2023版高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)講義：第二章函數(shù)的概念與基本初等函數(shù)2-8 函數(shù)與方程

第八節(jié)函數(shù)與方程

最新考綱

結(jié)合二次函數(shù)的圖象，了解函數(shù)的零點與方程根的聯(lián)系，判斷一元二次方程根的存在性

及根的個數(shù).

考向預(yù)測

考情分析：本節(jié)的常考點有判斷函數(shù)零點所在區(qū)間、確定函數(shù)零點個數(shù)及利用函數(shù)零點

解決一些參數(shù)問題，其中利用零點解決一些參數(shù)問題仍是高考考查的熱點，題型多以選擇題

為主，屬中檔題.

學(xué)科素養(yǎng)：通過函數(shù)零點的判斷與求解考查直觀想象、邏輯推理的核心素養(yǎng).

必備知識——基礎(chǔ)落實贏得良好開端

一、必記2個知識點

1.函數(shù)的零點

(1)概念：對于一般函數(shù)y=Λχ),我們把使的實數(shù)X叫做函數(shù)y=Λχ)的零點.

(2)函數(shù)的零點、函數(shù)的圖象與X軸的交點、對應(yīng)方程的根的關(guān)系：

2.函數(shù)零點存在定理

(1)條件：①如果函數(shù)y=_Ax)在區(qū)間M，燈上的圖象是一條連續(xù)不斷的曲線；

②<0.

⑵結(jié)論：函數(shù)y=∕(x)在區(qū)間(α")內(nèi)至少有一個零點，即存在cC(α"),使得,

這個c也就是方程yu)=o的解.

二、必明3個常用結(jié)論

1.若連續(xù)不斷的函數(shù)./(X)在定義域上是單調(diào)函數(shù)，則./U)至多有一個零點.函數(shù)的零點

不是一個“點”，而是方程段)=0的實根.

2.由函數(shù)y=∕(x)(圖象是連續(xù)不斷的)在閉區(qū)間［小切上有零點不一定能推出大〃)：/(初<0,

如圖所示，所以式〃)貿(mào)份<0是)，=∕(x)在閉區(qū)間口，加上有零點的充分不必要條件.

V=√(Λ?)

3.周期函數(shù)如果有零點，則必有無窮多個零點.

三、必練4類基礎(chǔ)題

(一)判斷正誤

1.判斷下列說法是否正確(請在括號中打“。”或"X”).

(1)函數(shù)/x)=f—1的零點是(一1,0)和(1,0).()

(2)函數(shù)y=/U)在區(qū)間(0,份內(nèi)有零點(函數(shù)圖象連續(xù)不斷)，則一定有犬/負(fù)b)<0.()

(3)二次函數(shù)y=0v2+Zλt+c(αz≠z0)在∕>2-44c<0時沒有零點.()

(4)若連續(xù)不斷的函數(shù)式x)在3，3上單調(diào)且共〃)負(fù)6)<0,則函數(shù)_Ax)在［”,切上有且只有

一個零點.()

(二)教材改編

2.［必修1?P92習(xí)題A組T5改編］函數(shù)T(X)=Inx—I的零點所在的大致區(qū)間是()

A.(1,2)B.(2,3)

C.ɑ,1)和(3,4)D.(4,+∞)

3.［必修1R8例1改編］函數(shù)段)=x：-(?的零點個數(shù)為.

(三)易錯易混

4.(忽視二次項條教為。的情況)若函數(shù)兀v)=20χ2—》一1在(0,1)內(nèi)恰有一個零點，則

實數(shù)α的取值范圍是()

A.(-1,1)B.fl,+∞)

C.(1,+∞)D.(2,+∞)

5.(不會用教形結(jié)合討論二次方程根的分布)若二次函數(shù).九0=『一2x+〃z在區(qū)間(0,4)

上存在零點，則實數(shù)m的取值范圍是.

(四)走進(jìn)高考

6.［2019?全國ΠI卷］函數(shù)4r)=2sinx-$小2%在［0,2兀］的零點個數(shù)為()

A.2B.3C.4D.5

關(guān)鍵能力——考點突破掌握類題通法

考點一函數(shù)零點所在區(qū)間的判定

?.函數(shù)y(χ)=21+in(的零點所在的大致區(qū)間是()

A.(0,1)B.(1,2)

C.(2,3)D.(0,1),(2,3)

2.若a<h<c,則函數(shù)y(x)=(χ-α)(X—勿+(χ-h)(X—c)+(X-C)(X—4)的兩個零點分別位

于區(qū)間()

A.(a,b)和(b,C)內(nèi)

B.(—8,°)和(小b)內(nèi)

C.(CC)和(c,+8)內(nèi)

D.(一o°,α)和(c,+8)內(nèi)

3.已知函數(shù)y(x)=logd+χ一伙4>0且4≠l).當(dāng)2<α<3<X4時，函數(shù)y(x)的零點XOG(〃，

n+l),-∈N*,則"=.

反思感悟確定函數(shù)零點(或方程的根)所在區(qū)間的3種方法

(1)利用函數(shù)零點的存在性定理：首先看函數(shù)y=∕(x)在區(qū)間體，例上的圖象是否連續(xù)，再

看是否有大”)√(6)<0.若有，則函數(shù)y=兀V)在區(qū)間(0,6)內(nèi)必有零點.

(2)圖象法：把方程轉(zhuǎn)化為兩個函數(shù)，看它的交點所在區(qū)間.

(3)數(shù)形結(jié)合法：通過畫函數(shù)圖象，觀察圖象與X軸在給定區(qū)間上是否有交點來判斷.

考點二確定函數(shù)零點的個數(shù)［基礎(chǔ)性、綜合性］

χX2:十yX?z,γxV_Λu,的零點個數(shù)為（）

{—1+Inx,X>O

A.3B.2

C.1D.O

（2）［2022?河南鄭州質(zhì)檢］已知函數(shù)段）=（1-cosx,則於）在［0,2兀］上的零點個數(shù)為（）

A.1B.2

C.3D.4

聽課筆記：

反思感悟函數(shù)零點個數(shù)的判斷方法

（1）直接求零點：令y（x）=o,有幾個解就有幾個零點；

（2）零點存在性定理：要求函數(shù)在區(qū)間出，句上是連續(xù)不斷的曲線，且式.）逃6）<（）,再結(jié)

合函數(shù)的圖象與性質(zhì)確定函數(shù)零點個數(shù)；

（3）利用圖象交點個數(shù)，作出兩函數(shù)圖象，觀察其交點個數(shù)即得零點個數(shù).

【對點訓(xùn)練】

1.［2022?重慶調(diào)研［設(shè)函數(shù)段）=2k∣+x2—3,則函數(shù)y=∕（x）的零點個數(shù)是（）

A.4B.3

C.2D.1

2.函數(shù)兀0=2SinXSin（x+］）—Jt2的零點個數(shù)為.

考點三函數(shù)零點的應(yīng)用［綜合性］

角度1根據(jù)函數(shù)零點個數(shù)求參數(shù)

I例2］（1）設(shè)實數(shù)α,〃是關(guān)于X的方程IIgXI=C的兩個不同實數(shù)根，且α<X10,51∣Jabc

的取值范圍是.

2√X,0≤X≤1,ι

（2）已知函數(shù)y（x）=1若關(guān)于X的方程/U)=—WR)恰有兩個互異

-,X>1.4

的實數(shù)解，則。的取值范圍為（）

-5959

A.B.,4'4.

C?(!>汕{1}Dg,5U{1}

角度2根據(jù)零點的范圍求參數(shù)

[例3](l)[2022?武漢質(zhì)檢]若函數(shù)./U)=/-or+l在區(qū)間向，3)上有零點，則實數(shù)。的

取值范圍是()

A.(2,+∞)B.[2,+o0)

C[2,1)D.[2,T)

(2)[2022?衡水檢測]已知定義在R上的函數(shù)y=∕(x)滿足"r—l)=Kx+l)=∕U-χ),當(dāng)

x∈[l,2]時，yU)=bg2X,若方程外)一以=O在(0,+8)上恰好有兩個不等的實數(shù)根，則正

實數(shù)”的值為()

A.-?-B.-?-

Iog2ee?n2

c?1d?2

角度3求函數(shù)多個零點(方程根)的和

I例4][2021?廣東七校聯(lián)考]設(shè)函數(shù)人幻的定義域為R,火-X)=Kr)且y(x)=A2—X),當(dāng)

x∈[0,1]時,/U)=/,則函數(shù)g(x)=∣cos(πx)∣-∕(x)在區(qū)間(―；，|]上的所有零點的和為()

A.1B.2

C.3D.4

反思感悟已知函數(shù)有零點(方程有根)求參數(shù)值(范圍)的3種常用的方法

⑴直接法

直接根據(jù)題設(shè)條件構(gòu)建關(guān)于參數(shù)的不等式，再通過解不等式確定參數(shù)范圍.

(2)分離參數(shù)法

先將參數(shù)分離，轉(zhuǎn)化成求函數(shù)值域問題加以解決.

(3)數(shù)形結(jié)合法

先對解析式變形，在同一平面直角坐標(biāo)系中，畫出函數(shù)的圖象，然后數(shù)形結(jié)合求解.

【對點訓(xùn)練】

1.[2022?武漢質(zhì)量監(jiān)測]已知函數(shù)外)=三一α.若兀r)沒有零點，則實數(shù)。的取值范圍是

()

A.[O,e)B.(0,1)

C.(O,e)D.[0,1)

2.若函數(shù)√U)=(帆-2)χ2+mχ+2m+l的兩個零點分別在區(qū)間(一1,0)和區(qū)間(1,2)內(nèi)，

則m的取值范圍是.

微專題?解嵌套函數(shù)的零點問題

函數(shù)的零點是高考命題的熱點，主要涉及判斷函數(shù)零點的個數(shù)或范圍，常考查三次函數(shù)

與復(fù)合函數(shù)相關(guān)零點，與函數(shù)的性質(zhì)和相關(guān)問題交匯.對于嵌套函數(shù)的零點，通常先“換元

解套”，將復(fù)合函數(shù)拆解為兩個相對簡單的函數(shù)，借助函數(shù)的圖象、性質(zhì)求解.

類型1嵌套函數(shù)零點個數(shù)的判斷

嚶2則函數(shù)4m)Kfx)+l的零點個數(shù)是

I例1]已知KX)=

解析:由2[/(X)]2—37U)+1=O,得危)=：或火x)=l,

作出函數(shù)y=*x)的圖象如圖所示.

由圖象知y=/與y=Kx)的圖象有2個交點，y=l與y=∕(x)的圖象有3個交點.

因此函數(shù)y=2[∕(x)]2-3∕U)+l的零點有5個.

答案:5

名師點評求解此類問題的主要步驟

⑴換元解套，轉(zhuǎn)化為f=g(x)與y=∕(f)的零點.

(2)依次解方程，令人/)=0,求f,代入∕=g(x)求出X的值或判斷圖象交點個數(shù).

類型2求嵌套函數(shù)零點中的參數(shù)

陰2]函數(shù)?=代：二1二；若函數(shù)嶺)=冊…有三個不同的零點,

則實數(shù)a的取值范圍是.

解析：設(shè)f=Λx),令膽x))—α=0,則α=√⑺.

在同一坐標(biāo)系內(nèi)作y=",y=∕(f)的圖象(如圖).

當(dāng)a》一1時，y=α與y=∕(f)的圖象有兩個交點.

設(shè)交點的橫坐標(biāo)為“，一不妨設(shè)則1,(2^—1.

當(dāng)tl<-l時，"=Kx)有一解；

當(dāng)攵》一1時，，2=式尤)有兩解；

當(dāng)a<—1時y=α與y=√(r)的圖象只有一個交點，函數(shù)g(x)只有一個零點，不合題意,

綜上，當(dāng)a2一1時，函數(shù)g(x)=∕(∕(X))-?α有三個不同的零點.

答案：［—1,÷∞)

名師點評(1)求解本題抓住分段函數(shù)的圖象性質(zhì)，由y="與y=∕(f)的圖象，確定八，

介的取值范圍，進(jìn)而由f=Kx)的圖象確定零點的個數(shù).

(2)含參數(shù)的嵌套函數(shù)方程，還應(yīng)注意讓參數(shù)的取值“動起來”，抓臨界位置，動靜結(jié)

合.

2*+2V?

［變式訓(xùn)練］已知函數(shù)y(x)=~/x-'則函數(shù)尸(X)=/(/a))—〃(x)—J的零

,∣log2(x-1)1，X>1,

點個數(shù)是()

A.4B.5

C.6D.7

第八節(jié)函數(shù)與方程

積累必備知識

1.(IV(X)=O(2)X軸段)=0

2.(Ima)負(fù)力(2V(C)=O

*.、

I.答案：⑴X(2)×(3)√(4)√

2.解析：因為√(2)=ln2-l<0,

/3)=In3-∣2>0,

且函數(shù)火X)的圖象連續(xù)不斷，兀V)為增函數(shù)，

所以危)的零點在區(qū)間(2,3)內(nèi).

答案：B

3.解析：作函數(shù)yι=χ5和丫2=c)*的圖象如圖所示,

結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性及圖象知函數(shù)y(x)有1個零點.

答案：1

4.解析：若函數(shù)7CX)=2OΛ2-x—1在區(qū)間(0,1)內(nèi)恰有一個零點，則方程2加一x—1=

0在區(qū)間(0,1)內(nèi)恰有一個根，若a=0,則方程2ax2-χ-l=0可化為：-X-I=O方程的

解為一1,不成立；若“<0,則方程2加一工一1=0不可能有正根，故不成立；若α>0,則/

=l+8a>0,且C=-I<0；

故方程有一正一負(fù)兩個根，

故方程20χ2-χ-l=0在區(qū)間(0,1)內(nèi)恰有一個解可化為

(2α?02-0-1)(2α?12-1-1)<0；

解得，a>l;

故實數(shù)”的取值范圍是(1,+∞).

答案：C

5.解析：由題意/*=—x2+2X在(0,4)上有解，又一Λ2+2X=—(X—1)2+1,

.?.y=-f+2x在(0,4)上的值域為(-8,1］,Λ-8<∕M≤1.

答案：(-8,1］

6.解析：方法一函數(shù)y(x)=2sinχ-sin2x在［0,2兀］的零點個數(shù)，

即2sinχ-sinZc=O在區(qū)間［0,2π］的根個數(shù)，

即2sinjc=sin2x,令A(yù)(x)=2sinx和g(x)=sin2x,

作出兩函數(shù)在區(qū)間［0,2π］的圖象如圖所示，由圖可知，

∕ι(x)=2SinX和g(x)=sin2x在區(qū)間［0,2兀］的圖象的交點個數(shù)為3個.故選B.

方法二因為y(x)=2sinx-sin2x=2SinX(I—CoSX),x∈［0,2π］,令兀C)=0,得2sinx(l

—cosx)=0,即SinX=O或I-Cosx=O,解得X=0,π,2π.

所以兀r)=2sinχ-sin2x在［0,2π］的零點個數(shù)為3個.

提升關(guān)鍵能力

考點一

1?解析：求函數(shù)加）=*+ln柳零點所在的大致區(qū)間，等價于求六+In”的解所

在的大致區(qū)間，等價于求*=一叱的解所在的大致區(qū)間，等價于求*=EX的解所在的

大致區(qū)間，等價于求>=言與y=lnx的圖象在（0,+8）上的交點的橫坐標(biāo)所在的大致區(qū)間

（如圖所示），由圖可得，選D.

答案：D

2.解析：?.?qv?<c,

Ha)=(a—b)(a—c)>0,

fib)=(?-C)S—α)<0,

/(c)=(c—d){c-?)>0,

由函數(shù)零點存在性定理可知,在區(qū)間3,b）,（6,C）內(nèi)分別存在零點，又函數(shù)火X）是二次

函數(shù)，最多有兩個零點，因此函數(shù)yu）的兩個零點分別位于區(qū)間（。，b）,s，c）內(nèi).

答案：A

3.解析：對于函數(shù)y=logd,當(dāng)x=2時，可得yvl,當(dāng)x=3時，可得y>l,在同一坐

標(biāo)系中畫出函數(shù)y=log,My=-χ+b的圖象，判斷兩個函數(shù)圖象的交點的橫坐標(biāo)在（2,3）

內(nèi)，；?函數(shù)段）的零點xo≡（m〃+1）時，n=2.

答案：2

考點二

例I解析：(1)方法一由T(X)=O得1x≤0'或］x>0,解得χ=-2或

Ix2+X-2=01-1+Inx=0,

X=e.

因此函數(shù)應(yīng)0共有2個零點.

方法二函數(shù)yu）的圖象如圖所示，由圖象知函數(shù)共有2個零點.

(2)如圖，作出g(x)=(}?v與∕z(x)=COSX的圖象，可知其在［0,2π］上的交點個數(shù)為3,

所以函數(shù)7U)在［0,2兀］上的零點個數(shù)為3,故選C.

答案：⑴B(2)C

對點訓(xùn)練

1.解析：易知兀V)是偶函數(shù)，當(dāng)x20時，yU)=2'+∕-3,所以x20時，7U)在［0,+

8)上是增函數(shù)，且KI)=0,所以x=l是函數(shù)y=y(x)在［0,+8)上的唯一零點.

根據(jù)奇偶性，知X=-1是y=∕(x)在(一8,0)內(nèi)的零點，因此y=∕(x)有兩個零點.

答案：C

2.解析:兀K)=2sinXcosχ-Λ2=sin2χ-χ2,函數(shù)?r)的零點個數(shù)可轉(zhuǎn)化為函數(shù)y∣=sin2x

與)>2=X2圖象的交點個數(shù)，在同一坐標(biāo)系中畫出yι=sin2r與yz=x2的圖象如圖所示：

由圖可知兩函數(shù)圖象有2個交點，則/U)的零點個數(shù)為2.

答案：2

考點三

例2解析：(1)由題意知，如圖，在(0,10)上，函數(shù)y=∣lgx∣的圖象和直線y=c有兩個

不同交點，所以必=1,0<c<lg10=1,所以出七的取值范圍是(0,1).

(2)畫出函數(shù)y=/(x)的圖象，如圖.

方程“r)=—%+。的解的個數(shù)，即為函數(shù)y=Kx)的圖象與直線/：y=-%+α的公共點

4?4

的個數(shù).

當(dāng)直線/經(jīng)過點A時，有2=—；Xl+〃，a=：；

44

當(dāng)直線/經(jīng)過點B時，有I=一Lχi+α,?=；；

44

由圖可知，a∈g,三時，函數(shù)y=∕(x)的圖象與/恰有兩個交點.

另外，當(dāng)直線/與曲線y=1,Ql相切時，恰有兩個公共點，此時“>0.

(1

V=—,

聯(lián)立1x得工=-%+〃，

11γ4

y=——X+aa,什

?4

即工X2—αr+l=0,

4

由/=/-4義：Xl=0,得4=1(舍去負(fù)根).

綜上，α∈［j,U{l}.

答案：⑴(0,1)(2)D

例3解析：(1)由題意知方程辦=/+1在3)上有實數(shù)解,

即α=x+5在G，3)上有解,設(shè)f=x+[,x∈Q,3),

則f的取值范圍是［2,y).

所以實數(shù)”的取值范圍是［2,

(2)由y(x-i)=y(x+i)=/U-x),可知人X)為偶函數(shù)，且一條對稱軸為直線X=1；

再由"r+D=/(X—1),可得負(fù)2+x)=∕(x),求得周期為2.

根據(jù)Xe［1,2］時，∕x)=Iog2JV,作出函數(shù)T(X)的草圖，如圖所示：

：方程√(x)-&v=O在(0,+8)上恰好有兩個不等的實數(shù)根，

.?.函數(shù)y=ax與y=√(x)的圖象在y軸右側(cè)有兩個交點.

設(shè)y=αr與y=log2X的圖象相切時，切點坐標(biāo)為(XO,Iogiro),

由y'==，得:=維也，解得x0=e>2?

X0In2X0

,由圖象可知，當(dāng)直線y=ax過點(2,1)時，方程/U)—“x=0在(0,+8)上恰好有兩個

不等的實數(shù)根，,a=/

答案：⑴D(2)C

例4解析：由八一x)=∕(x),知函數(shù)式x)是偶函數(shù)，由y(x)=火2-X),可知函數(shù)y(x)的圖

象的對稱軸為直線X=L由于函數(shù)y(x)與函數(shù)y=ICOS(πx)∣均為偶函數(shù)，所以在[一，|]上g(x)

的零點之和為0,只需求在C，|]上的零點和.在同一個直角坐標(biāo)系中畫出函數(shù)y=∣cos(πx)∣,

尸危)在&|]上的圖象