2023年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)講義：第七章不等式、推理與證明

第七章不等式、推理與證明

§7.1等式性質(zhì)與不等式性質(zhì)

【考試要求】1.掌握等式性質(zhì)2會(huì)比較兩個(gè)數(shù)的大小.3.理解不等式的性質(zhì)，并能簡(jiǎn)單應(yīng)用.

?落實(shí)

【知識(shí)梳理】

1.兩個(gè)實(shí)數(shù)比較大小的方法

a-b>O<^a>h,

作差法<。一b=O0a三b,(a9?≡R)

,a-b<O^>a<b.

2.等式的性質(zhì)

性質(zhì)1對(duì)稱(chēng)性：如果a=b,那么b=a↑

性質(zhì)2傳遞性：如果a=。，b=c,那么〃=c；

性質(zhì)3可加(減)性：如果a=b,那么a±c=b±c;

性質(zhì)4可乘性：如果a=b,那么ac=hc;

性質(zhì)5可除性：如果Cw0,那么

3.不等式的性質(zhì)

性質(zhì)1對(duì)稱(chēng)性：a>b^b<a?

性質(zhì)2傳遞性：a>b9b>c=^a>c↑

性質(zhì)3可加性：a>b<=^a+c>b+c↑

性質(zhì)4可乘性：a>b,c>0=^ac>bc;a>b9c<0=^ac<bc;

性質(zhì)5同向可加性：a>hfc>d^a+c>b+d；

性質(zhì)6同向同正可乘性：a>b>0fc>d>0=>ac>bd；

性質(zhì)7同正可乘方性：a>h>0=>an>b,l(n∈N,∕ι≥2).

【常用結(jié)論】

1.若ab>0f且6Γ>?<Φ-<∣.

,,bb+m

2?有i'

,,.bb-?-tn

右h>a>O∕n>0=>->—r-.

9aa-vm

【思考辨析】

判斷下列結(jié)論是否正確(請(qǐng)?jiān)诶ㄌ?hào)中打“J”或“X”)

(1)兩個(gè)實(shí)數(shù)出6之間，有且只有4>b,a=b,“<?三種關(guān)系中的一種.(√)

(2)若去>1,則>>α.(×)

(3)若x>y,則x2>γ2.(X)

(4)若則b<a.(X)

【教材改編題］

1.設(shè)b>a>O,c∈R,則下列不等式不正確的是()

--11

A.a2<b2B->τ

ab

。+2aQa

c-^b+Γbd?ac<bc

答案D

?

解析因?yàn)閥=/在(0,+8)上單調(diào)遞增，

??

所以。5<廬，A正確；

因?yàn)閥=:在(0,+8)上單調(diào)遞減，

所以B正確;

E立。+―、/+--良

因?yàn)閹?一5ci=國(guó)2(b力-d)°'所以市27a'C正r確;

當(dāng)C=O時(shí)，aci=bci,所以D不正確.

2.已知M=A2-3X,N=-3f+χ-3,則M,N的大小關(guān)系是

答案M>N

解析M—N-(X2—3x)—(—3X2+X-3)

=4/-4x+3=(2χ-1￥+2>0,

：.M>N.

3.己知一l<α<2,—3<?<5,則α+28的取值范圍是

答案(-7,12)

解析V-3<?<5,-6<2?<10,

又一l<α<2,

Λ-7<^+2?<12.

■探究核心題型

題型一比較兩個(gè)數(shù)（式）的大小

例1⑴若α<0,b<0,則P=I"+萬(wàn)與q=α+b的大小關(guān)系為（）

A.p<qB.p≤gC.p>qD.p2q

答案B

解析p-q=~^+^~a~b

b2~a2,a2-b2工」、

=(b2-a2y

b

(從一一03一4(b+α)

因?yàn)棣?lt;0,?<0,所以α+b<O,ab>O.

若a=b,則p—q=0,故p=q;

若a≠b9貝IJp—q<0,故p<q.

綜上，p≤q?

In4In5

(2)若b—不‘C=丁'，則（)

A.a<b<cB.c<b<a

C.c<a<hD.b<a<c

答案B

解析令函數(shù)y（χ）=乎，則，（X）=1-Inx

X2

易知當(dāng)Qe時(shí)，，（x）<0,函數(shù)Ar）單調(diào)遞減，

因?yàn)閑<3<4<5,

所以犬3）次4）次5）,

即c<b<a.

【教師備選】

2021+l2022+l

已知M=所e干，N=e兩干，則M，N的大小關(guān)系為

答案M>N

……e202l+le2022+l

-

解析萬(wàn)法一M-∕V=e2O22+1e2023+j

(e202∣+l)(e2023+l)-(e2°22+l)2

(e2022+l)(e2023+l)

e2021_|_e2023_2e2022

=(e2022+l)(e2()23+l)

e202l(e-1)2

=(e2022+l)(e2023+lf0?

e*+1

方法二令./U)=GF

?+l+i)+ι-∣i-?

t

?v-llV-

尸+l=e+ex+'+l,

顯然火x)是R上的減函數(shù)，

：.fi2021)M2022),即M>N.

思維升華比較大小的常用方法

(1)作差法：①作差；②變形；③定號(hào)；④得出結(jié)論.

(2)作商法：①作商；②變形；③判斷商與1的大小關(guān)系；④得出結(jié)論.

(3)構(gòu)造函數(shù)，利用函數(shù)的單調(diào)性比較大小.

跟蹤訓(xùn)練1(1)已知0<后,且M=γ^+γ?,+5］，則M,N的大小關(guān)系是()

A.M>NB.M<N

C.M=ND.不能確定

答案A

解析?.?()<α<∣,

1+〃>0/+?>0,l—ah>O.

1—。1一82(1—

M-N=-T+Σ+T+?=(i+6z)(i+fef°,

：.M>N.

(2)eπ?πe與ee?ππ的大小關(guān)系為

答案eπ?πc<ec?ππ

解析等=客=Sb

e

又0<~<l,0<π-e<l,

即f?<L即e"?πC<eC?πjt.

題型二不等式的性質(zhì)

例2(1)(2022?濱州模擬汴列命題為真命題的是()

A.若a>b,則ac2>bc2

B.若a<b<0,貝IJa1<ab<b1

C.若c>α>b>0,貝IJ&<一八

c-ac-b

D.若a>h>c>Of

答案D

解析對(duì)于A選項(xiàng)，當(dāng)c=0時(shí)，顯然不成立，故A選項(xiàng)為假命題；

對(duì)于B選項(xiàng)，當(dāng)〃=—3,b=-2時(shí)，滿(mǎn)足。<〃<0,但不滿(mǎn)足∕<"<?2,故B選項(xiàng)為假命題;

對(duì)于C選項(xiàng)，當(dāng)c=3,</=2,6=1時(shí)，，―=∕v^-故C選項(xiàng)為假命題；

c-a3-2c—b2

、人十.八α÷ca(b+c)~b(a+c)ac~bc(a~b)c?^aa+c

對(duì)于D選項(xiàng)，由于a>b>c>O,所以工一匚；；；,a

bh+Lc=-----h,(hX-+-c-)-----≈b(h√+c?)=,hz(7b-,v?c)>0,SPτb>—h—-rc,

故D選項(xiàng)為真命題.

(2)若呆<0,則下列不等式正確的是.(填序號(hào))

??<?:②同+以)；

③〃一@ln^2>lnb1.

答案①③

解析由<0，可知*4<0?

①中，因?yàn)镼+A<O,ah>O9所以d7<O,!>°?故有dτ<J?即①正確；

a~rbCioa-vbab

②中，因?yàn)椤?lt;〃<0,所以一b>—a>0.

故一b>∣α∣,Rp∣a∣+fe<O,故②錯(cuò)誤；

③中，因?yàn)閄aC0,又!</<0，

貝!)一(>一?0,所以“一%一春，故③正確；

2

④中，因?yàn)?。<0,根據(jù)y=x在(-8,0)上單調(diào)遞減，可得∕>a2>o,而y=]tlχ在定義域

(0,+8)上單調(diào)遞增，所以In序>ln∕,故④錯(cuò)誤.

I教師備選】

若α,b,c∈R,a>b,則下列不等式恒成立的是()

A?懸

B.a1>b2

c.α∣c∣>6∣c∣D.就7[>總7j^

答案D

解析對(duì)于A,若α>O>b,貝心>上，

故A錯(cuò)誤；

對(duì)于B,取α=l,b--2,則Ge",故B錯(cuò)誤；

對(duì)于C,若c=0,d?c?=b?c?,故C錯(cuò)誤;

對(duì)于D,因?yàn)閏2+l2l,所以日1>0,

又a>b9

所以;?>*^,故D正確?

思維升華判斷不等式的常用方法

(1)利用不等式的性質(zhì)逐個(gè)驗(yàn)證.

(2)利用特殊值法排除錯(cuò)誤選項(xiàng).

(3)作差法.

(4)構(gòu)造函數(shù)，利用函數(shù)的單調(diào)性.

跟蹤訓(xùn)練2(1)(2022?珠海模擬)已知.,?∈R,滿(mǎn)足α?<0,a+b>O,a>b,則()

C.a2>b2D.a<?b?

答案C

解析因?yàn)棣罼0,a>b,則q>0,b<0,^>0,^<0,A不正確;

^<0,1<0,則￡+六0，B不正確；

又α+?>0,BPa>-b>O,則。2>(一力2,企序,

C正確；

由a>-h>O得a>?b?,D不正確.

⑵設(shè)4>b>l*>O,下列四個(gè)結(jié)論正確的是.(填序號(hào))

②ba<>ab<;

③(1一c)“<(l-c)外

④log,,(α+c)>logw(?+c).

答案③④

解析由題意知，^>?>l>c>O,

所以對(duì)于①，ac>bc>Ot

故長(zhǎng)?,所以①錯(cuò)誤；

對(duì)于②，取α=3,b=2,C=；,

則加，=2√5,α?c=3√2,

所以bac<abc,故②錯(cuò)誤；

對(duì)于③，因?yàn)镺<1—c<l,且α>6,

所以(1—c∕l<(l-C)\故③正確；

對(duì)于④，α÷c>?÷c>l,

所以log?(α+c)>log*(?+c)>logβ(?+c),

故④正確.

題型三不等式性質(zhì)的綜合應(yīng)用

例3(1)已知一l<x<4,2<y<3,則x-y的取值范圍是.,3x+2),的取值范圍是

答案(-4,2)(1,18)

解析V-I<x<4,2<y<3,

-3<—y<—2,

-4<χ->,<2.

由一l<x<4,2<y<3,

得一3<3χvl2,4v2y<6,

Λl<3x+2j<18.

(2)已知3<“<8,4<X9,則領(lǐng)取值范圍是.

答案I］，2)

解析V4<fe<9,

.111

964'

又3<4<8,

Λ∣×3<f<∣×8,

g?v2?

延伸探究若將本例(1)中條件改為一l<x+y<4,2<χ-y<3,求3x+2y的取值范圍.

解設(shè)3x+2y=m(x+y)+n(x-y),

m-?-n=3,

則

m一九=2,

即3x+2y=](x+y)+g(Ly),

又'I—1<x+y<4,2<χ-y<3,

3

*??F

=1?0,C2

243

,22,3

3

.?.3x+2y的取值范圍為

【教師備選】

已知O<β<a<^,則α—￡的取值范圍是

答案（o,g

解析,?,0</?<|,Λ-∣<-^<0,

又0<α<^,：?—B<α-￡專(zhuān)

又B<a,:.a~~β>0,

即0<a-峙

思維升華求代數(shù)式的取值范圍，一般是利用整體思想，通過(guò)“一次性”不等關(guān)系的運(yùn)算求

得整體范圍.

跟蹤訓(xùn)練3⑴已知α>b>c,2α+6+c=0,則。的取值范圍是()

A.—3<^<-1B.—1<^<-?

C.-2<-<-1D.—κ^<-?

aa2

答案A

解析因?yàn)閍>b>c,2a+b+c=O,

所以。>0,c<0,b=-2a-c,

因?yàn)閍>b>c,

所以一2a—c<a,即3a>-c,解得彳>一3,

將b=~2a~cKΛb>c中，得一2〃一c>c,

即a<—c,得彳<—1,所以一3<彳<—1.

(2)已知l<α<*3,則a—b的取值范圍是,彳的取值范圍是.

答案(-2,0)J},1)

解析,.'1<?<3,-3<-b<—1,

又1<a<3,

—2<a-h<29又a<b,

?*?a-b<0,

—2<a—?<0,

又鏟市，

..鏟尸,又亍>3,??鏟g<L

綜上所述，a—6的取值范圍為(一2,0)；彳的取值范圍為Q,1).

課時(shí)精練

過(guò)基礎(chǔ)保分練

I.已知4>0,?>0,M=7a+b,2V=√α+√?,則M與N的大小關(guān)系為()

A.M>N

B.M<N

C.MWN

D.M,N大小關(guān)系不確定

答案B

解析M2-N2=(a+b)~(a+b+2y∣^b)

=-2√^?<0,

；?M<N.

2.已知非零實(shí)數(shù)α,匕滿(mǎn)足4<4則下列命題成立的是()

A.a2<b1B.ab2<cι2b

11CbCl

C奇誨d?^

答案C

解析若α<X0,則/?序，故A不成立；

ab>O,

若I

a<h9

則a2b<ab2,故B不成立；

若α=l,b=2,則5=2,f=∣,然，故D不成立，由不等式的性質(zhì)知，C正確.

W

3.已知一3<〃v—2,3<A<4,則了的取值范圍為()

O

A.B?β

CG,4)D?Q,1)

答案A

解析因?yàn)橐?<〃<—2,所以∕∈(4,9),

〃2

而3<b<4,故石的取值范圍為(1,3).

4.若0>L加=1。8?(層+1),n=logα(α+l),P=Ioga(2α),則加，n,P的大小關(guān)系是()

A.n>m>pB.nt>p>n

C.m>n>pD.p>m>n

答案B

解析由α>l知，a1+1—2^=(a-1)2>0,

即。2+]>24,而2a—(α+l)=4—1>0,

即2a>a+1,

2

.?a+?>2a>a+1,而y=logrtx在定義域上單調(diào)遞增，

m>p>n.

5.已知α,?∈R,則"間>時(shí)'是啜>1”成立的()

A.充分不必要條件

B.必要不充分條件

C.充要條件

D.既不充分也不必要條件

答案B

解析不妨令α=l,?=0,

故|冰>族|不能推出41,

若E>l,故α,6同號(hào)，

若α,。都大于0,則α>b>0,從而間>∣b∣;

1

若m都小于0,JHJa<b<09從而間>向，

故》1能推出∣α∣>步|,

從而“間>網(wǎng)”是“齊1”成立的必要不充分條件.

6.（2022?濟(jì)寧模擬）已知x>y>z,x+y+z=0,則下列不等式恒成立的是（）

A.xy>yzB.xy>xz

C.xz>yzD.Myl>ly∣z

答案B

解析因?yàn)閤>y>z9x+y+z=O,

所以x>0,z<0,y的符號(hào)無(wú)法確定，

對(duì)于A,因?yàn)閊>0>∑,若γ<0,則xy<O<yz9

故A錯(cuò)誤；

對(duì)于B,因?yàn)閥>z,Λ>0,所以孫Xz,故B正確；

對(duì)于C,因?yàn)閤>y,z<0,所以xz<yz9故C錯(cuò)誤；

對(duì)于D,因?yàn)閤>z,當(dāng)Iyl=O時(shí)，XIyI=Iy∣z,

故D錯(cuò)誤.

7.設(shè)〃，b,c9d為實(shí)數(shù),且α>∕>O>c>d,則下列不等式正確的是（）

A.c2>cdB.a-c<b-d

C.ac<bdD.~—^>0

答案D

解析因?yàn)閍>b>0>c>d9

所以a>b>0β>c>d,

對(duì)于A,因?yàn)镺>c>d,由不等式的性質(zhì)可得c2<cd,故選項(xiàng)A錯(cuò)誤；

對(duì)于B,取。=2,?=1,c=-l,d=-2,

則a-c=3,b-d=3,

所以a-c=b-d,故選項(xiàng)B錯(cuò)誤；

對(duì)于C,取α=2,h=?,c=-l,d=-2,

則4c=-2,bd=-2t

所以ac=",故選項(xiàng)C錯(cuò)誤；

對(duì)于D,因?yàn)棣?gt;∕x>0,d<c<Of則αd<bc,

所崛,

cd

故標(biāo)一齊0,故選項(xiàng)D正確.

8.若OvJ<1,b>c>?,則（）

axa1

C.c<bD.logtzz<log∕,α

答案D

解析對(duì)于A,?2>c>l,.?.g>L

：o<a<1,則e>>e)°=1，

故選項(xiàng)A錯(cuò)誤；

則6c—4b>bc-“C,即〃（c—匕）>0,這與0<“<l,fc>c>l矛盾，故選項(xiàng)B錯(cuò)誤；

對(duì)于C,VO<iz<l,Λα-l<0.

V?>c>l,Λcβ^1>?α^1,故選項(xiàng)C錯(cuò)誤；

對(duì)于D,V0<α<l,b>c>],

log<α<logW/,故選項(xiàng)D正確.

9.己知M=f+γ2+z2,N=2x+2y+2z-π,則何N.（填“>”“v”或“=”）

答案>

解析M~N-x1+y2+z1-2χ-2y-2z-?-π

=（χ-l）2÷（y-l）2÷（z-l）2÷π-3^π-3>0,

故M>N.

10.（2022-宜豐模擬）若*卜0,已知下列不等式：①a+X血②∣α∣>∣例；③。<力；@~+^>2.

其中正確的不等式的序號(hào)為.

答案①④

解析因?yàn)?<?o,

所以““<0,故③錯(cuò)誤；

所以α+Z><0<αb,故①正確；

所以同<|例，故②錯(cuò)誤；

所以§>0,表0且均不為1,^+∣>2-?∕∣^=2,當(dāng)且僅當(dāng)《=￡=1時(shí)，等號(hào)成立，

所以Z+$2,故④正確.

11.若0<α<∕b且〃+b=l,則將mb,3，2ab,后+廬從小到大排列為

答案a<2ab<^<a1+b1<b

法

析

方

解-

4145

-----

99+■99

故a<2ab<2<cr+b1<b.

方法二<O<a<b且α+b=l,

1E

??a<2<b<l,.*.2b>l且2a<l,

.*.a<2b?a=2a{?~ci)=~2cr+2a

一%與+分

即a<2ab<2.

又zz2+?2=(α+?)2-2^6=1-2ab>l~2=29

即a2+b2>^.V^<?<l,

Λ(02+fe2)-h=[(l-?)2+?2]-?=2fr2-3?+l=(2fe-l)(?-l)<0,

λλ

即a+b<bi

綜上可知a<2ab<^<cι1+b1<b.

TrJr

12.右a,S滿(mǎn)足一s<α<S<5則2a—￡的取值范圍是.

兀JT

解析-2<?<2??*?~π<2a<π.

,.,-^<β<r^,：.—^<-S專(zhuān)

.β.~^γ<2a~β<^.

又a—B<O,i<5,?*?la—β<^.

故一苧≤2α一夕<岑

的技能提升練

13,(2022?長(zhǎng)沙模擬)設(shè)實(shí)數(shù)b,C滿(mǎn)足〃+c=6—4〃+3層，c-h=4-4a+a1,則下列不等

式恒成立的是()

A.c<hB.?≤1

C.bWaD.a<c

答案D

仍+c=6—4〃+3/,

解析Y..

[c-ab=41-4ja+a,

兩式相減得費(fèi)=2c∕+2,

即b=∕+l,Λ?≥l.

又b~a=a2+1-a={a-^2+^>0,

.,.b>a.

而C-?=4-4(7+a2=(6f-2)2^0,

.?.c2b,從而c^b>a.

14.實(shí)數(shù)小b,c,d滿(mǎn)足下列三個(gè)條件：

①rf>c；②α+O=c+d;③α+d<A+c.

那么a,b,cfd的大小關(guān)系是.

答案b>d>c>a

解析由題意知d>c?,②+③得2〃+Z?+d<2c+/?+d,化簡(jiǎn)得a<c@,由②式a+h=c+d

及。々可得到，要使②成立，必須fc>d⑤成立，綜合①④⑤式得到於力c>α

立拓展沖刺練

15.已知函數(shù)段)=0x2+bx+C滿(mǎn)足川)=0,且a>b>c,則押取值范圍是.

答案(一2,-?)

解析因?yàn)?*1)=0,所以α+b+C=0,

所以b=~(a+c),又ct>b>c,

所以。>一(4+c)>c,且〃>0,c<0,

?，cι~?~cccc

所以ι>一<>7即

fj

Ia1

所以V解得一2<cM一看

ca乙

62,

即;的取值范圍為(一2,-?).

16.某學(xué)習(xí)小組由學(xué)生和教師組成，人員構(gòu)成同時(shí)滿(mǎn)足以下三個(gè)條件：

(1)男學(xué)生人數(shù)多于女學(xué)生人數(shù)；

(2)女學(xué)生人數(shù)多于教師人數(shù)；

(3)教師人數(shù)的兩倍多于男學(xué)生人數(shù).

①若教師人數(shù)為4,則女學(xué)生人數(shù)的最大值為.

②該小組人數(shù)的最小值為.

答案①6②12

x>y,

解析設(shè)男學(xué)生人數(shù)為X,女學(xué)生人數(shù)為以教師人數(shù)為Z,由已知得卜>Z,且X,y,Z

2z>xi

均為正整數(shù).

①當(dāng)z=4時(shí)，8>x>y>4,Jx的最大值為7,y的最大值為6,故女學(xué)生人數(shù)的最大值為6.

r5

②x>y>z>,,當(dāng)x=3時(shí)，條件不成立，當(dāng)x=4時(shí)，條件不成立，當(dāng)天=5時(shí)，5>y>z>^此時(shí)

z=3,y=4.

??,該小組人數(shù)的最小值為12.

§7.2一元二次不等式及其解法

【考試要求】1.會(huì)從實(shí)際情景中抽象出一元二次不等式2結(jié)合二次函數(shù)圖象，了解一元二次不

等式與相應(yīng)的二次函數(shù)、一元二次方程的關(guān)系3會(huì)解簡(jiǎn)單的一元二次不等式.4.了解簡(jiǎn)單的分

式、絕對(duì)值不等式的解法.

?落實(shí)主干知識(shí)

【知識(shí)梳理】

1.二次函數(shù)與一元二次方程、不等式的解的對(duì)應(yīng)關(guān)系

判別式/=〃-4αcJ>0J=OJ<0

?

二次函數(shù)y=0x2+X』一

?

fer+c(α>O)的圖象

。際-2工

有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根

方程ajr+bx+c=有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)

沒(méi)有實(shí)數(shù)根

b

0(α>0)的根根尤1，X2(Xl<X2)Xi=一工

or+bx+c>0(6f>0){^lχ≠-?}

—<如或心⑷R

的解集

ax1+bx+c<O(a>O)

[x∣Xj<X<Λ?100

的解集

2.分式不等式與整式不等式

(1)招>0(<0)0/U)R(X)>0(<0);

(2)*2O(Wo)U√?)R(X)NO(WO)且包x)W0.

3.簡(jiǎn)單的絕對(duì)值不等式

IXl>α(α>0)的解集為(一8,一α)U(a,+8),b∣<q(α>0)的解集為(一”,α).

【思考辨析】

判斷下列結(jié)論是否正確(請(qǐng)?jiān)诶ㄌ?hào)中打“J”或“X”)

2

⑴若方程0χ2+?r+c=0無(wú)實(shí)數(shù)根，則不等式αv+6χ+c>0的解集為R.(X)

(2)若不等式OX2+?x+c>O的解集為(X1,X2),則α<0.(-J)

⑶若Or2+?r+c>O恒成立，則α>0且∕<0.(X)

(4)不等式^^20等價(jià)于(χ-α)(x—b)NO.(X)

【教材改編題】

1.若集合A={x∣f-9x>0},B={x∣f-2χ-3<0},則AUB等于（）

A.R

B.{x?x>~1}

C.{很<3或x>9}

D.{x∣XV—1或x>3}

答案C

解析A={x?x>9或x<O],

β={x∣-l<x<3},

，403={小<3或心>9}.

2.若關(guān)于X的不等式ax1+hx+2>0的解集為{，一去"/，則^+h=

答案T4

ci——12,

解得,

b——2,

:?a+b=—14.

3.一元二次不等式ax1-?-aχ-I<O對(duì)一切x∈R恒成立，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是.

答案(-4,0)

解析依題意知晨CK00,,即?a<0

a2+4α<0,

—4<6Z<0.

■探究L核心題型

題型——元二次不等式的解法

命題點(diǎn)1不含參的不等式

例1(1)不等式-2x2+x+3<0的解集為()

A.jx∣—l<x<∣J

B?{x∣-2<x<1}

C.iχΛ<-l^α>∣r

DjX卜v-方或x>lI

答案C

解析一2X2+X+3<0可化為2,一X—3>0,

3

即(x+l)(2χ-3)>O,Λx<-1或x>^.

(2)已知集合M={刈X-IlW2,x∈R},集合N=11W21，XGR],則下列結(jié)論正確的是

.(填序號(hào))

①M(fèi)={x∣-1?}；

②N={X∣-1WXW4};

③MUN={x∣-1≤x≤4}；

④M∩N={X∣-1<XW3}.

答案①③④

解析由題設(shè)可得M=[-l,3],N=(-l,4],

故①正確，②錯(cuò)誤；

MU∕V={x∣-l≤x≤4},故③正確；

而MCN={x|—l<xW3},故④正確.

命題點(diǎn)2含參的不等式

例2解關(guān)于X的不等式OX2-(α+l)x+l<O(">O).

解原不等式變?yōu)?Or-I)(X—1)<0,

因?yàn)棣?gt;0,所以(l5)(X-I)<0.

所以當(dāng)”>l時(shí)，解得!<x<l；

當(dāng)α=l時(shí)，解集為0；

當(dāng)0<?<1時(shí)，解得l<x].

綜上，當(dāng)O<α<l時(shí)，不等式的解集為[x∣l<x[};

當(dāng)a=l時(shí)，不等式的解集為0；

當(dāng)α>l時(shí)，不等式的解集為卜ACl?.

延伸探究在本例中，把a(bǔ)>0改成α∈R,解不等式.

解當(dāng)a>0時(shí)，同例2,當(dāng)a=0時(shí)，

原不等式等價(jià)于一χ+l<O,即x>l,

當(dāng)α<0時(shí)，;〈I,

原不等式可化為(%—0(x—1)>O,

解得X>l或Λ<~.

綜上，當(dāng)O<α<l時(shí)，不等式的解集為卜Ilaq｝,

當(dāng)a=l時(shí)，不等式的解集為0,

當(dāng)”>l時(shí)，不等式的解集為｛x∣&<lp

當(dāng)α=O時(shí)，不等式的解集為｛xk>l｝,

當(dāng)α<0時(shí)，不等式的解集為卜卜［或Ql1.

【教師備選】

解關(guān)于X的不等式x2-0r+1≤0.

解由題意知，d=a2-4,

-4

①當(dāng)〃2—4>0,即α>2或—2時(shí)，方程x2—0r+1=O的兩根為X=1,

.?.原不等式的解為T(mén)≡WxW讓F.

②若/=〃-4=0,則a—±2.

當(dāng)α=2時(shí)，原不等式可化為X2-2X+1W0,

即(χ-l)2W0,.?.χ=l;

當(dāng)a=-2時(shí)，原不等式可化為x2+2x+1W0,

即(x+l)2W0,.?.χ=-L

③當(dāng)/=∕-4<0,即一2va<2時(shí)，

原不等式的解集為0.

綜上，當(dāng)a>2或“<一2時(shí)，原不等式的解集為*J紇哼三≤χ≤里嘩三

當(dāng)a=2時(shí)，原不等式的解集為｛1｝；

當(dāng)。=一2時(shí)，原不等式的解集為｛一1｝；

當(dāng)一2<a<2時(shí)，原不等式的解集為0.

思維升華對(duì)含參的不等式，應(yīng)對(duì)參數(shù)進(jìn)行分類(lèi)討論，常見(jiàn)的分類(lèi)有

(1)根據(jù)二次項(xiàng)系數(shù)為正、負(fù)及零進(jìn)行分類(lèi).

(2)根據(jù)判別式/與O的關(guān)系判斷根的個(gè)數(shù).

(3)有兩個(gè)根時(shí)，有時(shí)還需根據(jù)兩根的大小進(jìn)行討論.

跟蹤訓(xùn)練1⑴已知關(guān)于X的不等式ax2+bx+c^0的解集為｛小<一3或在4｝,則下列說(shuō)

法正確的個(gè)數(shù)為()

①4>0;

②不等式bx+c>O的解集為｛xk<-4｝；

③不等式cs2-bx+a<O的解集為｛x卜<一/或號(hào)|；

④4+6+c>0.

A.1B.2C.3D.4

答案B

解析關(guān)于X的不等式以2+6X+C?0的解集為(-8,-3]U[4,+∞),

所以二次函數(shù)y=αr2+?r+c圖象的開(kāi)口向上，即α>O,故①正確；

對(duì)于②，方程0x2+∕>x+c=0的兩根分別為一3,4,

J-~3+4,

由根與系數(shù)的關(guān)系得〈

g=-3X4,

I。

bx~?-c>O<zz>—ax—12Λ>0,

由于4>0,所以x<—12,

所以不等式云+c>O的解集為｛x∣x<-12｝,

故②不正確；

對(duì)于③，由②的分析過(guò)程可知「一

[c=-12α,

所以CXL—bx+a<O^>—12ax1+ax+cι<O

O12x2-x-l>0<≠χv-；或Q

所以不等式CX2—法+〃<0的解集為｛χ卜<一(或X>g),故③正確;

對(duì)于④，a+b+c=a-a-?2a=-?2a<09故④不正確.

(2)解關(guān)于X的不等式l2x1-ax>a2(a≡R).

解原不等式可化為12?—ox—〃>0,即

(4x÷a)(3χ-a)>0,令(4x+a)(3χ-a)=0,

解得XI=_*X2=*

當(dāng)”>0時(shí)，不等式的解集為(一8,—ξ)U(j,+8)；

當(dāng)。=0時(shí)，不等式的解集為(-8,O)U(0,+∞);

當(dāng)“<0時(shí)，不等式的解集為(一8,5)u(-/+8)

題型二一元二次不等式恒(能)成立問(wèn)題

命題點(diǎn)1在R上恒成立問(wèn)題

例3(2022.滄州模擬)已知關(guān)于X的不等式AX2-6JLC+?+8>0對(duì)任意XGR恒成立，則k的

取值范圍是()

A.[0,1]

B.(0,1]

C.(一8,0)U(l,+∞)

D.(-∞,0]U[l,+∞)

答案A

解析當(dāng)&=0時(shí)，不等式小-6履+上+820可化為820,恒成立，

當(dāng)k≠0時(shí)，要滿(mǎn)足關(guān)于X的不等式收一6履+/+820對(duì)任意x∈R恒成立，

?k>0,

口需《

八[j=36Λ2-W+8)≤0,

解得0<?≤1.

綜上所述，k的取值范圍是[0,1].

命題點(diǎn)2在給定區(qū)間上恒成立問(wèn)題

例4已知函數(shù)4x)=,nx2-〃?x—1.若對(duì)于χe[1,3],/(x)<5—m恒成立，則實(shí)數(shù)，〃的取值范圍

為.

答案(一8,§

解析要使人工)<一機(jī)+5在XeU,3]上恒成立，

即6<0在χG[l,3]上恒成立.有以下兩種方法：

方法一令g(x)=4χ-02+52-6,

JC∈[1,3]?

當(dāng)m>0時(shí)，g(x)在[1,3]上單調(diào)遞增，

所以g(x)max=g(3),即7機(jī)一6<0,

所以所以O(shè)<w<y

當(dāng)m=0時(shí)，-6<0恒成立；

當(dāng)m<0時(shí)，g(x)在［1,3］上單調(diào)遞減，

所以g(x)max=g(1),即加一6<0,

所以m<6,所以m<0.

綜上所述，的取值范圍是(一8,專(zhuān))

3

-

方法二因?yàn)閤2—x+1=(X4

又因?yàn)楱MZZ(Λ2-x÷1)—6<0在X￡［1,3］上恒成立,

所以祖<3_：+1在x≡［l,3］上恒成立.

令Y=Λ2-：+1'

因?yàn)楹瘮?shù)y=7?［=；~打盲在［1,3］上的最小值為辛所以只需〃?§即可.

.x~2f+4

所以小的取值范圍是(一8,知.

命題點(diǎn)3給定參數(shù)范圍的恒成立問(wèn)題

例5(2022?宿遷模擬)若不等式/+px>4x+p-3,當(dāng)0≤p≤4時(shí)恒成立，則X的取值范圍是

()

A.[-1,3]

B.(—8,-1]

C.[3，+∞)

D.(—8,—1)U(3,+∞)

答案D

解析不等式x2+px>4x+p-3

可化為(x—l)p÷x2-4x÷3>0,

由已知可得KX—l)p+x2-4x+3]min>0(0Wp≤4),

令/(P)=(X—l)p+x2-4x+3(0WpW4),

Ko)=/-4x+3>0,

B?4)=4(X-1)+X2-4X+3>0,

Λx<-I或x>3.

【教師備選】

函數(shù)+以+3.

若當(dāng)x∈[-2,2]時(shí)，yu)2。恒成立，則實(shí)數(shù)。的取值范圍是.

若當(dāng)q∈[4,6]時(shí)，4020恒成立，則實(shí)數(shù)X的取值范圍是.

答案[-7,2]

(-8,-3-y∣6]U[―3+√6,+∞)

解析若％2+0￥+3—〃20在天仁[-2,2]上恒成立，

令g(x)=x1+ax+3-a,

p>0,

則有①/WO或②1-^<-2,

lg(-2)=7-3心0.

J>0,

-f>2,

{g(2)=7+心0,

解①得一6W4W2,解②得“G0,

解③得一7Wα<-6.

綜上可得，滿(mǎn)足條件的實(shí)數(shù)”的取值范圍是[—7,2].

令h(a)-xa+x1+3.

當(dāng)αG[4,6]時(shí),∕j(α)?≈O恒成立.

[Λ(4)≥0,ΓX2+4Λ?+3≥0,

口需4''即,

'[/?(6)，0,.X2+6X+320,

解得XW—3—或XN—3+√6.

實(shí)數(shù)X的取值范圍是(-8,-3-y∣6]U[―3÷√6,÷∞).

思維升華恒成立問(wèn)題求參數(shù)的范圍的解題策略

⑴弄清楚自變量、參數(shù).一般情況下，求誰(shuí)的范圍，誰(shuí)就是參數(shù).

(2)一元二次不等式在R上恒成立，可用判別式/,一元二次不等式在給定區(qū)間上恒成立，不

能用判別式/,一般分離參數(shù)求最值或分類(lèi)討論.

跟蹤訓(xùn)練2(1)已知關(guān)于X的不等式―/+4x?α2-34在R上有解，則實(shí)數(shù)。的取值范圍是

()

A.{α∣-l≤α≤4)B.{α∣-l<a<4)

C.{4∣α24或aW-l}D.{α∣-4Wa<l}

答案A

解析因?yàn)殛P(guān)于X的不等式一Λ2+4X>A2-3〃在R上有解，

即%2—4x÷6z2-3tz≤O在R上有解，

只需y=x1-4x+a2-3a的圖象與x軸有公共點(diǎn)，

所以/=(一4)2—4X32-3α)20,

即?-3a-4≤0,所以(a—4)(α+1)≤0,

解得一l<a≤4,

所以實(shí)數(shù)。的取值范圍是{。|一lWaW4}.

(2)當(dāng)x∈(l,2)時(shí)，不等式x2+mx+4<0恒成立，則〃?的取值范圍是()

A.(—8,4]B.(—8,—5)

C.(-°O?-5]D.(—5,—4)

答案C

解析令/(x)=x2+,nx+4,

??.當(dāng)x∈(l,2)時(shí)，Kr)VO恒成立,

.ΛD≤O,

,,Λ2)≤0,

1+T7∕+4≤0,

即

∣4+2m+4≤0,

解得AΠ≤-5.

課時(shí)精練

R基礎(chǔ)保分練

1.不等式9-12xW-4f的解集為()

A.RB.0

D?3≠∣

答案C

解析原不等式可化為4f—12x+9W0,

3

-

即(2X-3)2W0,/.2X-3=0,2

?,?原不等式的解集為{Ψ=2

2.滿(mǎn)足關(guān)于X的不等式(axT)(X-2)>0的解集為｛x∣g<r<2I則滿(mǎn)足條件的一組有序?qū)崝?shù)

對(duì)3,6)的值可以是()

A.(4,2)B.(―31-6)

3

-

-2

答案D

解析不等式(Or—6)(x—2)>0的解集為Hwa<2

；?方程(Or-%)(χ-2)=0的實(shí)數(shù)根為:和2,

?<0,

且,功_1即α=26<0,故選D.

a~2,

3.(2022?揭陽(yáng)質(zhì)檢)已知p：∣2χ-3∣<l,q：X(X—3)<0,則P是q的()

A.充要條件

B.充分不必要條件

C.既不充分也不必要條件

D.必要不充分條件

答案B

解析Vp：∣2χ-3∣<l,則一l<2χ-3vl,

可得p：l<x<2,

又,：q：X(X—3)<0,

由X(X—3)<0,可得q：0<x<3,

可得P是q的充分不必要條件.

4.已知某產(chǎn)品的總成本y(萬(wàn)元)與產(chǎn)量x(臺(tái))之間的函數(shù)關(guān)系式是y=3000+20Λ-0.1√,

X∈(0,240).若每臺(tái)產(chǎn)品的售價(jià)為25萬(wàn)元，則生產(chǎn)者不虧本(銷(xiāo)售收入不小于總成本)時(shí)的最

低產(chǎn)量是()

A.IOO臺(tái)B.120臺(tái)

C.150臺(tái)D.180臺(tái)

答案C

解析由題設(shè)，產(chǎn)量為X臺(tái)時(shí)，總售價(jià)為25x;

欲使生產(chǎn)者不虧本，必須滿(mǎn)足總售價(jià)大于等于總成本，

即25x23000+20X-0.1Λ2,

即0.1√+5χ-3OOo20,X2+50X-30OoO20,

解得x2150或xW-200(舍去).

故欲使生產(chǎn)者不虧本，最低產(chǎn)量是150臺(tái).

5.不等式x2+αx+410對(duì)一切χW[l,3]恒成立，則ɑ的最小值是()

13

A.-5B.——C.—4D.—3

答案c

解析?.”e［l,3］時(shí)，x2+αx+420恒成立，

則恒成立，

4L

又x∈［l,3］時(shí)，x+->2√4=4,當(dāng)且僅當(dāng)x=2時(shí)取等號(hào).

???^^(x+樂(lè)-％

.*.^z≥—4.故a的最小值為-4.

6.若不等式f+αr-2>0在［1,5］上有解，則。的取值范圍是()

?(-f'1］B.(_8,一金

c(一卷，+8)D.(1,+∞)

答案C

解析對(duì)于方程χ2+αr-2=0,

VJ=α2+8>O,

.?.方程f+αx-2=0有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，

又；兩根之積為負(fù)，

必有一正根一負(fù)根，

設(shè)兀V)=X2+ox—2,

于是不等式f+αχ-2>0在［1,5］上有解的充要條件是正5)>0,

即5α+23>0,

解得”>一金

3

7.不等式一Δ>1的解集為_(kāi)_____.

χ-17

答案(1,4)

3

解析,??言>1，

.?.-?r—1>0,即^~7>0,

X—1X—1

即l<x<4.

原不等式的解集為(1,4).

8.一元二次方程h2—履+1=0有一正一負(fù)根，則實(shí)數(shù)Z的取值范圍是

答案(一8,0)

解析Ax2-■履+1=0有—?正一負(fù)根,

ZI=S-4fc>0,

??30,解得MO.

9.已知關(guān)于X的不等式一x2+αr+6>0.

⑴若該不等式的解集為(一4,2),求α,6的值;

(2)若b=α+l,求此不等式的解集.

[2-4=a,

解(1)根據(jù)題意得

[2×(-4)=-b,

解得。=-2,?=8.

(2)當(dāng)〃=α+l時(shí)，一x2+αr+b>0<=>x2-or—(α+1)<O,

即[χ-(a+l)](x+l)<0.

當(dāng)“+1=—1,即a=—2時(shí)，

原不等式的解集為0;

當(dāng)即“<一2時(shí)，

原不等式的解集為m+ι,-1)；

當(dāng)α+l>—1,即a>一2時(shí)，

原不等式的解集為(-1,a+?).

綜上，當(dāng)心一2時(shí)，不等式的解集為(α+l,-1)；當(dāng)α=—2時(shí)，不等式的解集為0；

當(dāng)n>-?2時(shí)，不等式的解集為(一1,α+l).

10.若二次函數(shù)yU)=αx2+bx+c?(αWO),滿(mǎn)足√(x+2)-/U)=I6x且40)=2.

(1)求函數(shù)y(x)的解析式；

⑵若存在χe[l,2],使不等式?∕U)>2x+機(jī)成立，求實(shí)數(shù)，"的取值范圍.

解(1)由式0)=2,得c=2,

所以./(x)—ax2+bx+2(a≠0),

由7(x+2)—fix)—Ia(X+2)2+b(x^ir2)+2]—(OX2+fer+2)=4αx+4α+Ib,

又於+2)-/(x)=16x,

得4^w+4<∕+2?=16x,

4α=16,

所以,故α=4,b=—8,

4a+2?=0,

所以./(x)=4/一8x+2.

(2)因?yàn)榇嬖趚∈[l,2],

使不等式y(tǒng)u)>2x+wι成立，

即存在Xe[1,2],使不等式zn<4x2-10x+2成立,

令g(x)=4x2-■10x+2,x∈[1,2],

故g(x)max=g(2)=-2,所以∕n<-2,

即m的取值范圍為(一8,-2).

應(yīng)技能提升練

11.若對(duì)任意，1,1],函數(shù)兀r)=f+(，〃-4)x+4—2"?的值恒大于零，則X的取值范圍

是()

A.(1,3)B.(一8,1)U(3,+∞)

C.(2,3)D.(3,+∞)

答案B

解析f{x}=x2+(m-4)x÷4—Im=(?-2)∕π÷x2—4x÷4.

令g(m)=(χ-2)m+∕-4x+4,

由題意知在[-1,1]上，g(m)的值恒大于零，

.卜(一l)=(x-2)(—l)+x2—4x+4>0,

?[g(l)=(x-2)Xl+Λ2-4X+4>0

=>x<l或