第28章 銳角三角函數(shù)綜合練-2023-2024學(xué)年 人教版九年級(jí)數(shù)學(xué)下冊(cè)

第28章銳角三角函數(shù)一、單選題1．如圖，為的直徑，點(diǎn)在的延長(zhǎng)線上，，與相切，切點(diǎn)分別為C，D．若，則等于（

）

A． B． C． D．2．如圖，在的正方形網(wǎng)格中，每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)均為1，每個(gè)小正方形的頂點(diǎn)稱為格點(diǎn)．點(diǎn)、、、均在格點(diǎn)上，與相交于點(diǎn)，則的余弦值為（

）

A． B． C． D．3．如圖，，分別為的切線，切點(diǎn)為，，點(diǎn)為弧上一動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作的切線，分別交，于點(diǎn)，，作的內(nèi)切圓，若，的半徑為，的半徑為，則的面積是（

）A． B． C． D．4．如圖，分別經(jīng)過(guò)原點(diǎn)和點(diǎn)的動(dòng)直線，夾角，點(diǎn)是中點(diǎn)，連接，則的最大值是（

）

A． B． C． D．5．如圖，中，是線段上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，以為直徑畫(huà)分別交于，連接，則線段長(zhǎng)度的最小值為（）

A． B． C． D．6．如圖，在矩形中，，，連接，點(diǎn)E為上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)F為上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，連接，且始終滿足，則線段的最小值為（）A．1 B． C． D．27．如圖，四邊形內(nèi)接于半徑為6的，，連交于E，若E為的中點(diǎn)，且，則四邊形的面積是（

）

A． B． C． D．8．如圖，在點(diǎn)處，看建筑物頂端的仰角為，向前走了6米到達(dá)點(diǎn)即米，在點(diǎn)處看點(diǎn)的仰角為，則的長(zhǎng)用三角函數(shù)表示為（

）A． B． C． D．9．某路燈示意圖如圖所示，它是軸對(duì)稱圖形．若，，與地面垂直且，則燈頂A到地面的高度為（

）mA． B． C． D．10．如圖，在正方形中，，點(diǎn)是邊上的動(dòng)點(diǎn)（點(diǎn)不與端點(diǎn)重合），的垂直平分線分別交于點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，的長(zhǎng)為（

）

A．2 B． C． D．4二、填空題11．如圖，矩形的頂點(diǎn)在反比例函數(shù)的圖像上，頂點(diǎn)在第一象限，對(duì)角線軸，交軸于點(diǎn)．若矩形的面積是6，，則．

12．如圖，在平行四邊形中，對(duì)角線交于點(diǎn)O，將沿翻折得到，連接，，則．13．如圖，為半圓O的直徑，點(diǎn)O為圓心，點(diǎn)C是弧上的一點(diǎn)，沿為折痕折疊交于點(diǎn)M，連接，若點(diǎn)M為的黃金分割點(diǎn)，則的值．14．綜合實(shí)踐課上，航模小組用航拍無(wú)人機(jī)進(jìn)行測(cè)高實(shí)踐．如圖，無(wú)人機(jī)從地面的中點(diǎn)A處豎直上升30米到達(dá)B處，測(cè)得博雅樓頂部E的俯角為，尚美樓頂部F的俯角為，已知博雅樓高度為15米，則尚美樓高度為米．（結(jié)果保留根號(hào)）

15．如圖，坡角為的斜坡上有一棵垂直于水平地面的大樹(shù)，當(dāng)太陽(yáng)光線與水平線成角沿斜坡照下時(shí)，在斜坡上的樹(shù)影長(zhǎng)為m，則大樹(shù)的高為．（請(qǐng)用含m，的式子表示）三、解答題16．如圖，是的直徑，弦于點(diǎn)E，點(diǎn)F在上，與交于點(diǎn)G，點(diǎn)H在的延長(zhǎng)線上，且是的切線，延長(zhǎng)交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)M．(1)求證：；(2)連接，若，，求的長(zhǎng)．17．在中，是斜邊的中點(diǎn)，將線段繞點(diǎn)旋轉(zhuǎn)至位置，點(diǎn)在直線外，連接．

(1)如圖1，求的大??；(2)已知點(diǎn)和邊上的點(diǎn)滿足．（?。┤鐖D2，連接，求證：；（ⅱ）如圖3，連接，若，求的值．18．如圖1，銳角內(nèi)接于，D為的中點(diǎn)，連接并延長(zhǎng)交于點(diǎn)E，連接，過(guò)C作的垂線交于點(diǎn)F，點(diǎn)G在上，連接，若平分且．

(1)求的度數(shù)．(2)①求證：．②若，求的值，(3)如圖2，當(dāng)點(diǎn)O恰好在上且時(shí)，求的長(zhǎng)．19．年月日點(diǎn)分，“神舟十六號(hào)”載人飛船在中國(guó)酒泉衛(wèi)星發(fā)射中心點(diǎn)火發(fā)射，成功把景海鵬、桂海潮、朱楊柱三名航天員送入到中國(guó)空間站．如圖，在發(fā)射的過(guò)程中，飛船從地面處發(fā)射，當(dāng)飛船到達(dá)點(diǎn)時(shí)，從位于地面處的雷達(dá)站測(cè)得的距離是，仰角為；后飛船到達(dá)處，此時(shí)測(cè)得仰角為．

(1)求點(diǎn)離地面的高度；(2)求飛船從處到處的平均速度．(結(jié)果精確到，參考數(shù)據(jù)：)20．為建設(shè)美好公園社區(qū)，增強(qiáng)民眾生活幸福感，某社區(qū)服務(wù)中心在文化活動(dòng)室墻外安裝避陽(yáng)篷，便于社區(qū)居民休憩．如圖，在側(cè)面示意圖中，遮陽(yáng)篷長(zhǎng)為米，與水平面的夾角為，且靠墻端離地高為米，當(dāng)太陽(yáng)光線與地面的夾角為時(shí)，求陰影的長(zhǎng)．（結(jié)果精確到米；參考數(shù)據(jù)：）

參考答案：1．D解：連接、、，交于，如圖，

，與相切，切點(diǎn)分別為，，，，平分，，，，，，∵∴∵∴在中，，，．2．C

作于E，，，，，．中，．，，解得，．，．3．D如圖，設(shè)的內(nèi)切圓與、、的交點(diǎn)分別為、、連接、、、、、、，，根據(jù)題意，過(guò)點(diǎn)作的切線，分別交，于點(diǎn)，，，分別為的切線，是的角平分線．4．A解：如圖所示，以為邊向上作等邊，過(guò)點(diǎn)作軸于點(diǎn)，則，則的橫坐標(biāo)為，縱坐標(biāo)為，∴，取點(diǎn)，則是的中位線，∴，∵，∴點(diǎn)在半徑為的上運(yùn)動(dòng)，∵是的中位線，∴，∴，當(dāng)與相切時(shí)，最大，則正弦值最大，在中，，過(guò)點(diǎn)作軸，過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，則∵與相切，∴，∴，∴，∴，∴設(shè)，,則∴∴∴解得：∴∴的最大值為，5．B解：由垂線段的性質(zhì)可知，當(dāng)為的邊上的高時(shí)，直徑最短，連接，，過(guò)點(diǎn)作，垂足為，如圖所示：

在中，，，，即此時(shí)圓的直徑為，，而，，在中，，，，，即線段長(zhǎng)度的最小值為，6．D解：∵四邊形為矩形，∴，∵，∴，∴由勾股定理得：，∵，∴，∵，∴，∴，∴取中點(diǎn)O，E在以為直徑的圓上，∴，∴當(dāng)取最小值時(shí)，也為最小值，∵E為上的動(dòng)點(diǎn)，∴當(dāng)時(shí)，OE最短，∵，∴，設(shè)，則，∴，∴，∴，∴．7．C解：如圖所示，過(guò)點(diǎn)O作，垂足為F，連接．

∵，∴．在中，，∴．∴．∴．如圖所示，過(guò)點(diǎn)A作，垂足為N，過(guò)點(diǎn)C作，垂足為M．

∵E為的中點(diǎn)，，∴∴．又∵，∴．∴．∵，∴．∵，∴．∴．又∵，∴．在中，．∴，在和中，，∴．∴．∴四邊形的面積．8．D解：，，，，由題可知，為直角三角形，在中，，即：，，9．B解：如圖，過(guò)點(diǎn)E作于點(diǎn)E，過(guò)點(diǎn)C作于點(diǎn)M，所以，四邊形是矩形，∴，∵路燈圖是軸對(duì)稱圖形，且，∵在中，又∴，∴即燈頂A到地面的高度為10．C解：如圖作于．

四邊形是正方形，，四邊形是矩形，，，，，，，，，，設(shè)，則，垂直平分線段，，，，，11．解：方法一：∵，∴設(shè)，則，∴∵矩形的面積是6，是對(duì)角線，∴的面積為，即∴在中，即即解得：在中，∵對(duì)角線軸，則，∴,∵反比例函數(shù)圖象在第二象限，∴，方法二：∵，∴設(shè)，則，∴，∴，，∵，∴，故答案為：．12．解：如圖所示，連接，過(guò)點(diǎn)作交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)，設(shè)，交于點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，∵在平行四邊形中，對(duì)角線交于點(diǎn)O，∴∵將沿翻折得到，∴，∴是直角三角形；∵，∴∴，∴，∴∵平行四邊形的面積∴∴∴,∴∵∴∴∴即解得：，故答案為：．13．過(guò)點(diǎn)作垂足為,延長(zhǎng)交半于點(diǎn)連接由折疊得：，，∵點(diǎn)為的黃金分割點(diǎn)，，∵為半圓的直徑，，，，，，∵四邊形是半的內(nèi)接四邊形，，，，，在中,，故答案為：．14．/如圖所示，過(guò)點(diǎn)E作于點(diǎn)M，過(guò)點(diǎn)F作于點(diǎn)N，

由題意可得，四邊形是矩形，∴，∵，∴，∵博雅樓頂部E的俯角為，∴，∴，∴，∵點(diǎn)A是的中點(diǎn)，∴，由題意可得四邊形是矩形，∴，∵尚美樓頂部F的俯角為，∴，∴，∴，∴在中，，∴，∴解得，∴．故答案為：．15．如圖，延長(zhǎng)交水平地面于點(diǎn)D，過(guò)點(diǎn)C作于點(diǎn)E，設(shè)的延長(zhǎng)線與水平地面交于點(diǎn)O，結(jié)合題意可知，，∴．∵，∴，．∵，∴，∴．故答案為：．16．(1)證明見(jiàn)解析(2)（1）證明：連接，如圖所示：∴，∵，∴，∴，∵是的切線，∴，∴，∴，∵，∴，∴；（2）解：連接，如圖所示：由（1）得，，∴，∵是的直徑，∴，∴，∵，∴，∴，∵，∴，∴，∵，∴，∵，，∴，∴，∴，，，∴，∴，∴，∵，∴，∴（負(fù)值舍去），∴．17．(1)(2)（ⅰ）見(jiàn)解析；（ⅱ）（1）解：∵∴，在中，∴（2）證明：（?。┳C法一：如圖，延長(zhǎng)，交于點(diǎn)，則，

∵，∴．又∵，∴四邊形是平行四邊形．∴．∵是的中點(diǎn)，，∴．∴．∴四邊形是平行四邊形．∵，∴是菱形．∴．∵，∴．∴．∵，即，∴，即點(diǎn)是斜邊的中點(diǎn)．∴．證法二：∵，是斜邊的中點(diǎn)，∴點(diǎn)在以為圓心，為直徑的上．

∵，∴垂直平分．∴．∴．∵，∴．∴．∴．證法三：∵，∴．又∵，∴四邊形是平行四邊形．∴．∵是的中點(diǎn)，，∴．∴．∴四邊形是平行四邊形．∵，∴是菱形．∴．∵，是斜邊的中點(diǎn)，∴點(diǎn)在以為圓心，為直徑的上．∴．（ⅱ）如圖所示，過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，

∵，∴，則，∵，∴，∴，∴，∴，∴18．(1)(2)①證明見(jiàn)解析；②；(3)（1）證明：∵平分，∴，∵，∴，∵，∴，∵，∴，∴；（2）①∵為中點(diǎn)，，∴，∴，∵，∴，∴，∵，，∴，∴；②設(shè)，，∴，，∵，，∴，∴，即，∴，即，∴，∴，∴（負(fù)根舍去）；（3）解法一：如圖，設(shè)的半徑為，連接交于，過(guò)作于，

∵，∴，∴，∵，，∴，∴，∵，∴，而，，∴，∴，∵，∴，∵，∴，∴，即，解得：，（負(fù)根舍去），由（2）①知，∴．解法二：如圖，延長(zhǎng)，分別交、于M、N