2018-2023年高考數(shù)學(xué)真題匯編：計(jì)數(shù)原理（附答案解析）

2018-2023年高考數(shù)學(xué)真題知識點(diǎn)分類匯編：計(jì)數(shù)原理

選擇題（共11小題）

I.（2022?北京）若（2x-1）4=a4x4+a3xi+avc2+a↑x+ao,則ao+a2+α4=（）

A.40B.41C.-40D.-41

2.（2022?新高考∏）甲、乙、丙、丁、戊5名同學(xué)站成一排參加文藝匯演，若甲不站在兩

端，丙和丁相鄰，則不同的排列方式共有（）

A.12種B.24種C.36種D.48種

3?（2021?乙卷）將5名北京冬奧會志愿者分配到花樣滑冰、短道速滑、冰球和冰壺4個(gè)項(xiàng)

目進(jìn)行培訓(xùn)，每名志愿者只分配到1個(gè)項(xiàng)目，每個(gè)項(xiàng)目至少分配1名志愿者，則不同的

分配方案共有（）

A.60種B.120種C.240種D.480種

4.（2020?海南）要安排3名學(xué)生到2個(gè)鄉(xiāng)村做志愿者，每名學(xué)生只能選擇去一個(gè)村，每個(gè)

村里至少有一名志愿者，則不同的安排方法共有（）

A.2種B.3種C.6種D.8種

5.（2020?北京）在川G-2）5的展開式中，產(chǎn)的系數(shù)為（)

A.-5B.5C.-10D.10

6.（2020?山東）6名同學(xué)到甲、乙、丙三個(gè)場館做志愿者，每名同學(xué)只去1個(gè)場館，甲場

館安排1名，乙場館安排2名，丙場館安排3名，則不同的安排方法共有（）

A.120種B.90種C.60種D.30種

2

7.(2020?新課標(biāo)I)(X+工一)(x+y)5的展開式中丹3的系數(shù)為（)

A.5B.10C.15D.20

8.（2019?全國）（2√^÷1）6的展開式中R的系數(shù)是（）

A.120B.60C.30D.15

9.(2019?新課標(biāo)In)(1+2X2)(1+X)4的展開式中小的系數(shù)為（)

A.12B.16C.20D.24

（?新課標(biāo)）（）的展開式中的系數(shù)為（）

10.2018ΠIf+25χ4

X

A.10B.20C.40D.80

11.（2018?上海）《九章算術(shù)》中，稱底面為矩形而有一側(cè)棱垂直于底面的四棱錐為陽馬,

第1頁（共19頁）

設(shè)是正六棱柱的一條側(cè)棱，如圖，若陽馬以該正六棱柱的頂點(diǎn)為頂點(diǎn)、以NNl為底

面矩形的一邊，則這樣的陽馬的個(gè)數(shù)是（）

A.4B.8C.12D.16

二.填空題（共17小題）

12.（2023?上海）設(shè)（1-2x）4=ao+aιx+a2x2+a3x3+a4x4,則00+α4=.

13.（2022?上海）二項(xiàng)式（3+x）"的展開式中，X2項(xiàng)的系數(shù)是常數(shù)項(xiàng)的5倍，則"=.

14.（2022?浙江）已知多項(xiàng)式（x+2）（x-1）4=αo+αιχ+α2χ2+αjχ3+q4χ4+α5χ5,則圖=

a1+02+03+^4+05=.

15.（2022?新高考I）（I-工）（x+y）8的展開式中島6的系數(shù)為（用數(shù)字作答）.

X

16.（2022?上海）用數(shù)字1、2、3、4組成沒有重復(fù)數(shù)字的四位數(shù)，則這些四位數(shù)中比2134

大的數(shù)字個(gè)數(shù)為.（用數(shù)字作答）

3

17.（2022?上海）在（x+?l）12的展開式中，則含-Ir項(xiàng)的系數(shù)為______.

Y4

XX

18.（2022?天津）（?+今）5的展開式中的常數(shù)項(xiàng)為.

X

19.（2021?天津）在（2X3+A.）6的展開式中，χ6的系數(shù)是.

X

20.（2021?浙江）己知多項(xiàng)式（X-I）3+（X+1）4-x4+a?xi+a2X2+a3x+a4>則αι=;

a2+a3+a4=.

21.（2021?上海）已知二項(xiàng)式（X+o）5展開式中，x2的系數(shù)為80,則α=.

22.（2021?上海）已知（l+x）”的展開式中，唯有χ3的系數(shù)最大，則（l+χ）"的系數(shù)和

為.

23.（2021?北京）在（/一工）4的展開式中，常數(shù)項(xiàng)是.（用數(shù)字作答）

X

24.（2020?全國）若多項(xiàng)式χ5+χ3+2χ2+α能被/+［整除，貝IJa=.

25.（2020?全國）（χ-3）（X-32）（χ-33）（χ-34）的展開式中χ3的系數(shù)為.（用

數(shù)字作答）

第2頁（共19頁）

26.（2020?上海）從6個(gè)人挑選4個(gè)人去值班，每人值班一天，第一天安排1個(gè)人，第二天

安排1個(gè)人，第三天安排2個(gè)人，則共有種安排情況.

27.（2020?新課標(biāo)∏）4名同學(xué)到3個(gè)小區(qū)參加垃圾分類宣傳活動，每名同學(xué)只去1個(gè)小區(qū)，

每個(gè)小區(qū)至少安排1名同學(xué)，則不同的安排方法共有種.

28.（2020?上海）已知N={-3,-2,-1,0,1,2,3},a、氏4貝∣J∣α∣<冏的情況有種.

=.解答題（共2小題）

2

29.（2019?江蘇）設(shè)（l+x）"=ao+mx+a2x+…+a,tx”,π≥4,n∈N*.已知a32=2a2a4.

（1）求”的值；

（2）設(shè)（l+√3）w=t∕+?√3.其中a,?∈N*,求『-3序的值.

30.（2018?江蘇）設(shè)"∈N*,對1,2,……，〃的一個(gè)排列川2……in,如果當(dāng)s<f時(shí)，有百

>il,則稱（is,it）是排列i1i2……，”的一個(gè)逆序，排列削2……，”的所有逆序的總個(gè)數(shù)稱

為其逆序數(shù).例如：對1,2,3的一個(gè)排列231,只有兩個(gè)逆序（2,1）,（3,1）,則排

列231的逆序數(shù)為2.記%（k）為1,2,…，〃的所有排列中逆序數(shù)為k的全部排列的

個(gè)數(shù).

（1）求力（2）,fy（2）的值；

（2）求（2）（〃25）的表達(dá)式（用〃表示）.

第3頁（共19頁）

2018-2023年高考數(shù)學(xué)真題知識點(diǎn)分類匯編：計(jì)數(shù)原理

參考答案與試題解析

一.選擇題（共11小題）

1.（2022?北京）若C2x-1）4=tZ4X4÷^3X3÷^2X2+^IX+^O,則Q0+α2+Q4=（）

A.40B.41C.-40D.-41

【考點(diǎn)】二項(xiàng)式定理.

【專題】轉(zhuǎn)化思想；綜合法；二項(xiàng)式定理：數(shù)學(xué)運(yùn)算.

【分析】法一：由題意，利用二項(xiàng)式展開式的通項(xiàng)公式，求出處和。2,以及。4的值，可

得結(jié)論.

解法二：在所給的等式中，分別令X=I,工=-1,得到兩個(gè)等式，再把兩個(gè)等式相加并

處以2可得〃0+。2+〃4的值.

zt

【解答】解：法一:*.*（2x-1）="4χ4+43χ3+42χ2+Q]χ+Q0,

可得ao=C：=l，ɑ2=×22=24,6r4=ɑθ×24=16,

**?4o+α2+α4=41,

故答案為：41.

法二：:（2x-1）4=α4χ4+43χ3+α2χ2+Qiχ+4o,

令X=1,可得40+m+α2+43+α4=1，

再令X=-1,可得。0-。1+。2-。3+。4=（-3）4=81,

???兩式相加處以2可得，ɑo+42+α4=在=41,

2

故選：B.

【點(diǎn)評】本題主要考查二項(xiàng)式定理的應(yīng)用，二項(xiàng)式展開式的通項(xiàng)公式，求展開式的系數(shù)

和常用的方法是賦值法，屬于基礎(chǔ)題.

2.（2022?新高考II）甲、乙、丙、丁、戊5名同學(xué)站成一排參加文藝匯演，若甲不站在兩

端，丙和丁相鄰，則不同的排列方式共有（）

A.12種B.24種C.36種D.48種

【考點(diǎn)】排列、組合及簡單計(jì)數(shù)問題.

【專題】計(jì)算題；整體思想；綜合法；排列組合；數(shù)學(xué)運(yùn)算.

第4頁（共19頁）

【分析】利用捆綁法求出丙和丁相鄰的不同排列方式，再減去甲站在兩端的情況即可求

出結(jié)果.

【解答】解：把丙和丁捆綁在一起，4個(gè)人任意排列，有A2?A：=48種情況，

32

甲站在兩端的情況有ClAA=24種情況，

232

.?.甲不站在兩端，丙和丁相鄰的不同排列方式有48-24=24種，

故選：B.

【點(diǎn)評】本題考查排列組合的應(yīng)用，本題運(yùn)用排除法，可以避免討論，簡化計(jì)算，屬于

基礎(chǔ)題.

3.（2021?乙卷）將5名北京冬奧會志愿者分配到花樣滑冰、短道速滑、冰球和冰壺4個(gè)項(xiàng)

目進(jìn)行培訓(xùn)，每名志愿者只分配到1個(gè)項(xiàng)目，每個(gè)項(xiàng)目至少分配1名志愿者，則不同的

分配方案共有（）

A.60種B.120種C.240種D.480種

【考點(diǎn)】排列、組合及簡單計(jì)數(shù)問題.

【專題】轉(zhuǎn)化思想；轉(zhuǎn)化法；排列組合；數(shù)學(xué)運(yùn)算.

【分析】5名志愿者先選2人一組，然后4組全排列即可.

【解答】解：5名志愿者選2個(gè)1組，有C『中方法，然后4組進(jìn)行全排列，有Aj種，

共有嵋A：=240種,

故選：C.

【點(diǎn)評】本題主要考查排列組合的應(yīng)用，利用先分組后排列的方法是解決本題的關(guān)鍵，

是基礎(chǔ)題.

4.（2020?海南）要安排3名學(xué)生到2個(gè)鄉(xiāng)村做志愿者，每名學(xué)生只能選擇去一個(gè)村，每個(gè)

村里至少有一名志愿者，則不同的安排方法共有（）

A.2種B.3種C.6種D.8種

【考點(diǎn)】排列、組合及簡單計(jì)數(shù)問題.

【專題】計(jì)算題；方程思想；綜合法；概率與統(tǒng)計(jì)；邏輯推理.

【分析】先把三名學(xué)生分成2組，再把2組學(xué)生分到兩個(gè)村，利用排列組合知識直接求

解.

第5頁（共19頁）

【解答】解：要安排3名學(xué)生到2個(gè)鄉(xiāng)村做志愿者，每名學(xué)生只能選擇去一個(gè)村，

每個(gè)村里至少有一名志愿者，

則不同的安排方法共有：

C犯困=6.

故選：C.

【點(diǎn)評】本題考查不同的安排方法種數(shù)的求法，考查排列組合等基礎(chǔ)知識，考查運(yùn)算求

解能力，是基礎(chǔ)題.

5.（2020?北京）在（?-2）5的展開式中，F(xiàn)的系數(shù)為（）

A.-5B.5C.-10D.10

【考點(diǎn)】二項(xiàng)式定理.

【專題】轉(zhuǎn)化思想；綜合法；二項(xiàng)式定理；數(shù)據(jù)分析.

【分析】在二項(xiàng)展開式的通項(xiàng)公式中，令X的幕指數(shù)等于2,求出r的值，即可求得X2

的系數(shù).

5-r

r

【解答】解：（4-2）5的展開式的通項(xiàng)公式為Γ,+1=cr?（-2）?χ^^^.

令昱二=2,求得r=l,可得χ2的系數(shù)為r1?（-2）=-10,

2

故選：C.

【點(diǎn)評】本題主要考查二項(xiàng)式定理的應(yīng)用，二項(xiàng)展開式的通項(xiàng)公式，二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)，

屬于基礎(chǔ)題.

6.（2020?山東）6名同學(xué)到甲、乙、丙三個(gè)場館做志愿者，每名同學(xué)只去1個(gè)場館，甲場

館安排1名，乙場館安排2名，丙場館安排3名，則不同的安排方法共有（）

A.120種B.90種C.60種D.30種

【考點(diǎn)】排列、組合及簡單計(jì)數(shù)問題.

【專題】轉(zhuǎn)化思想；綜合法；排列組合：數(shù)學(xué)運(yùn)算.

【分析】讓場館去挑人，甲場館從6人中挑一人有：c1=6種結(jié)果；乙場館從余下的5

人中挑2人有：Cv=IO種結(jié)果；余下的3人去丙場館；相乘即可求解結(jié)論.

【解答】解：因?yàn)槊棵瑢W(xué)只去1個(gè)場館，甲場館安排1名，乙場館安排2名，丙場館

安排3名，

第6頁（共19頁）

甲場館從6人中挑一人有：c[=6種結(jié)果；

乙場館從余下的5人中挑2人有：c2=10種結(jié)果；

t,5

余下的3人去丙場館；

故共有：6X10=60種安排方法；

故選：C.

【點(diǎn)評】本題考查排列組合知識的應(yīng)用，考查運(yùn)算求解能力，是基礎(chǔ)題.

2

7.（2020?新課標(biāo)I）（x+?J）（x+y）5的展開式中Xy的系數(shù)為（）

X

A.5B.10C.15D.20

【考點(diǎn)】二項(xiàng)式定理.

【專題】轉(zhuǎn)化思想；綜合法；二項(xiàng)式定理；數(shù)學(xué)運(yùn)算.

【分析】先把條件整理轉(zhuǎn)化為求（/+/）（χ+y）5展開式中∕y3的系數(shù)，再結(jié)合二項(xiàng)式

的展開式的特點(diǎn)即可求解.

【解答】解：因?yàn)椋▁+」一）（x+y）5=iχ+y.p+y）；

XX

3

要求展開式中XF的系數(shù)即為求（，+/）（χ+y）5展開式中χ4y3的系數(shù)；

2242

（x+y）（x+y）5展開式含XV的項(xiàng)為：X?Q2χ2?^3+?2.ɑ4χ4y—?5jvy.

uu

2

故a+」一）（x+y）5的展開式中03的系數(shù)為15；

X

故選：C.

【點(diǎn)評】本題主要考查二項(xiàng)式定理的應(yīng)用，二項(xiàng)式展開式的通項(xiàng)公式，二項(xiàng)式系數(shù)的性

質(zhì)，屬基礎(chǔ)題.

8.（2019?全國）（2√7+l）6的展開式中X的系數(shù)是（）

A.120B.60C.30D.15

【考點(diǎn)】二項(xiàng)式定理.

【專題】計(jì)算題；二項(xiàng)式定理.

6-r

6r6f-

【分析】由二項(xiàng)式定理及展開式的通項(xiàng)得：（2?）^-2^crχ2-,令生二

第7頁（共19頁）

=1,解得r=4,貝U（2?+1）6的展開式中X的系數(shù)是22或=60,得解.

6-r

【解答】解：由二項(xiàng)式（2?+1）6的展開式的通項(xiàng)為刀+1=%（2?）6?=26飛於丁,

令立工=1,

2

解得r=4,

則（2√^+l）6的展開式中X的系數(shù)是22霏=60,

故選：B.

【點(diǎn)評】本題考查了二項(xiàng)式定理及展開式的通項(xiàng)，屬中檔題.

9.（2019?新課標(biāo)In）（1+2X2）（1+X）zl的展開式中χ3的系數(shù)為（）

A.12B.16C.20D.24

【考點(diǎn)】二項(xiàng)式定理.

【專題】計(jì)算題；轉(zhuǎn)化思想；轉(zhuǎn)化法；二項(xiàng)式定理；數(shù)學(xué)運(yùn)算.

【分析】利用二項(xiàng)式定理、排列組合的性質(zhì)直接求解.

【解答】解：（l+2√）（l+χ）4的展開式中χ3的系數(shù)為：

l×C4×13×CJ×l+2×cj×IIXCgXI3=12-

故選：A.

【點(diǎn)評】本題考查展開式中χ3的系數(shù)的求法，考查二項(xiàng)式定理、排列組合的性質(zhì)等基礎(chǔ)

知識，考查推理能力與計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題.

io.（2018?新課標(biāo)m）（/+2）5的展開式中χ4的系數(shù)為（）

X

A.10B.20C.40D.80

【考點(diǎn)】二項(xiàng)式定理.

【專題】計(jì)算題；方程思想；定義法；二項(xiàng)式定理.

【分析】由二項(xiàng)式定理得（f+2）5的展開式的通項(xiàng)為:

X

2rCcXicb3r,由1。-3r=4,解得〃=2,由此能求出（x2+Z）5的展開式中d的系數(shù).

5X

【解答】解：由二項(xiàng)式定理得（/+2）5的展開式的通項(xiàng)為：

X

7μ1=cr（x2）5-r（?）r=2rcrχ10-3r,

由10-3r=4,解得尸=2,

第8頁（共19頁）

.?.（??）5的展開式中χ4的系數(shù)為22,3=40.

γ5

故選：C.

【點(diǎn)評】本題考查二項(xiàng)展開式中χ4的系數(shù)的求法，考查二項(xiàng)式定理、通項(xiàng)公式等基礎(chǔ)知

識，考查運(yùn)算求解能力，考查函數(shù)與方程思想，是基礎(chǔ)題.

11.（2018?上海）《九章算術(shù)》中，稱底面為矩形而有一側(cè)棱垂直于底面的四棱錐為陽馬，

設(shè)4小是正六棱柱的一條側(cè)棱，如圖，若陽馬以該正六棱柱的頂點(diǎn)為頂點(diǎn)、以/小為底

面矩形的一邊，則這樣的陽馬的個(gè)數(shù)是（）

A.4B.8C.12D.16

【考點(diǎn)】排列、組合及簡單計(jì)數(shù)問題.

【專題】計(jì)算題；對應(yīng)思想；轉(zhuǎn)化法；排列組合.

【分析】根據(jù)新定義和正六邊形的性質(zhì)可得答案.

【解答】解：根據(jù)正六邊形的性質(zhì)，則。ι-∕M88ι,?！感?FQ滿足題意,

而Cl,E↑,C,D,E,和Di一樣，有2X4=8,

當(dāng)44CCl為底面矩形，有4個(gè)滿足題意，

當(dāng)A?AEE?為底面矩形，有4個(gè)滿足題意，

故有8+4+4=16

故選：D.

D?Ci

Fa

【點(diǎn)評】本題考查了新定義，以及排除組合的問題，考查了棱柱的特征，屬于中檔題.

二.填空題（共17小題）

第9頁（共19頁）

12.(2023?上海)設(shè)(1-2x)4≈ao+aιx+α2X2+α3X3+o4X4>則αo+α417

【考點(diǎn)】二項(xiàng)式定理.

【專題】轉(zhuǎn)化思想；綜合法；二項(xiàng)式定理；數(shù)學(xué)運(yùn)算.

【分析】根據(jù)二項(xiàng)式定理及組合數(shù)公式，即可求解.

【解答】解：根據(jù)題意及二項(xiàng)式定理可得：

αo+α4=

故答案為：17.

【點(diǎn)評】本題考查二項(xiàng)式定理及組合數(shù)公式的應(yīng)用，屬基礎(chǔ)題.

13.(2022?上海)二項(xiàng)式(3+x)〃的展開式中，χ2項(xiàng)的系數(shù)是常數(shù)項(xiàng)的5倍，則〃=

10.

【考點(diǎn)】二項(xiàng)式定理.

【專題】轉(zhuǎn)化思想；綜合法；二項(xiàng)式定理；數(shù)學(xué)運(yùn)算.

【分析】由題意，利用二項(xiàng)式展開式的通項(xiàng)公式，求得N的值.

【解答】解：?.?二項(xiàng)式(3+x)"的展開式中，/項(xiàng)的系數(shù)是常數(shù)項(xiàng)的5倍，

即「2X3"-2=5「0X3",即n(n-L∣=5X9,

UnUn2

/.?=10,

故答案為：10.

【點(diǎn)評】本題主要考查二項(xiàng)式定理的應(yīng)用，二項(xiàng)式展開式的通項(xiàng)公式，屬于基礎(chǔ)題.

14.(2022?浙江)己知多項(xiàng)式(x+2)(x-1)4—ao+a?x+a2x2'+aycl+a4x^+a5xi,則az=8,

“ι+α,+αa+α4+αs=-2.

【考點(diǎn)】二項(xiàng)式定理.

【專題】整體思想；綜合法；二項(xiàng)式定理：數(shù)學(xué)運(yùn)算.

【分析】。2相當(dāng)于是用(x+2)中的一次項(xiàng)系數(shù)乘以(X-I)4展開式中的一次項(xiàng)系數(shù)加

上(x+2)中的常數(shù)項(xiàng)乘以(X-I)4展開式中的二次項(xiàng)系數(shù)之和，分別令X=O,X=I,

即可求得“ι+α2+43+α4+α5的值.

【解答】解：：(X-I)4=x4-4X3+6X2-4x+l,

."2=-4+12=8；

令X=0,則αo=2,

令X=1,貝∣Jɑo+a1+α2+a3+04+45=0，

第10頁(共19頁)

.)41+02+03+44+45=^2.

故答案為：8,-2.

【點(diǎn)評】本題考查二項(xiàng)式定理的運(yùn)用，考查運(yùn)算求解能力，屬于中檔題.

15.（2022?新高考I）（I-工）（XtV）8的展開式中H6的系數(shù)為一28（用數(shù)字作答）.

X

【考點(diǎn)】二項(xiàng)式定理.

【專題】方程思想；轉(zhuǎn)化法；二項(xiàng)式定理；數(shù)學(xué)運(yùn)算.

【分析】由題意依次求出（X+y）8中χ2y6,χ3y5項(xiàng)的系數(shù)，求和即可.

【解答】解：（Xty）8的通項(xiàng)公式為q?+]=c8f-y,

當(dāng)r=5時(shí)，丁6=或χ3y5,

<1--）（x+y）8的展開式中Xy的系數(shù)為CgYB=7747i'=28-56=-28?

X886!?2!5!?3!

故答案為：-28.

【點(diǎn)評】本題考查二項(xiàng)式定理的應(yīng)用，考查運(yùn)算求解能力，是基礎(chǔ)題.

16.（2022?上海）用數(shù)字1、2、3、4組成沒有重復(fù)數(shù)字的四位數(shù)，則這些四位數(shù)中比2134

大的數(shù)字個(gè)數(shù)為17.（用數(shù)字作答）

【考點(diǎn)】排列、組合及簡單計(jì)數(shù)問題.

【專題】計(jì)算題；方程思想；轉(zhuǎn)化思想；綜合法；排列組合；數(shù)學(xué)運(yùn)算.

【分析】根據(jù)題意，按四位數(shù)的千位數(shù)字分2種情況討論，由加法原理計(jì)算可得答案.

【解答】解：根據(jù)題意，用數(shù)字1、2、3、4組成沒有重復(fù)數(shù)字的四位數(shù)，

當(dāng)其千位數(shù)字為3或4時(shí)，有2出3=12種情況，即有12個(gè)符合題意的四位數(shù)，

當(dāng)其千位數(shù)字為2時(shí)，有6種情況，其中最小的為2134,則有6-1=5個(gè)比2134大的四

位數(shù)，

故有12+5=17個(gè)比2134大的四位數(shù)，

故答案為：17.

【點(diǎn)評】本題考查排列組合的應(yīng)用，注意分類計(jì)數(shù)原理的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題.

17?（2022?上海）在（x3+l）12的展開式中，則含上項(xiàng)的系數(shù)為66.

XX4

【考點(diǎn)】二項(xiàng)式定理.

【專題】轉(zhuǎn)化思想；轉(zhuǎn)化法；二項(xiàng)式定理；數(shù)學(xué)運(yùn)算.

【分析】求出展開式的通項(xiàng)公式，令X的次數(shù)為-4,求出”的值即可.

第11頁（共19頁）

【解答】解：展開式的通項(xiàng)公式為Tkl=Ck（χ3）>2-A-（1）k=ck√6-4A?t由36-秋

12X12

=-4,得44=40,

得左=10,

即Tu=C:34=里,即含」7項(xiàng)的系數(shù)為66,

1244

XX

故答案為：66.

【點(diǎn)評】本題主要考查二項(xiàng)式定理的應(yīng)用，根據(jù)條件求出通項(xiàng)公式，利用X的次數(shù)建立

方程是解決本題的關(guān)鍵，是基礎(chǔ)題.

18.（2022?天津）（?+今）5的展開式中的常數(shù)項(xiàng)為15.

【考點(diǎn)】二項(xiàng)式定理.

【專題】計(jì)算題.

【分析】先寫出二項(xiàng)式的展開式的通項(xiàng)，整理出最簡形式，要求展開式的常數(shù)項(xiàng)，只要

使得變量的指數(shù)等于0,求出廠的值，代入系數(shù)求出結(jié)果.

5r5-5r

【解答】解：：（44）的展開式的通項(xiàng)是%45^r（吝）=Cg3，k

要求展開式中的常數(shù)項(xiàng)只要使得5-5r=0,即r=l

；?常數(shù)項(xiàng)是C[X3=15,

故答案為：15

【點(diǎn)評】本題考查二項(xiàng)式定理，本題解題的關(guān)鍵是寫出展開式的通項(xiàng)，這是解決二項(xiàng)式

定理有關(guān)題目的通法，本題是一個(gè)基礎(chǔ)題.

19.（2021?天津）在（2√+工）6的展開式中，χ6的系數(shù)是一O.

X

【考點(diǎn)】二項(xiàng)式定理.

【專題】計(jì)算題；方程思想；綜合法；二項(xiàng)式定理；數(shù)學(xué)運(yùn)算.

【分析】求出展開式的通項(xiàng)公式，令X的指數(shù)為6,求出/■的值，即可求得χ6的系數(shù).

【解答】解：（2χ3+工）6的展開式的通項(xiàng)公式為4|=比⑵3）6-，3）』比26一住18

X6X6

Ar

令18-4r=6,解得r=3,

所以W的系數(shù)是cr3=i60.

第12頁（共19頁）

故答案為：160.

【點(diǎn)評】本題主要考查二項(xiàng)式定理，二項(xiàng)展開式的通項(xiàng)公式，考查運(yùn)算求解能力，屬于

基礎(chǔ)題.

20.（2021?浙江）已知多項(xiàng)式（X-1）3+（x+l）4=x4+a?xi+aixλ+ayc+a4,則a\—5；a2+a3+a4

-IQ.

【考點(diǎn)】二項(xiàng)式定理.

【專題】轉(zhuǎn)化思想；定義法；二項(xiàng)式定理；數(shù)學(xué)運(yùn)算.

【分析】利用通項(xiàng)公式求解χ3的系數(shù)，即可求出α∣的值：利用賦值法，令X=I,即可求

出a2+a3+a4的值.

【解答】解：0即為展開式中小的系數(shù)，

所以ai=C：（-l）°+C：=5；

令x=l,則有l(wèi)+m+α2+α3+α4=（1-1）3+（1+1）4=16,

所以α2+α3+"4=16-5-I=10.

故答案為：5；10.

【點(diǎn)評】本題考查了二項(xiàng)展開式的通項(xiàng)公式的運(yùn)用以及賦值法求解系數(shù)問題，考查了運(yùn)

算能力，屬于基礎(chǔ)題.

21.（2021?上海）已知二項(xiàng)式（x+α）5展開式中，χ2的系數(shù)為80,則a=2.

【考點(diǎn)】二項(xiàng)式定理.

【專題】計(jì)算題：方程思想；定義法；二項(xiàng)式定理；數(shù)學(xué)運(yùn)算.

【分析】由二項(xiàng)展開式的通項(xiàng)公式可得X2的系數(shù)，再根據(jù)F的系數(shù)為80,求出。的值.

【解答】解：（x+α）5的展開式的通項(xiàng)公式為Tf=Cy5?%r,

所以χ2的系數(shù)為c#=80,解得α=2.

故答案為：2.

【點(diǎn)評】本題主要考查二項(xiàng)式定理，二項(xiàng)展開式的通項(xiàng)公式，考查運(yùn)算求解能力，屬于

基礎(chǔ)題.

22.（2021?上海）已知（l+x）"的展開式中，唯有χ3的系數(shù)最大，則（l+x）"的系數(shù)和為

64.

【考點(diǎn)】二項(xiàng)式定理.

第13頁（共19頁）

【專題】計(jì)算題；綜合法；二項(xiàng)式定理；數(shù)學(xué)運(yùn)算.

【分析】由已知可得〃=6,令x=l,即可求得系數(shù)和.

【解答】解：由題意，C3>C2,且C3>C4,

所以〃=6,

所以令X=1,(l+x)6的系數(shù)和為26=64.

故答案為：64.

【點(diǎn)評】本題主要考查二項(xiàng)式定理.考查二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題.

23.(2021?北京)在(x3-l)4的展開式中，常數(shù)項(xiàng)是-4.(用數(shù)字作答)

X

【考點(diǎn)】二項(xiàng)式定理.

【專題】計(jì)算題.

【分析】利用二項(xiàng)展開式的通項(xiàng)公式∕μ∣=Cj?G3)4).(」L)即可求得展開式中的

常數(shù)項(xiàng).

4r

【解答】解：設(shè)(χ3-1L)展開式的通項(xiàng)為g∣,則刀+I=Cr(X3)4-,?.(二1)=(-

X4X

l)r.cr.χ12-4r.

令12-4r=0得r-2>.

展開式中常數(shù)項(xiàng)為：(-I)3?Γ^=-4.

4

故答案為：-4.

【點(diǎn)評】本題考查二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)，利用通項(xiàng)公式化簡是關(guān)鍵，屬于中檔題.

24.(2020?全國)若多項(xiàng)式χ5+χ3+2f+α能被f+i整除，則.

【考點(diǎn)】二項(xiàng)式定理；整除的概念和性質(zhì).

【專題】轉(zhuǎn)化思想；綜合法；簡易邏輯；二項(xiàng)式定理.

【分析】根據(jù)整除的概念即可求解.

【解答】解：?.?χ5+χ3+2K+α=χ3(χ2+1)+2(χ2+9)，

2

又多項(xiàng)式χ5+∕+2χ2+α能被χ2+ι整除，

?*?-^-=1,?'?α=2,

2

故答案為：2.

【點(diǎn)評】本題考查多項(xiàng)式整除問題，屬基礎(chǔ)題.

第14頁(共19頁)

25.(2020?全國)(χ-3)(χ-32)(χ-33)(χ-34)的展開式中x3的系數(shù)為-120.(用

數(shù)字作答)

【考點(diǎn)】二項(xiàng)式定理.

【專題】計(jì)算題；對應(yīng)思想；定義法；二項(xiàng)式定理；數(shù)學(xué)運(yùn)算.

【分析】先觀察展開式中X3的特點(diǎn)，再求解即可.

【解答】解：(χ-3)(x-32)(x-33)(χ-34)的展開式中一可看作：

(X-3),(?-32),(X-33),(X-3z*)中取3次X,取1次常數(shù)相乘得到，

.?.展開式中X3的系數(shù)為-3-32-33-34=-3-9-27-81=-120,

故答案為：-120.

【點(diǎn)評】本題主要考查二項(xiàng)展開式中特定項(xiàng)系數(shù)的運(yùn)算，屬于中檔題.

26.(2020?上海)從6個(gè)人挑選4個(gè)人去值班，每人值班一天，第一天安排1個(gè)人，第二天

安排1個(gè)人，第三天安排2個(gè)人，則共有1個(gè)種安排情況.

【考點(diǎn)】排列、組合及簡單計(jì)數(shù)問題.

【專題】整體思想；定義法；排列組合：邏輯推理；數(shù)學(xué)運(yùn)算.

【分析】根據(jù)題意，由組合公式得共有C；CgCj排法，計(jì)算即可得出答案.

【解答】解：根據(jù)題意，可得排法共有C)CMj=I80種.

故答案為：180.

【點(diǎn)評】本題考查組合數(shù)公式，解題關(guān)鍵是正確理解題意并熟悉組合數(shù)公式，屬于基礎(chǔ)

題.

27.(2020?新課標(biāo)11)4名同學(xué)到3個(gè)小區(qū)參加垃圾分類宣傳活動，每名同學(xué)只去1個(gè)小區(qū)，

每個(gè)小區(qū)至少安排1名同學(xué)，則不同的安排方法共有九種.

【考點(diǎn)】排列、組合及簡單計(jì)數(shù)問題.

【專題】計(jì)算題；對應(yīng)思想；定義法；排列組合.

【分析】方法一：先從4人中選出2人作為一組有C42種方法，再與另外2人一起進(jìn)行

排列有為3種方法，相乘即可.

方法二：三個(gè)小區(qū)必有1個(gè)小區(qū)安排2人，剩下的2人安排其它2個(gè)小區(qū)，相乘可得.

【解答】解：方法一：因?yàn)橛幸恍^(qū)有兩人，則不同的安排方式共有C42為3=36種.

122

方法二：三個(gè)小區(qū)必有1個(gè)小區(qū)安排2人，剩下的2人安排其它2個(gè)小區(qū)，故有C3C4^2

=36

第15頁(共19頁)

故答案為：36.

【點(diǎn)評】本題考查排列組合及分步計(jì)數(shù)原理的運(yùn)用，屬于基礎(chǔ)題.

28.（2020?上海）已知∕={-3,-2,-1,0,1,2,3},a、bEA,則㈤〈㈤的情況有18

種.

【考點(diǎn)】分類加法計(jì)數(shù)原理.

【專題】轉(zhuǎn)化思想：綜合法：概率與統(tǒng)計(jì)；數(shù)學(xué)運(yùn)算.

【分析】先討論。的取值，得到對應(yīng)b的值，再整體求和即可.

【解答】解：當(dāng)α=-3,0種，

當(dāng)α=-2,2種，

當(dāng)α=-1,4種：

當(dāng)α=0,6種，

當(dāng)α=l,4和；1

當(dāng)a=2,2種，

當(dāng)α=3,0種，

故共有：2+4+6+4+2=18.

故答案為：18.

【點(diǎn)評】本題主要考查分類討論思想在概率中的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題目.

三.解答題（共2小題）

2

29.（2019?江蘇）設(shè)（l+x）"=ao+a?x+a2λ+'??+anx">∕J≥4,H∈N*.已知α32=2α204.

（1）求”的值；

（2）設(shè)（l+√3）n=α+?√3,其中α,δ∈N*,求『-3序的值.

【考點(diǎn)】二項(xiàng)式定理.

【專題】轉(zhuǎn)化思想；分析法；二項(xiàng)式定理.

【分析】（1）運(yùn)用二項(xiàng)式定理，分別求得及，。3,。4,結(jié)合組合數(shù)公式，解方程可得"

的值；

（2）方法一、運(yùn)用二項(xiàng)式定理，結(jié)合組合數(shù)公式求得α,b,計(jì)算可得所求值；

方法二、由于α,?∈N*,求得（1-√5）5=。-3，再由平方差公式，計(jì)算可得所求

值.

【解答】解：（1）由（l+x）〃=1”+「2/+???+「8〃，

第16頁（共19頁）

俎C—「

HPrJ侍ai—「乙2一—-n-(--n-T--)-,C6T3_—?Γ30_-n--(-∏-----l--)-(n---2--)-,CQ4-一?4—-

vn2n6n

n(n-l)(n-2)(n-3)

24，

/2=24244，可得(n(n-l)(n-2))2=?.n(n-l).n(n-l)(n-2)(n-3),

6224

解得n=5;

(2)方法一、(l+√3)5=C≡+CRV3+CR(F)2+Cr(√3)3+Cc<√3)4+c^(√3)

DD?0Du

5=a+?V3,

由于〃，?∈N*,可得〃=Cg+3C^+9C2=1+30+45=76,6=C：+3,[+9(；且=44,

DuDDuD

α2-3Z>2=762-3×442=-32；

方法二、(i+√3)5=C9+C?V3+CK<√3)2+c？(√3)3+c^<√3)4+cl(√3)5

?????D

=a+HW,

5=或+嗎(-Vs)+c∣(^Vs)2+c^(-V3)