自動(dòng)控制原理第5章-頻域分析

第5章控制系統(tǒng)的頻域分析第5章控制系統(tǒng)的頻域分析

主要介紹典型環(huán)節(jié)的頻率特性、開(kāi)環(huán)頻率特性、最小相位系統(tǒng)、Nyquist穩(wěn)定判據(jù)、閉環(huán)頻率特性及用頻率特性來(lái)分析系統(tǒng)的品質(zhì)。內(nèi)容提要知識(shí)要點(diǎn)

開(kāi)環(huán)頻率特性、幅相頻率特性曲線（又稱極坐標(biāo)或Nyquist曲線）、對(duì)數(shù)頻率特性曲線（又稱Bode圖）、對(duì)數(shù)幅相頻率特性曲線、Nyquist穩(wěn)定判據(jù)、閉環(huán)頻率特性、相對(duì)穩(wěn)定性、等M圓和等N圓、定性或定量分析系統(tǒng)的時(shí)域響應(yīng)。第5章控制系統(tǒng)的頻域分析重點(diǎn)難點(diǎn)

重點(diǎn)：開(kāi)環(huán)頻率特性、Nyquist穩(wěn)定判據(jù)

難點(diǎn)：開(kāi)環(huán)系統(tǒng)的Nyquist曲線、Bode圖的繪制教學(xué)要求

熟練掌握頻率特性與傳遞函數(shù)之間的關(guān)系；熟練繪制開(kāi)環(huán)系統(tǒng)的Nyquist曲線、Bode圖；熟練利用Nyquist穩(wěn)定判據(jù)，由開(kāi)環(huán)頻率特性判別閉環(huán)系統(tǒng)的穩(wěn)定性；會(huì)利用等M圓和等N圓可由開(kāi)環(huán)頻率特性求閉環(huán)頻率特性，進(jìn)而定性或定量分析系統(tǒng)的時(shí)域響應(yīng)。第5章控制系統(tǒng)的頻域分析

頻率響應(yīng)：在正弦輸入信號(hào)作用下，系統(tǒng)輸出量的穩(wěn)態(tài)值。（1）頻率特性具有明確的物理意義，它可以用實(shí)驗(yàn)方法來(lái)確定。（2）對(duì)二階系統(tǒng)而言，頻率特性和動(dòng)態(tài)性能指標(biāo)之間有明確的對(duì)應(yīng)關(guān)系。（3）可以根據(jù)系統(tǒng)的開(kāi)環(huán)頻率特性研究閉環(huán)系統(tǒng)的穩(wěn)定性，不需要求解閉環(huán)特征方程。（4）頻率特性主要適用于線性定常系統(tǒng)，也可以有條件地推廣應(yīng)用到非線性系統(tǒng)中。

它具有以下特點(diǎn)：

第5章控制系統(tǒng)的頻域分析§5.1頻率特性一、頻率特性概述1、RC網(wǎng)絡(luò)的頻率特性其傳遞函數(shù)為：在復(fù)數(shù)域內(nèi)討論RC網(wǎng)絡(luò)，并求輸出電壓第5章控制系統(tǒng)的頻域分析于是有：——RC網(wǎng)絡(luò)的頻率特性—幅頻特性—相頻特性第5章控制系統(tǒng)的頻域分析比較和

可見(jiàn)，只要用jω代替該網(wǎng)絡(luò)的傳遞函數(shù)G(s)中的復(fù)變量S，便可得其頻率特性G(jω)。結(jié)論具有一般性。2、線性定常系統(tǒng)的頻率特性

線性定常系統(tǒng)如圖所示(n≥m)（1）第5章控制系統(tǒng)的頻域分析若r(t)=Rsinωt則有

設(shè)傳遞函數(shù)G(s)可表示成極點(diǎn)形式

假定系統(tǒng)是穩(wěn)定的，即其根均在S平面的左半平面式中A1、A2、ci為待定系數(shù)，由留數(shù)定理求得第5章控制系統(tǒng)的頻域分析

由拉普拉斯反變換得輸出響應(yīng)第5章控制系統(tǒng)的頻域分析

對(duì)于穩(wěn)定系統(tǒng)，當(dāng)t→∞時(shí)，e-pit（i=1,2,…,n）均隨時(shí)間衰減至零。此時(shí)系統(tǒng)響應(yīng)的穩(wěn)態(tài)值為:

而A1、A2為共軛復(fù)數(shù)，可表示為第5章控制系統(tǒng)的頻域分析于是式中，歐拉公式第5章控制系統(tǒng)的頻域分析

定義線性定常系統(tǒng)在正弦信號(hào)作用下，穩(wěn)態(tài)輸出的復(fù)變量與輸入的復(fù)變量之比稱為系統(tǒng)的頻率特性，記為G(jω)

穩(wěn)態(tài)輸出與輸入的幅值之比稱為系統(tǒng)的幅頻特性——幅頻特性

穩(wěn)態(tài)輸出與輸入的相位差稱為系統(tǒng)的相頻特性——相頻特性第5章控制系統(tǒng)的頻域分析顯然有3、頻率特性的另外表示G(jω)=p(ω)+jθ(ω)式中p(ω)——為G(jω)的實(shí)部，稱為實(shí)頻特性；

θ(ω)——為G(jω)的虛部，稱為虛頻特性。第5章控制系統(tǒng)的頻域分析二、頻率特性的求取實(shí)例

例5-1已知系統(tǒng)的傳遞函數(shù)為，求其頻率特性。解：令s=jω得系統(tǒng)的頻率特性或幅頻特性:相頻特性:第5章控制系統(tǒng)的頻域分析實(shí)頻特性:虛頻特性:第5章控制系統(tǒng)的頻域分析三、頻率特性G(jw)的表示方法以

為例幅頻相頻Ⅰ.

頻率特性Ⅱ.

幅相特性(Nyquist)Ⅲ.

對(duì)數(shù)頻率特性(Bode)Ⅳ.

對(duì)數(shù)幅相特性對(duì)數(shù)幅頻對(duì)數(shù)相頻第5章控制系統(tǒng)的頻域分析

頻率特性與微分方程也存在著內(nèi)在聯(lián)系，它們之間可以相互轉(zhuǎn)換：第5章控制系統(tǒng)的頻域分析四、頻域性能指標(biāo)2、諧振峰值

幅頻特性A(ω)出現(xiàn)最大值時(shí)所對(duì)應(yīng)的頻率；1、諧振頻率

幅頻特性的最大值。第5章控制系統(tǒng)的頻域分析3、頻帶

大，系統(tǒng)復(fù)現(xiàn)快速變化信號(hào)的能力強(qiáng)、失真小4.A(0)值

指零頻(ω=0)時(shí)的幅值

A(0)表示系統(tǒng)階躍響應(yīng)的終值，A(0)與1相差的大小，反映了系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)精度第5章控制系統(tǒng)的頻域分析§5.2典型環(huán)節(jié)的頻率特性5.2.1概述●幅相頻率曲線（極坐標(biāo)圖）●Bode圖（對(duì)數(shù)坐標(biāo)圖）1、幅相頻率曲線（極坐標(biāo)圖或乃奎斯特(Nyquist)圖）

規(guī)定：幅相頻率特性圖的實(shí)軸正方向?yàn)橄辔坏牧愣染€；矢量逆時(shí)針轉(zhuǎn)過(guò)的角度為正；順時(shí)針轉(zhuǎn)過(guò)的角度為負(fù)。第5章控制系統(tǒng)的頻域分析

當(dāng)頻率ω由0→+∞變化和ω從-∞→0變化的幅相頻率特性曲線關(guān)于實(shí)軸對(duì)稱故一般只繪制ω從0→+∞變化時(shí)的曲線

當(dāng)頻率ω由0→∞時(shí)，G(jω)變化的曲線，即矢量端點(diǎn)軌跡就稱為極坐標(biāo)圖第5章控制系統(tǒng)的頻域分析例如，RC網(wǎng)絡(luò)的幅頻特性和相頻特性第5章控制系統(tǒng)的頻域分析2、對(duì)數(shù)頻率特性曲線（Bode圖）

由對(duì)數(shù)幅頻特性和對(duì)數(shù)相頻特性兩張圖組成。（1）對(duì)數(shù)幅頻特性

頻率特性的對(duì)數(shù)值L(ω)=20lgA(ω)（dB）與頻率ω的關(guān)系曲線；

縱軸為L(zhǎng)(ω)=20lgA(ω)采用線性分度，A(ω)每增加10倍，L(ω)增加20dB；

橫坐標(biāo)采用對(duì)數(shù)分度，即橫軸上的ω取對(duì)數(shù)后為等分點(diǎn)。第5章控制系統(tǒng)的頻域分析（2）對(duì)數(shù)相頻特性

頻率特性的相角(度)與頻率ω的關(guān)系曲線。

橫軸采用對(duì)數(shù)分度，縱軸為線性分度，單位為度。第5章控制系統(tǒng)的頻域分析②可將系統(tǒng)的各個(gè)環(huán)節(jié)的幅值相乘轉(zhuǎn)化為幅值的疊加，簡(jiǎn)化了作圖過(guò)程；（3）Bode圖的特點(diǎn)：①Bode圖的橫坐標(biāo)采用對(duì)數(shù)分度，擴(kuò)大了頻率視野，有利于分析較大頻率范圍內(nèi)的系統(tǒng)特性；

例如，n個(gè)環(huán)節(jié)串聯(lián)

對(duì)數(shù)幅頻特性為第5章控制系統(tǒng)的頻域分析

對(duì)數(shù)相頻特性為③可以分段用直線作出對(duì)數(shù)幅頻特性的漸進(jìn)線，然后再借助修正曲線對(duì)其進(jìn)行修正；④通過(guò)Bode圖可以直觀看出各個(gè)環(huán)節(jié)對(duì)系統(tǒng)總特性的影響。3、對(duì)數(shù)幅相特性曲線（圖）

對(duì)數(shù)幅相圖是將對(duì)數(shù)幅頻特性和相頻特性兩張圖，在角頻率為參變量的情況下合成一張圖。第5章控制系統(tǒng)的頻域分析

一、頻率特性線性定常系統(tǒng)在正弦信號(hào)作用下，穩(wěn)態(tài)輸出的復(fù)變量與輸入的復(fù)變量之比稱為系統(tǒng)的頻率特性，記為G(jω)——頻率特性

穩(wěn)態(tài)輸出與輸入的幅值之比稱為系統(tǒng)的幅頻特性——幅頻特性

穩(wěn)態(tài)輸出與輸入的相位差稱為系統(tǒng)的相頻特性——相頻特性課程回顧（1）

第5章控制系統(tǒng)的頻域分析二、頻率特性、傳遞函數(shù)和微分方程之間的關(guān)系課程回顧（2）

第5章控制系統(tǒng)的頻域分析三、頻域性能指標(biāo)2、諧振峰值1、諧振頻率課程回顧（3）

3、頻帶4.A(0)值第5章控制系統(tǒng)的頻域分析四、幅相頻率曲線（極坐標(biāo)圖或乃奎斯特(Nyquist)圖）

系統(tǒng)頻率特性可表示為

規(guī)定：幅相頻率特性圖的實(shí)軸正方向?yàn)橄辔坏牧愣染€，矢量逆時(shí)針轉(zhuǎn)過(guò)的角度為正；順時(shí)針轉(zhuǎn)過(guò)的角度為負(fù)。課程回顧（4）

第5章控制系統(tǒng)的頻域分析五、對(duì)數(shù)頻率特性曲線（Bode圖）（1）對(duì)數(shù)幅頻特性

縱軸為L(zhǎng)(ω)=20lgA(ω)采用線性分度，A(ω)每增加10倍，L(ω)增加20dB；

橫坐標(biāo)采用對(duì)數(shù)分度，即橫軸上的ω取對(duì)數(shù)后為等分點(diǎn)。課程回顧（5）

（2）對(duì)數(shù)相頻特性

橫軸采用對(duì)數(shù)分度，縱軸為線性分度，單位為度。第5章控制系統(tǒng)的頻域分析1、積分環(huán)節(jié)5.2.2典型環(huán)節(jié)的頻率特性相頻特性幅頻特性頻率特性傳遞函數(shù)：(1)幅相頻率特性(Nyquist）第5章控制系統(tǒng)的頻域分析(2)對(duì)數(shù)頻率特性對(duì)數(shù)幅頻特性對(duì)數(shù)相頻特性斜率為-20dB/dec第5章控制系統(tǒng)的頻域分析2、慣性環(huán)節(jié)相頻特性：幅頻特性頻率特性傳遞函數(shù)(1)幅相頻率特性：實(shí)頻特性虛頻特性第5章控制系統(tǒng)的頻域分析上式配方之后得：

上式表明，慣性環(huán)節(jié)的極坐標(biāo)圖(乃奎斯特圖)是以（0.5，j0）為圓心，半徑為0.5的圓。慣性環(huán)節(jié)的極坐標(biāo)圖第5章控制系統(tǒng)的頻域分析對(duì)數(shù)幅頻特性：漸進(jìn)線

慣性環(huán)節(jié)的對(duì)數(shù)幅頻特性曲線近似為兩段直線。兩直線相交，交點(diǎn)處頻率ω=1/T，稱為轉(zhuǎn)折頻率。(2)對(duì)數(shù)頻率特性：在低頻段，Bode圖近似為0dB線；斜率為-20dB/dec在高頻段，它為一直線，其斜率為-20dB/dec第5章控制系統(tǒng)的頻域分析

用漸近線代替對(duì)數(shù)幅頻特性曲線，最大誤差發(fā)生在轉(zhuǎn)折頻率處，即ω=1/T處。

在高于轉(zhuǎn)折頻率一個(gè)倍頻處，即ω=2/T的誤差為第5章控制系統(tǒng)的頻域分析對(duì)數(shù)相頻特性第5章控制系統(tǒng)的頻域分析例1根據(jù)Bode圖確定系統(tǒng)傳遞函數(shù)。解.依圖有轉(zhuǎn)折頻率第5章控制系統(tǒng)的頻域分析3、微分環(huán)節(jié)對(duì)數(shù)幅頻特性相頻特性幅頻特性頻率特性G(s)=S傳遞函數(shù)(1)幅相頻率特性(2)對(duì)數(shù)頻率特性第5章控制系統(tǒng)的頻域分析4、二階振蕩環(huán)節(jié)相頻特性幅頻特性頻率特性二階振蕩環(huán)節(jié)的傳遞函數(shù)(1)幅相頻率特性實(shí)頻特性虛頻特性第5章控制系統(tǒng)的頻域分析極坐標(biāo)圖的繪制（考慮欠阻尼情況）①ω=0，A(ω)=1，φ(ω)=0，即極坐標(biāo)曲線起始于正實(shí)軸上，模為1。②ω=1/T，A(ω)=1/2ζ，φ(ω)=-900，即極坐標(biāo)曲線與負(fù)虛軸相交。ωn=ω=1/T。③ω→∞，A(ω)=0，φ(ω)=-1800，即極坐標(biāo)曲線從負(fù)實(shí)軸趨近于坐標(biāo)原點(diǎn)。圖5-14振蕩環(huán)節(jié)極坐標(biāo)圖(1，j0)(0，-j1/2ζ)第5章控制系統(tǒng)的頻域分析例2系統(tǒng)的幅相曲線如圖所試，求傳遞函數(shù)。由曲線形狀有由起點(diǎn)：由j(ω0)：由|G(ω0)|：第5章控制系統(tǒng)的頻域分析對(duì)數(shù)幅頻特性(2)對(duì)數(shù)頻率特性第5章控制系統(tǒng)的頻域分析5、比例環(huán)節(jié)對(duì)數(shù)幅頻特性相頻特性幅頻特性頻率特性G(s)=K傳遞函數(shù)(1)幅相頻率特性(2)對(duì)數(shù)頻率特性第5章控制系統(tǒng)的頻域分析6、滯后環(huán)節(jié)對(duì)數(shù)幅頻特性相頻特性幅頻特性頻率特性滯后環(huán)節(jié)的傳遞函數(shù)(1)幅相頻率特性(2)對(duì)數(shù)頻率特性第5章控制系統(tǒng)的頻域分析§5.

3系統(tǒng)的開(kāi)環(huán)頻率特性

5.3.1系統(tǒng)的開(kāi)環(huán)對(duì)數(shù)頻率特性

對(duì)n個(gè)環(huán)節(jié)串聯(lián)的系統(tǒng)，其開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)為其頻率特性第5章控制系統(tǒng)的頻域分析

由此看出，系統(tǒng)的開(kāi)環(huán)對(duì)數(shù)幅頻特性L(ω)等于各個(gè)串聯(lián)環(huán)節(jié)對(duì)數(shù)幅頻特性之和；

系統(tǒng)的開(kāi)環(huán)相頻特性等于各個(gè)環(huán)節(jié)相頻特性之和。系統(tǒng)的開(kāi)環(huán)對(duì)數(shù)幅頻特性開(kāi)環(huán)對(duì)數(shù)相頻特性第5章控制系統(tǒng)的頻域分析例1設(shè)一單位反饋系統(tǒng)，其開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)為試?yán)L制該系統(tǒng)的開(kāi)環(huán)對(duì)數(shù)頻率特性(Bode)。解：系統(tǒng)開(kāi)環(huán)頻率特性為

系統(tǒng)的開(kāi)環(huán)對(duì)數(shù)幅頻特性:第5章控制系統(tǒng)的頻域分析

注意：幅頻曲線由折線（漸進(jìn)線）組成，在轉(zhuǎn)折頻率處改變斜率。斜率為-20dB/dec20lgK斜率為-40dB/dec第5章控制系統(tǒng)的頻域分析

由L(ω)知，該類型(0型)系統(tǒng)的開(kāi)環(huán)對(duì)數(shù)幅頻特性的低頻段為20lgK的水平線，隨著ω的增加，每遇到一個(gè)轉(zhuǎn)折頻率(ω1=1/T1，ω2=1/T2)，對(duì)數(shù)幅頻特性曲線就要改變一次斜率。

若遇到慣性環(huán)節(jié)的轉(zhuǎn)折頻率時(shí)，斜率改變-20dB/dec；第5章控制系統(tǒng)的頻域分析

若遇到振蕩環(huán)節(jié)的轉(zhuǎn)折頻率時(shí)，斜率改變-40dB/dec；遇到一階微分環(huán)節(jié)的轉(zhuǎn)折頻率時(shí)，斜率改變+20dB/dec；遇到二階微分環(huán)節(jié)的轉(zhuǎn)折頻率時(shí)，斜率改變+40dB/dec；第5章控制系統(tǒng)的頻域分析開(kāi)環(huán)對(duì)數(shù)相頻特性:第5章控制系統(tǒng)的頻域分析例2設(shè)一單位反饋系統(tǒng)，其開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)為試?yán)L制該系統(tǒng)的開(kāi)環(huán)對(duì)數(shù)頻率特性(Bode)。解：系統(tǒng)開(kāi)環(huán)頻率特性為系統(tǒng)的開(kāi)環(huán)對(duì)數(shù)幅頻特性:第5章控制系統(tǒng)的頻域分析

該類型(Ⅰ型)系統(tǒng)的開(kāi)環(huán)對(duì)數(shù)幅頻特性的低頻段斜率為-20dB/dec（積分環(huán)節(jié)）；它在ω=1處與L(ω)=20lgK的水平線相交；在轉(zhuǎn)折頻率(ω1=1/T1)處，其斜率由-20dB/dec變?yōu)?40dB/dec。斜率為-20dB/dec斜率為-20dB/dec1/T120lgK第5章控制系統(tǒng)的頻域分析系統(tǒng)的開(kāi)環(huán)對(duì)數(shù)幅頻特性的特點(diǎn):(1)低頻段斜率為-20νdB/dec(ν為串聯(lián)積分環(huán)節(jié)的數(shù)目)(2)低頻段在ω=1處，L(ω)=20lgK；(3)當(dāng)L(ω)由低頻向高頻延伸時(shí)，在轉(zhuǎn)折頻率處，漸進(jìn)線的斜率要發(fā)生變化，變化的情況取決于典型環(huán)節(jié)的類型：如果遇到G(s)=(Ts+1)±1的環(huán)節(jié)，斜率要變化±20dB/dec;遇到G(s)=(T2s2+2ζTs+1)-1的環(huán)節(jié)斜率要變化-40dB/dec;開(kāi)環(huán)對(duì)數(shù)相頻特性:第5章控制系統(tǒng)的頻域分析繪制系統(tǒng)開(kāi)環(huán)對(duì)數(shù)幅頻特性的步驟:(1)將系統(tǒng)的開(kāi)環(huán)頻率特性G(jω)寫成若干典型環(huán)節(jié)頻率特性相乘的形式；(2)計(jì)算各典型環(huán)節(jié)的轉(zhuǎn)折頻率，并標(biāo)在Bode圖的ω軸上(3)計(jì)算20lgK值，過(guò)點(diǎn)(1,j20lgK)作斜率為-20νdB/dec的直線，直到第一個(gè)轉(zhuǎn)折頻率；(4)從低頻段開(kāi)始，隨著ω的增加，每經(jīng)過(guò)一個(gè)轉(zhuǎn)折頻率，按環(huán)節(jié)性質(zhì)改變一次漸進(jìn)線的斜率；(5)必要時(shí)可利用誤差曲線進(jìn)行修正，得到精確曲線；(6)相頻特性曲線的繪制可以按前述方法繪制，先作出各個(gè)環(huán)節(jié)的對(duì)數(shù)相頻特性，然后疊加。第5章控制系統(tǒng)的頻域分析例5-2系統(tǒng)開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)試?yán)L制開(kāi)環(huán)對(duì)數(shù)頻率特性。解系統(tǒng)開(kāi)環(huán)頻率特性為(1)計(jì)算典型環(huán)節(jié)的轉(zhuǎn)折頻率比例環(huán)節(jié)dB慣性環(huán)節(jié)1慣性環(huán)節(jié)2比例微分環(huán)節(jié)(2)在Bode圖的ω軸上標(biāo)出轉(zhuǎn)折頻率ω1、ω2、ω3第5章控制系統(tǒng)的頻域分析(3)過(guò)點(diǎn)(1,j40)作斜率為-20dB/dec的直線；

在ω3=20rad/s處，其斜率由-60dB/dec變?yōu)?40dB/dec；

在ω2=10rad/s處，其斜率由-40dB/dec變?yōu)?60dB/dec；

在ω1=5rad/s處，其斜率由-20dB/dec變?yōu)?40dB/dec；斜率為-20dB/dec斜率為-40dB/dec斜率為-60dB/dec斜率為-40dB/dec第5章控制系統(tǒng)的頻域分析(4)利用誤差曲線進(jìn)行適當(dāng)修正，得到精確曲線；(5)畫出各個(gè)環(huán)節(jié)的相頻特性曲線：第5章控制系統(tǒng)的頻域分析例5-3系統(tǒng)開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)為試?yán)L制系統(tǒng)的對(duì)數(shù)幅頻特性。解系統(tǒng)的開(kāi)環(huán)頻率特性

系統(tǒng)由5個(gè)典型環(huán)節(jié)組成:

轉(zhuǎn)折頻率且時(shí)L(ω)=20lgK=20dB或L(ω)=0作對(duì)數(shù)幅頻特性漸近線

過(guò)ω=1，L(ω)=20dB或ω=10，L(ω)=0dB作一條斜率為-20dB/dec直線作為低頻段直線；第5章控制系統(tǒng)的頻域分析

過(guò)ω=1，L(ω)=20dB或ω=10，L(ω)=0dB作一條斜率為-20dB/dec直線作為低頻段直線；第5章控制系統(tǒng)的頻域分析課程回顧（1）

1、積分環(huán)節(jié)(1)幅相頻率特性(Nyquist）：(2)對(duì)數(shù)頻率特性：一、典型環(huán)節(jié)的頻率特性斜率為-20dB/dec第5章控制系統(tǒng)的頻域分析課程回顧（2）

2、慣性環(huán)節(jié)(1)幅相頻率特性：(2)對(duì)數(shù)頻率特性：斜率為-20dB/dec第5章控制系統(tǒng)的頻域分析課程回顧（3）

3、微分環(huán)節(jié)(1)幅相頻率特性：(2)對(duì)數(shù)頻率特性：第5章控制系統(tǒng)的頻域分析課程回顧（4）

4、二階振蕩環(huán)節(jié)(1)幅相頻率特性：(2)對(duì)數(shù)頻率特性斜率為-40dB/dec第5章控制系統(tǒng)的頻域分析課程回顧（5）

5、比例環(huán)節(jié)(1)幅相頻率特性：(2)對(duì)數(shù)頻率特性：第5章控制系統(tǒng)的頻域分析課程回顧（6）

二、繪制系統(tǒng)開(kāi)環(huán)對(duì)數(shù)幅頻特性的步驟(0型系統(tǒng)）(1)將系統(tǒng)的開(kāi)環(huán)頻率特性G(jω)寫成若干典型環(huán)節(jié)頻率特性相乘的形式；(2)計(jì)算各典型環(huán)節(jié)的轉(zhuǎn)折頻率，并標(biāo)在Bode圖的ω軸上(3)從低頻段開(kāi)始，隨著ω的增加，每經(jīng)過(guò)一個(gè)轉(zhuǎn)折頻率，按環(huán)節(jié)性質(zhì)改變一次漸進(jìn)線的斜率；

若遇到慣性環(huán)節(jié)的轉(zhuǎn)折頻率時(shí)，斜率改變-20dB/dec；

若遇到振蕩環(huán)節(jié)的轉(zhuǎn)折頻率時(shí)，斜率改變-40dB/dec；遇到一階微分環(huán)節(jié)的轉(zhuǎn)折頻率時(shí)，斜率改變+20dB/dec；遇到二階微分環(huán)節(jié)的轉(zhuǎn)折頻率時(shí)，斜率改變+40dB/dec；第5章控制系統(tǒng)的頻域分析5.3.2系統(tǒng)開(kāi)環(huán)極坐標(biāo)圖（奈氏圖）1、逐點(diǎn)計(jì)算法

逐點(diǎn)計(jì)算法就是在研究的頻段內(nèi)，根據(jù)不同的ω值，依次代入A(ω)和φ(ω)，得出極坐標(biāo)圖中相應(yīng)的點(diǎn)，然后用光滑的曲線連接各點(diǎn)即可得出系統(tǒng)的開(kāi)環(huán)極坐標(biāo)圖。2、概略曲線繪制法

設(shè)系統(tǒng)的開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)為系統(tǒng)的開(kāi)環(huán)頻率特性為第5章控制系統(tǒng)的頻域分析3、開(kāi)環(huán)幅相特性的特征點(diǎn)(1)起點(diǎn)

在低頻段，當(dāng)ω→0時(shí)有：

Ⅱ型系統(tǒng)起始于相角為-1800的無(wú)窮遠(yuǎn)；…·ImRe

0型系統(tǒng)的極坐標(biāo)圖的起點(diǎn)，由開(kāi)環(huán)增益K決定，即起始于實(shí)軸上的點(diǎn)(K,j0)；

Ⅰ型系統(tǒng)起始于相角為-900的無(wú)窮遠(yuǎn)；第5章控制系統(tǒng)的頻域分析(2)終點(diǎn)

在高頻段，因?yàn)閚≥m，當(dāng)ω→∞時(shí)有：

可見(jiàn)，系統(tǒng)的極坐標(biāo)曲線將按角度-(n-m)π/2終于坐標(biāo)原點(diǎn)。(3)曲線的拐點(diǎn)

如果系統(tǒng)無(wú)零點(diǎn)，則曲線上無(wú)拐點(diǎn)；如果系統(tǒng)有零點(diǎn)，則曲線上將出現(xiàn)拐點(diǎn)；第5章控制系統(tǒng)的頻域分析(4)漸進(jìn)線

Ⅰ型系統(tǒng)的極坐標(biāo)圖在低頻段的漸進(jìn)線是平行于虛軸且交于實(shí)軸于點(diǎn)(x,j0)的直線。(5)與實(shí)軸的交點(diǎn)(6)與虛軸的交點(diǎn)第5章控制系統(tǒng)的頻域分析例3系統(tǒng)開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)繪制系統(tǒng)開(kāi)環(huán)極坐標(biāo)圖。解系統(tǒng)開(kāi)環(huán)頻率特性(1)起點(diǎn)：該系統(tǒng)為0型，曲線起始于實(shí)軸上的點(diǎn)(K,j0)；(2)終點(diǎn)：該系統(tǒng)的n=2、m=0，曲線將按角度-(2-0)π/2=-π終于坐標(biāo)原點(diǎn)；(3)拐點(diǎn)：該系統(tǒng)無(wú)零點(diǎn)，則曲線上無(wú)拐點(diǎn)；第5章控制系統(tǒng)的頻域分析(4)與虛軸的交點(diǎn)第5章控制系統(tǒng)的頻域分析例4系統(tǒng)開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)繪制系統(tǒng)開(kāi)環(huán)極坐標(biāo)圖。解系統(tǒng)開(kāi)環(huán)頻率特性(1)起點(diǎn)：系統(tǒng)為Ⅰ型，曲線起始于相角為-900的無(wú)窮遠(yuǎn)(2)終點(diǎn)：該系統(tǒng)的n=3、m=0，曲線將按角度-(3-0)π/2=-3π/2終于坐標(biāo)原點(diǎn)；(3)拐點(diǎn)：該系統(tǒng)無(wú)零點(diǎn)，則曲線上無(wú)拐點(diǎn)；第5章控制系統(tǒng)的頻域分析(4)漸進(jìn)線(5)與實(shí)軸的交點(diǎn)第5章控制系統(tǒng)的頻域分析5.3.3最小相位和非最小相位系統(tǒng)

在s右半平面上既無(wú)極點(diǎn)，又無(wú)零點(diǎn)的傳遞函數(shù)，稱為最小相位傳遞函數(shù)；否則，為非最小相位傳遞函數(shù)，具有最小相位傳遞函數(shù)的系統(tǒng)，稱為最小相位系統(tǒng)。當(dāng)控制系統(tǒng)中包含有純滯后環(huán)節(jié)或存在不穩(wěn)定的小回環(huán)時(shí)，都是非最小相位系統(tǒng)。

設(shè)有兩個(gè)系統(tǒng)(a)和(b)，其傳遞函數(shù)第5章控制系統(tǒng)的頻域分析零、極點(diǎn)分布如圖所示(a)(b)兩系統(tǒng)的頻率特性分別為對(duì)數(shù)頻率特性分別為第5章控制系統(tǒng)的頻域分析

可見(jiàn)，(a）和（b）系統(tǒng)的對(duì)數(shù)幅頻特性相同，而相頻特性不同.第5章控制系統(tǒng)的頻域分析

表5-1最小相位系統(tǒng)幅頻、相頻對(duì)應(yīng)關(guān)系環(huán)節(jié)幅頻相頻-20dB/dec→-20dB/dec0dB/dec→-20dB/dec0dB/dec→-40dB/dec0dB/dec→20dB/dec………………0dB/dec→n·(-20)dB/dec0dB/dec→m·(+20)dB/dec返回第5章控制系統(tǒng)的頻域分析(1)起點(diǎn)

在低頻段，當(dāng)ω→0時(shí)有：·ImRe課程回顧（1）

第5章控制系統(tǒng)的頻域分析(2)終點(diǎn)(3)曲線的拐點(diǎn)

如果系統(tǒng)無(wú)零點(diǎn)，則曲線上無(wú)拐點(diǎn)；如果系統(tǒng)有零點(diǎn)，則曲線上將出現(xiàn)拐點(diǎn)；課程回顧（2）

第5章控制系統(tǒng)的頻域分析(4)漸進(jìn)線

Ⅰ型系統(tǒng)的極坐標(biāo)圖在低頻段的漸進(jìn)線是平行于虛軸且交于實(shí)軸于點(diǎn)(x,j0)的直線。(5)與實(shí)軸的交點(diǎn)(6)與虛軸的交點(diǎn)課程回顧（3）

第5章控制系統(tǒng)的頻域分析5.4.1映射定理(幅角定理)§5.4乃奎斯特穩(wěn)定判據(jù)N(s)和M(s)分別為s的n階和m階多項(xiàng)式，且n≥m。

閉環(huán)傳遞函數(shù)為

特征多項(xiàng)式函數(shù)第5章控制系統(tǒng)的頻域分析F(s)的分子、分母均為s的n階多項(xiàng)式，該函數(shù)有以下三個(gè)特點(diǎn)：（1）F(s)的極點(diǎn)Pj為系統(tǒng)開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)的極點(diǎn)；F(s)的零點(diǎn)Zi為系統(tǒng)的閉環(huán)傳遞函數(shù)的極點(diǎn)；（2）F(s)的極點(diǎn)和零點(diǎn)的數(shù)目相同；（3）F(s)和G(s)H(s)只差常數(shù)1；

閉環(huán)系統(tǒng)的穩(wěn)定性僅由F(s)的零點(diǎn)Zi（即系統(tǒng)閉環(huán)傳遞函數(shù)的極點(diǎn)），在S平面上的位置所決定。開(kāi)環(huán)閉環(huán)特征多項(xiàng)式第5章控制系統(tǒng)的頻域分析

設(shè)s=

+jω，F(xiàn)(s)=u+jv圖5-26點(diǎn)映射關(guān)系圖5-27

s平面與F(s)平面的映射關(guān)系第5章控制系統(tǒng)的頻域分析第5章控制系統(tǒng)的頻域分析第5章控制系統(tǒng)的頻域分析

s平面上的封閉曲線Cs，應(yīng)滿足下列條件:(1)曲線Cs不通過(guò)F(s)的奇點(diǎn)（即F(s)的零點(diǎn)和極點(diǎn)）(2)曲線Cs包圍F(s)的Z個(gè)零點(diǎn)和P個(gè)極點(diǎn)。

當(dāng)s1沿閉合曲線Cs順時(shí)針轉(zhuǎn)動(dòng)一圈時(shí)，其矢量總的相角增量零點(diǎn)至S1的相角增量極點(diǎn)至S1的相角增量第5章控制系統(tǒng)的頻域分析

當(dāng)s平面上的試驗(yàn)點(diǎn)s1沿封閉曲線Cs順時(shí)針?lè)较蚶@行一圈時(shí)，F(xiàn)（s）平面上對(duì)應(yīng)的封閉曲線將按逆時(shí)針?lè)较虬鼑鴺?biāo)原（P-Z）圈。幅角定理第5章控制系統(tǒng)的頻域分析令N=P-Z式中，N—F(s)平面上封閉曲線Cs/包圍原點(diǎn)的次數(shù)；當(dāng)N>0時(shí)，F(xiàn)(s)端點(diǎn)逆時(shí)針?lè)较虬鼑c(diǎn)；當(dāng)N<0時(shí)，F(xiàn)(s)端點(diǎn)順時(shí)針?lè)较虬鼑c(diǎn)；當(dāng)N=0時(shí)，F(xiàn)(s)端點(diǎn)不包圍原點(diǎn)；第5章控制系統(tǒng)的頻域分析

由整個(gè)虛軸和半徑為∞的右半圓組成，試驗(yàn)點(diǎn)按順時(shí)針?lè)较蛞苿?dòng)一圈，該封閉曲線稱為Nyquist軌跡。5.4.2Nyquist軌跡及其映射1、Nyquist軌跡Nyquist軌跡在F(s)平面上的映射也是一條封閉曲線，稱為Nyquist曲線。2、Nyquist曲線第5章控制系統(tǒng)的頻域分析

一部分沿虛軸由下而上移動(dòng)，s=jω，ω由-∞→+∞變化，在F平面上的映射就是曲線F(jω)。3、Nyquist軌跡與Nyquist曲線F(∞)=1+G(∞)H(∞)

另一部分為s平面上半徑為R→∞的右半圓，映射到F平面上為F(jω)=1+G(jω)H(jω)

在這兩種情況下，s平面上半徑為R→∞的右半圓映射到F平面上均為一個(gè)點(diǎn)(1,j0)或(K,j0)第5章控制系統(tǒng)的頻域分析

閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定的條件為系統(tǒng)的閉環(huán)極點(diǎn)均在s平面的左半平面。即Z=0或N=P。

根據(jù)映射定理可得，s平面上的Nyquist軌跡在F平面上的映射F(jω)，(ω從-∞→+∞)逆時(shí)針包圍坐標(biāo)原點(diǎn)的次數(shù)N為

N=P-Z式中，Z—位于右半平面F(s)=1+G(s)H(s)的零點(diǎn)數(shù)，即閉環(huán)傳遞函數(shù)在右半S平面上的極點(diǎn)個(gè)數(shù)；

P—位于右半平面F(s)=1+G(s)H(s)的極點(diǎn)數(shù)，即開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)在右半S平面上的極點(diǎn)個(gè)數(shù)；

N—Nyquist曲線包圍坐標(biāo)原點(diǎn)的次數(shù)。第5章控制系統(tǒng)的頻域分析4、開(kāi)環(huán)頻率特性∵F(jω)=1+G(jω)H(jω)∴G(jω)H(jω)=F(jω)-1

故F(jω)曲線包圍坐標(biāo)原點(diǎn)的次數(shù)N，就相應(yīng)變?yōu)镚(jω)H(jω)曲線包圍(-1,j0)點(diǎn)的次數(shù)N。二者比較，僅實(shí)部相差1。第5章控制系統(tǒng)的頻域分析(1)ω從-∞→+∞變化時(shí)的Nyquist曲線G(jω)H(jω)，逆時(shí)針包圍(-1,j0)點(diǎn)的次數(shù)N，等于系統(tǒng)G(s)H(s)位于右半s平面的極點(diǎn)數(shù)P，即Z=P-N=0，則閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定,否則(N≠P)閉環(huán)系統(tǒng)不穩(wěn)定。5.4.3Nyquist穩(wěn)定判據(jù)一(2)如果開(kāi)環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定，即P=0，則閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定的充分必要條件為：當(dāng)ω由-∞→+∞變化時(shí)，G(jω)H(jω)曲線不包圍(-1，j0)點(diǎn)。(3)如果G(jω)H(jω)曲線，當(dāng)ω由-∞→+∞變化時(shí)，曲線通過(guò)點(diǎn)(-1，j0)，則閉環(huán)系統(tǒng)處于臨界穩(wěn)定狀態(tài)。第5章控制系統(tǒng)的頻域分析

考慮到對(duì)稱性，Nyquist判據(jù)(1)為:

例5-6已知單位反饋系統(tǒng)，開(kāi)環(huán)極點(diǎn)均在s平面的左半平面，開(kāi)環(huán)頻率特性極坐標(biāo)圖如圖所示，試判斷閉環(huán)系統(tǒng)的穩(wěn)定性。解:

系統(tǒng)開(kāi)環(huán)穩(wěn)定，即P=0，從圖中看到ω由-∞→+∞變化時(shí)，G(jω)H(jω)曲線不包圍(-1,j0)點(diǎn)，即N=0，Z=P-N=0，所以，閉環(huán)系統(tǒng)是穩(wěn)定的。G(jω)H(jω)曲線(ω：0→+∞)逆時(shí)針包圍(-1,j0)的次數(shù)為N=P/2，則閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定,否則閉環(huán)系統(tǒng)不穩(wěn)定。第5章控制系統(tǒng)的頻域分析試分析系統(tǒng)穩(wěn)定性。例1：系統(tǒng)的開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)：解：該系統(tǒng)開(kāi)環(huán)幅相圖如右，由圖中G(s)H(s)的G(jω)H(jω)曲線不包圍（-1，j0）點(diǎn)可知，該系統(tǒng)穩(wěn)定。-1

事實(shí)上，只要K,T1,T2

均大于零，G(jω)H(jω)的幅角只會(huì)在0-1800內(nèi)變化，不會(huì)與負(fù)實(shí)軸相交，因而不會(huì)包圍（-1,j0）點(diǎn)，因此只要K，T1，T2

均為正數(shù)，系統(tǒng)總是穩(wěn)定的。第5章控制系統(tǒng)的頻域分析例5-7單位反饋系統(tǒng)，其開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)為

作出ω=0→+∞變化時(shí)G(jω)H(jω)曲線如圖所示，鏡像對(duì)稱得ω：-∞→0時(shí)的G(jω)H(jω)曲線(虛線)。解:系統(tǒng)開(kāi)環(huán)頻率特性為試判斷閉環(huán)系統(tǒng)的穩(wěn)定性。

開(kāi)環(huán)系統(tǒng)不穩(wěn)定,因?yàn)橛幸粋€(gè)位于s右半平面的極點(diǎn)1/T，即P=1。第5章控制系統(tǒng)的頻域分析

從G(jω)H(jω)曲線看出:

當(dāng)K>1時(shí)，Nyquist曲線逆時(shí)針包圍(-1，j0)點(diǎn)一圈，即N=1，Z=P-N=1-1=0則閉環(huán)系統(tǒng)是穩(wěn)定的。

當(dāng)K<1時(shí)，Nyquist曲線不包圍(-1，j0)點(diǎn)，N=0，Z=P-N=1則閉環(huán)系統(tǒng)不穩(wěn)定，閉環(huán)系統(tǒng)有一個(gè)右極點(diǎn)第5章控制系統(tǒng)的頻域分析例2：若兩個(gè)單位反饋系統(tǒng)的開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)分別為：試用奈奎斯特判據(jù)判斷閉環(huán)系統(tǒng)的穩(wěn)定性。解：系統(tǒng)1：

當(dāng)ω由0→+∞變化時(shí)，G(jω)H(jω)曲線如圖所示。

依題意，G(jω)H(jω)在右半S平面的極點(diǎn)數(shù)為0，即P=0；而由圖知，當(dāng)ω由0→+∞變化時(shí)，G(jω)H(jω)曲線不包圍點(diǎn)(-1,j0)，即N=0。因?yàn)镹=P，所以閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定。第5章控制系統(tǒng)的頻域分析

當(dāng)ω由0→+∞變化時(shí)，G(jω)H(jω)曲線如圖所示。

系統(tǒng)2：

可見(jiàn)，當(dāng)開(kāi)環(huán)增益增大后，會(huì)使系統(tǒng)的穩(wěn)定性變壞。

依題意，G(jω)H(jω)在右半S平面的極點(diǎn)數(shù)為0，即P=0；由圖b知，當(dāng)ω由0→+∞變化時(shí)，G(jω)H(jω)順時(shí)針包圍點(diǎn)(-1,j0)一次，即N=-1。因?yàn)镹≠P，故閉環(huán)系統(tǒng)不穩(wěn)定第5章控制系統(tǒng)的頻域分析例3

已知單位反饋系統(tǒng)開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù),分析系統(tǒng)穩(wěn)定性解依題有(穩(wěn)定)(不穩(wěn)定)第5章控制系統(tǒng)的頻域分析一、Nyquist軌跡與Nyquist曲線課程回顧（1）

(1)曲線Cs不通過(guò)F(s)的奇點(diǎn)（即F(s)的零點(diǎn)和極點(diǎn)）(2)曲線Cs包圍F(s)的Z個(gè)零點(diǎn)和P個(gè)極點(diǎn)。第5章控制系統(tǒng)的頻域分析課程回顧（2）

(1)ω從-∞→+∞變化時(shí)的Nyquist曲線G(jω)H(jω)，逆時(shí)針包圍(-1,j0)點(diǎn)的次數(shù)N，等于系統(tǒng)G(s)H(s)位于右半s平面的極點(diǎn)數(shù)P，即Z=P-N=0，則閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定,否則(N≠P)閉環(huán)系統(tǒng)不穩(wěn)定。二、Nyquist穩(wěn)定判據(jù)一(2)如果開(kāi)環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定，即P=0，則閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定的充分必要條件為：當(dāng)ω由-∞→+∞變化時(shí)，G(jω)H(jω)曲線不包圍(-1，j0)點(diǎn)。(3)如果G(jω)H(jω)曲線，當(dāng)ω由-∞→+∞變化時(shí)，曲線通過(guò)點(diǎn)(-1，j0)，則閉環(huán)系統(tǒng)處于臨界穩(wěn)定狀態(tài)。第5章控制系統(tǒng)的頻域分析5.4.4Nyquist穩(wěn)定判據(jù)二設(shè)系統(tǒng)開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)為1、Cs的選取(1)以原點(diǎn)為圓心,以無(wú)限大為半徑的大半圓；----映射到F平面為坐標(biāo)原點(diǎn)：(2)由-j∞到j(luò)0-的負(fù)虛軸；----映射到F平面有：ω由-∞→0-；第5章控制系統(tǒng)的頻域分析3、以原點(diǎn)圓心，以(→0)為半徑的從j0-到j(luò)0+的小半圓。----映射到F平面有4、由j0+沿正虛軸到+j∞；----映射到F平面有：ω由0+→∞；

S平面上原點(diǎn)附近的無(wú)限小圓弧，映射到G(jω)H(jω)平面上為無(wú)限大的圓弧，該圓弧的角度從ω=0-開(kāi)始，順時(shí)針?lè)较蜣D(zhuǎn)過(guò)υπ到ω=0+終止。乃奎斯特封閉線或輔助園第5章控制系統(tǒng)的頻域分析

當(dāng)系統(tǒng)的開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)有υ個(gè)極點(diǎn)位于s平面坐標(biāo)原點(diǎn)時(shí)，如果增補(bǔ)開(kāi)環(huán)頻率特性曲線G(jω)H(jω)（ω從-∞→+∞）逆時(shí)針包圍（-1，j0）點(diǎn)的次數(shù)N等于系統(tǒng)開(kāi)環(huán)右極點(diǎn)個(gè)數(shù)P，則閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定,否則系統(tǒng)不穩(wěn)定。2、Nyquist曲線穩(wěn)定判據(jù)二第5章控制系統(tǒng)的頻域分析例5-8系統(tǒng)開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)為試判斷閉環(huán)系統(tǒng)的穩(wěn)定性。解：系統(tǒng)的頻率特性為令虛部為零，得：于是得與實(shí)軸的交點(diǎn)：第5章控制系統(tǒng)的頻域分析

作出ω=0+→+∞時(shí)，G(jω)H(jω)的曲線從ω=0-到ω=0+以無(wú)限大為半徑順時(shí)針轉(zhuǎn)過(guò)π，得封閉曲線(或輔助圓)。正虛軸負(fù)虛軸θ=-900θ=+900對(duì)應(yīng)S平面的無(wú)限大半圓對(duì)應(yīng)S平面的無(wú)限小半圓第5章控制系統(tǒng)的頻域分析當(dāng)ω由-∞→+∞變化時(shí)(1)當(dāng)時(shí)，G(jω)H(jω)(ω從-∞→+∞)曲線順時(shí)針包圍（-1，j0）點(diǎn)兩圈，即N=-2，而開(kāi)環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定，即P=0。

因?yàn)镹≠P

，Z=P-N=2，故閉環(huán)系統(tǒng)不穩(wěn)定(2)當(dāng)時(shí)，G(jω)H(jω)(ω從-∞→+∞)曲線不包圍（-1，j0）點(diǎn)，閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定。第5章控制系統(tǒng)的頻域分析臨界放大倍數(shù)(3)當(dāng)時(shí)，G(jω)H(jω)(ω從-∞→+∞)曲線穿越(-1，j0)點(diǎn)，系統(tǒng)處于臨界狀態(tài)。第5章控制系統(tǒng)的頻域分析例4

已知單位反饋系統(tǒng)開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù),分析系統(tǒng)穩(wěn)定性。解依題有(穩(wěn)定)(不穩(wěn)定)第5章控制系統(tǒng)的頻域分析例5：某單位反饋系統(tǒng)試用Nyquist

判據(jù)判斷其穩(wěn)定性。解：系統(tǒng)的開(kāi)環(huán)幅相圖如右.

可見(jiàn)，幅相曲線包圍（-1，j0）點(diǎn)2次，而開(kāi)環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定，故閉環(huán)系統(tǒng)不穩(wěn)定。

由于有二階積分環(huán)節(jié)，補(bǔ)畫半圓。第5章控制系統(tǒng)的頻域分析Nyquist判據(jù)可描述為：

當(dāng)ω由-∞→+∞變化時(shí)，系統(tǒng)開(kāi)環(huán)頻率特性曲線在負(fù)實(shí)軸上(-1，-∞)區(qū)段的正穿越次數(shù)N+與負(fù)穿越次數(shù)N-之差等于開(kāi)環(huán)系統(tǒng)右極點(diǎn)個(gè)數(shù)P時(shí)，則閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定3、穿越概念：

正穿越：由上而下穿過(guò)負(fù)實(shí)軸(-1，-∞),且伴隨著相角增加，記作N+

負(fù)穿越：由下而上穿過(guò)負(fù)實(shí)軸(-1，-∞),且伴隨著相角減小，記作N-N+-N-=P

注意：在點(diǎn)(-1,j0)之右的穿過(guò)不算穿越。第5章控制系統(tǒng)的頻域分析5.4.5Nyquist對(duì)數(shù)穩(wěn)定判據(jù)1、Nyquist圖與Bode圖的對(duì)應(yīng)關(guān)系(1)Nyquist圖中│G(jω)H(jω)│=1的單位圓對(duì)應(yīng)Bode圖的0dB線。第5章控制系統(tǒng)的頻域分析(2)Nyquist圖中│G(jω)H(jω)│>1的部分（即單位圓以外的部分）對(duì)應(yīng)Bode圖的L(ω)>0的部分。(3)Nyquist圖中│G(jω)H(jω)│<1的部分（即單位圓以內(nèi)的部分）對(duì)應(yīng)Bode圖的L(ω)<0的部分。第5章控制系統(tǒng)的頻域分析(4)Nyquist圖中的負(fù)實(shí)軸對(duì)應(yīng)Bode圖中相頻特性的-1800線。

這樣，在奈氏曲線G(jω)H(jω)中，發(fā)生在負(fù)實(shí)軸上(-1，-∞)區(qū)段的正、負(fù)穿越，在Bode圖中為在L(ω)>0的頻段內(nèi)，沿ω增加的方向，φ(ω)對(duì)-1800的穿越。第5章控制系統(tǒng)的頻域分析

當(dāng)ω由0→+∞變化時(shí)，在L(ω)≥0的頻段內(nèi)，相頻特性曲線對(duì)-180°線的正穿越次數(shù)N+與負(fù)穿越次數(shù)N-之差為等于P/2時(shí)（P為s右半平面開(kāi)環(huán)極點(diǎn)數(shù)），則閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定。2、Nyquist對(duì)數(shù)穩(wěn)定判據(jù)第5章控制系統(tǒng)的頻域分析主要內(nèi)容

控制系統(tǒng)的相對(duì)穩(wěn)定性

增益裕度

相角裕量

用幅相頻率特性曲線分析系統(tǒng)穩(wěn)定性

§5.5控制系統(tǒng)的相對(duì)穩(wěn)定性第5章控制系統(tǒng)的頻域分析5.5.1控制系統(tǒng)的相對(duì)穩(wěn)定性

3、通過(guò)Nyquist曲線對(duì)點(diǎn)(-1,j0)的靠近程度來(lái)度量其穩(wěn)定性的量，稱為增益裕度Kg及相角裕量。

2、開(kāi)環(huán)系統(tǒng)的G(jω)H(jω)曲線離(-1,j0)點(diǎn)越近，則閉環(huán)系統(tǒng)的穩(wěn)定程度越低。

1、開(kāi)環(huán)系統(tǒng)的G(jω)H(jω)曲線離(-1,j0)點(diǎn)越遠(yuǎn)，則閉環(huán)系統(tǒng)的穩(wěn)定程度越高。

根據(jù)Nyquist穩(wěn)定判據(jù)，對(duì)于開(kāi)環(huán)穩(wěn)定的系統(tǒng)，

G(jω)H(jω)曲線不包圍(-1,j0)點(diǎn)時(shí)，閉環(huán)系統(tǒng)是穩(wěn)定的。第5章控制系統(tǒng)的頻域分析

3、物理意義：如果系統(tǒng)的開(kāi)環(huán)增益放大Kg倍，則系統(tǒng)處于臨界狀態(tài)。

1、定義：G(jω)H(jω)曲線與負(fù)實(shí)軸相交時(shí)的幅值|G(jωg)H(jωg)|的倒數(shù)稱為增益裕度(或幅值裕度)，用Kg表示。其中，ωg點(diǎn)為交點(diǎn)處的頻率，稱為相位穿越頻率5.5.2增益裕度

在相位穿越頻率處φ(ωg)=-1800。

2、表示：

Kg=-20lg|G(jωg)H(jωg)|dB4、增益裕度用分貝數(shù)來(lái)表示第5章控制系統(tǒng)的頻域分析（a）最小相位系統(tǒng)的Nyquist圖（b）對(duì)數(shù)頻率特性

5、應(yīng)用：

當(dāng)Kg>1，或Kg=-20lg|G(jωg)H(jωg)|>0(dB)時(shí)，閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定。

當(dāng)Kg<1，或Kg(dB)<0時(shí)，閉環(huán)系統(tǒng)不穩(wěn)定。第5章控制系統(tǒng)的頻域分析

當(dāng)Kg=1，或Kg(dB)=0

時(shí)，閉環(huán)系統(tǒng)處于臨界穩(wěn)定。

為使閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定，G(jω)H(jω)曲線應(yīng)包圍(-1,j0)點(diǎn)，此時(shí)Kg<1，即Kg(dB)<0時(shí)，閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定

對(duì)于開(kāi)環(huán)不穩(wěn)定系統(tǒng)

增益裕度Kg表示系統(tǒng)到達(dá)臨界狀態(tài)時(shí)，系統(tǒng)增益所允許增大的倍數(shù)。

結(jié)論第5章控制系統(tǒng)的頻域分析5.5.3相角裕量

這表明，僅由Kg還不足以表示所有系統(tǒng)的穩(wěn)定程度。AB第5章控制系統(tǒng)的頻域分析

1、定義：使系統(tǒng)達(dá)到臨界穩(wěn)定狀態(tài)，尚可增加的滯后相角，稱為系統(tǒng)的相角裕度或相角裕量。

2、表示：

其中：ωc是G(jω)H(jω)與單位圓相交于c點(diǎn)處的頻率，稱增益穿越頻率，也稱剪切頻率或截止頻率。

|G(jωc)H(jωc)|=1

在Bode圖中，相角裕量γ為ωc處相角與-180°線之距離第5章控制系統(tǒng)的頻域分析

3、物理意義：當(dāng)φ(ωC)再滯后γ角度時(shí)，則系統(tǒng)處于臨界狀態(tài)。

對(duì)于最小相位系統(tǒng)

當(dāng)γ＞0時(shí)，閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定；

當(dāng)γ＜0時(shí)，閉環(huán)系統(tǒng)不穩(wěn)定。

4、應(yīng)用：第5章控制系統(tǒng)的頻域分析

5、綜述：

(1)對(duì)于閉環(huán)穩(wěn)定系統(tǒng)，應(yīng)當(dāng)有γ＞0，且Kg>1，即Kg(dB)>0。這時(shí)在G(jω)H(jω)曲線上，γ在負(fù)實(shí)軸以下。在Bode圖上，γ在-1800線以上，Kg(dB)在0dB線以下第5章控制系統(tǒng)的頻域分析

(2)對(duì)于不穩(wěn)定系統(tǒng)，應(yīng)當(dāng)有γ＜0，且Kg＜1，即Kg(dB)＜0。這時(shí)在G(jω)H(jω)曲線上，γ在負(fù)實(shí)軸以上。在Bode圖上，γ在-1800線以下，Kg(dB)在0dB線以上第5章控制系統(tǒng)的頻域分析一、Nyquist穩(wěn)定判據(jù)二

如果增補(bǔ)開(kāi)環(huán)頻率特性曲線G(jω)H(jω)（ω從-∞→+∞）逆時(shí)針包圍（-1，j0）點(diǎn)的次數(shù)N等于系統(tǒng)開(kāi)環(huán)右極點(diǎn)個(gè)數(shù)P，則閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定,否則系統(tǒng)不穩(wěn)定。課程回顧（1）

第5章控制系統(tǒng)的頻域分析

當(dāng)ω由0→+∞變化時(shí)，在開(kāi)環(huán)對(duì)數(shù)幅頻特性曲線L(ω)≥0的頻段內(nèi)，相頻特性曲線對(duì)-180°線的正穿越次數(shù)N+與負(fù)穿越次數(shù)N-之差為等于P/2時(shí)（P為s右半平面開(kāi)環(huán)極點(diǎn)數(shù)），則閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定。二、Nyquist對(duì)數(shù)穩(wěn)定判據(jù)課程回顧（2）

第5章控制系統(tǒng)的頻域分析

物理意義：如果系統(tǒng)的開(kāi)環(huán)增益放大Kg倍，則系統(tǒng)處于臨界狀態(tài)。

定義：G(jω)H(jω)曲線與負(fù)實(shí)軸相交時(shí)的幅值|G(jωg)H(jωg)|的倒數(shù)稱為增益裕度。其中，ωg點(diǎn)為交點(diǎn)處的頻率，稱為相位穿越頻率三、增益裕度

在相位穿越頻率處φ(ωg)=-1800。

表示：課程回顧（3）

當(dāng)Kg>1，或Kg=-20lg|G(jωg)H(jωg)|>0(dB)時(shí)，閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定（對(duì)最小相位系統(tǒng)而言）。

當(dāng)Kg<1，或Kg(dB)<0時(shí)，閉環(huán)系統(tǒng)不穩(wěn)定。第5章控制系統(tǒng)的頻域分析

定義：使系統(tǒng)達(dá)到臨界穩(wěn)定狀態(tài)，尚可增加的滯后相角，稱為系統(tǒng)的相角裕度或相角裕量。

表示：

其中：ωc稱增益穿越頻率，也稱剪切頻率或截止頻率，此時(shí)|G(jωc)H(jωc)|=1在Bode圖中，相角裕量γ為ωc處相角與-180°線之距離四、相角裕量課程回顧（4）

第5章控制系統(tǒng)的頻域分析

物理意義：當(dāng)φ(ωC)再滯后γ角度時(shí)，則系統(tǒng)處于臨界狀態(tài)。

對(duì)于最小相位系統(tǒng)

當(dāng)γ＞0時(shí)，閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定；

當(dāng)γ＜0時(shí)，閉環(huán)系統(tǒng)不穩(wěn)定。

應(yīng)用：課程回顧（5）

第5章控制系統(tǒng)的頻域分析穩(wěn)定裕度(γ、Kg)的計(jì)算解法I：由幅相曲線求例1，求(1)令試根得第5章控制系統(tǒng)的頻域分析(2.1)令可得第5章控制系統(tǒng)的頻域分析(2.2)將G(jw)分解為實(shí)部、虛部形式令得代入實(shí)部第5章控制系統(tǒng)的頻域分析由L(w):得解法II：由Bode圖求同前第5章控制系統(tǒng)的頻域分析解.作L(w)求法I:例2，求法II:第5章控制系統(tǒng)的頻域分析主要內(nèi)容

由開(kāi)環(huán)頻率特性求取閉環(huán)頻率特性

等M圓（等幅值軌跡）

等N圓（等相角軌跡）

利用等M圓和等N圓求單位反饋系統(tǒng)的閉環(huán)頻率特性§5.6閉環(huán)頻率特性第5章控制系統(tǒng)的頻域分析

開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)G(s)，系統(tǒng)的閉環(huán)傳遞函數(shù)

系統(tǒng)的閉環(huán)頻率特性5.6.1由開(kāi)環(huán)頻率特性求取閉環(huán)頻率特性第5章控制系統(tǒng)的頻域分析5.6.2等M圓（等幅值軌跡）

定義

設(shè)開(kāi)環(huán)頻率特性G(jω)為G(jω)=p(ω)+jθ(ω)=x+jy

令M=|M(jω)|

，則

整理得：(1-M2)x2+(1-M2)y2-2M2x=M2

當(dāng)M=1時(shí)，可求得x=-1/2，這是通過(guò)點(diǎn)（-1/2，j0）且與虛軸平行的一條直線第5章控制系統(tǒng)的頻域分析

對(duì)于給定的M值（等M值），上式是一個(gè)圓方程式，圓心在處，半徑。所以在G(jω)平面上，等M軌跡是一簇圓.

當(dāng)M≠1時(shí)，由上式可化為第5章控制系統(tǒng)的頻域分析等M圓

分析

當(dāng)M>1時(shí)，隨著M值的增大，等M圓半徑越來(lái)越小，最后收斂于（-1,j0）點(diǎn)，且這些圓均在M=1直線的左側(cè)。第5章控制系統(tǒng)的頻域分析

當(dāng)M=1時(shí)，它是通過(guò)（-1/2，0j）點(diǎn)平行于虛軸的一條直線。等M圓既對(duì)稱于M=1的直線，又對(duì)稱于實(shí)軸。

當(dāng)M<1時(shí)，隨著M值的減小，M圓半徑也愈來(lái)愈小，最后收斂于原點(diǎn)，而且這些圓都在M=1直線的右側(cè)。第5章控制系統(tǒng)的頻域分析5.6.3等N圓（等相角軌跡）

定義

閉環(huán)頻率特性的相角ψm為：令

整理得：第5章控制系統(tǒng)的頻域分析

等N圓實(shí)際上是等相角正切的圓，當(dāng)相角增加±180°時(shí)，其正切相同，因而在同一個(gè)圓上

當(dāng)給定N值(等N值)時(shí)，上式為圓的方程，圓心在處，半徑為,稱為等N圓。第5章控制系統(tǒng)的頻域分析

對(duì)于等N圓，并不是一個(gè)完整的圓，而只是一段圓弧。

所有等N圓均通過(guò)原點(diǎn)和（-1,j0）點(diǎn)第5章控制系統(tǒng)的頻域分析5.6.4利用等M圓和等N圓求單位反饋系統(tǒng)的閉環(huán)頻率特性

將開(kāi)環(huán)頻率特性的極坐標(biāo)圖G(jω)疊加在等M圓線上，如圖(a)所示。G(jω)曲線與等M圓相交于