2023年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)講義：第八章立體幾何

第八章立體幾何與空間向量

§8.1空間幾何體及其表面積與體積

【考試要求】L認識柱、錐、臺、球及其簡單組合體的結(jié)構(gòu)特征，并能運用這些特征描述現(xiàn)實

生活中簡單物體的結(jié)構(gòu)2能畫出簡單空間圖形（長方體、球、圓柱、圓錐、棱柱等簡易組合）

的三視圖，能識別上述三視圖所表示的立體模型，會用斜二測畫法畫出它們的直觀圖.3.了解

球、棱柱、棱錐、臺的表面積和體積的計算公式.

-落實主干知識

【知識梳理】

1.多面體的結(jié)構(gòu)特征

名稱棱柱棱錐棱臺

D1麻

ΛAc

圖形

ABABAB

底面互相平行且全等^多邊形互相平行且相叔

側(cè)棱平行且相等一相交于一點但不一定相等延長線交于一瓦一

側(cè)面形狀平行四邊形一三角形梯形

2.旋轉(zhuǎn)體的結(jié)構(gòu)特征

名稱圓柱圓錐圓臺球

圖形??

互相平行且相等，垂延長線I交于

母線相交于一點

直于底面-B點

全等的等腰三一全等的等腰

軸截面全等的矩形圓面

角形梯形

側(cè)面展

矩形扇形扇環(huán)

開圖

3.三視圖與直觀圖

三視圖畫法規(guī)則：長對正、高平齊、寬相等

斜二測畫法：（1）原圖形中X軸、y軸、Z軸兩兩垂直，直觀圖中x'軸、y'

軸的夾角為45。或135。，z'軸與/軸和y'軸所在平面垂直.

直觀圖（2）原圖形中平行于坐標(biāo)軸的線段在直觀圖中仍平行于坐標(biāo)軸，平行于X軸和

Z軸的線段在直觀圖中保持原長度不變,平行于y軸的線段在直觀圖中長度

為原來的一半.

4.圓柱、圓錐、圓臺的側(cè)面展開圖及側(cè)面積公式

圓柱圓錐圓臺

M/………j*∕2π?∣；

側(cè)面展開圖

包加--2攵匚」

側(cè)面積公式Sta柱例=2π4S冏錐側(cè)=兀/7S圈臺惻=冗（門+竹）/

5.柱、錐、臺、球的表面積和體積

幾何體、表面積體積

柱體（棱柱和圓柱）S衣面積=S側(cè)+2S底V=Sh

錐體（棱錐和圓錐）S表面積=S側(cè)+S底V=^Sh

V=∣(S1:+5F+√S∑S^)Λ

臺體（棱臺和圓臺）S表面枳=S惻+s±÷s下

4

球S=4πR2V=≈πR3

3----

【常用結(jié)論】

1.在繪制三視圖時，分界線和可見輪廓線都用實線畫出，被遮擋的部分的輪廓線用虛線表示

出來，即“眼見為實、不見為虛”.在三視圖的判斷與識別中要特別注意其中的虛線.

2.直觀圖與原平面圖形面積間關(guān)系S自觀圖原圖形.

【思考辨析】

判斷下列結(jié)論是否正確（請在括號中打“J”或“X”）

（1）有兩個面平行，其余各面都是平行四邊形的幾何體是棱柱.（X）

（2）用一個平行于底面的平面截圓錐，得到一個圓錐和一個圓臺.（√）

（3）菱形的直觀圖仍是菱形.（X）

（4）兩個球的體積之比等于它們的半徑比的平方.（X）

【教材改編題］

1.如圖，長方體ABCO-A'B'C'D'被截去一部分，其中D',剩下的幾何體

是（）

P'HC

A.棱臺B.四棱柱

C.五棱柱D.六棱柱

答案C

2.已知圓錐的表面積等于12πcm2,其側(cè)面展開圖是一個半圓，則底面圓的半徑為（）

A.1cmB.2cm

C.3cm

答案B

解析設(shè)圓錐的底面圓的半徑為r,母線長為/,因為側(cè)面展開圖是一個半圓，所以π∕=2πr,

即∕=2r,所以π∕?2+τ∏√=7tr2+τrr?2r=3πN=I2兀，解得r=2.

3.如圖，將一個長方體用過相鄰三條棱的中點的平面截出一個棱錐，則該棱錐的體積與剩下

的幾何體體積的比為.

答案I：47

解析設(shè)長方體的相鄰三條棱長分別為a,b,c,它截出的棱錐的體積為V,=∣×∣×^×∣?×

gc=表岫剩下的幾何體的體積V2=abc—^^cιbc=^abc,所以Vi:V2=I-47.

核心題型

題型一空間幾何體

命題點1三視圖

例1（2021?全國甲卷）在一個正方體中，過頂點A的三條棱的中點分別為E,F,G.該正方體

截去三棱錐A—EFG后，所得多面體的三視圖中，正視圖如圖所示，則相應(yīng)的側(cè)視圖是（）

答案D

解析根據(jù)題目條件以及正視圖可以得到該幾何體的直觀圖，如圖,

結(jié)合選項可知該幾何體的側(cè)視圖為D.

命題點2直觀圖

例2有一塊多邊形的菜地，它的水平放置的平面圖形的斜二測直觀圖是直角梯形（如圖所

示），NABC=45。，A8=A0=l,DCLBC,則這塊菜地的面積為.

答案2+坐

解析Z）C=ABSin45。=看,

BC=ABcos45。+AO=V+?>

S梯彩ABCD=I（A。+BC）JDC

梯形AAeO=2+2?

命題點3展開圖

例3（2021.新高考全國I）己知圓錐的底面半徑為理，其側(cè)面展開圖為一個半圓，則該圓錐

的母線長為（）

A.2B.2√2C.4D.4√2

答案B

解析設(shè)圓錐的母線長為/,因為該圓錐的底面半徑為√5,所以2πX也=π∕,解得∕=2√Σ

【教師備選】

1.如圖，網(wǎng)格紙的各小格都是正方形，粗實線畫出的是一個幾何體的三視圖，則這個幾何體

是（）

正視圖匚ffi≡圖

A.三棱錐B.三棱柱

C.四棱錐D.四棱柱

答案B

解析由題意知，該幾何體的三視圖為一個三角形、兩個四邊形，經(jīng)分析可知該幾何體為三

棱柱.

2.（2022.益陽調(diào)研）如圖，一個水平放置的平面圖形的直觀圖是一個底角為45。的等腰梯形，

已知直觀圖OA'B'C的面積為4,則該平面圖形的面積為（）

A.√2B.4√2C.8√2D.2√2

答案C

角平析由S?ιs?=2√2S,現(xiàn)國,得S原國*=2?∕5X4=8、^.

3.如圖所示的扇形是某個圓錐的側(cè)面展開圖，已知扇形所在圓的半徑R=S扇形弧長∕=4π,

則該圓錐的表面積為（）

A.2π

B.(4+2√5)π

C.（3+√5）π

D.8π+√5

答案B

解析設(shè)圓錐底面圓的半徑為廣，則2口=4兀，解得r=2,

2

，圓錐的表面積S?=S底ifi18+SM="+g∕R=πX22+/x47tX^=（4+2q5）7L

思維升華（1）由幾何體求三視圖，要注意觀察的方向，掌握“長對正、高平齊、寬相等”的

基本要求，由三視圖推測幾何體，可以先利用俯視圖推測底面，然后結(jié)合正視圖、側(cè)視圖推

測幾何體的可能形式.

（2）①在斜二測畫法中，平行于X軸的線段平行性不變，長度不變；平行于y軸的線段平行性

不變，長度減半.②SAKiS=耳^S冰tsm.

跟蹤訓(xùn)練1（1）（2021?浙江）某幾何體的三視圖如圖所示（單位：cm）,則該幾何體的體積（單位:

Cm3）是（）

正視圖側(cè)視圖

俯視圖

A.∣B.3Cr~^D.3√2

答案A

解析方法一由三視圖可知，該幾何體是一個底面為等腰梯形的直四棱柱，其中底面等腰

梯形的底邊長分別為√5,2√2,高為坐，該四棱柱的高為1,所以該幾何體的體積V=∣×（√2

÷2√2）×^×1=|.

方法二由三視圖可知，該幾何體是由底面為等腰直角三角形（腰長為2）的直三棱柱截去一個

底面為等腰直角三角形（腰長為1）的直三棱柱后得到的，所以該幾何體的體積V=^X22X1-

13

12×1=∣.

（2）（2022?中衛(wèi)模擬）已知水平放置的AABC按“斜二測畫法”得到如圖所示的直觀圖，其中

B'O'=C0'=1,Az0'=坐，那么AABC是一個（）

A)

B'/O'Cx'

A.等邊三角形B.直角三角形

C.等腰三角形D.鈍角三角形

答案A

解析根據(jù)斜二測畫法還原AABC在直角坐標(biāo)系中的圖形，如圖,

則BC=B1C1=2,

AO=2A'O'≈=√3,

AC=ΛB=√(√3)2+12=2,

所以aABC是一個等邊三角形.

(3)(2022?曲靖模擬)如圖，在水平地面上的圓錐形物體的母線長為12,底面圓的半徑等于4,

一只小蟲從圓錐的底面圓上的點P出發(fā)，繞圓錐側(cè)面爬行一周后回到點P處，則小蟲爬行的

最短路程為()

解析如圖，設(shè)圓錐側(cè)面展開扇形的圓心角為仇

則由題意可得2πX4=129,

貝1I6>=y,

在APOP'中，OP=OP'=12,

則小蟲爬行的最短路程為

PP'=^d122+122-2×12×12×(-∣)=12√3.

題型二表面積與體積

命題點1表面積

例4(1)(2022?成都調(diào)研)如圖，四面體的各個面都是邊長為1的正三角形，其三個頂點在一

個圓柱的下底面圓周上，另一個頂點是上底面的圓心，則圓柱的表面積是()

(√2+2)π(9√2+8)π

b-12

2(√2+l)πn(√2+2)π

C.3D.2

答案C

解析如圖所示，過點P作平面ABC,E為垂足，點E為等邊三角形ABC的中心，連

接AE并延長，交BC于點D

AE=^AD,AD=2`

.AE=2χ巫=亞

..AE-3×2_3，

.*.PE=yjPA2-AE2=^.

√3

設(shè)圓柱底面半徑為r,則r=AE=y,

.?.圓柱的側(cè)面積S∣=2πr?PE=2ττX坐X乎=當(dāng)普,

底面積S2=兀/X2=πX^^2χ2=^,

.?.圓柱的表面積S=S∣+S2=斗^+穹

2(√2+l)π

=3?

Tr

(2)在梯形ABCD中，ZABC^2'AD//BC,8C=2AQ=2A3=2.將梯形ABCZ)繞AO所在的

直線旋轉(zhuǎn)一周而形成的曲面所圍成的幾何體的表面積為()

A.(5+√2)πB.(4+√2)π

C.(5+2√2)πD.(3+√2)π

答案A

TV

解析：在梯形ABC。中，NABC=?AD//BC,BC=2AD=2AB^2,

'?D

.?.將梯形ABCD繞AD所在的直線旋轉(zhuǎn)一周而形成的曲面所圍成的幾何體是一個底面半徑為

AB=X,高為BC=2的圓柱挖去一個底面半徑為AB=I,高為BC-AO=2—1=1的圓錐，

二該幾何體的表面積S=π×l2+2π×1×2+π×1×√12+l2=(5+√2)π.

【教師備選】

有一塔形幾何體由3個正方體構(gòu)成，構(gòu)成方式如圖所示，上層正方體下底面的四個頂點是下

層正方體上底面各邊的中點.已知最底層正方體的棱長為2,則該塔形幾何體的表面積為

答案36

解析易知由下向上三個正方體的棱長依次為2,啦，1,

/.S*=2×22+4×[22+(√2)2+12]=36.

該幾何體的表面積為36.

思維升華(1)多面體的表面積是各個面的面積之和.

(2)旋轉(zhuǎn)體的表面積是將其展開后，展開圖的面積與底面面積之和.

(3)組合體的表面積求解時注意對銜接部分的處理.

命題點2體積

例5(1)(2021.新高考全國∏)正四棱臺的上、下底面的邊長分別為2,4,側(cè)棱長為2,則其體

積為()

A.20+12√3B.28√2

答案D

解析作出圖形，連接該正四棱臺上、下底面的中心，如圖,

因為該四棱臺上、下底面的邊長分別為2,4,側(cè)棱長為2,

所以該棱臺的高h=√22-（2√2-√2）2=√2,

下底面面積Sι=16,上底面面積$2=4,

所以該棱臺的體積V=∣A(Sl+S2+√S?)=∣×√2×(16+4+√64)=^^.

（2）（2020?新高考全國H）棱長為2的正方體ABCn-ABCld中，M,N分別為棱38∣,A3的

中點，則三棱錐A-OlMN的體積為.

答案1

解析如圖，由正方體棱長為2,

又易知QlAl為三棱錐A-AiMN的高,

且D?A↑=2,

?Vv=Vv

,?Ai-DiMND1-A1MN

113

=3-5?A≡-DIAI=3×2×2=1.

（3）（2022?大同模擬）《九章算術(shù)》是我國古代的數(shù)學(xué)巨著，其卷第五“商功”有如下的問題：

“今有芻矍，下廣三丈，袤四丈，上袤二丈，無廣，高一丈.問積幾何？”意思為：今有底

面為矩形的屋脊形狀的多面體（如圖），下底面寬AD=3丈，長AB=Ar丈，上棱EF=2丈,

E尸與平面ABCz）平行，EF與平面ABCD的距離為1丈，則它的體積是（）

A.4立方丈

C.6立方丈D.8立方丈

答案B

解析如圖，過E作EGJ_平面ABC￡）,垂足為G,過尸作尸從！平面ABC。，垂足為“，過

G作PQ〃AO,交AB于Q,交Cz）于P,過”作MN〃BC,交AB于N,交Cf）于由圖

形的對稱性可知，AQ=BN=I,QN=2,且四邊形AQPO與四邊形NBCM都是矩形.

則它的體積

V=VE-ΛQPD+VEPQ-VF-NBCM

=β?EG?S矩形AQPD+S"PQ?NQ+1?F7∕?S矩形NBCM=IX1×1X3+]X3×1X2+1X1×1×3=

5(立方丈).

【教師備選：！(2022?佛山模擬)如圖所示，在直徑AB=4的半圓O內(nèi)作一個內(nèi)接直角三角形

ABe使NBAC=30。，將圖中陰影部分，以AB為旋轉(zhuǎn)軸旋轉(zhuǎn)180。形成一個幾何體，則該幾

何體的體積為.

答案竽兀

解析如圖，過點C作CQLA5于點D

A

B

在RtZXABC中，

AC=ABcos30o=2√3,

CD=^AC=小,

o

AD=ACcos30=3,BD=AB-AD=If

將圖中陰影部分，以AB為旋轉(zhuǎn)軸旋轉(zhuǎn)180。形成一個幾何體，該幾何體是以A3為直徑的半

個球中間挖去兩個同底的半圓錐，

故所求幾何體的體積為

1Γ41L1

V=IX［針義23_§義兀X(S)2X(3+1)

10

=WTL

思維升華求空間幾何體的體積的常用方法

公式法規(guī)則幾何體的體積，直接利用公式

把不規(guī)則的幾何體分割成規(guī)則的幾何體，或者把不規(guī)則的幾何體補成規(guī)

割補法

則的幾何體

等體積法通過選擇合適的底面來求幾何體體積的一種方法，特別是三棱錐的體積

跟蹤訓(xùn)練2（1）（2022?武漢質(zhì)檢）等腰直角三角形的直角邊長為1,現(xiàn)將該三角形繞其某一邊

旋轉(zhuǎn)一周，則所形成的幾何體的表面積為（）

A..y∣2πB.(l+√2)π

C.2√2πD.√2π或(1+6)兀

答案D

解析如果是繞直角邊旋轉(zhuǎn)，則形成圓錐，圓錐底面半徑為1,高為1,母線就是直角三角形

的斜邊，長為啦，所以所形成的幾何體的表面積S=兀XlX&+兀X□=（啦+1）兀；如果繞斜

邊旋轉(zhuǎn)，則形成的是上、下兩個圓錐.圓錐的半徑是直角三角形斜邊上的高，所以圓錐的半

徑為晉，兩個圓錐的母線都是直角三角形的直角邊，母線長是1,所以形成的幾何體的表面

積S'=2XπX坐Xl=√i兀綜上可知，形成幾何體的表面積是（√5+l）π或也兀

⑵（2022?天津和平區(qū)模擬）已知正方體ABC48∣CQ的棱長為2,則三棱錐A-3∣CQ的體

積為（）

48

??BbC.4D.6

答案B

解析如圖，三棱錐A-BICZ）I是由正方體ABC。-ABlGQl截去四個小三棱錐A-A1,

C-BIeIDI,Bi-ABC,Dt-ACD,

又匕BCD-狷。。,

48

所以VABCD=8-4×3=T

A-tf1CD∣??

課時精練

應(yīng)基礎(chǔ)保分練

I.下列說法不正確的是（）

A.圓柱的每個軸截面都是全等的矩形

B.棱柱的兩個互相平行的面一定是棱柱的底面

C.棱臺的側(cè)面是梯形

D.用一個平面截一個球，得到的截面是一個圓面

答案B

解析B不正確，例如六棱柱的相對側(cè)面也互相平行.

2.（2022?梧州調(diào)研）在我國古代數(shù)學(xué)名著《數(shù)學(xué)九章》中有這樣一個問題：“今有木長二丈四

尺，圍之五尺.葛生其下，纏本兩周，上與木齊，問葛長幾何？”意思是“圓木長2丈4尺,

圓周長為5尺，葛藤從圓木的底部開始向上生長，繞圓木兩周，剛好頂部與圓木平齊，問葛

藤最少長多少尺？"（注：1丈等于10尺），則這個問題中，葛藤長的最小值為（）

A.2丈4尺B.2丈5尺

C.2丈6尺D.2丈8尺

答案C

解析如圖，由題意，圓柱的側(cè)面展開圖是矩形，一條直角邊（即圓木的高）長24尺，另一條

直角邊長5X2=10（尺），因此葛藤長的最小值為√Ξ喬后=26（尺），即為2丈6尺.

3.（2021?北京）某四面體的三視圖如圖所示，該四面體的表面積為（

俯視圖

B.4C.3+√3D.2

答案A

解析根據(jù)三視圖可得如圖所示的幾何體一正三棱錐。一ABC,

A

其側(cè)面為等腰直角三角形，底面為等邊三角形,

由三視圖可得該正三棱錐的側(cè)棱長為1,

故其表面積為3×∣×1×1

4.（2022?蘭州模擬）玉琮是一種內(nèi)圓外方的筒型玉器，它與玉璧、玉圭、玉璋、玉璜、玉琥被

稱為“六器”，是古人用于祭祀神祇的一種禮器.《周禮》中載有“以玉作六器，以禮天地四

方，以蒼璧禮天，以黃琮禮地”等文.如圖為齊家文化玉琮，該玉琮中方內(nèi)空，形狀對稱,

圓筒內(nèi)徑2.0cm,外徑2.4cm,筒高6.0cm,方高4.0cm,則其體積約為（單位：cm3）（）

A.23.04—3.92兀B.34.56-3.92π

C.34.56-3.12πD.23.04-3.12π

答案D

解析由題圖可知，組合體由圓柱、長方體構(gòu)成，

組合體的體積為V=2×π×（?）2+4×2.4×2.4-π×l2×6=23.04-3.12π.

5.（2022.商洛模擬）正多面體被古希臘圣哲認為是構(gòu)成宇宙的基本元素,加上它們的多種變體,

一直是科學(xué)、藝術(shù)、哲學(xué)靈感的源泉之一.如圖，該幾何體是一個棱長為2的正八面體，則

此正八面體的體積與表面積之比為（）

A亞R亞商D亞

A-18ts?9J2υ-3

答案B

解析取BC的中點G,連接EG,BD,取8。的中點。，連接E。，如圖，由棱長為2,可

得正八面體上半部分的斜高為EG=√22-12=√3,高為EO=√3-1=√2,

則正八面體的體積為JX坐學(xué)=2X*L半

其表面積為S=8X?筍=8義"爭=8√5,

.?.此正八面體的體積與表面積之比為乎.

6.如圖，在正四棱柱A8CD—A出GU中，AB=I,AAI=小，點E為A8上的動點，則QE

+CE的最小值為（）

A.2√2B.√10

C.√5+lD.2+√2

答案B

解析如圖，連接AO∣,BG分別延長至尸，G,使得AO=AF,BC=BG,連接EG,FG,

；四棱柱ABeZ)-A/ICIDl為正四棱柱，

.?.ABJL平面ADdA1,48_L平面BCClO1,

.,.ABlAF,ABLBG,

又AB=AD=AF,

四邊形ABG尸為正方形，

EG=、BE-BGZ=TBE1+BC2=CE,

.?.O∣E+CE的最小值為DiG,

又DIG^y∣D↑F2+FG2=√9+T=√Tθ,

J.D?E+CE的最小值為Mid

7.已知圓柱的上、下底面的中心分別為O∣,O2,過直線0。2的平面截該圓柱所得的截面是

面積為8的正方形，則該圓柱的表面積為（）

A.I2y∣2πB.12π

C.8√2πD.10π

答案B

2

解析設(shè)圓柱的軸截面的邊長為X,則由x=8,得x=26，,S畫?s=2S底+Sjs=2XπX（√?2

+2π×√2×2√2=12π.

8.（2022.邯鄲模擬）攢尖是我國古代建筑中屋頂?shù)囊环N結(jié)構(gòu)形式，宋代稱為最尖，清代稱攢尖,

通常有圓形攢尖、三角攢尖、四角攢尖、八角攢尖，也有單檐和重檐之分，多見于亭閣式建

筑、園林建筑.下面以四角攢尖為例，如圖，它的屋頂部分的輪廓可近似看作一個正四棱錐.已

知此正四棱錐的側(cè)面與底面所成的銳二面角為θ,這個角接近30。,若取9=30。,側(cè)棱長為√7T

米，貝∣J（）

A.正四棱錐的底面邊長為4米

B.正四棱錐的底面邊長為3米

C.正四棱錐的側(cè)面積為24√5平方米

D.正四棱錐的側(cè)面積為12小平方米

答案C

解析如圖，在正四棱錐S—ABCZ）中，。為正方形ABCO的中心，H為AB的中點，

則SHLAB,

設(shè)底面邊長為2a.

因為/SHO=?。。，

所以O(shè)H=AH=a,OS=a,SH-cι.

在RtΔ5ΛW中，a2+2=21,

解得a=3,所以正四棱錐的底面邊長為6米，側(cè)面積為S=3X6X2√5X4=24?。ㄆ椒矫祝?

9.如圖是水平放置的正方形ABC0,在平面直角坐標(biāo)系Xo），中，點B的坐標(biāo)為（2,2）,則由斜

二測畫法畫出的正方形的直觀圖中，頂點8'到x'軸的距離為.

解析利用斜二測畫法作正方形ABCo的直觀圖如圖，

^O'C'D'x'

在坐標(biāo)系0'x'y'中，B'C'=1,Zx,C'B'=45。.

過點B'作x'軸的垂線，垂足為點。'.

在RtD'C中，

B'D'=B'C'sin45。=IX乎=坐

10.在如圖所示的斜截圓柱中，已知圓柱的底面直徑為40Cm,母線長最短50cm,最長80cm,

則斜截圓柱的側(cè)面面積S=cm?.

答案2600π

解析將題圖所示的相同的兩個幾何體對接為圓柱，則圓柱的側(cè)面展開圖為矩形.由題意得

所求側(cè)面展開圖的面積S=TX（兀X40）X（50+80）=2600π（cm2）.

11.（2020?江蘇）如圖，六角螺帽毛坯是由一個正六棱柱挖去一個圓柱所構(gòu)成的.已知螺帽的底

面正六邊形邊長為2cm,高為2cm,內(nèi)孔半徑為0.5cm,則此六角螺帽毛坯的體積是

cm3.

答案12√3-≡

解析螺帽的底面正六邊形的面積

5=6×^×22×sin60o=6√3（cm2）,

正六棱柱的體積?=6√3×2=12√3（cm3）,

JT

圓柱的體積V2=π×O.52×2=2（cm3）?

所以此六角螺帽毛坯的體積

V=Vi-V2=fl2√3-∣）Cm3.

12.（2022?佛山質(zhì)檢）已知圓錐的頂點為S,底面圓周上的兩點A,8滿足aSBA為等邊三角形,

且面積為4小，又知圓錐軸截面的面積為8,則圓錐的側(cè)面積為.

答案8√2π

解析設(shè)圓錐的母線長為/,由ASAB為等邊三角形，且面積為4小，

8

所以52sin號=4小，

解得/=4；

又設(shè)圓錐底面半徑為r,高為力，

則由軸截面的面積為8,得滴=8；

又產(chǎn)+爐=16,

解得r=Λ=2√2,所以圓錐的側(cè)面積5=πr∕=π×2√2×4=8√2π.

立技能提升練

13?（2021?全國乙卷）以圖①為正視圖，在圖②③④⑤中選兩個分別作為側(cè)視圖和俯視圖，組

成某個三棱錐的三視圖，則所選側(cè)視圖和俯視圖的編號依次為（寫出符合要求的一組

答案即可.）

I------2------?1I-----2------HI------2------?)

圖①圖②圖③

答案③④（答案不唯一，②⑤也可）

解析根據(jù)“長對正、高平齊、寬相等”及圖中數(shù)據(jù)，可知圖②③只能是側(cè)視圖，圖④⑤只

能是俯視圖，則組成某個三棱錐的三視圖，所選側(cè)視圖和俯視圖的編號依次是③④或②⑤.

若是③④，則原幾何體如圖1所示；若是②⑤，則原幾何體如圖2所示.

14?（2022?南京模擬）小張周末準(zhǔn)備去探望奶奶，到商店買了一盒點心，為了美觀起見，售貨

員用彩繩對點心盒做了一個捆扎（如圖①所示），并在角上配了一個花結(jié).彩繩與長方體點心

盒均相交于棱的四等分點處?設(shè)這種捆扎方法所用繩長為∕l,一般的十字捆扎（如圖②所示）

所用繩長為/2.若點心盒的長、寬、高之比為2：2：1,則夕的值為________.

12

圖①圖②

較案范

n采2

解析；點心盒的長、寬、高之比是2：2：1,

.?.設(shè)點心盒的長、寬、高分別為4a,44,24,

由題意可得∕ι=4×√2α+4×2√2a=12√2ɑ,

∕2=4X4α+4X2α=244,

./1_12啦“_啦

?￡=24a—2-

D拓展沖刺練

15.魯班鎖（也稱孔明鎖、難人木、六子聯(lián)方）起源于古代中國建筑的梯卯結(jié)構(gòu).如圖1,這是

一種常見的魯班鎖玩具，圖2是該魯班鎖玩具的直觀圖，每條棱的長均為2,則該魯班鎖的

表面積為（）

圖1圖2

A.8(6+6√2+√3)B.6(8+8√2+√3)

C.8(6+6√3+√2)D.6(8+8√3+√2)

答案A

解析由題圖可知，該魯班鎖玩具可以看成是一個棱長為2+2吸的正方體截去了8個正三棱

錐所余下來的幾何體，且被截去的正三棱錐的底面邊長為2,側(cè)棱長為也，則該幾何體的表

面積為S=6×Γ(2+2√2)2-4×∣×√2×√21+8×∣×2×√3=8(6+6√2+√3).

16?(2022?壽光模擬)沙漏是古代的一種計時裝置，它由兩個形狀完全相同的容器和一個狹窄

的連接管道組成，開始時細沙全部在上部容器中，細沙通過連接管道全部流到下部容器所需

要的時間稱為該沙漏的一個沙時.如圖，某沙漏由上、下兩個圓錐組成，圓錐的底面直徑和

高均為8cm,細沙全部在上部時，其高度為圓錐高度的余細管長度忽略不計)，假設(shè)該沙漏每

秒鐘漏0.02cm3的沙，且細沙全部漏入下部后，恰好堆成一個蓋住沙漏底部的圓錐形沙堆,

以下結(jié)論不正確的是(π-3.14)()

A.沙漏中的細沙體積為L潸em?

B.沙漏的體積是128JtCm3

C.細沙全部漏入下部后此錐形沙堆的高度約為2.4Cm

D.該沙漏的一個沙時大約是1985秒

答案B

解析A項，根據(jù)圓錐的截面圖可知，細沙在上部時，細沙的底面半徑與圓錐的底面半徑之

?Q

比等于細沙的高與圓錐的高之比，所以細沙的底面半徑r=^X4=?∣(Cm),

,,,?,,,1,2h164π161024π二、

所dtl以λ體積jrV=Q?πL?與^=]L^-3"=^i―(cm3)；

B項，沙漏的體積V=2xWxπx(3x∕z

=2XyXττX42χ8=-?-(Cm3)；

C項，設(shè)細沙流入下部后的高度為用，根據(jù)細沙體積不變可知,

Lθ24π-l

χιπrx2

81^3××(I)×Λ>?

―1024π16πf”7,λ_

所以-Q1=&,所以/21%2.4(Cm)；

oi3

兀

D項，因為細沙的體積為"1402產(chǎn)4cm3,

o1

沙漏每秒鐘漏下0.02cm3的沙,

1024兀

811024X3.14

所以一個沙時為5

0.02≈—-×°

?=1985(秒).

培優(yōu)課;§8.2球的切、接問題

題型一特殊幾何體的切、接問題

例1(1)已知正方體的棱長為a,則它的外接球半徑為,與它各棱都相切的球的半

徑為.

答案號Cl挈

解析?；正方體的外接球的直徑為正方體的體對角線長，為小小

.?.它的外接球的半徑為坐”,

???球與正方體的各棱都相切，則球的直徑為面對角線，而正方體的面對角線長為√54,

.?.與它各棱都相切的球的半徑為坐。

(2)已知圓錐的底面半徑為1,母線長為3,則該圓錐內(nèi)半徑最大的球的體積為

答案WTr

解析圓錐內(nèi)半徑最大的球即為圓錐的內(nèi)切球，設(shè)其半徑為r?作出圓錐的軸截面附8,如圖

所示，則△/?B的內(nèi)切圓為圓錐的內(nèi)切球的大圓.在△弘B中，PA=PB=Z,。為AB的中點,

AB=2,E為切點、,則尸O=2√L/?PE0SAPDB,

,,POOE2y∣2-rr

故而=而，a即n亡一=T

解得尸坐,

故內(nèi)切球的體積為全(乎＞=乎兀

思維升華(1)正方體與球的切、接常用結(jié)論

正方體的棱長為4,球的半徑為/?,

①若球為正方體的外接球，則2R=√54:

②若球為正方體的內(nèi)切球，則2R=α:

③若球與正方體的各棱相切，則2R=√iα.

(2)長方體的共頂點的三條棱長分別為4,b,c,外接球的半徑為R,則2R=正*Wc2.

(3)正四面體的外接球的半徑A=#”，內(nèi)切球的半徑r=*∣,其半徑R：r=3：l(a為該正四

面體的棱長).

兀

跟蹤訓(xùn)練1(1)(2022?成都模擬)已知圓柱的兩個底面的圓周在體積為3弩2的球。的球面上，

則該圓柱的側(cè)面積的最大值為()

A.4πB.8πC.12πD.16π

答案B

解析如圖所示，設(shè)球。的半徑為凡由球的體積公式得

，兀R3=.，解得R=2.

設(shè)圓柱的上底面半徑為r,球的半徑與上底面夾角為0,則r=2cos0,

圓柱的高為4sina,

,二圓柱的側(cè)面積為4πcosa×4sina=8πsin2a9

TT

當(dāng)且僅當(dāng)ɑ=1,sin2α=l時，圓柱的側(cè)面積最大，

圓柱的側(cè)面積的最大值為8π.

(2)(2022?長沙檢測)在封閉的直三棱柱ABC-48G內(nèi)有一個體積為丫的球.ABLBC,AB

=6,BC=8,AA=3,則V的最大值是.

9π

答案T

解析易知AC=I0.

設(shè)BC的內(nèi)切圓的半徑為r,

則gx6X8=}x(6+8+10)?r,

所以r=2.

因為2r=4>3,

所以最大球的直徑2R=3,

即R=去3此時球的體積V=4/R3=夕9π.

題型二補形法

例2⑴在四面體ABCD中，若AB=CD=小,AC=BD=2,AD=BC=小,則四面體ABCo

的外接球的表面積為（）

A.2πB.4兀C.6πD.8兀

答案C

解析由題意可采用補形法，考慮到四面體ABCD的對棱相等，所以將四面體放入一個長、

寬、高分別為X,y,Z的長方體，并且x2+γ2=3,x2+z2=5,y2+z2=4,則有（2R）2=x2+y2

+z2=6（R為外接球的半徑），得2R2=3,所以外接球的表面積為S=47tR2=671.

（2）（2022.重慶實臉外國語學(xué)校月考）如圖,在多面體中，四邊形ABC力為矩形,CE_L平面ABC

AB=2,BC=CE=I,通過添加一個三棱錐可以將該多面體補成一個直三棱柱，那么添加的

三棱錐的體積為，補形后的直三棱柱的外接球的表面積為.

答案I6π

解析如圖添加的三棱錐為直三棱錐E-ADF,

可以將該多面體補成一個直三棱柱AOF—BCE,

因為CE_L平面ABCZ）,AB=2,BC=CE=I,

所以SACBE=aCEXBC=∣×IX1=1,

直三棱柱ADF-BCE的體積為

V=S?≡?DC=∣×2=1,

添加的三棱錐的體積為超4

如圖，分別取AF,BE的中點M,N,連接與AE交于點O,

因為四邊形AEEB為矩形，所以。為AE,MN的中點，在直三棱柱A。F-BCE中，CEL平

面ABCD,

EDJ_平面488,即NECB=NFD4=90。，所以上、下底面為等腰直角三角形，直三棱柱的

外接球的球心即為點O,連接。0,Oo即為球的半徑，

1?/?

連接。M,因為DM=IA產(chǎn)=方",仞0=1,

13

所以DO2=DM2+MO2=^^^?=?'

所以外接球的表面積為4π?DO2=6π.

思維升華補形法的解題策略

(1)側(cè)面為直角三角形，或正四面體，或?qū)饩嗟鹊哪Ｐ?，可以還原到正方體或長方體中去

求解；

(2)直三棱錐補成三棱柱求解.

跟蹤訓(xùn)練2已知三棱錐P-ABC中，PA,PB,PC兩兩垂直，且抬=1,PB=2,PC=3,

則三棱錐P-ABC的外接球的表面積為()

A.4出πB.14πC.56πD.-7^i4π

答案B

解析以線段網(wǎng)，PB,PC為相鄰三條棱的長方體Λ4B'B-CA1P'C被平面ABC所截

的三棱錐P-ABC符合要求，如圖，

長方體RW'B-CA'P1C與三棱錐尸一ABC有相同的外接球，其外接球直徑為長方體體

對角線PP',設(shè)外接球的半徑為R,

則(2Ry=PP'2=/^+PB?+PC2

=l2+22+32=14,

則所求表面積S=4πΛ2=π?(27?)2=14π.

題型三定義法

例3(1)已知NABC=90。，∕?_L平面ABC,若∕?=AB=BC=I,則四面體∕?BC的外接球(頂

點都在球面上)的體積為()

A.πB.√3πC.2πD.雪江

答案D

解析如圖，取PC的中點O,連接OA,0B,由題意得∕?LBC,

又因為PAΠAB=A,PA,ABU平面∕?B,

所以8C_L平面PAB,

所以BCLPB,

在RtAPBC中，OB=TpC,

同理04=TPC,

所以O(shè)A=OB=OC=^PC,

因此P,A,B,C四點在以0為球心的球面上，

在RtAABC中，AC=√Aβ2+BC2=√2.

在Rt△心C中，PC=√M2+AC2=√3,

球0的半徑R~PC=^?,

所以球的體積為K*3=季

延伸探究本例(1)條件不變，則四面體P-ABC的內(nèi)切球的半徑為

答案寫i

解析設(shè)四面體P-ABC的內(nèi)切球半徑為匚

由本例(1)知，

S△網(wǎng)c=；HAC=：X1×√2=?^,

S△用J?=]%AB=/X?X1=]，

S^ABC=^AB?BC=^×1×1=3，

S4PBc=]PB?BC=]Xyj^X1=^2~，

VP-ABC=?×^ABBCPA

≈∣×∣×1×1×1=∣,

VPAAC=W(S△用c+S△附B+SMBC+S△詠"

?

≡÷14÷^:6,

.-^2Ξ11

??r^-2.

(2)在矩形ABC。中，BC=4,M為8C的中點，將aABM和AOCM分別沿AM,DW翻折，

使點8與點C重合于點P,若NAPo=I50。，則三棱錐M一雨。的外接球的表面積為()

A.12πB.34π

C.68πD.126π

答案C

解析如圖，由題意可知，MPLPA,MPLPD.

且∕?∩PO=P,∕?u平面南。，PoU平面出。，

所以MP_L平面PAD.

設(shè)AAOP的外接圓的半徑為r,

ΛΓ)

則由正弦定理可彳??2而=2r,

4

即Sin150。=2匕所以「=4.

設(shè)三棱錐M-PAD的外接球的半徑為R,

則(2R)2=PM2+(2r)2,

即(2R)2=4+64=68,所以4R2=68,

所以外接球的表面積為4πΛ2=68π.

思維升華到各個頂點距離均相等的點為外接球的球心，借助有特殊性底面的外接圓圓心，

找其垂線，則球心一定在垂線上，再根據(jù)到其他頂點距離也是半徑，列關(guān)系式求解即可.

跟蹤訓(xùn)練3(1)一個六棱柱的底面是正六邊形，其側(cè)棱垂直于底面，已知該六棱柱的頂點都

在同一個球面上，且該六棱柱的體積為M底面周長為3,則這個球的體積為.

O

答案?

解析設(shè)正六棱柱的底面邊長為X,高為兒

&=3,r1

X=》

則有＜9

[δ=6×

Jι=4

正六棱柱的底面外接圓的半徑r=j,球心到底面的距離d丹.

???外接球的半徑R=正+4=L.??V?=拳

（2）（2022?哈爾濱模擬）已知四棱錐P-ABCf）的底面ABCO是矩形，其中AO=I,AB=2,平

面∕?OL平面ABCr>,△孫。為等邊三角形，則四棱錐P-ABC。的外接球表面積為（）

16π76π64π19π

??.3D?33?3

答案A

解析如圖所示，在四棱錐P-ABCD中，平面fi4O_L平面ABe。，平面以O(shè)rl平面ABCD

=AD,PA=PD,取4。的中點E,

則PE±AD,PE_L平面ABCD,

則PEL4B,由AO_LAB,AOCPE=E,AD,PEU平面布￡）,可知A8_L平面B4O,

由AEAD為等邊三角形，E為AD的中點知，PE的三等分點尸（距離E較近的三等分點）是三

角形的中心，過尸作平面∕?。的垂線，過矩形ABCQ的中心。作平面ABa）的垂線，兩垂

線交于點/,則/即外接球的球心.

SIDNI小吏

OI-EF-^PE-j×2-6，

Ao=IAC=,

設(shè)外接球半徑為R,

則R2=Al2=AO2+OI2=f?v]2÷f￡?2=?,

4∣6π

所以四棱錐P-ABC。的外接球表面積為S=4πΛ2=4π×^=-

課時精練

1.正方體的外接球與內(nèi)切球的表面積之比為（）

A.√3B.3√3

C.3D.g

答案C

解析設(shè)正方體的外接球的半徑為R,內(nèi)切球的半徑為「，棱長為1,則正方體的外接球的直

徑為正方體的體對角線長，即2R=√5,所以R=坐,正方體內(nèi)切球的直徑為正方體的棱長,

即2r=l,即T，所以，=小，正方體的外接球與內(nèi)切球的表面積之比