《1.4充分條件與必要條件》教案、導(dǎo)學(xué)案與同步練習(xí)

第一章集合與常用邏輯用語《1.4充分條件與必要條件》教案【教材分析】本節(jié)內(nèi)容比較抽象，首先從命題出發(fā)，分清命題的條件和結(jié)論，看條件能否推出結(jié)論，從而判斷命題的真假；然后從命題出發(fā)結(jié)合實例引出充分條件、必要條件、充要條件這三個概念，再詳細講述概念，最后再應(yīng)用概念進行論證.【教學(xué)目標(biāo)與核心素養(yǎng)】課程目標(biāo)1．理解充分條件、必要條件與充要條件的意義．2．結(jié)合具體命題掌握判斷充分條件、必要條件、充要條件的方法．3．能夠利用命題之間的關(guān)系判定充要關(guān)系或進行充要性的證明．?dāng)?shù)學(xué)學(xué)科素養(yǎng)1.數(shù)學(xué)抽象：充分條件、必要條件與充要條件含義的理解；2.邏輯推理：通過命題的判定得出充分條件、必要條件的含義，通過定義或集合關(guān)系進行充分條件、必要條件、充要條件的判斷；3.數(shù)學(xué)運算：利用充分、必要條件求參數(shù)的范圍，常見包含一元二次方程及其不等式和不等式組；4.數(shù)據(jù)分析：充要條件的探求與證明：將原命題進行等價變形或轉(zhuǎn)換，直至獲得其成立的充要條件，探求的過程同時也是證明的過程；5.數(shù)學(xué)建模：通過對充分條件、必要條件的概念的理解和運用，培養(yǎng)學(xué)生分析、判斷和歸納的邏輯思維能力。【教學(xué)重難點】重點：充分條件、必要條件、充要條件的概念．．難點：能夠利用命題之間的關(guān)系判定充要關(guān)系．【教學(xué)方法】：以學(xué)生為主體，采用誘思探究式教學(xué)，精講多練。【教學(xué)過程】一、問題導(dǎo)入：寫出下列兩個命題的條件和結(jié)論，并判斷是真命題還是假命題？（1）若x＞a2+b2，則x＞2ab,（2）若ab＝0，則a＝0.學(xué)生容易得出結(jié)論；命題(1)為真命題，命題(２)為假命題．提問：對于命題“若p，則q”，有時是真命題，有時是假命題．如何判斷其真假的？結(jié)論：看p能不能推出q，如果p能推出q，則原命題是真命題，否則就是假命題．要求：讓學(xué)生自由發(fā)言，教師不做判斷。而是引導(dǎo)學(xué)生進一步觀察.研探.二、預(yù)習(xí)課本，引入新課閱讀課本17-22頁，思考并完成以下問題1.什么是充分條件？2.什么是必要條件？3.什么是充要條件？5.什么是充分不必要條件？6.什么是必要不充分條件？7.什么是既不充分也不必要條件？要求：學(xué)生獨立完成，以小組為單位，組內(nèi)可商量，最終選出代表回答問題，教師巡視指導(dǎo)，解答學(xué)生在自主學(xué)習(xí)中遇到的困惑過程。三、新知探究，知識梳理1．充分條件與必要條件命題真假“若p，則q”是真命題“若p，則q”是假命題推出關(guān)系p?qpeq\o(?,\s\up0(/))q條件關(guān)系p是q的充分條件q是p的必要條件p不是q的充分條件q不是p的必要條件2.充要條件一般地，如果既有p?q，又有q?p，就記作p?q．此時，我們說p是q的充分必要條件，簡稱充要條件．顯然，如果p是q的充要條件，那么q也是p的充要條件，即如果p?q，那么p與q互為充要條件．概括地說，(1)如果p?q，那么p與q互為充要條件．(2)若p?q，但qeq\o(?,/)p，則稱p是q的充分不必要條件．(3)若q?p，但peq\o(?,/)q，則稱p是q的必要不充分條件．(4)若peq\o(?,/)q，且qeq\o(?,/)p，則稱p是q的既不充分也不必要條件．3.從集合角度看充分、必要條件四、典例分析、舉一反三題型一充分條件、必要條件、充要條件的判斷例1指出下列各題中，p是q的什么條件(在“充分不必要條件”“必要不充分條件”“充要條件”“既不充分也不必要條件”中選出一種作答)．(1)在△ABC中，p：∠A>∠B，q：BC>AC；(2)對于實數(shù)x，y，p：x＋y≠8，q：x≠2或y≠6；(3)p：(a－2)(a－3)＝0，q：a＝3；(4)p：a＜b，q：eq\f(a,b)＜1.【答案】見解析【解析】(1)在△ABC中，顯然有∠A>∠B?BC>AC，所以p是q的充分必要條件．(2)因為x＝2且y＝6?x＋y＝8，即﹁q?﹁p，但﹁p?﹁q，所以p是q的充分不必要條件．(3)由(a－2)(a－3)＝0可以推出a＝2或a＝3，不一定有a＝3；由a＝3可以得出(a－2)(a－3)＝0.因此，p是q的必要不充分條件．(4)由于a＜b，當(dāng)b＜0時，eq\f(a,b)＞1；當(dāng)b＞0時，eq\f(a,b)＜1，故若a＜b，不一定有eq\f(a,b)＜1；當(dāng)a＞0，b＞0，eq\f(a,b)＜1時，可以推出a＜b；當(dāng)a＜0，b＜0，eq\f(a,b)＜1時，可以推出a＞b.因此p是q的既不充分也不必要條件．解題技巧：（充分條件與必要條件的判斷方法）(1)定義法若p?q，qeq\o(?,\s\up0(/))p，則p是q的充分不必要條件；若peq\o(?,\s\up0(/))q，q?p，則p是q的必要不充分條件；若p?q，q?p，則p是q的充要條件；若peq\o(?,\s\up0(/))q，qeq\o(?,\s\up0(/))p，則p是q的既不充分也不必要條件．(2)集合法對于集合A＝{x|x滿足條件p}，B＝{x|x滿足條件q}，具體情況如下：若A?B，則p是q的充分條件；若A?B，則p是q的必要條件；若A＝B，則p是q的充要條件；若A?B，則p是q的充分不必要條件；若B?A，則p是q的必要不充分條件．(3)等價法等價轉(zhuǎn)化法就是在判斷含有與“否”有關(guān)命題條件之間的充要關(guān)系時，根據(jù)原命題與其逆否命題的等價性轉(zhuǎn)化為形式較為簡單的兩個條件之間的關(guān)系進行判斷．跟蹤訓(xùn)練一1．設(shè)a，b是實數(shù)，則“a>b”是“a2>b2”的()A．充分不必要條件B．必要不充分條件C．充分必要條件D．既不充分也不必要條件【答案】D題型二充要條件的探求與證明例2(1)“x2－4x<0”的一個充分不必要條件為()A．0<x<4B．0<x<2C．x>0D．x<4(2)已知x，y都是非零實數(shù)，且x>y，求證：eq\f(1,x)<eq\f(1,y)的充要條件是xy>0.【答案】（1）B（2）見解析【解析】(1)由x2－4x<0得0<x<4，則充分不必要條件是集合{x|0<x<4}的子集，故選B.(2)法一：充分性：由xy>0及x>y，得eq\f(x,xy)>eq\f(y,xy)，即eq\f(1,x)<eq\f(1,y).必要性：由eq\f(1,x)<eq\f(1,y)，得eq\f(1,x)－eq\f(1,y)<0，即eq\f(y－x,xy)<0.因為x>y，所以y－x<0，所以xy>0.所以eq\f(1,x)<eq\f(1,y)的充要條件是xy>0.法二：eq\f(1,x)<eq\f(1,y)?eq\f(1,x)－eq\f(1,y)<0?eq\f(y－x,xy)<0.由條件x>y?y－x<0，故由eq\f(y－x,xy)<0?xy>0.所以eq\f(1,x)<eq\f(1,y)?xy>0，即eq\f(1,x)<eq\f(1,y)的充要條件是xy>0.解題技巧：(探求充要條件一般有兩種方法)(1)探求A成立的充要條件時，先將A視為條件，并由A推導(dǎo)結(jié)論(設(shè)為B)，再證明B是A的充分條件，這樣就能說明A成立的充要條件是B，即從充分性和必要性兩方面說明．(2)將原命題進行等價變形或轉(zhuǎn)換，直至獲得其成立的充要條件，探求的過程同時也是證明的過程，因為探求過程每一步都是等價的，所以不需要將充分性和必要性分開來說明．跟蹤訓(xùn)練二2．(1)不等式x(x－2)<0成立的一個必要不充分條件是()A．x∈(0,2)B．x∈[－1，＋∞)C．x∈(0,1)D．x∈(1,3)(2)求證：關(guān)于x的方程ax2＋bx＋c＝0有一個根是1的充要條件是a＋b＋c＝0.【答案】（1）B（2）見解析【解析】（1）由x(x－2)<0得0<x<2，因為(0,2)?[－1，＋∞)，所以“x∈[－1，＋∞)”是“不等式x(x－2)<0成立”的一個必要不充分條件．（2）證明假設(shè)p：方程ax2＋bx＋c＝0有一個根是1，q：a＋b＋c＝0.①證明p?q，即證明必要性．∵x＝1是方程ax2＋bx＋c＝0的根，∴a·12＋b·1＋c＝0，即a＋b＋c＝0.②證明q?p，即證明充分性．由a＋b＋c＝0，得c＝－a－b.∵ax2＋bx＋c＝0，∴ax2＋bx－a－b＝0，即a(x2－1)＋b(x－1)＝0.故(x－1)(ax＋a＋b)＝0.∴x＝1是方程的一個根．故方程ax2＋bx＋c＝0有一個根是1的充要條件是a＋b＋c＝0.題型三利用充分、必要條件求參數(shù)的范圍例3已知p：x2－8x－20≤0，q：x2－2x＋1－m2≤0(m>0)，且p是q的充分不必要條件，則實數(shù)m的取值范圍為____【答案】{m|m≥9}(或[9，＋∞))【解析】由x2－8x－20≤0，得－2≤x≤10，由x2－2x＋1－m2≤0(m>0)，得1－m≤x≤1＋m(m>0)．因為p是q的充分不必要條件，所以p?q且qeq\o(?,/)p.即{x|－2≤x≤10}是{x|1－m≤x≤1＋m，m>0}的真子集，所以eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(m>0，,1－m<－2，,1＋m≥10))或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(1－m≤－2，,m>0，,1＋m>10，))解得m≥9.變式．[變條件]【例3】本例中“p是q的充分不必要條件”改為“p是q的必要不充分條件”，其他條件不變，試求m的取值范圍．【答案】見解析【解析】由x2－8x－20≤0得－2≤x≤10，由x2－2x＋1－m2≤0(m>0)得1－m≤x≤1＋m(m>0)因為p是q的必要不充分條件，所以q?p，且peq\o(?,/)q.則{x|1－m≤x≤1＋m，m>0}?{x|－2≤x≤10}所以eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(m>0,1－m≥－2,1＋m≤10))，解得0<m≤3.即m的取值范圍是(0,3]．解題技巧：（利用充分、必要、充分必要條件的關(guān)系求參數(shù)范圍）(1)化簡p、q兩命題，(2)根據(jù)p與q的關(guān)系(充分、必要、充要條件)轉(zhuǎn)化為集合間的關(guān)系，(3)利用集合間的關(guān)系建立不等關(guān)系，(4)求解參數(shù)范圍．跟蹤訓(xùn)練三3．已知P＝{x|a－4<x<a＋4}，Q＝{x|1<x<3}，“x∈P”是“x∈Q”的必要條件，求實數(shù)a的取值范圍．【答案】見解析【解析】因為“x∈P”是x∈Q的必要條件，所以Q?P.所以eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a－4≤1,a＋4≥3))解得－1≤a≤5即a的取值范圍是[－1,5]．五、課堂小結(jié)讓學(xué)生總結(jié)本節(jié)課所學(xué)主要知識及解題技巧六、板書設(shè)計11.4充分條件與必要條件1.充分條件例1例2例32.必要條件3.充要條件七、作業(yè)課本23頁習(xí)題1.4【教學(xué)反思】因為涉及到的知識點比較多，且知識點較繁瑣，且新概念比較抽象，因此本節(jié)學(xué)習(xí)過程中，一定讓學(xué)生多多參加，并且在解題技巧方面先讓學(xué)生自己總結(jié)，教師再補充說明?！?.4充分條件與必要條件》導(dǎo)學(xué)案【學(xué)習(xí)目標(biāo)】知識目標(biāo)1．理解充分條件、必要條件與充要條件的意義．2．結(jié)合具體命題掌握判斷充分條件、必要條件、充要條件的方法．3．能夠利用命題之間的關(guān)系判定充要關(guān)系或進行充要性的證明．核心素養(yǎng)1.數(shù)學(xué)抽象：充分條件、必要條件與充要條件含義的理解；2.邏輯推理：通過命題的判定得出充分條件、必要條件的含義，通過定義或集合關(guān)系進行充分條件、必要條件、充要條件的判斷；3.數(shù)學(xué)運算：利用充分、必要條件求參數(shù)的范圍，常見包含一元二次方程及其不等式和不等式組；4.數(shù)據(jù)分析：充要條件的探求與證明：將原命題進行等價變形或轉(zhuǎn)換，直至獲得其成立的充要條件，探求的過程同時也是證明的過程；5.數(shù)學(xué)建模：通過對充分條件、必要條件的概念的理解和運用，培養(yǎng)學(xué)生分析、判斷和歸納的邏輯思維能力?！局攸c與難點】重點：充分條件、必要條件、充要條件的概念．．難點：能夠利用命題之間的關(guān)系判定充要關(guān)系．【學(xué)習(xí)過程】一、預(yù)習(xí)導(dǎo)入閱讀課本17-22頁，填寫。1．充分條件與必要條件命題真假“若p，則q”是真命題“若p，則q”是假命題推出關(guān)系P_______qP_______q條件關(guān)系p是q的_______條件q是p的_______條件p不是q的_______條件q不是p的_______條件2.充要條件一般地，如果既有p?q，又有q?p，就記作p?q．此時，我們說p是q的______________，簡稱______________．顯然，如果p是q的充要條件，那么q也是p的充要條件，即如果p?q，那么p與q互為充要條件．概括地說，(1)如果p?q，那么p與q______________條件．(2)若p?q，但qeq\o(?,/)p，則稱p是q的充分不必要條件．(3)若q?p，但peq\o(?,/)q，則稱p是q的必要不充分條件．(4)若peq\o(?,/)q，且qeq\o(?,/)p，則稱p是q的既不充分也不必要條件．3.從集合角度看充分、必要條件若A?B，則p是q的充分條件，若A_______B，則p是q的充分不必要條件若B?A，則p是q的必要條件，若B_______A，則p是q的必要不充分條件若A_______B，則p，q互為充要條件若A_______B，且B_______A，則p既不是q的充分條件，也不是q的必要條件【小試牛刀】1．判斷(正確的打“√”，錯誤的打“×”)(1)若p是q的必要條件,則q是p的充分條件.()(2)若q是p的必要條件，則q成立，p也成立.()(3)“兩角不相等”是“兩角不是對頂角”的必要條件.()2.做一做(請把正確的答案寫在橫線上)(1)若p是q的充分條件,q是r的充分條件,則p是r的條件.(2)“a>0,b>0”是“ab>0”的條件.(3)“若p,則q”的逆命題為真,則p是q的條件.3．“x>2”是“x2－3x＋2>0”成立的()A．充分不必要條件B．必要不充分條件C．充分必要條件D．既不充分也不必要條件【自主探究】題型一充分條件、必要條件、充要條件的判斷例1指出下列各題中，p是q的什么條件(在“充分不必要條件”“必要不充分條件”“充要條件”“既不充分也不必要條件”中選出一種作答)．(1)在△ABC中，p：∠A>∠B，q：BC>AC；(2)對于實數(shù)x，y，p：x＋y≠8，q：x≠2或y≠6；(3)p：(a－2)(a－3)＝0，q：a＝3；(4)p：a＜b，q：eq\f(a,b)＜1.解題技巧：（充分條件與必要條件的判斷方法）(1)定義法若p?q，q?p，則p是q若p?q，q?p，則p是q的必要不充分條件；若p?q，q?p，則p是q的充要條件；若p?q，q?p，則p是q的既不充分也不必要條件．(2)集合法對于集合A＝{x|x滿足條件p}，B＝{x|x滿足條件q}，具體情況如下：若A?B，則p是q的充分條件；若A?B，則p是q的必要條件；若A＝B，則p是q的充要條件；若A?B，則p是q的充分不必要條件；若B?A，則p是q的必要不充分條件．(3)等價法等價轉(zhuǎn)化法就是在判斷含有與“否”有關(guān)命題條件之間的充要關(guān)系時，根據(jù)原命題與其逆否命題的等價性轉(zhuǎn)化為形式較為簡單的兩個條件之間的關(guān)系進行判斷．跟蹤訓(xùn)練一1．設(shè)a，b是實數(shù)，則“a>b”是“a2>b2”的()A．充分不必要條件B．必要不充分條件C．充分必要條件D．既不充分也不必要條件題型二充要條件的探求與證明例2(1)“x2－4x<0”的一個充分不必要條件為()A．0<x<4B．0<x<2C．x>0D．x<4(2)已知x，y都是非零實數(shù)，且x>y，求證：eq\f(1,x)<eq\f(1,y)的充要條件是xy>0.解題技巧：(探求充要條件一般有兩種方法)(1)探求A成立的充要條件時，先將A視為條件，并由A推導(dǎo)結(jié)論(設(shè)為B)，再證明B是A的充分條件，這樣就能說明A成立的充要條件是B，即從充分性和必要性兩方面說明．(2)將原命題進行等價變形或轉(zhuǎn)換，直至獲得其成立的充要條件，探求的過程同時也是證明的過程，因為探求過程每一步都是等價的，所以不需要將充分性和必要性分開來說明．跟蹤訓(xùn)練二2．(1)不等式x(x－2)<0成立的一個必要不充分條件是()A．x∈(0,2)B．x∈[－1，＋∞)C．x∈(0,1)D．x∈(1,3)(2)求證：關(guān)于x的方程ax2＋bx＋c＝0有一個根是1的充要條件是a＋b＋c＝0.題型三利用充分、必要條件求參數(shù)的范圍例3已知p：x2－8x－20≤0，q：x2－2x＋1－m2≤0(m>0)，且p是q的充分不必要條件，則實數(shù)m的取值范圍為____變式．[變條件]【例3】本例中“p是q的充分不必要條件”改為“p是q的必要不充分條件”，其他條件不變，試求m的取值范圍．解題技巧：（利用充分、必要、充分必要條件的關(guān)系求參數(shù)范圍）(1)化簡p、q兩命題，(2)根據(jù)p與q的關(guān)系(充分、必要、充要條件)轉(zhuǎn)化為集合間的關(guān)系，(3)利用集合間的關(guān)系建立不等關(guān)系，(4)求解參數(shù)范圍．跟蹤訓(xùn)練三3．已知P＝{x|a－4<x<a＋4}，Q＝{x|1<x<3}，“x∈P”是“x∈Q”的必要條件，求實數(shù)a的取值范圍．【課堂檢測】1．設(shè)p：x＜3，q：－1＜x＜3，則p是q成立的()A．充分必要條件 B．充分不必要條件C．必要不充分條件 D．既不充分也不必要條件2．如果A是B的必要不充分條件，B是C的充要條件，D是C的充分不必要條件，那么A是D的()A．必要不充分條件B．充分不必要條件C．充要條件D．既不充分也不必要條件3．下面四個條件中，使a＞b成立的充分不必要條件是()A．a(chǎn)≥b＋1 B．a(chǎn)＞b－1C．a(chǎn)2＞b2 D．a(chǎn)3＞b34．條件p：1－x<0，條件q：x>a，若p是q的充分不必要條件，則a的取值范圍是________．5．下列說法正確的是________．(填序號)①“x＞0”是“x＞1”的必要條件；②“a3＞b3”是“a＞b”的必要而不充分條件；③在△ABC中，“a＞b”不是“A＞B”的充分條件；6．下列命題中，判斷條件p是條件q的什么條件．(1)p：|x|＝|y|，q：x＝y(tǒng)；(2)p：△ABC是直角三角形，q：△ABC是等腰三角形；(3)p：四邊形的對角線互相平分，q：四邊形是矩形；7．已知p：x2－2x－3<0，若－a<x－1<a是p的一個必要條件但不是充分條件，求實數(shù)a的取值范圍．8．求關(guān)于x的方程ax2＋2x＋1＝0至少有一個負的實數(shù)根的關(guān)于a的充要條件．答案小試牛刀1．答案：(1)√(2)×(3)×2．（1）充分（2）充分（3）必要3．A自主探究例1【答案】見解析【解析】(1)在△ABC中，顯然有∠A>∠B?BC>AC，所以p是q的充分必要條件．(2)因為x＝2且y＝6?x＋y＝8，即﹁q?﹁p，但﹁p?﹁q，所以p是q的充分不必要條件．(3)由(a－2)(a－3)＝0可以推出a＝2或a＝3，不一定有a＝3；由a＝3可以得出(a－2)(a－3)＝0.因此，p是q的必要不充分條件．(4)由于a＜b，當(dāng)b＜0時，eq\f(a,b)＞1；當(dāng)b＞0時，eq\f(a,b)＜1，故若a＜b，不一定有eq\f(a,b)＜1；當(dāng)a＞0，b＞0，eq\f(a,b)＜1時，可以推出a＜b；當(dāng)a＜0，b＜0，eq\f(a,b)＜1時，可以推出a＞b.因此p是q的既不充分也不必要條件．跟蹤訓(xùn)練一1．【答案】D例2【答案】（1）B（2）見解析【解析】(1)由x2－4x<0得0<x<4，則充分不必要條件是集合{x|0<x<4}的子集，故選B.(2)法一：充分性：由xy>0及x>y，得eq\f(x,xy)>eq\f(y,xy)，即eq\f(1,x)<eq\f(1,y).必要性：由eq\f(1,x)<eq\f(1,y)，得eq\f(1,x)－eq\f(1,y)<0，即eq\f(y－x,xy)<0.因為x>y，所以y－x<0，所以xy>0.所以eq\f(1,x)<eq\f(1,y)的充要條件是xy>0.法二：eq\f(1,x)<eq\f(1,y)?eq\f(1,x)－eq\f(1,y)<0?eq\f(y－x,xy)<0.由條件x>y?y－x<0，故由eq\f(y－x,xy)<0?xy>0.所以eq\f(1,x)<eq\f(1,y)?xy>0，即eq\f(1,x)<eq\f(1,y)的充要條件是xy>0.跟蹤訓(xùn)練二2．【答案】（1）B（2）見解析【解析】（1）由x(x－2)<0得0<x<2，因為(0,2)?[－1，＋∞)，所以“x∈[－1，＋∞)”是“不等式x(x－2)<0成立”的一個必要不充分條件．（2）證明假設(shè)p：方程ax2＋bx＋c＝0有一個根是1，q：a＋b＋c＝0.①證明p?q，即證明必要性．∵x＝1是方程ax2＋bx＋c＝0的根，∴a·12＋b·1＋c＝0，即a＋b＋c＝0.②證明q?p，即證明充分性．由a＋b＋c＝0，得c＝－a－b.∵ax2＋bx＋c＝0，∴ax2＋bx－a－b＝0，即a(x2－1)＋b(x－1)＝0.故(x－1)(ax＋a＋b)＝0.∴x＝1是方程的一個根．故方程ax2＋bx＋c＝0有一個根是1的充要條件是a＋b＋c＝0.例3【答案】{m|m≥9}(或[9，＋∞))【解析】由x2－8x－20≤0，得－2≤x≤10，由x2－2x＋1－m2≤0(m>0)，得1－m≤x≤1＋m(m>0)．因為p是q的充分不必要條件，所以p?q且qeq\o(?,/)p.即{x|－2≤x≤10}是{x|1－m≤x≤1＋m，m>0}的真子集，所以eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(m>0，,1－m<－2，,1＋m≥10))或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(1－m≤－2，,m>0，,1＋m>10，))解得m≥9.變式．【答案】見解析【解析】由x2－8x－20≤0得－2≤x≤10，由x2－2x＋1－m2≤0(m>0)得1－m≤x≤1＋m(m>0)因為p是q的必要不充分條件，所以q?p，且peq\o(?,/)q.則{x|1－m≤x≤1＋m，m>0}?{x|－2≤x≤10}所以eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(m>0,1－m≥－2,1＋m≤10))，解得0<m≤3.即m的取值范圍是(0,3]．跟蹤訓(xùn)練三3．【答案】見解析【解析】因為“x∈P”是x∈Q的必要條件，所以Q?P.所以eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a－4≤1,a＋4≥3))解得－1≤a≤5即a的取值范圍是[－1,5]．當(dāng)堂檢測 1-3．CAA4．(－∞，1)5．①6．【答案】見解析【解析】(1)∵|x|＝|y|x＝y(tǒng)，但x＝y(tǒng)?|x|＝|y|，∴p是q的必要不充分條件．(2)∵△ABC是直角三角形△ABC是等腰三角形，△ABC是等腰三角形△ABC是直角三角形，∴p是q的既不充分也不必要條件．(3)∵四邊形的對角線互相平分四邊形是矩形，四邊形是矩形?四邊形的對角線互相平分，∴p是q的必要不充分條件．7．【答案】見解析【解析】由于p：x2－2x－3<0?－1<x<3，－a<x－1<a?1－a<x<1＋a(a>0)．依題意，得{x|－1<x<3}?{x|1－a<x<1＋a}(a>0)，所以eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(1－a≤－1，,1＋a≥3，,2a>4，))解得a>2，則使a>b恒成立的實數(shù)b的取值范圍是b≤2，即(－∞，2]．8．【答案】見解析【解析】當(dāng)a＝0時，x＝－eq\f(1,2)符合題意．當(dāng)a≠0時，令f(x)＝ax2＋2x＋1，由于f(0)＝1＞0，當(dāng)a＞0時，－eq\f(1,a)<0，若Δ＝4－4a≥0，則a≤1，即0＜a≤1時，f(x)有兩個負實數(shù)根．當(dāng)a＜0時，因為f(0)＝1，Δ＝4－4a＞0恒成立，所以方程恒有負實數(shù)根．綜上所述，a≤1為所求．《1.4.1充分條件與必要條件》同步練習(xí)一鞏固基礎(chǔ)1．“ab≠0”是“直線ax＋by＋c＝0與兩坐標(biāo)軸都相交”的()A．充分條件但不是必要條件B．必要條件但不是充分條件C．既是充分條件，也是必要條件D．既不是充分條件，也不是必要條件2．a(chǎn)<0，b<0的一個必要條件為 ()A．a(chǎn)＋b<0 B．a(chǎn)－b>0C.eq\f(a,b)>1 D.eq\f(a,b)<－13．“－2<x<1”是“x>1或x<－1”的()A．充分條件但不是必要條件B．必要條件但不是充分條件C．既不是充分條件，也不是必要條件D．既是充分條件，也是必要條件4．設(shè)a，b為實數(shù)，則“0<ab<1”是“a<eq\f(1,b)或b>eq\f(1,a)”的()A．充分而不必要條件 B．必要而不充分條件C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件5．一元二次方程ax2＋2x＋1＝0(a≠0)有一個正根和一個負根的充分不必要條件是()A．a(chǎn)<0 B．a(chǎn)>0 C．a(chǎn)<－1 D．a(chǎn)<1綜合應(yīng)用6．設(shè)x，y∈R，則“x≥2且y≥2”是“x2＋y2≥4”的 ()A．充分而不必要條件 B．必要而不充分條件C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件7．設(shè)x，y是兩個實數(shù)，命題：“x，y中至少有一個數(shù)大于1”成立的充分不必要條件是()A．x＋y＝2 B．x＋y>2C．x2＋y2>2 D．xy>18．使x(y－2)＝0成立的一個充分條件是()A．x2＋(y－2)2＝0 B．(x－2)2＋y2＝0C．x2＋y2＝1 D．x＋y－2＝09．設(shè)a，b，c∈R，在下列命題中，真命題是()A．“ac>bc”是“a>b”的必要條件B．“ac>bc”是“a>b”的充分條件C．“ac＝bc”是“a＝b”的必要條件D．“ac＝bc”是“a＝b”的充分條件10．不等式(a＋x)(1＋x)<0成立的一個充分而不必要條件是－2<x<－1，則a的取值范圍是________．11．已知p：－2≤x≤10，q：x2－2x＋1－m2≤0(m>0)，若q是p的充分不必要條件，求實數(shù)m的取值范圍．12．已知條件p：|x－1|>a和條件q：2x2－3x＋1>0，求使p是q的充分不必要條件的最小正整數(shù)a.【參考答案】1.C解析ab≠0，即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a≠0，,b≠0))，此時直線ax＋by＋c＝0與兩坐標(biāo)軸都相交；又當(dāng)ax＋by＋c＝0與兩坐標(biāo)軸都相交時，a≠0且b≠0.2.A解析a＋b<0a<0，b<0，而a<0，b<0?a＋b<0.3.C解析∵－2<x<1D?/x>1或x<－1且x>1或x<－1D?/－2<x<1，∴“－2<x<1”是“x>1或x<－1”的既不充分條件，也不必要條件．4.A解析∵0<ab<1，∴a，b同號，且ab<1.∴當(dāng)a>0，b>0時，a<eq\f(1,b)；當(dāng)a<0，b<0時，b>eq\f(1,a).∴“0<ab<1”是“a<eq\f(1,b)或b>eq\f(1,a)”的充分條件．而取a＝－1，b＝1，顯然有a<eq\f(1,b)，但不能推出0<ab<1，∴“0<ab<1”是“a<eq\f(1,b)或b>eq\f(1,a)”的充分而不必要條件．5.C解析∵一元二次方程ax2＋2x＋1＝0(a≠0)有一正根和一負根．∴eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(Δ>0，,x1x2<0.))即eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(4－4a>0，,\f(1,a)<0))?a<0，本題要求的是充分不必要條件．由于{a|a<－1}{a|a<0}，故答案為C.6.A解析x2＋y2≥4表示以原點為圓心，以2為半徑的圓以及圓外的區(qū)域，即|x|≥2且|y|≥2，而x≥2且y≥2時，x2＋y2≥4，但x2＋y2≥4不一定推出x≥2且y≥2.故A正確．7.B解析對于選項A，當(dāng)x＝1，y＝1時，滿足x＋y＝2，但命題不成立；對于選項C、D，當(dāng)x＝－2，y＝－3時，滿足x2＋y2>2，xy>1，但命題不成立，也不符合題意．8．A【解析】因x2＋(y－2)2＝0?x＝0，且y＝2?x(y－2)＝0，故選A.9．C【解析】排除選項A，B，D項知，C項正確．10.a>2根據(jù)充分條件，必要條件與集合間的包含關(guān)系，應(yīng)有(－2，－1){x|(a＋x)(1＋x)<0}，故有a>2.11.解p：－2≤x≤10.q：x2－2x＋1－m2≤0?[x－(1－m)][x－(1＋m)]≤0(m>0)?1－m≤x≤1＋m(m>0)．因為q是p的充分不必要條件，即{x|1－m≤x≤1＋m}{x|－2≤x≤10}，故有eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(1－m≥－2,1＋m<10))或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(1－m>－2,1＋m≤10))，解得m≤3.又m>0，所以實數(shù)m的取值范圍為{m|0<m≤3}．12.解依題意a>0.由條件p：|x－1|>a得x－1<－a，或x－1>a，∴x<1－a，或x>1＋a.由條件q：2x2－3x＋1>0，得x<eq\f(1,2)，或x>1.要使p是q的充分不必要條件，即“若p，則q”為真命題，逆命題為假命題，應(yīng)有eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(1－a≤\f(1,2)，,1＋a>1，))或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(1－a<\f(1,2)，,1＋a≥1，))解得a≥eq\f(1,2).令a＝1，則p：x<0，或x>2，此時必有x<eq\f(1,2)，或x>1.即p?q，反之不成立．∴a＝1.1.4.2充要條件鞏固基礎(chǔ)1.設(shè)集合M＝{1,2}，N＝{a2}，則“a＝1”是“N?M”的()A.充分不必要條件B.必要不充分條件C.充分必要條件D.既不充分也不必要條件2.在下列三個結(jié)論中，正確的有()①x2>4是x3<－8的必要不充分條件；②在△ABC中，AB2＋AC2＝BC2是△ABC為直角三角形的充要條件；③若a，b∈R，則“a2＋b2≠0”是“a，b不全為0”的充要條件.A.①② B.②③C.①③ D.①②③3．“x，y均為奇數(shù)”是“x＋y為偶數(shù)”的()A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件4.設(shè)a，b是實數(shù)，則“a>b”是“a2>b2”的()A.充分不必要條件B.必要不充分條件C.充分必要條件D.既不充分也不必要條件5.函數(shù)f(x)＝x2＋mx＋1的圖象關(guān)于直線x＝1對稱的充要條件是()A.m＝－2 B.m＝2C.m＝－1 D.m＝16.設(shè)p：實數(shù)x，y滿足x>1且y>1，q：實數(shù)x，y滿足x＋y>2，則p是q的______條件.(填“充分不必要”“必要不充分”“充要”“既不充分也不必要”)7.已知集合M＝{x|x<－3或x>5}，P＝{x|(x－a)·(x－8)≤0}.(1)求實數(shù)a的取值范圍，使它成為M∩P＝{x|5<x≤8}的充要條件；(2)求實數(shù)a的一個值，使它成為M∩P＝{x|5<x≤8}的一個充分不必要條件；(3)求實數(shù)a的取值范圍，使它成為M∩P＝{x|5<x≤8}的一個必要不充分條件.綜合應(yīng)用8．設(shè)x∈R，則“x>eq\f(1,2)”是“2x2＋x－1>0”的()A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件9.“不等式x2－x＋m>0在R上恒成立”的一個必要不充分條件是()A.m>eq\f(1,4) B.0<m<1C.m>0 D.m>110．設(shè)集合A＝{x∈R|x－2>0}，B＝{x∈R|x<0}，C＝{x∈R|x(x－2)>0}，則“x∈A∪B”是“x∈C”的()A．充分而不必要條件B．必要而不充分條件C．充要條件D．既不充分也不必要條件11.設(shè)計如圖所示的四個電路圖，條件p：“開關(guān)S閉合”；條件q：“燈泡L亮”，則p是q的充分不必要條件的電路圖是________.12.下列不等式：①x<1；②0<x<1；③－1<x<0；④－1<x<1.其中，可以為x2<1的充分條件的所有序號為________．13．求證：一元二次方程ax2＋bx＋c＝0有一正根和一負根的充要條件是ac<0.14．設(shè)x，y∈R，求證：|x＋y|＝|x|＋|y|成立的充要條件是xy≥0.【參考答案】1.A解析a＝1時，N?M，但當(dāng)a取-1時，也滿足N?M。2.C解析②AB2＋BC2＝AC2，也能推出，AB2＋AC2＝BC2是△ABC為直角三角形的充分不必要條件。A解析當(dāng)x，y均為奇數(shù)時，一定可以得到x＋y為偶數(shù)；但當(dāng)x＋y為偶數(shù)時，不一定必有x，y均為奇數(shù)，也可能x，y均為偶數(shù)．4.D解析可以從a、b同正、同負、一正一負分析。5.A解析二次函數(shù)對稱軸計算考查6.充分不必要7.解由M∩P＝{x|5<x≤8}知，a≤8.(1)M∩P＝{x|5<x≤8}的充要條件是－3≤a≤5.(2)M∩P＝{x|5<x≤8}的充分不必要條件，顯然，a在[－3,5]中任取一個值都可以.(3)若a＝－5，顯然M∩P＝[－5，－3)∪(5,8]是M∩P＝{x|5<x≤8}的必要不充分條件.故a<－3時為必要不充分條件.8.A解析解不等式后直接判斷．不等式2x2＋x－1>0的解集為eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(x>\f(1,2)或x<－1))))，故由x>eq\f(1,2)?2x2＋x－1>0，但2x2＋x－1>0D?/x>eq\f(1,2).9.C解析從Δ入手，Δ<0即可C解析A∪B＝{x∈R|x<0或x>2}，C＝{x∈R|x<0或x>2}，∵A∪B＝C，∴“x∈A∪B”是“x∈C”的充分必要條件．11.(1)(4)解析：觀察線路串并聯(lián)情況12.②③④解析由于x2<1即－1<x<1，①顯然不能使－1<x<1一定成立，②③④滿足題意．13.證明充分性：(由ac<0推證方程有一正根和一負根)∵ac<0，∴一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的判別式Δ＝b2－4ac>0.∴方程一定有兩不等實根，設(shè)為x1，x2，則x1x2＝eq\f(c,a)<0，∴方程的兩根異號．即方程ax2＋bx＋c＝0有一正根和一負根．必要性：(由方程有一正根和一負根推證ac<0)∵方程ax2＋bx＋c＝0有一正根和一負根，設(shè)為x1，x2，則由根與系數(shù)的關(guān)系得x1x2＝eq\f(c,a)<0，即ac<0，綜上可知，一元二次方程ax2＋bx＋c＝0有一正根和一負根的充要條件是ac<0.14.證明充分性：如果xy≥0，則有xy＝0和xy>0兩種情況，當(dāng)xy＝0時，不妨設(shè)x＝0，得|x＋y|＝|y|，|x|＋|y|＝|y|，∴等式成立．當(dāng)xy>0，即x>0，y>0或x<0，y<0時．又當(dāng)x>0，y>0時，|x＋y|＝x＋y，|x|＋|y|＝x＋y，∴等式成立．當(dāng)x<0，y<0時，|x＋y|＝－(x＋y)，|x|＋|y|＝－x－y＝－(x＋y)，∴等式成立．總之，當(dāng)xy≥0時，|x＋y|＝|x|＋|y|成立．必要性：若|x＋y|＝|x|＋|y|且x，y∈R，得|x＋y|2＝(|x|＋|y|)2，即x2＋2xy＋y2＝x2＋y2＋2|x|·|y|，∴|xy|＝xy，∴xy≥0.綜上可知，“xy≥0”是“等式|x＋y|＝|x|＋|y|成立”的充要條件．《§1．4充分條件和必要條件》同步練習(xí)二一．選擇題1．設(shè)集合M＝{1,2}，N＝{a2}，則“a＝1”是“N?M”的()A．充分而不必要條件B．必要而不充分條件C．充分必要條件D．既不充分也不必要條件2．“a＞0”是“|a|＞0”的()A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件3．函數(shù)f(x)＝x2＋mx＋1的圖象關(guān)于直線x＝1對稱的充要條件是()A．m＝－2B．m＝2C．m＝－1D．m＝14．王昌齡的《從軍行》中有兩句詩：“黃沙百戰(zhàn)穿金甲，不破樓蘭終不還”．其中后一句中“攻破樓蘭”是“返回家鄉(xiāng)”的()A．充分條件B．必要條件C．充要條件D．既不充分也不必要條件5