曲線與曲面完

第6章曲線與曲面

6.1曲線

6.2回轉(zhuǎn)曲面

6.3非回轉(zhuǎn)直紋曲面

本章小結(jié)結(jié)束放映

習(xí)題6.1

曲線6．1．1曲線概述一、曲線的形成及分類

曲線是一系列點(diǎn)的集合，也可以看作是點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)軌跡。曲線可分為兩大類：

（1）平面曲線——曲線上所有的點(diǎn)均在同一平面內(nèi)，如圓、橢圓、拋物線、雙曲線等。

（2）空間曲線——曲線上的點(diǎn)不全在同一平面內(nèi)，如圓柱螺旋線等。二、曲線的投影

曲線的投影為曲線上一系列點(diǎn)的投影的集合。如圖6－1a所示，作出曲線上各點(diǎn)A，B，C，…的投影a，b，c，·，·，然后依次將這些點(diǎn)光滑地連接起來，即得到該曲線的投影。一般情況下曲線的投影仍為曲線。特殊其投影為直線，如圖6－lb所示；若平面曲線的所在平面與投影面平行，其投影反映實(shí)形，如圖6－1C所示。圖6－l6.1.2圓

圓是最常見的平面曲線。圓的投影特性如下：

（l）當(dāng)圓平行于投影面時(shí)，在該投影面上的投影為相等直徑的圓；

（2）當(dāng)圓垂直于投影面時(shí)，在該投影面上的投影為直線段，長(zhǎng)度等于圓的直徑；

(3）當(dāng)圓傾斜于投影面時(shí)，在該投影面上的投影為橢圓，其長(zhǎng)軸是圓內(nèi)平行于該投影面的直徑的投影，長(zhǎng)袖應(yīng)等于圓的直徑，短軸是與上述直徑相垂直的直徑的投影。

如圖6—2所示為一水平圓，其H投影反映該圓的實(shí)形，V和W投影均為直線段。如圖6－3所示為一正垂圓，其V投影為直線段，長(zhǎng)度等于圓直徑，其H投影為橢圓。由于圓內(nèi)各直徑對(duì)H面的傾角不同，投影長(zhǎng)度亦不同，一般都是縮短，只有直徑AB（正垂線）平行于H面，其H投影ab（＝AB）最長(zhǎng)，故ab為橢圓的長(zhǎng)軸；直徑CD（正平線）垂直于AB，是圓內(nèi)對(duì)H面的最大坡度線，其H投影cd（＝CDcosα）最短，故cd為橢圓的短軸。已知長(zhǎng)短軸后，就可以用幾何作圖的方法（參見第1章）畫出橢圓。也可以用換面法作出圓的實(shí)形后，再求出橢圓上各點(diǎn)，然后描畫出橢圓。6．1．3圓柱螺旋線一、圓柱螺旋線的形成及要素如圖6－4所示，當(dāng)動(dòng)點(diǎn)A沿著一直線作等速移動(dòng)，而同時(shí)該直線饒與其平行的軸線作等角速度旋轉(zhuǎn)時(shí)，則動(dòng)點(diǎn)A的復(fù)合運(yùn)動(dòng)軌跡為圓柱螺旋線。直線旋轉(zhuǎn)形成的圓柱面稱為螺旋線的導(dǎo)圓柱，螺旋線是該圓柱面上的一條空間曲線。

圓柱螺旋線有三個(gè)基本要素：（1）直徑d——即導(dǎo)圓柱的直徑。（2）導(dǎo)程S——?jiǎng)狱c(diǎn)旋轉(zhuǎn)一周后沿軸線方向移動(dòng)的距離。（3）旋向——?jiǎng)狱c(diǎn)在導(dǎo)圓柱面上的旋轉(zhuǎn)方向有右旋和左旋兩種。以拇指表示動(dòng)點(diǎn)沿直線的移動(dòng)方向，其他四指表示動(dòng)點(diǎn)的旋轉(zhuǎn)方向，如果符合右手規(guī)則時(shí)稱為右螺旋線。反之為左螺旋線。

二、圓柱螺旋線的投影

若已知圓柱螺旋線的直徑d、導(dǎo)程S和旋向（通常為右旋），就可以作出其投影，具體作圖步驟如圖6－5a所示：（1）設(shè)導(dǎo)圓柱的軸線為鉛垂線，根據(jù)直徑d和導(dǎo)程S作出圓柱的H投影（圓周）和V投影。（2）將H投影的圓周作任意等分，如十二等分，并按旋轉(zhuǎn)方向依次編號(hào)；將V投影的導(dǎo)程S也作相同等分，并由下而上順序編號(hào)；（3）從H投影中各點(diǎn)向上作投影連線，與V投影中相應(yīng)各點(diǎn)的水平線相交，得到螺旋線上各點(diǎn)的V投影1’，2’，3’，…，將這些點(diǎn)連成光滑的曲線，即為螺旋線的V投影（應(yīng)為正弦曲線）。位于后半圓柱面上的螺旋線不可見，用虛線表示；（4）圓柱螺旋線的H投影在圓周上。三、圓柱螺旋線的展開6.2回轉(zhuǎn)曲面

一、曲面的形成及分類

曲面是一系列線的集合，也可以看作是線的運(yùn)動(dòng)軌跡。在曲面的形成過程中，運(yùn)動(dòng)的線稱為母線。母線的任一具體位置稱為素線?？刂颇妇€運(yùn)動(dòng)的點(diǎn)、線、面分別稱為導(dǎo)點(diǎn)、導(dǎo)線、導(dǎo)面。母線和導(dǎo)線可以是直線或曲線，導(dǎo)面也可以是平面或曲面。如圖6－6所示的曲面，是直母線L沿著曲導(dǎo)線K，且始終平行于直導(dǎo)線M運(yùn)動(dòng)而成。

按運(yùn)動(dòng)方式：

回轉(zhuǎn)面；非回轉(zhuǎn)面按母線的形狀：直紋面；曲紋面圖6－66.2.1曲面概述二、回轉(zhuǎn)面的特點(diǎn)

如圖6－7a所示，是由曲母線L繞軸線O旋轉(zhuǎn)形成的回轉(zhuǎn)面。母線上任一點(diǎn)A的旋轉(zhuǎn)軌跡均是垂直干軸線的圓，稱為緯圓?；剞D(zhuǎn)面上最大的緯圓稱為赤道圓，最小的緯圓稱為頸圓?；剞D(zhuǎn)面上與軸線共面的線稱為經(jīng)線。畫回轉(zhuǎn)面的投影時(shí)，一般是使其軸線垂直于某投影面。如圖6－7b所示，若回轉(zhuǎn)面的軸線為鉛垂線，其H投影為一組同心圓，V投影的外形線反映經(jīng)線V投影的外形線反映經(jīng)線的實(shí)形。在回轉(zhuǎn)面的投影圖中，軸線和圓的中心線都用細(xì)點(diǎn)劃線表示。

常用的回轉(zhuǎn)面有：圓柱面、圓錐面、球面、環(huán)面、單葉雙曲回轉(zhuǎn)面等。

圓柱面的俯視圖積聚成一個(gè)圓，在另兩個(gè)視圖上分別以兩個(gè)方向的輪廓素線的投影表示。6.2.2.圓柱面

⑵圓柱面的三面投影

⑶輪廓線素線的投影分析與曲面的可見性的判斷

⑷圓柱面上取點(diǎn)

a

a

a

圓柱面上與軸線平行的任一直線稱為圓柱面的素線。

⑴圓柱面的組成

圓柱面是由直線AA1繞與它平行的軸線OO1旋轉(zhuǎn)而成。A1AOO1直線AA1稱為母線。

利用投影的積聚性1(2)1′2′1″2″3″4″3′4′3(4)應(yīng)用舉例：如圖是廣東肇慶星湖大酒店，主樓由兩個(gè)大小不同的半圓柱組成。

⑶

輪廓線素線的投影與曲面的可見性的判斷

s

●

在圖示位置，水平投影為一圓。另兩個(gè)投影為等邊三角形，三角形的底邊為圓錐底圓的投影，兩腰分別為圓錐面不同方向的兩條輪廓素線的投影。

圓錐面是由直線SA繞與它相交的軸線OO1旋轉(zhuǎn)而成。

S稱為錐頂，直線SA稱為母線。圓錐面上過錐頂?shù)娜我恢本€稱為圓錐面的素線。O1O⑴圓錐面的形成

s

●6.2.3圓錐面⑵圓錐面的投影⑷

圓錐面上取點(diǎn)

k

★輔助直線法★輔助圓法

(n

)s●n

k

k

N●SA如何在圓錐面上作直線？過錐頂作一條素線圓的半徑？(n

)●b′b″bd′d圓錐面在建筑物上的應(yīng)用：目前我國(guó)流行的一種水塔是由幾個(gè)圓錐（臺(tái)）和圓柱組合而成（如圖）。

三個(gè)投影分別為三個(gè)和圓球的直徑相等的圓，它們分別是圓球三個(gè)方向輪廓線的投影。6.2.4.球面

圓母線以它的直徑為軸旋轉(zhuǎn)而成。⑵圓球面的投影⑶輪廓線的投影與曲面可見性的判斷⑷圓球面上取點(diǎn)

k

輔助圓法

k

k

⑴圓球的形成圓的半徑？應(yīng)用舉例：球形結(jié)構(gòu)在工程上的應(yīng)用也較為常見。下圖

為著名的太空大廈

6.2.5環(huán)面

環(huán)面的投影圖當(dāng)環(huán)面的軸線垂直于H

面時(shí)，它的H

投影是兩個(gè)同心圓，分別是環(huán)面的赤道圓和頸圓的H

投影。環(huán)面的V

投影和W

投影，都是由兩個(gè)圓和與它們上下相切的兩段水平輪廓線組成。V

投影的兩個(gè)圓分別是環(huán)面最左素線和最右素線圓的V

投影，W

投影的兩個(gè)圓分別是最前素線圓和最后素線圓的W

投影，它們都反映素線圓的實(shí)形，都有半個(gè)圓因被環(huán)面擋住而畫成虛線。⑴環(huán)面的形成

以圓為母線，繞與它共面的圓外直線旋轉(zhuǎn)而形成的曲面，稱為環(huán)面。⑵圓球面的投影

例：已知環(huán)面上點(diǎn)A

的V

投影a'，試求點(diǎn)A

的其余兩投影。

解：1).作過點(diǎn)A

的緯圓的V

投影；

2).根據(jù)該緯圓V

投影的高度作出為圓的W

投影；

3).根據(jù)點(diǎn)A

的V

投影a'為可見，做出外環(huán)面上的緯圓的H

投影；

4).根據(jù)點(diǎn)的投影規(guī)律定出a

和a"。

從圖中可見點(diǎn)a'可知，點(diǎn)A

位于前半環(huán)面的上部，因此a

可見；點(diǎn)A

位于右半環(huán)面，因此a"不可見。

（3）環(huán)面上取點(diǎn)（4）環(huán)面在建筑物上的應(yīng)用

某候車站的預(yù)應(yīng)力雙曲板涼蓬。

6.2.6單葉雙曲回轉(zhuǎn)面

如圖所示，直母線繞與之交叉的軸線旋轉(zhuǎn)而成的曲面稱單葉雙曲回轉(zhuǎn)面，該面上相鄰二素線都是交叉的。

（1）單葉雙曲回轉(zhuǎn)面的形成（2）單葉雙曲回轉(zhuǎn)面的投影圖

作圖步驟：

1).給出直母線MN

和軸線O

的兩面投影ｍ’ｎ’、ｍｎ和ｏ’ｏ。軸線O

垂直于H面(圖a)；

2).母線旋轉(zhuǎn)時(shí)，每一點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)軌跡都是一個(gè)垂直于軸線O

而平行于H面的緯圓。先作出過母線兩端點(diǎn)M

和N

的緯圓，以軸線的H

投影o

為圓心，分別以om和on

為半徑作圓，即為所求兩緯圓的H

投影。它們的V

投影分別是過ｍ’和ｎ‘的水平線段，長(zhǎng)度等于緯圓的直徑（圖b）；

3).把兩緯圓分別從點(diǎn)M

和N

開始，各分為相同的等分，如十二等分。

MN

旋轉(zhuǎn)30°(即圓周的十二分之一)后，就是素線PQ。根據(jù)它的H

投影pq

作出V

投影p’q

‘，如圖c

所示；

4).順次作出每旋轉(zhuǎn)30°后，各素線的H

投影和V

投影（圖d）；

5).作出單葉雙曲回轉(zhuǎn)面的V

投影輪廓線。即引平滑曲線作為包絡(luò)線與各素線的V

投影相切，這是雙曲線。

（3）單葉雙曲回轉(zhuǎn)面上取點(diǎn)（4）單葉雙曲回轉(zhuǎn)面在工程中的應(yīng)用：下圖為冷凝塔。6.3.1錐面

直母線

M

沿著一曲導(dǎo)線

L

移動(dòng)，并始終通過一定點(diǎn)S

，所形成的曲面稱為錐面(圖ａ)。定點(diǎn)

S

稱為錐頂。曲導(dǎo)線L

可以是平面曲線，也可以是空間曲線；可以是閉合的，也可以是不閉合的。錐面相鄰兩素線是相交直線。

畫錐面的投影圖（圖b），必須畫出錐頂S

和曲導(dǎo)線L

的投影，并畫出一定數(shù)量的素線的投影，其中包括不閉合錐面的起點(diǎn)、終止素線（如SA、SF），各投影的輪廓素線（如V

投影輪廓素線SC、SE，H

投影輪廓素線SB、SD）等。6.3非回轉(zhuǎn)直紋曲面

錐面的類別以其截面的形狀來區(qū)分，當(dāng)截面垂直于軸線時(shí)一為正截面，否則為斜截面。若錐面的正截面為圓，稱為（正）圓錐面，如圖6－19a；若錐面的正截面為橢圓，稱為（正）橢圓錐面，如圖6－19b。如圖6－19C所示，當(dāng)正圓錐斜置時(shí)又稱斜橢圓錐；如圖6－19d所示，當(dāng)正橢圓錐斜置時(shí)且其底面為圓，故又稱斜圓錐。廠礦所用上方下圓的下料斗變截面部分，就是由平面和斜錐面所組成

錐面在水工圖中的應(yīng)用：

如圖6－6所示，直母線L沿曲導(dǎo)線光移動(dòng)，且始終平行于直導(dǎo)線M所形成的曲面，稱為柱面。柱面上所有的秦線都互相平行。當(dāng)曲導(dǎo)線閉合且有兩個(gè)對(duì)稱平面時(shí)，則對(duì)稱平面的交線為柱面的軸線。

柱面的類別也可以其截面形狀來區(qū)別，若正截面為圓，稱為（正）圓柱面，如圖6－20a；若正截面為橢圓，稱為（正）橢圓柱面如圖6－20b。如圖16－20C所示，當(dāng)正圓柱斜置時(shí)，又稱斜圓柱面；圖6－20d所示，稱為斜橢圓柱面。6.3.2柱面柱面在水工建筑物中的應(yīng)用

如圖所示閘墩一端的表面就是斜置橢圓柱面。6.3.3錐狀面

錐狀面是由直母線沿著一根直導(dǎo)線和一根曲導(dǎo)線移動(dòng)，并始終平行于一個(gè)導(dǎo)平面而形成。如圖a

所示，錐狀面的直母線AC

沿著直導(dǎo)線

CD和曲導(dǎo)線

AB

移動(dòng)，并始終平行于鉛垂的導(dǎo)平面

P

。當(dāng)導(dǎo)平面P

平行于W

面時(shí)，該錐狀面的投影圖如圖b

所示（圖中沒有畫出導(dǎo)平面P

）。（a）(b)錐狀面的應(yīng)用

如圖所示錐狀面在水利工程中的應(yīng)用。6.3.4柱狀面

直母線沿著兩曲導(dǎo)線移動(dòng)，且始終平行于一導(dǎo)平面而形成的曲面，稱為柱狀面。

如圖6－22a所示的柱狀面，是直母線AD沿著兩曲導(dǎo)線ABC和DEF移動(dòng)，且平行于導(dǎo)平面P而形成的。圖6－22b是該柱狀面的投影圖，曲面上畫出了一系列的秦線，由于導(dǎo)平面P是鉛垂面，故素線的H投影應(yīng)平行于PH。作圖時(shí)可先作素線的H投影，然后再作出V投影。柱狀面在建筑物上的應(yīng)用:

如圖所示屋面是柱狀面在工程上的一種應(yīng)用。

一直母線沿兩交叉直導(dǎo)線移動(dòng)，且始終平行于一個(gè)導(dǎo)平面而形成的曲面稱為雙曲拋物面。

如圖所示的雙曲拋物面，直母線是AC，交叉直導(dǎo)線是AB

和CD

，所有素線都平行于鉛垂導(dǎo)平面P

。

6.3.5雙曲拋物面

雙曲拋物面的相鄰兩素線是交叉二直線。如果給出了兩交叉直導(dǎo)線AB、CD和導(dǎo)平面P(圖a)，只要畫出一系列素線的投影，便可完成該雙曲拋物面的投影圖。作圖步驟如下：

1).分直導(dǎo)線AB

為若干等分，例如六等分，得各等分點(diǎn)的H

投影a、1、2、3、4、5、b和V

投影a'、1'、2'、3'、4'、5'、b‘(圖

b)；

2).由于各素線平行于導(dǎo)平面P

，因此素線的H投影都平行于PH

。如作過分點(diǎn)II

的素線IIII1時(shí)先作221//PH，求出c‘d’上的對(duì)應(yīng)點(diǎn)21‘后，即可畫出該素線的V

投影2’2‘1,如圖b

所示；

3).同法作出過各等分點(diǎn)的素線的兩投影；

4).作出與各素線V

投影相切的包絡(luò)線。這是一根拋物線（圖c）。

雙曲拋物面在建筑物上的應(yīng)用：

不少建筑物如倉(cāng)庫(kù)、禮堂、站臺(tái)等的屋面，采用