qū)間求參數(shù)

例4(l)[2023?河南焦作模擬]若函數(shù)4X)=InX+χ2-α在區(qū)間(I,e)上存在零點，則實數(shù)

”的取值范圍為()

A.(I,e2)B.(1,2)

C.(1,e2+l)D.(2,|+2)

(2)若函數(shù)yu)=4*-2'—”在區(qū)間[-1,1]上有零點，則實數(shù)a的取值范圍是.

題后師說

根據(jù)函數(shù)零點所在區(qū)間求參數(shù)范圍的常用方法

鞏固訓(xùn)練4

［2023?黑龍江雙鴨山一中月考］設(shè)A為實數(shù)，函數(shù)/)=2'+x2—人在［0,1］上有零點，則

實數(shù)k的取值范圍為.

第八節(jié)函數(shù)與方程

必備知識?夯實雙基

知識梳理

1.(1求X)=O(2)實根X軸零點(3y(α)?Λ?)<0式配)=0

2.Λfl)?Λ?)<o一分為二零點

夯實雙基

?.(D×(2)√(3)×(4)×

2.解析：由所給的函數(shù)值的表格可以看出，x=2與x=3這兩個數(shù)字對應(yīng)的函數(shù)值的

符號不同，即火2)負3)<0,所以函數(shù)在(2,3)內(nèi)有零點.

故選B.

答案：B

3.解析：因為y=2",y=x3是增函數(shù)，

所以函數(shù)外)=2，+V—2在區(qū)間(0,2)內(nèi)單調(diào)遞增.

又40)=—1<0,A2)=10>0,

所以<0加2)<0,

故函數(shù)犬*)=》+%3-^在區(qū)間(0,2)內(nèi)有唯一的零點.

故選B.

答案：1

4.解析：因為函數(shù)HX)在區(qū)間(0,3)上有兩個零點，且都可以用二分法求得，其圖象是

連續(xù)不斷的，所以零點兩側(cè)函數(shù)值異號，

又的)>0,川水2加3)<0,所以貝3)>0,Λ1M2)<O,

若式1)>0,Λ2)<0,可得∕2V(3)<0,χi)∕(2)<0,即此時函數(shù)危)的兩個零點分別在區(qū)間(1,

2)和(2,3)內(nèi)，故B正確.

若-l)<0,Λ2)>o,則旭/I)C0,Λ1M2)<O,即此時函數(shù)於)的兩個零點分別在區(qū)間(0,

1)和(1,2)內(nèi)，故A正確.

綜上兩種情況，可知選項C錯誤，D正確.

故選ABD.

答案：ABD

5.解析：若α=0,

則:X)=—x-l,令KX)=0,即一X-I=0,

得X=-1,故符合題意；

若αW0,則y(x)=αr2-X-1是二次函數(shù).

故有且僅有一個零點等價于Δ=I+4α=0,

解得a=—；,

綜合所述。=0或α=-?.

答案：0或一;

4

關(guān)鍵能力?題型突破

例1解析：(1)由已知得yu)=χ+iog2χ為(0,+8)上的遞增函數(shù)，

4∣)=∣+log2i=i-log23<0,

尼片+1Ogw=一Ma

XI)W+log?=？-log23W(5-∣og227)>0,ΛD=1>O,

由零點存在定理可知，火X)在區(qū)間傳，|)存在零點，

故選C.

(2)(圖象法)令於)=0,得夕=InX,作出函數(shù)y=[x和y=lnx的圖象，如圖，顯然產(chǎn)危)

在Q,1)內(nèi)無零點，在(1,e)內(nèi)有零點.

故選D.

Z-I?.X-3

(3)因為函數(shù)y=811nx與>=—(])—80在(0,+8)上均為增函數(shù),

所以函數(shù)y(x)在(0,+8)上為增函數(shù)，

因為式2)=8Πn2-83<0,ι∕(3)=8∏n3—81>0,<2)：*3)<0,

所以函數(shù)KX)的零點位于區(qū)間(2,3)內(nèi)，故人=2.

故選B.

答案：(I)C(2)D(3)B

鞏固訓(xùn)練1解析：(1)函數(shù)y(x)=ev+2χ-3的定義域為R.

因為函數(shù)y=e?y=2x—3均為增函數(shù)，所以/(x)=ex+2χ-3為R上的增函數(shù).

又7(O)=eθ+2XO—3=—2<0,/Q)=e*+2x；-3<e?-∣=√e-∣<0,

yθ)=eW+2X^—3=Ve-2<0,/^θ=e5+2×^-3=eZ—∣>√e—1>0.

由零點存在定理可得：,/(X)的零點所在的區(qū)間為G，

故選C.

(2)(圖象法M(X)=/(x)—g(x)的零點等價于方程y(x)—g(x)=0的根，即為函數(shù)y=∕(x)與y

=g(x)圖象的交點的橫坐標，其大致圖象如圖，從圖象可知它們僅有一個交點A,橫坐標的

范圍為(0,1).

故選A.

答案：(I)C(2)A

例2解析：⑴由于函數(shù)火X)在(0,+8)上是增函數(shù)，且*)=一4<0,X3)=ln3>θ,

故函數(shù)在(1,3)上有唯一零點，也即在(0,+8)上有唯一零點.

故選B.

(2)當x<l時，y=∣x∣+2-H=2,所以不存在零點；

當時，f=x+∣—k∣=j>O,也不存在零點，所以函數(shù)y=<x)-M的零點個數(shù)為0.

故選A.

⑶由於)-2M=0,得段)=2叫則函數(shù)於)-2N零點的個數(shù)即函數(shù)於)與函數(shù)>=2國的

交點個數(shù).

作出函數(shù)人X)與函數(shù)y=2N的圖象，可知兩個函數(shù)圖象的交點的個數(shù)為2,故方程_Ax)

-2W=0的解的個數(shù)為2.

故選C.

答案：(I)B(2)A(3)C

鞏固訓(xùn)練2解析：(1)因為段)=[,"21，x'°,

Ix2-2x-3,X>O

令心)=0，

當｛|x；5|2(r解得k-2；

當12_彳；>_°3=0，解得x=3,./U)的零點有一2和3共2個?

故選B.

(2)函數(shù),/U)=1—Iog2?r-1的零點個數(shù)即為：-log2X-l=0=>j=log2x+l的解的個數(shù)，即

為y=%>=log2?r+l兩個函數(shù)的交點個數(shù)，畫圖可知有1個交點.

答案：(I)B(2)1

例3解析：

因為g(x)=y(x)-Mx—1)有4個零點，

所以方程yu)=Mχ-1)有4個實數(shù)根,

———1X<1

畫出式X)=I-X’的圖象，以及y=A(x—1),

，Inx,X≥1

則兩函數(shù)的圖象有4個公共點.其中直線y=A(χ-l)經(jīng)過定點(1,0),斜率為k

當直線與貝x)相切時，聯(lián)立[V—I-X?,?=(l-2?)2-4?2=0,可求出Z=工，由圖可

Iy=k(x-1)4

知，當0<@時，方程兀r)=?x—1)有4個交點，故k的取值范圍為(0,?).

答案：(°，D