2023年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)習(xí)題：第一章第3節(jié)　簡(jiǎn)單的邏輯聯(lián)結(jié)詞、全稱量詞與存在量詞

第3節(jié)簡(jiǎn)單的邏輯聯(lián)結(jié)詞、全稱量詞與存在量詞

考綱要求1.了解邏輯聯(lián)結(jié)詞“或”、“且”、“非”的含義；2.理解全稱量詞與存在量詞

的意義；3.能正確地對(duì)含有一個(gè)量詞的命題進(jìn)行否定.

知識(shí)分類落實(shí)回扣知識(shí)?夯實(shí)基礎(chǔ)

知識(shí)梳理

1.簡(jiǎn)單的邏輯聯(lián)結(jié)詞

(1)命題中的且、或、非叫做邏輯聯(lián)結(jié)詞.

(2)命題p∕?g,PVq,㈱P的真假判斷

Pqp?qPVq

真真真真找

真假假真犯用

假真假真真

假假假假真

2.全稱量詞與存在量詞

(1)全稱量詞：短語(yǔ)“所有的”、“任意一個(gè)”等在邏輯中通常叫做全稱量詞，用符號(hào)“V”

表示.

(2)存在量詞：短語(yǔ)“存在一個(gè)”、“至少有一個(gè)”等在邏輯中通常叫做存在量詞，用符號(hào)

“m”表示.

3.全稱命題和特稱命題

名稱全稱命題特稱命題

結(jié)構(gòu)對(duì)M中的任意一個(gè)X,有P(X)成立存在M中的一個(gè)%o，使P(Xo)成立

簡(jiǎn)記3xo∈Λ∕,P(JcO)

否定3x()∈Λ/,p(xo)VxWM,(X)

?——常用結(jié)論與微點(diǎn)提醒

1.含有邏輯聯(lián)結(jié)詞的命題真假判斷口訣：PVq一見(jiàn)真即真，P八4一見(jiàn)假即假，P與㈱P-真

假相反.

2.含有一個(gè)量詞的命題的否定規(guī)律是“改量詞，否結(jié)論”.

3.up?Zqn的否定是“解P)A%)"，upKqn的否定是“儺P)V避q)”?

4.邏輯聯(lián)結(jié)詞“或”“且”“非”對(duì)應(yīng)集合運(yùn)算中的“并”“交”“補(bǔ)”，可借助集合運(yùn)算

處理含邏輯聯(lián)結(jié)詞的命題.

診斷自測(cè)

?■思考辨析

1.判斷下列結(jié)論正誤(在括號(hào)內(nèi)打“J”或“X”)

⑴命題“5>6或5>2”是假命題.()

(2)命題是假命題，則命題p,4中至少有一個(gè)是假命題.()

(3)“長(zhǎng)方形的對(duì)角線相等”是特稱命題.()

(4)3JCO∈M,P(Xo)與VXGM，㈱P(X)的真假性相反.()

答案(1)×(2)×(3)×(4)7

解析(1)錯(cuò)誤.命題Pvq中，p,q有一真則真.

(2)錯(cuò)誤.p∕λq是真命題，則p,q都是真命題.

(3)錯(cuò)誤.命題“長(zhǎng)方形的對(duì)角線相等”是全稱命題.

?■教材衍化

2.已知p：2是偶數(shù)，q-.2是質(zhì)數(shù)，則命題㈱p,^cj,p7q,PAg中真命題的個(gè)數(shù)為()

A.lB.2

C.3D.4

答案B

解析P和q顯然都是真命題，所以??p,都是假命題，PVq,pΛq都是真命題.

3.命題：''Ξx?GR,焉一硒+1<0"的否定為.

答案VxWR,x1-aχ-?-1≥0

>考題體驗(yàn)

4.(2020?唐山模擬)已知命題p：犬X)=X3一分的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱；命題伙g(x)=xcosx的圖

象關(guān)于y軸對(duì)稱.則下列命題為真命題的是()

A.㈱pBq

C.p∕?qD.p∕??q)

答案D

解析根據(jù)題意，對(duì)于兀V)=X3-0x,有人-x)=(-x)3—“(一x)=—(x3—or)=-y(x),為奇函

數(shù)，其圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，P為真命題；對(duì)于g(x)=XCOSX,有g(shù)(—X)=(-X)COS(-X)=

-XCOSX,為奇函數(shù)，其圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，4為假命題，則㈱P為假命題，“為假命題，p∕?q

為假命題，P八（^q）為真命題.

5.（2021?鄭州質(zhì)檢）已知命題p：?x>0,3Λ>I;命題q：若a<b,則層<兄下列命題為真命題

的是（）

A.pΛqB.p八僦4）

C.僦P）AqD.僦p）∕??q）

答案B

解析p?.?x>0,3*>1為真命題，則㈱/，為假命題，

取α=-2,b=~?,則”2>序，所以夕為假，㈱q為真命題，

因此pΛ（㈱q）為真命題.

6.（2021?合肥調(diào)研）能說(shuō)明命題“VxGR且x≠0>x+->2"是假命題的x的值可以是

（寫出一個(gè)即可）.

答案一1（任意負(fù)數(shù)）

解析當(dāng)x>0時(shí)，x+?2,

當(dāng)且僅當(dāng)X=I時(shí)取等號(hào)，

當(dāng)x<0時(shí)，x+^≤-2,

當(dāng)且僅當(dāng)X=-I時(shí)取等號(hào)，

.?.x的取值為負(fù)數(shù)即可，例如x=-l.

考點(diǎn)分層突破考點(diǎn)聚焦?題型剖析

考點(diǎn)一含有邏輯聯(lián)結(jié)詞的命題自主演練

1.（2020?西安檢測(cè)）已知命題p：若。則比加；命題g：相，〃是直線，。為平面，若m"a,

a,則m//〃.下列命題為真命題的是（）

A.pΛqB.p∕?（㈱夕）

C.（??p）∕?qD.（㈱p）A（㈱4）

答案B

解析若白>∣例，則。2>〃，...〃真，對(duì)于命題q：由加〃nda,則相與〃異面或平行，

???q假，則㈱q為真，因此p∕?（^g）為真命題.

2.（2021?成都調(diào)研）已知命題p：函數(shù)y=右+sinx,x∈（0,兀）的最小值為2啦；命題q：若

ab=O,bc=O,則α?c=O.下列命題為真命題的是()

A.僦P)AqB.pVq

C?pΛ(㈱q)D.僦p)A?q)

答案D

解析命題p：函數(shù)y=肅q+sinx,χC(0,π),由基本不等式成立的條件可知,y>2?∕盂??sinx

=2√2,等號(hào)取不到，所以命題P是假命題.

命題q：取α=c=(l,O),?=(0,1),顯然α?6=0,b?c=O,但“?c=lW0,所以命題q是假

命題.所以㈱P為真，㈱q為真.因此，只有(㈱p)Λ(㈱q)為真命題.

3.在一次跳傘訓(xùn)練中，甲、乙兩位學(xué)員各跳一次.設(shè)命題P是“甲降落在指定范圍”，q是“乙

降落在指定范圍”，則命題“至少有一位學(xué)員沒(méi)有降落在指定范圍”可表示為()

A.僦p)V?g)B.pΛ?g)

C.(㈱P)A(^q)D.pVq

答案A

解析命題P是“甲降落在指定范圍”，則㈱P是“甲沒(méi)降落在指定范圍”，4是“乙降落

在指定范圍”，則㈱q是“乙沒(méi)降落在指定范圍”，命題“至少有一位學(xué)員沒(méi)有降落在指定

范圍”包括“甲降落在指定范圍，乙沒(méi)降落在指定范圍”“甲沒(méi)降落在指定范圍，乙降落在

指定范圍'’“甲沒(méi)降落在指定范圍，乙沒(méi)降落在指定范圍”.所以命題“至少有一位學(xué)員沒(méi)

有降落在指定范圍”可表示為(㈱p)V(㈱辦

4.(2020?全國(guó)II卷)設(shè)有下列四個(gè)命題：

pi：兩兩相交且不過(guò)同一點(diǎn)的三條直線必在同一平面內(nèi).

Pr.過(guò)空間中任意三點(diǎn)有且僅有一個(gè)平面.

P3：若空間兩條直線不相交，則這兩條直線平行.

/24：若直線/u平面α,直線相_1_平面α,則機(jī)

則下述命題中所有真命題的序號(hào)是.

@/?|Ap4；②Pl∕?p2;③??p2Vp3;④??p3V??p4.

答案①③④

解析Pl是真命題，兩兩相交不過(guò)同一點(diǎn)的三條直線必定有三個(gè)交點(diǎn)，且這三個(gè)交點(diǎn)不在同

一條直線上，由平面的基本性質(zhì)“經(jīng)過(guò)不在同一直線上的三個(gè)點(diǎn)，有且只有一個(gè)平面”，可

知Pl為真命題；P2是假命題，因?yàn)榭臻g三點(diǎn)在一條直線上時(shí)，有無(wú)數(shù)個(gè)平面過(guò)這三個(gè)點(diǎn)；

P3是假命題，因?yàn)榭臻g兩條直線不相交時(shí)，它們可能平行，也可能異面；P4是真命題，因?yàn)?/p>

一條直線垂直于一個(gè)平面，那么它垂直于平面內(nèi)的所有直線.由以上結(jié)論知㈱P2,㈱P3,

㈱P4依次為真命題、真命題、假命題，從而①③④中命題為真命題，②中命題為假命題.

感悟升華1.“pVq”，“pAq"，‘'㈱p"形式命題真假的判斷關(guān)鍵是對(duì)邏輯聯(lián)結(jié)詞

“或”“且”“非”含義的理解，其操作步歌是：（1）明確其構(gòu)成形式；（2）判斷其中命題p,

q的真假；（3）確定''pV∕'ap∕?qn“㈱p”形式命題的真假.

2.pΛq形式是"一假必假，全真才真"，pVq形式是“一真必真，全假才假”，㈱p與P

的真假性相反.

考點(diǎn)二全稱量詞與存在量詞師生共研

【例1】（1）（2021?江南十校聯(lián)考）已知於）=sinx—tanx,命題PTXoe（0,外,?）<0,則（）

A.p是假命題，㈱p：VX∈（θ,習(xí)，Xx）

B.p是假命題，㈱p：3Λ-O∈（O,9,火XO）NO

C.p是真命題，㈱p：<x∈（θ,5,Λx）≥O

D.p是真命題，㈱p：Ξro∈（θ,加o）2O

（2）已知命題p：VX∈N*,，命題q：3x∈R,2v+2'^x=2√2,則下列命題中是真

命題的是（）

A.pΛqB.懶p）∕?“

C.p八僦夕）D.?p）∕??q）

答案（I）C（2）A

解析⑴當(dāng)尤￡仔，時(shí)，sinx<l,tan%>l.

此時(shí)sinχ-tanx<0,故命題P為真命題.

由于命題P為特稱命題，所以命題P的否定為全稱命題，

則㈱P為：VXG[0,9,Kx）》0.

（2）由y=Q）”與y=G）'的圖象的位置關(guān)系，

知VXeN*,（?f`（?f成立，P為真命題.

又2t+2'^t>2√2r?2l^=2√2,

當(dāng)且僅當(dāng)2x=2∣r,即X=/時(shí)，上式取等號(hào)，

則4為真命題.因此p∕?q為真命題.

感悟升華1.全稱命題與特稱命題的否定與一般命題的否定有一定的區(qū)別，否定全稱命題和

特稱命題時(shí)，一是要改寫量詞，全稱量詞改寫為存在量詞，存在量詞改寫為全稱量詞：二是

要否定結(jié)論，而一般命題的否定只需直接否定結(jié)論.

2.判定全稱命題"Vx∈M,P(X)”是真命題，需要對(duì)集合M中的每一個(gè)元素X,證明P(X)成

立；要判斷特稱命題是真命題，只要在限定集合內(nèi)找到一個(gè)X=X°,使P(Xo)成立即可.

【訓(xùn)練1】⑴已知集合A是奇函數(shù)集，B是偶函數(shù)集.若命題p：VAX)∈A,∣∕U)∣∈B,則??

P為()

A.力(x)∈A,府)|初

B.?Ax)?A,IKX)I砧

C.3Λ%)∈A,∣AX)WB

D.3Λx)ΦA(chǔ),貝幻|在8

(2)(2020?蘭州診斷)已知命題p："≡τo∈R,V^j^>O"的否定是”Vx∈R,V~>0或x+l=

?()I1*?IL

0”；命題0"x<2021”的一個(gè)充分不必要條件是“x<2020”，則下列命題為真命題的是()

A..p∕?qB翩q

C.pΛ(??q)D.懶P)Aq

答案(I)C(2)A

解析(1)全稱命題的否定為特稱命題需：改寫量詞，否定結(jié)論.

...㈱p：于(x)∈A,l/U)IeA

(2)命題p：4*3xoeR,-?γ>0”的否定是“VXGR,±<0或尤+1=0”，故命題P是真

√v()I?√vI?

命題.

命題q："x<2021”的一個(gè)充分不必要條件是“x<2020”，為真命題.

故PAq為真命題，其余為假命題.

考點(diǎn)三由命題的真假求參數(shù)典例遷移

【例2】⑴已知命題p：?xeR,2?v<3r,命題q：3x∈R,*=2一居若命題埼P)Aq為真

命題，則X的值為()

A.lB.-1

C.2D.-2

2

(2)(經(jīng)典母題)已知yU)=ln(x+l),g(x)=O-m,若對(duì)?xι∈[0,3],3x2∈[l.2],使得

Kn)2g(X2)，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是.

答案(I)D(2)\,+8)

解析(1)因?yàn)??p:3A∈R,2*23。要使(??p)∕?q為真，所以㈱P與夕同時(shí)為真.

由2工23。得住)21,所以XWO.①

由￠=2—Xy得X=I或X=-2.②

由①②知x=-2.

(2)當(dāng)X∈[0,3]時(shí)，段)min=KO)=0,

當(dāng)χd[l,2]時(shí)，g(x)min=g(2)=；一機(jī)，

由y(X)min2g(x)min，

得021—，72,所以〃?》；.

【遷移】本例(2)中，若將"Ξr2d[l,2]"改為"VX2G[1,2]”，其他條件不變，則實(shí)數(shù)

的取值范圍是.

答案[?+8)

解析當(dāng)Xe[1,2]時(shí)，g(X)max=g(D=；—加，

對(duì)VXlGi0,3],VX2∈[1,2]使得/(Xi)》g(X2)等價(jià)于y(X)min》g(X)max,得機(jī)，；?加》

感悟升華1.由含邏輯聯(lián)結(jié)詞的命題真假求參數(shù)的方法步驟：

(1)求出每個(gè)命題是真命題時(shí)參數(shù)的取值范圍；

(2)根據(jù)每個(gè)命題的真假情況，求出參數(shù)的取值范圍.

2.全稱命題可轉(zhuǎn)化為恒成立問(wèn)題.

3.含量詞的命題中參數(shù)的取值范圍，可根據(jù)命題的含義，利用函數(shù)的最值解決.

【訓(xùn)練2】(2021?豫北名校聯(lián)考)已知p：函數(shù)於)=x2-(2α+4)x+6在(1,+8)上是增函數(shù),

q?Vx∈R,Λ2+αx+2α-3>0,若PA(^q)是真命題，則實(shí)數(shù)α的取值范圍為.

答案(一8,-1]

解析依題意，P為真命題，㈱q為真命題.

若P為真命題，則昔dwi，解得-1.①

若㈱q為真命題，貝歸M)￡R,貓+0ro+24—3W0成立.

Λa2—4(2a—3)≥O,解之得^≥6或αW2.②

結(jié)合①②，知。<一1,即實(shí)數(shù)。的取值范圍是(-8,-1].

課后鞏固作業(yè)分層訓(xùn)練?提升能力

A級(jí)基礎(chǔ)鞏固

一、選擇題

L命題p："Vx>l,x2-l>0w,則㈱P為()

A.?Λ>1,X2TWoBVxW1,Λ2-1≤0

C.3J?>1>Λ3-1≤0DTxoW1,Λδ-l≤O

答案C

解析命題p："Vx>1,A2—l>0,",則㈱p：3ΛO>1,-1≤0.

2.(2020?貴陽(yáng)檢測(cè))給出兩個(gè)命題：p：”事件A與事件B對(duì)立”的充要條件是“事件A與事

件B互斥"；q：偶函數(shù)的圖象一定關(guān)于y軸對(duì)稱，則下列命題是假命題的是()

A.p?/qB.p∕?q

C儂P)VqD.(㈱p)∕?q

答案B

解析由于“事件A與事件B對(duì)立”是“事件A與事件8互斥”的充分不必要條件，故命

題p是假命題.

又(7為真命題，因此PVq,(㈱P)Vq,(㈱P)Aq均為真命題，p?q為假命題.

3.命題'勺xo∈R,1勺UO)W2”的否定形式是()

A.?x∈R,I<∕(x)≤2

B.3ΛO∈R,1JΛ?)W2

C.3xo∈R,∕xo)≤?或兀吩>2

D.?Λ∈R,Λx)W1或∕x)>2

答案D

解析特稱命題的否定是全稱命題，原命題的否定形式為：?x∈R,Wl或y(x)>2.

4.已知命題'勺XGR,4f+(α-2)x+}≤0"是假命題，則實(shí)數(shù)α的取值范圍為()

A.(-∞,0)B.[0,4J

C.[4,+∞)D.(0,4)

答案D

解析因?yàn)槊}'勺x∈R,4χ2+(α-2)x+4≤O"是假命題，所以其否定為''Vx∈R,4x2+(“

-2)x+∣>0w是真命題.

則J=(a-2)2-4×4×∣=α2-4t∕<0,解得0<α<4.

5.命題p：函數(shù)y=k>g2(χ-2)的單調(diào)遞增區(qū)間是“，+8),命題中函數(shù)y="?的值域?yàn)?/p>

(0,1).下列命題是真命題的為()

A.p∕?夕B.pVq

C.pΛ(?Mq)D.??q

答案B

解析由于y=k>g2(χ-2)的單調(diào)遞增區(qū)間是(2,+∞),

所以命題p是假命題.

由3，>0,得3jt+l>l,所以O(shè)q?77<l,

3十1

所以函數(shù)y="I的值域?yàn)?0,1),故命題4為真命題，㈱q為真命題.

所以p∕?q為假命題，PVq為真命題，PA(^q)為假命題，為假命題.

6.已知函數(shù)兀v)=∕v-2α+l.若命題"Vx∈(0,l),y(x)WO”是假命題，則實(shí)數(shù)”的取值范圍

是()

A.&1)B.(l,+∞)

C.&+8)D.g,I)U(1,÷∞)

答案D

解析函數(shù)./(x)=α2χ-2α+1,

命題"Vx∈(O,1),fl,x)≠On是假命題，

原命題的否定："mxo∈(θ,1),使yu))=o”是真命題，

?；/(1加0)<0，即(〃-2"+1)(-2“+1)<0,

Λ(α-l)2(2α-l)>0,解得ɑg,且α≠l,

實(shí)數(shù)”的取值范圍是6，l)u(l,+∞).

7.已知命題p：Vx>0,el>x+l,命題q：3Λ∈(0,+∞),?nx^x,則下列命題正確的是()

?.pf?qB.(㈱p)∕?q

C.pA(^<7)D.僦P)八微q)

答案C

解析令,/(x)=e*—x—1,則/(X)=e*—1,當(dāng)x>0時(shí)，

/(x)>O,所以y(x)在(0,+8)上單調(diào)遞增，

，火處40)=0，即ej?x+l,則命題。真；

?1-?

令g(x)=lnχ-X,x>0,則g，(X)=1一1=F

當(dāng)x∈(0,1)時(shí)，^,(Λ)>0;當(dāng)X∈(1,+8)時(shí)，/(χ)<0,

即當(dāng)X=I時(shí)，g(x)取得極大值，也是最大值，

所以g(χ)max=g(D=-1<0,

.?.g(x)<O在(0,+8)上恒成立，則命題4假，

因此㈱q為真，故p∕?(㈱q)為真.

8.已知命題p：*lVx≡[0>1]>；命題q：“mx°WR,使得高+4xo+a=O".若命題

“pAq”是真命題，則實(shí)數(shù)4的取值范圍為()

A.[e,4JB.(—8,e]

C.[e,4)D.[4,+∞)

答案A

解析若命題“pi\q”是真命題，那么命題p,q都是真命題.由VχG[0,1],得a2e；

由Ξt()GR,使j?+4xo+4=O,得/=16—4a20,則α≤4,因此e=≤α≤4.

二、填空題

9.命題“VXGR,./(x)?g(x)W(Γ的否定是.

答案Ξro∈R,√(xo)?g(xo)=O

解析命題“VxeR,yU)?g(x)WO"的否定是''ΞroGR,y(xo)?g(xo)=O".

TT冗

10.若"Vx∈[一不?j,WIWtanX+2”為真命題，則實(shí)數(shù)機(jī)的最大值為.

答案1

解析由Xe—彳，：，得IwtanX+2W2+小.

TTTT

Vu?χ∈—『3，mWtanx+2”為真命題，則mWL

.?.實(shí)數(shù)m的最大值為1.

11.下列四個(gè)命題：pi：任意x￡R,2γ>0;p2：存在x￡R,x2+x+1≤0;p?:任意XeR,

sinx<2v;p4:存在χGR,CoSX>x2+x+1.其中是真命題的為.

答案p?,P4

解析Vx∈R,2*>0恒成立，.?pι是真命題.

又Λ2+X+1=（X+0+?>。，?,?P2是假命題.

?,?P3是假命題.

取X=-T時(shí)，COS

但Λ2+X+1=1＜坐，.?.p4為真.

綜上，P?,P4為真命題，P2,P3是假命題.

12.（2021?安徽六校聯(lián)考）若命題**3Λ-O∈R,使得Q/+1成立”是假命題，則實(shí)數(shù)Z的取值范

圍是.

答案（一8,1]

解析'匕xo∈R,使得?>4+l成立”是假命題等價(jià)于“VxGR,都有&≤∕+l恒成立”是

真命題.因?yàn)?+121,即』+1的最小值為1,要使∕Wf+l恒成立，只需4W（X2+l）min,

即kWl.

B級(jí)能力提升

13.命題"Vx∈R,m∕ι∈N*,使得〃》*”的否定形式是（）

A.Vx∈R,3n∈N*,使得

B.?Λ∈R,W"∈N*,使得〃<r2

C.3x∈R,3n∈N*,使得“<*2

D.3Λ?∈R,V-∈N*,使得〃<必

答案D

解析改變量詞，否定結(jié)論.

該命題的否定應(yīng)為：3xo∈R,V