數(shù)學(xué)-3.1 多項式的因式分解（講解課件）-【】2022-2023學(xué)年七年級下冊初一數(shù)學(xué)同步備課（湘教版）

3.1多項式的因式分解第3章因式分解問題16等于2乘哪個整數(shù)？6＝2×3問題2

x2－1等于

x+1乘哪個多項式？回顧與思考1.運(yùn)用整式乘法法則或公式填空：(1)m(a+b+c)=

；

(2)(x+1)(x－1)=

；(3)(a+b)2=

.ma+mb+mcx2－1a2+2ab+b2因式分解合作探究2.根據(jù)等式的性質(zhì)填空：(1)ma+mb+mc=

()()(2)x2－

1=()()

(3)a2+2ab+b2=()2ma+b+cx+

1x-

1a+b都是多項式化為幾個整式的積的形式比一比，這些式子有什么共同點？

對于整數(shù)6與2，有整數(shù)3使得6

＝

2×3，我們把

2

叫做

6

的一個因數(shù)．同理，3

也是

6

的一個因數(shù)．

對于多項式

x2

-

1

與

x

+

1，有多項式

x

-

1

使得

x2

-

1=(x

+

1)(x

-

1)，我們把

x

+

1

叫做

x2

-

1

的一個因式．同理，x

-

1

也是x2

-

1的一個因式．定義：把一個多項式化為幾個整式的乘積的形式，像這樣的式子變形叫做把這個多項式因式分解(也叫做把這個多項式分解因式).概念學(xué)習(xí)一般地，對于兩個多項式f

與g，如果有多項式h

使得f=gh，那么我們把g

叫做f的一個因式，此時，h

也是

f

的一個因式．單項式可看作只有一項的多項式↗x2－1(x+1)(x－1)因式分解整式乘法x2－1=(x+1)(x－1)因式分解等式的特征：左邊是多項式，右邊是幾個整式的乘積.想一想：整式乘法與因式分解有什么關(guān)系？是互逆的變形，即典例精析例1

下列從左到右的變形中是因式分解的有(

)①x2－

y2－1＝(x＋

y)(x－

y)－1；②x3＋

x＝

x(x2＋1)；③(x－

y)2＝

x2－2xy＋

y2；④x2－9y2＝(x＋3y)(x－3y)．A．1

個B．2

個C．3

個D．4

個B方法總結(jié)：因式分解與整式乘法是相反方向的變形，即互逆運(yùn)算，二者是一個式子的不同表現(xiàn)形式．因式分解的右邊是兩個或幾個整式的積的形式，整式乘法的右邊是多項式的形式．x2+x=x2(1+)在下列等式中，從左到右的變形是因式分解的有

；不是因式分解的，請說明為什么.

①

②

③④

⑤

⑥

③⑥辨一辨：am+bm+c=m(a+b)+c24x2y=3x

·8xyx2－

1=(x+1)(x－

1)(2x+1)2=4x2+4x+12x+4y+6z=2(x+2y+3z)最后不是積的運(yùn)算因式分解的對象是多項式是整式乘法每個因式必須是整式

萬里長城是由磚砌成的，不少房子也是用磚砌成的，因此，磚是基本建筑塊之一.在數(shù)學(xué)中也經(jīng)常要尋找那些“基本建筑塊”，例如，在正整數(shù)中，像2，3，5，7，11，13，17，…這些大于1的數(shù)，它的因數(shù)只有1和它自身，這樣的正整數(shù)稱為質(zhì)數(shù)或素數(shù)，素數(shù)就是正整數(shù)中的“基本建筑塊”：每一個正整數(shù)都能表示成若干素數(shù)的乘積的形式．①②有了①式和②式，就容易求出

12和

30的最大公因數(shù)為進(jìn)而很容易把分?jǐn)?shù)約分：分子與分母同除以6，得例如同樣地，在系數(shù)為有理數(shù)（或系數(shù)為實數(shù)）的多項式中，也有一些多項式起著“基本建筑塊”的作用：每一個多項式可以表示成若干個這種多項式的乘積的形式，從而為許多問題的解決架起了橋梁．例1檢驗下列因式分解是否正確？(1)x2y－xy2=xy(x－y)；(2)2x2－1=(2x+1)(2x－1)；(3)x2+3x+2=(x+1)(x+2).用什么方法檢驗因式分解是否正確呢？分析：看等式右邊幾個整式相乘的積與左邊的多項式是否相等.解：(1)因為

xy(x－

y)=x2y－

xy2，所以因式分解

x2y－

xy2=xy(x－

y)正確.(2)因為(2x+1)(2x－

1)=4x2－

1，所以因式分解2x2－1=(2x+1)(2x－1)錯誤.(3)因為(x+1)(x+2)=x2+3x+2，所以因式分解

x2+3x+2=(x+1)(x+2)正確.判斷下列各式從左到右的變形中，是否為因式分解：辯一辯A.x(a﹣b)=ax﹣bx

B.x2﹣1+y2=(x﹣1)(x+1)+y2C.y2﹣2=(y+1)(y﹣1)

D.ax+bx+c=x(a+b)+cE.2a3b

=

a2?2ab

F.x

+

3

=

x

(1+)××××××提示：判定一個變形是因式分解的條件：(1)必須是等式；(2)左邊是至少含兩項的多項式；(3)右邊是整式的乘積的形式.例2

若多項式

x2+ax+b分解因式的結(jié)果為

a(x﹣2)(x+3)，求

a，b的值.解：因為

x2+ax+b=a(x﹣2)(x+3)，即

x2+ax+b=ax2+ax﹣6a，所以

a=1，b=﹣6a=﹣6，典例精析方法歸納：對于此類問題，掌握因式分解與整式乘法為互逆運(yùn)算是解題關(guān)鍵，應(yīng)先把分解因式后的結(jié)果乘開，再與多項式的各項系數(shù)對應(yīng)比較，使其分別相等即可.

下列多項式中，分解因式的結(jié)果為﹣(x+y)(x﹣y)的是（） A．x2﹣y2 B．﹣x2+y2

C．x2

+y2

D．﹣x2﹣y2B練一練x2﹣y29﹣25x2x2+2x+1xy﹣y2(x+1)2y(x﹣

y)(3﹣5x)(3+5x)(x+y)(x﹣y)1.連線：2.根據(jù)整式乘法的經(jīng)驗把下列多項式因式分解：

；

3.求4，6，14的最大公因數(shù).4=1×2×2，6=1×2×3，14=1×2×7，最大公因數(shù)是2.解：4.判斷下列各式哪些是整式乘法，哪些是因式分解：(1)x2﹣4y2=(x+2y)(x﹣2y)(2)2x(x﹣3y)=2x2﹣6xy(3)(5a﹣1)2=25a2﹣10a+1(4)x2+4x+4=(x+2)2(5)2πR+2πr=2π(R+r)因式分解整式乘法整式乘法因式分解因式分解5.若多項式

x4+mx3+nx﹣16含有因式(x﹣2)和(x﹣1)，求

mn的值.解：因為

x4+mx3+nx﹣16的最高次數(shù)是4，所以可設(shè)

x4+mx3+nx﹣16=(x﹣1)(x﹣2)(x2+ax+b).則

x4+mx3+nx﹣16=x4+(a﹣3)x3+(b﹣3a+2)x2+(2a﹣3b)x+2b.比較系數(shù)得a﹣3=m，b﹣3a+2=0，2a﹣3b=n，2b=﹣16.解得

b=﹣8，a=﹣2，m=﹣5，n=20.所以

mn=﹣5×20=﹣100．6.甲、乙兩個同學(xué)分解因式

x2+ax+b時，甲看錯了

b，分解結(jié)果為(x+2)(x+4)；乙看錯了

a，分解結(jié)果為(x+1)(x+9)，求

a+b的值.解：分解因式甲看錯了

b，但

a是正確的，

其分解結(jié)果為

x2+ax+b=(x+2)(x+4)=x2+6x+8，

所以

a=6.

同理，乙看錯了

a，但

b是正確的，

分解結(jié)果為

x2+ax+b=(x+1)(x+9)=x2+10x+9，

所以

b=9.