2023年高考數(shù)學二輪復習試題（全國通用）06 等差數(shù)列與等比數(shù)列 （試題版+解析版）

專題06等差數(shù)列與等比數(shù)列

一、核心先導

專題06等差數(shù)列與等比數(shù)列

二、考點再現(xiàn)

【考點1］等差數(shù)列

1、等差數(shù)列的判斷方法：定義法4任］=d（d為常數(shù)）或--an^（n≥2）

2、等差數(shù)列的通項：%=4+（〃一l）d或4=4,〃+（〃—/n）d。

①當d≠0時，等差數(shù)列的通項公式q=4+5-l）d=M+q-d是關(guān)于〃的一次函數(shù)，且斜率為公差d；

3、等差數(shù)列的前n和：S11="（%+%）,Sn=nai+幽。

n22

n（n1｝

①前n和s,,=nay+~d=y√+（αl-?）n是關(guān)于〃的二次函數(shù)且常數(shù)項為0.

4、等差中項：若α,Ab成等差數(shù)列，則A叫做。與b的等差中項，且A=巴心。

2

①當加+〃=〃+q時，則有a,”+?！?%,+4,特別地，當〃?+〃=2〃時，則有《“+%=24,.

5、若｛4｝是等差數(shù)列，S,,,S2“-S”,S3”-S2“，…也成等差數(shù)列.

【考點2】等比數(shù)列

1.等比數(shù)列的定義-------（證明或判斷等比數(shù)列）4a=式4為常數(shù)），

nnm

2.等比數(shù)列的通項公式：%=atq-'或為=amq-。

3.等比數(shù)列的前〃和：

laaq

①當q=l時，Sll=nal；②當4Rl時，5n=-0='~''o

1一q1—q

4,等比中項：

⑴、若4,A,b成等比數(shù)列，那么A叫做。與6的等比中項，A2=ab?

⑵、當m+"=p+q時，則有arn?a11=ap?aq。

5、若｛α,｝是等比數(shù)列,S,,,S2,,-S“，S?,,-S?,,,…也成等比數(shù)列.

三、解法解密

等差數(shù)列與等比數(shù)列作為兩種基本的數(shù)列，是高考中數(shù)列考查的重中之重,值得關(guān)注.考查的形式主

要有等差數(shù)列、等比數(shù)列的實際應用以及等差數(shù)列、等比數(shù)列與其他知識的綜合.在復習中，要緊抓以下

幾個方面：

方法L關(guān)注兩種基本方法:研究等差數(shù)列、等比數(shù)列的基本方法就是“基本量法”及活用好它們的“對

稱性”；

方法2.領悟等差數(shù)列、等比數(shù)列的兩類本質(zhì)：等差數(shù)列、等比數(shù)列是兩類特殊數(shù)列,又是兩類特殊的函

數(shù),這種雙重身份,注定它們必然是高考中的重點、難點,故而,學習中，要從“函數(shù)”及“數(shù)列”這兩個方面

來認識它們；

方法3.兩類數(shù)學思想:分類討論思想以及函數(shù)與方程的思想是解決數(shù)列問題所經(jīng)常使用的兩類數(shù)學思

想

四、考點解密

題型一:等差數(shù)列與等比數(shù)列基本量的計算

例1.（1）、（2022.四川省遂寧市教育局模擬預測（文））若｛叫為等差數(shù)列，S,是數(shù)列｛叫的前”項和，

a4+aβ=14tS7=35,貝Ij%-4等于（）

A.7B.6C.5D.4

（2）、（2022?福建福州?高二期末）（多選題）已知等差數(shù)列｛atl｝的公差為d,前〃項和為Srt,a3=16,?5=12.則

()

A.d=-2B.4=20

C.4+4=28D.S〃取得最大值時，71=11

【變式訓練『1】、（2022?四川?宜賓市敘州區(qū)第二中學校模擬預測（文））已知等比數(shù)列｛4｝中，%=4,

4∣=9,則%=.

【變式訓練『2】、（2021?云南?模擬預測（文））已知｛q｝為等差數(shù)列，S,,為其前〃項和.若q=-7,S,=-15,

則％=?

題型二:等差中項與等比中項的應用

例2.（1）、（2022?山東泰安?模擬預測）若等差數(shù)列｛q｝滿足2線-%=6,則它的前13項和為（）

A.110B.78C.55D.45

（2）.（2022?河南焦作?一模（文））設｛4｝和也｝都是等差數(shù)列，前〃項和分別為S,,和7；,若％+%+/=6,

?l+?3+?9+?ll=12,則寧=（）

?n

【變式訓練2-1】、（2022?安徽黃山?一模（文））在等比數(shù)列｛q｝中，你是方程d-13x+9=0的兩

根，則1的值為（）

?7

A.√13B.3c.+?/r?D.±3

【變式訓練2-2】、（2022.湖北.荊門市龍泉中學二模）正項等比數(shù)列｛q｝中，為嗎，-生成等差數(shù)列，且存

在兩項見“,a,,（〃?,〃€N.）使得Jqja“=4"∣,則,+3的最小值是（）

mn

A.2b?7D.不存在

題型三:求數(shù)列的前n項和

%=3）+3,數(shù)列隼

例3.（1）、（2022?山西運城?模擬預測（文））已知數(shù)列｛α,,｝中，q=4

的前〃項和為S,,,則（）

33

AO<<B<S<C<S<2D2<S<3

222--

)222202222

（2）.（2022?安徽?合肥市第七中學高二期末）已知數(shù)歹U可｝的前〃項和R,=2"2-"+ι,則其通項公式凡=

【變式訓練3-1】、（2022?四川綿陽?一模（理））已知等比數(shù)列｛%｝的各項均為正數(shù)，設5,是數(shù)列｛4｝的

前〃項和，且％=2,&=8,則§5=

【變式訓練3-2】、（2022.河南.開封市東信學校模擬預測（理））已知數(shù)列｛?,｝滿足

?1=2,4,,+∣-2=q,+2"("eN")則數(shù)列翻的前2022項的和為

題型四:判斷或證明等差、等比數(shù)列

例4、(2022.吉林長春.模擬預測)已知數(shù)列｛%｝滿足：4=2%+∣+("+1)=("+2)q+(〃+1)'.

⑴證明：數(shù)列I瑞才是等差數(shù)列;

/1(/7+2)

(2)設。求數(shù)列也｝的前”項和5”.

2"%,,

[變式訓練4-1]?(2022?河南?模擬預測(理))若數(shù)列｛可｝滿足q=2,??+|-2?=3"，

⑴證明:｛4+∣-3q,｝是等比數(shù)列；

(2)設｛q｝的前n項和為S,,,求滿足S11<2023的〃的最大值.

題型五:綜合應用

例5.（1）、（2022?河南省葉縣高級中學模擬預測（文））中國公民身份號碼編排規(guī)定，女性公民的順序

碼為偶數(shù)，男性為奇數(shù)，反映了性別與數(shù)字之間的聯(lián)系；數(shù)字簡譜以1,2,3,4,5,6,7代表音階中的7

個基本音階，反映了音樂與數(shù)字之間的聯(lián)系，同樣我們可以對幾何圖形賦予新的含義，使幾何圖形與數(shù)字

之間建立聯(lián)系.如圖1,我們規(guī)定1個正方形對應1個三角形和1個正方形，1個三角形對應1個正方形，在

圖2中，第1行有1個正方形和1個三角形，第2行有2個正方形和1個三角形，則在第9行中的正方形

的個數(shù)為（）

…第1行

Λ:…第2行

圖1圖2

A.53B.55C.57D.59

（2）、（202卜全國?模擬預測）在流行病學中，基本傳染數(shù)R。是指在沒有外力介入，同時所有人都沒有免

疫力的情況下，一個感染者平均傳染的人數(shù).以一般由疾病的感染周期、感染者與其他人的接觸頻率、每次

接觸過程中傳染的概率決定.假設某種傳染病的基本傳染數(shù)4=3（注：對于凡＞1的傳染病，要隔離感染

者，以控制傳染源，切斷傳播途徑），那么由1個初始感染者經(jīng)過六輪傳染被感染（不含初始感染者）的

總?cè)藬?shù)為（注:初始感染者傳染K）個人為第一輪傳染,這幾個人每人再傳染&個人為第二輪傳染……）

【變式訓練51】、（2022?浙江寧波?一模）南宋的數(shù)學家楊輝“善于把已知形狀、大小的幾何圖形的求面積、

體積的連續(xù)量問題轉(zhuǎn)化為離散量的垛積問題”，在他的專著《詳解九章算法?商功》中，楊輝將堆垛與相應立

體圖形作類比，推導出了三角垛、方垛、芻童垛等的公式，例如三角垛指的是如圖頂層放1個，第二層放3

I11

個，第三層放6個，第四層放K）個第〃層放個物體堆成的堆垛，則一+—++—=

4?4。

【變式訓練5-2］、（2021?河南鄭州?三模（文））1967年,法國數(shù)學家蒙德爾布羅的文章《英國的海岸線

有多長？》標志著幾何概念從整數(shù)維到分數(shù)維的飛躍.1977年他正式將具有分數(shù)維的圖形成為“分形”，并建

立了以這類圖形為對象的數(shù)學分支——分形幾何.分形幾何不只是扮演著計算機藝術(shù)家的角色，事實表明

它們是描述和探索自然界大量存在的不規(guī)則現(xiàn)象的工具.下面我們用分形的方法來得到一系列圖形，如圖1,

線段AB的長度為1,在線段AB上取兩個點C,D,使得AC=QB=gAB,以CQ為一邊在線段AB的上方

做一個正三角形，然后去掉線段CZλ得到圖2中的圖形；對圖2中的線段EC、ED作相同的操作，得到圖

3中的圖形；依此類推，我們就得到了以下一系列圖形：

λA_________I

ACDB4CDB

圖1圖2圖3圖4

記第〃個圖形（圖1為第一個圖形）中的所有線段長的和為S,,,對任意的正整數(shù)"，都有S,,<4,則”的最

小值為.

五、分層訓練

A組基礎鞏固

I.（2022.全國?安陽市第二中學模擬預測（理））我國《洛書》中記載著世界上最古老的一個幻方，如圖

所示，將1,2,3,…，9填入3x3的方格內(nèi)，使得三行、三列、對角線的三個數(shù)之和都等于15,便得到一

個3階幻方；一般地，將連續(xù)的正整數(shù)1,2,3,…，"填入〃X”個方格中，使得每行、每列、每條對角

線上的數(shù)的和都相等，這個正方形叫作〃階幻方.記〃階幻方的數(shù)的和（即方格內(nèi)的所有數(shù)的和）為3，

如S3=45,那么10階幻方每行、每列、每條對角線上的數(shù)的和均為（）

洛書幻方

A.555B.IOIC.505D.IOIO

2?（2022?四川省遂寧市教育局模擬預測（理））設數(shù)列｛%｝是等差數(shù)列，是數(shù)列｛%｝的前〃項和，a4+ab=14,

S7=35,則S5等于（）

A.10B.15C.20D.25

3.（2022?四川綿陽?一模（理））已知5“是等差數(shù)列｛《,｝的前”項和，若品,=57,則3%-4-4=（）

A.2B.3C.4D.6

4.（2022.黑龍江.哈九中模擬預測（理））在等差數(shù)列｛《,｝中S”為前〃項和，a1=2a6-4,則S9=（）

A.28B.30C.32D.36

5.（2022?云南云南?模擬預測）設等差數(shù)列｛凡｝的前〃項和為S“，3%+2%=35,則S9=（）

A.56B.63C.67D.72

6.（2022?北京?北師大實驗中學模擬預測）設等差數(shù)列｛%｝的前〃項和為S,,,若4=9,?+?=2,則當

取最大值〃等于（）

A.4B.5C.6D.7

7.（2022?山東淄博?三模）已知正項等比數(shù)列｛",』的前"項和為S“，且-q,S,S3成等差數(shù)列.若存在兩項

%冊（X〃eN*）使得JaMq=84,則’+?的最小值是（）

inn

C10C8

A.16B.2C.—D.

33

∈貝∣()

8.（2022?全國?模擬預測（文））在數(shù)列｛4｝中,^1=l,φ+l）（?+,-?)=1(∏N*),J4022=

4043-2021C4040C2020

A.------B.------C.------D.

2022202220212021

9.（2022?四川省內(nèi)江市第六中學模擬預測（理））已知數(shù)列｛%｝的前〃項和S,滿足S.=Π(4H+1)(∕2∈N*),

若數(shù)列也｝滿足a=4乎，則,+京+…+段］=（>

ATB.陋C,≡D.2021

2021202120228088

10.（2022?遼寧?模擬預測）如圖是美麗的“勾股樹'將一個直角三角形分別以它的每一條邊向外作正方形

而得到如圖①的第1代“勾股樹”，重復圖①的作法，得到如圖②的第2代“勾股樹”，…，以此類推，記第〃

代“勾股樹''中所有正方形的個數(shù)為凡，數(shù)列｛4｝的前〃項和為S“，若不等式S”>2022恒成立，則〃的最小

值為（）

11.（2022?河南?模擬預測（文））已知數(shù)列｛利｝的前"項和S〃滿足5“="2,記數(shù)列的前〃項和為

Tn,"∈N*.則使得乃°的值為（）

19?38C40

A.B.—D.——

393941

12.（2022?山東濟南?模擬預測）設｛q｝是首項為1的等比數(shù)列，S“是其前〃項和，若%%-2%=0,則S5=

13.（2022?四川省南充高級中學模擬預測（文））記S”為正項等比數(shù)列｛%｝的前"項和，若邑=14,q=2,

則富的值為

14.（2022?山東泰安?二模）已知數(shù)列｛6,｝是公差大于0的等差數(shù)列，4=2,且％+2,4,牝-4成等比

數(shù)列，貝∣J?,=.

15.（2022?新疆石河子一中模擬預測（理））等差數(shù)列｛%｝的公差為2,前〃項和為$“，若的,外,&構(gòu)

成等比數(shù)列，則S,,=.

16.（2022?廣東?模擬預測）已知數(shù)列｛q｝是首項為1的等差數(shù)列，其前"項和為S11,且2$9-3弟=54,記

b“=m+］）；“產(chǎn)］）,則數(shù)列也｝的前“項和Tn=.

17.（2022?陜西?西安中學模擬預測（文））在等差數(shù)列｛4｝中，α7=15,?+?=18,若數(shù)列｛（T）"”,,｝的前

”項之和為S,,,則Sn）O=.

18.（2022?內(nèi)蒙古?赤峰二中模擬預測（理））如圖所示，是畢達哥拉斯（PythagoraS）的生長程序：正方

形上連接著一個等腰直角三角形，等腰直角三角形的直角邊上再連接正方形，…，如此繼續(xù)，若一共能得

到1023個正方形.設初始正方形的邊長為近，則最小正方形的邊長為.

19.（2022?河南?模擬預測（理））已知數(shù)列｛（｝為等比數(shù)列，公比4>0,首項4=1,前三項和為7,

ala2Lan=1024,貝IJ〃=.

20.（2022?湖南益陽?模擬預測）在單調(diào)遞增數(shù)列｛4｝中，己知4=1,q=2,且%1,?,外同成等比數(shù)

aa

歹U,2n，2n+?，?nt2成等差數(shù)列（〃GN*）,那么q00=.

21.（2022?上海交大附中模擬預測）已知各項均為正數(shù)的等比數(shù)列｛4｝,若4-%=24，則邑的值為

a3

22.（2022?黑龍江?哈九中三模（文））設函數(shù)"x）=2+lnlξi,αl=1,

…,則數(shù)列｛4｝的前"項和S“=.

23.（2022?四川?宜賓市敘州區(qū)第二中學校模擬預測（文））已知數(shù)列｛α,,｝的前〃項和S“滿足

+n

S11=2all~~^-?

(1)求為,并證明數(shù)列｛4+3”｝為等比數(shù)列；

⑵若?=?(??+3?)，求數(shù)列也｝的前〃項和九

24.(2022?貴州?模擬預測(理))已知數(shù)列｛%｝,滿足q=2,αntl=+4?,,+2.

(1)證明：數(shù)列｛1。氏+2)｝是等比數(shù)列，并求數(shù)列｛%｝的通項公式；

(2)求數(shù)列｛%+2｝的前〃項積T?.

B組能力提升

25.（2022.山東青島.一模）我國古代數(shù)學著作《九章算術(shù)》中有如下問題：“今有人持金出五關(guān)，前關(guān)二

稅一，次關(guān)三而稅一，次關(guān)四而稅一，次關(guān)五而稅一，次關(guān)六而稅一，并五關(guān)所稅，適重一斤.問本持金

幾何？”其意思為“今有人持金出五關(guān)，第1關(guān)收稅金為持金的第2關(guān)收稅金為剩余金的g,第3關(guān)收稅

金為剩余金的!，第4關(guān)收稅金為剩余金的!，第5關(guān)收稅金為剩余金的，，5關(guān)所收稅金之和恰好重1斤.問

456

/、/、

原來持金多少？”.記這個人原來持金為。斤，設/力=<f1O…x+1,%>八1，則”〃=（）

ll-5x,0<x≤l'

A.-5B.7C.13D.26

26.（2020.安徽.壽縣第一中學模擬預測（文））右面的數(shù)表為“森德拉姆篩”，其特點是表中的每行每列上

的數(shù)都成等差數(shù)列，則第〃行第〃個數(shù)字是（）

A./-IB.S+"+1C.tv+1D.nI2

C_1_M

27.（2022?全國?安陽市第二中學模擬預測（文））已知數(shù)列｛《｝的前〃項和為3,且義資=%，若

包二*≤1-〃恒成立，則實數(shù)2的最大值為（）

n

I23

A.-B.1C.-D.一

234

28.（2022?黑龍江?哈爾濱市第一二二中學校三模（文））公比為q的等比數(shù)列｛4｝,其前〃項和為5.，前

d—1

"項積為1，滿足q>ι,?）2∣??）22>ι,-^j<°.則下列結(jié)論正確的是（）

a2O22~?

a

A.20?i?“2033>1B.T”的最大值為4021

C.S”的最大值為S2O23D.“>1

29.（2022?全國?武功縣普集高級中學模擬預測（理））記5“為各項均為正數(shù)的等比數(shù)列｛%｝的前〃項和,

A.-B.-C.1D.2

48

30.（2022?安徽?蕪湖一中模擬預測）已知正項等比數(shù)列｛4｝的前〃項和為S〃，前〃項積為1,滿足

al=∣,2α2=S3-3al,則（的最小值是（）

O

A.—B.—C.—D.----

163264128

31.（2022.吉林?長春吉大附中實驗學校模擬預測）（多選題）意大利數(shù)學家列昂納多?斐波那契提出的“兔

子數(shù)列“：1,1,2,3,5,8,13,21,34,55,89,144,233,…，在現(xiàn)代生物及化學等領域有著廣泛的應用，

它可以表述為數(shù)列｛q｝滿足4=4=1,4+2=4出+%（“eN+）.若此數(shù)列各項被3除后的余數(shù)構(gòu)成一個新數(shù)列

｛bn｝,記也｝的前〃項和為S1,,則以下結(jié)論正確的是（）

A.々+9—2+I=θB.Szκ4o=S“+2+9

C.“2022=2D.S2022=2696

32.（2022?廣東?肇慶市外國語學校模擬預測）（多選題）將數(shù)列｛〃〃｝中的所有項排成如下數(shù)陣:

已知從第二行開始每一行比上一行多兩項，第一列數(shù)4、%、%、L成等差數(shù)列，且4=4,4。=10.從第

二行起，每一行中的數(shù)按從左到右的順序均構(gòu)成以g為公比的等比數(shù)列，則（）

A.G=IB.1021位于第84列

133

C?%<%+ιD.a202l=—

C組真題實戰(zhàn)練

33.（2021?全國?高考真題（文））記S”為等比數(shù)歹Ij｛q｝的前"項和.若S?=4,S」=6,貝IJSf=（）

A.7B.8C.9D.10

34.（2021?北京?高考真題）已知也｝是各項均為整數(shù)的遞增數(shù)列，且423,若q+〃+?→q,=IOO,則"的

最大值為（）

A.9B.10C.11D.12

35.（2021?北京?高考真題）《中國共產(chǎn)黨黨旗黨徽制作和使用的若干規(guī)定》指出，中國共產(chǎn)黨黨旗為旗面

綴有金黃色黨徽圖案的紅旗，通用規(guī)格有五種.這五種規(guī)格黨旗的長4,2，/，4,%（單位：cm）成等差數(shù)列，對

應的寬為久也也也也（單位：cm）,且長與寬之比都相等，已知q=288,%=96,hl=192,則H=

A.64B.96C.128D.160

36.（2020?全國?高考真題（理））北京天壇的圜丘壇為古代祭天的場所，分上、中、下三層，上層中心有

一塊圓形石板（稱為天心石），環(huán)繞天心石砌9塊扇面形石板構(gòu)成第一環(huán)，向外每環(huán)依次增加9塊，下一層的

第一環(huán)比上一層的最后一環(huán)多9塊，向外每環(huán)依次也增加9塊，已知每層環(huán)數(shù)相同，且下層比中層多729

塊，則三層共有扇面形石板（不含天心石）（）

A.3699塊B.3474塊C.3402塊D.3339塊

37.（2020?全國?高考真題（文））設｛?！埃堑缺葦?shù)歹且a,+。?+%=】，02+α,+α4=2,貝IJ&+%+4=（）

A.12B.24C.30D.32

S

38.（2020?全國?高考真題（文））記S”為等比數(shù)列｛“"｝的前〃項和.若“5-43=12,Λ6-α√=24,則-i=（）

%

A.2//-1B.2-2'nC.2-2∕?'D.21n-?

39.（2020?全國?高考真題（文））記S,,為等差數(shù)列｛%｝的前〃項和.若4=-2,a2+a6=2,則SIo=.

40.（2020?全國?高考真題（文））數(shù)列｛??｝滿足all+2+（-l）"”,,=3〃-1,前16項和為540,則al=.

41.（2021?全國?高考真題）記S.是公差不為0的等差數(shù)列｛4,,｝的前"項和，若％==S4.

（1）求數(shù)列｛q｝的通項公式見；

（2）求使S,,?凡成立的"的最小值.

O

42.（2021?浙江?高考真題）已知數(shù)列｛4｝的前〃項和為S“，q=-j，且4S向=3S,,-9.

（1）求數(shù)列｛%｝的通項；

（2）設數(shù)列也｝滿足3d+5-4M=0（"∈N*）,記也｝的前〃項和為T“，若7L≤也對任意“6N*恒成立,

求實數(shù)/1的取值范圍.

a+1,"為奇數(shù),

43.（2021.全國.高考真題）已知數(shù)列｛q｝滿足4=1,a,n

A+1q+2,”為偶數(shù).

（1）記〃=%,，寫出4，%，并求數(shù)列｛"｝的通項公式；

（2）求｛4｝的前20項和.

44.（2021.全國?高考真題（文））設｛%｝是首項為1的等比數(shù)列，數(shù)列也｝滿足"=等.已知4,3%,

9%成等差數(shù)列.

（1）求｛《,｝和圾｝的通項公式；

C

⑵記S“和。分別為｛《,｝和也｝的前〃項和.證明：Titw.

專題06等差數(shù)列與等比數(shù)列

一、核心先導

二、考點再現(xiàn)

【考點1】等差數(shù)列

1、等差數(shù)列的判斷方法：定義法--α,,=d（d為常數(shù)）或4,+L4=%-4I（"≥2）

2、等差數(shù)列的通項：an=at+（n-Y）dan=am+[n-ni）d?

①當時，等差數(shù)列的通項公式q,=4+5-l）d=珈+q-4是關(guān)于〃的一次函數(shù)，且

斜率為公差d；

3、等差數(shù)列的前〃和：Sn=〃（4+%）,邑=〃4+四二?〃。

2

①前〃和5?=+"（；%=∣π+（ai-?∣）∕7是關(guān)于n的二次函數(shù)且常數(shù)項為0.

4,等差中項：若α,A∕成等差數(shù)列，則A叫做。與人的等差中項，且A="2。

2

①當m+"=p+q時，則有a,“+%=α?+%,特別地，當〃+z〃=2p時，則有

aιn+an^2ap.

5、若｛4｝是等差數(shù)列，S”,S?“一S”,S3”一S2”，…也成等差數(shù)列.

【考點2】等比數(shù)列

1.等比數(shù)列的定義（證明或判斷等比數(shù)列）%L=q（g為常數(shù)），

n

2.等比數(shù)列的通項公式：a,,=alq-'或為=",,,qi。

3.等比數(shù)列的前〃和：

①當q=I時，S11=naλ；②當4Wl時，Sn=￡11!_ZJ=@1_%艮.。

?-q?-q

4、等比中項：

⑴、若α,A,b成等比數(shù)列，那么A叫做。與b的等比中項，A2=ab?

⑵、當加+〃=p+4時,則有atn?atl=ap?aq。

5、若｛a,｝是等比數(shù)列，S”,S2“一S”,S3,,-S2.,…也成等比數(shù)列.

三、解法解密

等差數(shù)列與等比數(shù)列作為兩種基本的數(shù)列，是高考中數(shù)列考查的重中之重,值得關(guān)注.

考查的形式主要有等差數(shù)列、等比數(shù)列的實際應用以及等差數(shù)列、等比數(shù)列與其他知識的綜

合.在復習中，要緊抓以下幾個方面：

方法1.關(guān)注兩種基本方法:研究等差數(shù)列、等比數(shù)列的基本方法就是“基本量法”及

活用好它們的“對稱性”；

方法2.領悟等差數(shù)列、等比數(shù)列的兩類本質(zhì)：等差數(shù)列、等比數(shù)列是兩類特殊數(shù)列，又

是兩類特殊的函數(shù),這種雙重身份,注定它們必然是高考中的重點、難點，故而,學習中，要從

“函數(shù)”及“數(shù)列”這兩個方面來認識它們；

方法3.兩類數(shù)學思想:分類討論思想以及函數(shù)與方程的思想是解決數(shù)列問題所經(jīng)常使

用的兩類數(shù)學思想

四、考點解密

題型一:等差數(shù)列與等比數(shù)列基本量的計算

例1.（1）、（2022.四川省遂寧市教育局模擬預測（文））若｛4,,｝為等差數(shù)列，s“是數(shù)列

｛%｝的前"項和，4+4=14,S7=35,則等于（）

A.7B.6C.5D.4

【答案】D

【分析】根據(jù)題意，設等差數(shù)列｛4｝的公差為d,進而建立方程組求解得d=2,再計算4-q

即可.

【詳解】解：根據(jù)題意，設等差數(shù)列｛%｝的公差為d,

因為4+4=14,S7=35

%+%=2%+8d=14d=2

所以5=7^+2W=35'得

7I4=—1

所以%-ɑ,=2d=4.

故選：D

（2）、（2022.福建福州.高二期末）（多選題）已知等差數(shù)列｛4｝的公差為止前〃項和為

S,,,α3=16,α5=12.則（）

A.d=-2B.?,=20

C.a2+a1,=28D.S“取得最大值時，n=Il

【答案】ABC

【解析】

【分析】

利用基本量代換，求出通項公式，即可驗證A、B、C；由通項公式判斷出"≤10時，??>0,

即=。，"≥12時，。可以得到Slo=SU最大，即可判斷選項D.

【詳解】

2d=16?a.—20

因為%=16g=12,所以3Is，解得：：.，故選項A、B正確；

巴=4+4d=12[d=-2

所以q=O1+（〃-1）4=22-2〃.

對于C：因為4=22-2”，所以的+&=18+10=28,故C正確；

對于D：因為4=22-2〃，所以劭=22-2x11=0.

因為〃≤10時，??>0；ZJ≥12時，a,,<0.所以SKt=SU最大.故D錯誤.

故選：ABC

【變式訓練II】、（2022?四川?宜賓市敘州區(qū)第二中學校模擬預測（文））已知等比數(shù)列｛%｝

中，α3=4,α11=9,貝∣J%=.

【答案】6

【分析】由等比數(shù)列的性質(zhì)求解即可

【詳解】由等比數(shù)列的性質(zhì)可得：￠=%即=36,

由等比數(shù)列中奇數(shù)項的符號相同，

所以%=6,

故答案為：6

【變式訓練『2】、（2021?云南?模擬預測（文））已知｛4｝為等差數(shù)列，S.為其前"項和.若

?1=-7,S3=-15,則<?=.

【答案】7

【解析】

【分析】

根據(jù)題意得等差數(shù)列｛an｝的公差為d=2,再根據(jù)通項公式求解即可.

【詳解】

解：設等差數(shù)列｛q｝的公差為d,因為4=-7,S3=-15

所以I?=；,a/<解得"=2'

電=3q+3d=-15

所以”,,=2"-9,所以4=2χ8-9=7.

故答案為：7

題型二:等差中項與等比中項的應用

例2.(1)、(2022.山東泰安.模擬預測)若等差數(shù)列｛q｝滿足2%-%=6,則它的前13項

和為()

A.HOB.78C.55D.45

【答案】B

【分析】根據(jù)等差數(shù)列的通項公式及前〃項和公式即可求解.

【詳解】設等差數(shù)列｛4｝的首項為4,公差為d,則

因為2%-%=6,所以2(α∣+7d)-(q+8d)=6,即α∣+6d=6.

所以=+=13(q+64)=13x6=78.

故選：B.

(2).(2022?河南焦作?一模(文))設｛q｝和｛4｝都是等差數(shù)列，前"項和分別為S,,和。，

=12,則*=()

若4+a1+α13=6,4+b3+b9÷?11=

?ll

26「2C1313

A.—B.一C.—D.

33322TT

【答案】A

【解析】

【分析】

利用等差數(shù)列的性質(zhì)分別求得的=2,%=3,再利用等差數(shù)列前〃項和公式求解.

【詳解】

由等差數(shù)列的性質(zhì)可得4+%+ai3=3a7=6,

所以％=2；

因為4+4+為+如=2?6+2b6=12,

所以4=3.

由等差數(shù)列的前"項和公式可得幾=13（%”3）=空盧=26,

Tll（?,+?,）11×2???

111-l——33,

π22

S26

所以廣n石?

故選：A

【變式訓練27】、（2022.安徽黃山?一模（文））在等比數(shù)列｛%｝中，也是方程

d-13x+9=0的兩根，則絲R的值為（）

?7

A.√13B.3C.±√13D.+3

【答案】B

［分析］利用韋達定理可得4&=9,4+%=13,從而得到4>0,%>0，即可得到%>0，

再根據(jù)等比數(shù)列下標和性質(zhì)計算可得.

【詳解】因為4、%是方程d-13x+9=O的兩根，所以4%3=9,0,+αl3=13,

所以q>0,%>0,又｛%｝為等比數(shù)列，則的=4√i>（）,

所以“∣α∣3=%2=9,所以%=3或%=-3（舍去），

所以也電=%=3.

%

故選：B.

【變式訓練2-2】、（2022?湖北?荊門市龍泉中學二模）正項等比數(shù)列｛%｝中，%，4，一%成

等差數(shù)列，且存在兩項明,““（見〃€v）使得揚方=44,則,+之的最小值是（）

mn

A.2B.-C.1+—D.不存在

43

【答案】B

【分析】由等比數(shù)列通項公式及等差中項的性質(zhì)可得4=2,進而有根+”=6,利用基本不

等式“1”的代換求目標式最小值，注意等號是否成立.

【詳解】由題設2q=%-%,若｛〃,,｝公比為4>0且4>0,則d-g-2=（4+l）（q-2）=0,

所以4=2,

由jɑ,jɑ,,=44,則a：。""T=I6a：，故2"“τ=i6,可得加+〃=6，

所以_1+之=_1（_1+9）（〃?+〃）=_1（6+_1+迦）￡_1（6+2^1^）=1+好，而

mn6tnn6mn6N，n幾3

n=y∕5m="S一?任N*,故等號不成立，

2

又叵二3∈（3,4）,故當〃=3,機=3時,+?=2,當〃=4,m=2時,+?=1,

2f∏nmn4

顯然2>一7，故〃=4,m=2時1一十5二最小值為7二.

4mn4

故選：B

題型三:求數(shù)列的前n項和

例3.（1）、（2022?山西運城?模擬預測（文））已知數(shù)列｛4｝中，q=4,?+1=∣?（?-3）+3,

數(shù)列暨的前〃項和為S,,,則（）

33

（）

?-0<$2022<1B.1<52022<5C.3<S222<2D.2<S2022<3

【答案】A

【分析】根據(jù)數(shù)列單調(diào)性的定義及裂項相消法求出5“，進而即可求解.

2

【詳解】由題得，an+l-aι,=l-aιι（aιι-3）+3-aιι=j（a,l-3）..0,又q=4>3,

所以生-4>0.所以外>4>3,可得>4.所以數(shù)列｛q｝是遞增數(shù)列.

13Il-Il1

—T=-----K=------------，所以一=----Σ----------Σ>所以

1一3an(an-3)an-3)ananan-3an+l-3

11,1

-----Σ----------7=1-----------------7,所以$2022=1----------τ,乂“2023>4,所以％023-3>1,所以

ai-d-5a

?~?+l?+l2023-3

0<―?<1,所以0<邑必<1.

。2023-3

故選：A.

（2）.（2022?安徽?合肥市第七中學高二期末）已知數(shù)列｛/｝的前〃項和S,,=2∕-"+ι,

則其通項公式4,=

2,n=1

【答案】

4n-3,n≥2,neN

【解析】

【分析】

利用當〃22時，an=Sn-Sn.l,可求出此時的通項公式，驗證〃=1時是否適合，可得答案.

【詳解】

22

當“22時，an=Sn-Sn_,=2∕z-n+l-^2(n-l)-(“-1)+1]=4〃-3,

當”=1時，4=2-1+1=2不適合上式,

2,n=l

4n-3,n≥2,neN'

2,〃=1

故答案為:

4n-3,π≥2,/7∈JV*

【變式訓練3-1】、（2022?四川綿陽?一模（理））已知等比數(shù)列｛4,,｝的各項均為正數(shù)，設S”

是數(shù)列｛%｝的前〃項和，且叼=2,%=8,則其=

【答案】31

【分析】利用等比數(shù)列通項公式，結(jié)合4>0,可求得公比4=2,進而得到％,利用等比數(shù)

列求和公式可求得結(jié)果.

【詳解】設等比數(shù)列｛q｝的公比為4,

tz,,>0,:.q>0,又，=旦=4,:.q=2,.1q=a=1,

q

.S-IX(T)31

..——???

1-2

故答案為：31.

【變式訓練3-2】、（2022.河南.開封市東信學校模擬預測（理））已知數(shù)列｛α,,｝滿足

B-的前2022項的和為

4=2,4,,+∣-2=",,+2"("eN*),則數(shù)列

【答案】孰

【分析】利用累加法求數(shù)列的通項公式，再利用裂項相消法求數(shù)列的前2022