高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)資料：5 立體幾何（理科）解答題30題 教師版

專題5立體幾何（理科）解答題30題

1.（青海省海東市第一中學(xué)2022屆高考模擬（一）數(shù)學(xué)（理）試題）如圖，在三棱柱

W-44C中，A1C=AA1=2AB=2AC=2BC,ΔBAAx=60°.

A4

⑴證明：平面NBC/平面//避產(chǎn).

⑵設(shè)P是棱CC1的中點，求AC與平面244所成角的正弦值.

【答案】（1）證明見解析

⑵當(dāng)

4

【分析】（1）設(shè)48=2,由余弦定理求出48=26,從而由勾股定理得到48145,

ABLBC,進(jìn)而證明出線面垂直，面面垂直；（2）建立空間宜角坐標(biāo)系，利用空間向

量求解線面角的正弦值.

（1）

AB=-I.

在四邊形44田田中，?.?∕4=2N8,/8/4=60。，連接力產(chǎn)，

22

由余弦定理得A1B=44：+AB-2AAt-48CoS60。=12,即A1B=2√3,

22

AiB+AB=AAf,

.-.AyB1AB.

222

又?.?A1B+BC=A1C,

AtB].BC,ABCBC=B.

:.AtB1平面Z8C,

1?4臺U平面44圈8,

.?.平面/SC/平面血?4B.

(2)

取N8中點￡),連接CD?.?AC=BC,：.CDLAB,

由⑴易知CDl平面且CD=√i.

如圖，以8為原點，分別以射線BA,BA,為χ,y軸的正半軸，建立空間直角坐標(biāo)系B-xyz,

則4(2,0,0),4(O,2√3,O),C(l,0,√3),B1(-2,2√3,0).Cl(-1,2√3,√3),P(O,√3,√3).

福=(-2,0,0),4^=(0,-√3,√3).

設(shè)平面PAtBi的法向量為n=(x,y,z),則:空=，,

n?AlP=0

-2x=0T

得［s+怎3令…,則取〃=(QLl),

關(guān)=(T0,回卜。說，訃第P系若，

HC與平面尸4與所成角的正弦值為逅.

4

2.(陜西省榆林市2023屆高三上學(xué)期一模理科數(shù)學(xué)試題)如圖，在四棱錐P-RBS中,

平面PAD1底面/8CL>,AB//CD,NDAB=60°,PZ1PO,且

PA=PD=E,AB=2CD=2.

⑴證明:ADLPB.

(2)求平面PAD與平面PBC所成銳二面角的余弦值.

【答案】(1)證明見解析

⑵嚕

【分析】(1)利用線面垂直的判定定理證明線面垂直，然后利用線面垂直證明線線垂直;

(2)建立空間直角坐標(biāo)系，求出兩個平面的法向量，然后求出二面角的平面角的余弦

值

【詳解】(1)證明：取4。的中點G,連接BD,BG,PG.

因為PA=PD=所以力。IPG.

又PZIPZ),所以ZD=2.

又AB=2∕BAD=600,所以△48。為正三角形，所以∕Z)18G.

因為PG,BG在平面P8G內(nèi)相交，所以Zz)I平面PBG.

又PBu平面P8G,所以NZ)IP8.

(2)以G為坐標(biāo)原點，而,不的方向分別為K',z軸的正方向，

建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系,

則尸(0,0,1),5(0,6,0),CO],而'=(0,?-l),PC=Γ-?-l

V22J\22

設(shè)平面尸8C的法向量為m=(x∕,z),

v??-z=0,

則3?/?令y=g?得m=(T，63).

育+7-Z=0,

由題可知,平面尸4。的一個法向量為G=（0,1,0）.

設(shè)平面PAD和平面PBC所成的銳二面角為夕

m?n√3_√39

則COSe==IP

k^ττ?

m??n

3.（廣西南寧市第二中學(xué)2023屆高三上學(xué)期1月月考（期末）數(shù)學(xué)（理）試題）如圖,

四棱柱/8CQ—48GA的側(cè)棱44」底面48CZ）,四邊形/88為菱形，E,F分別為

CG,44/的中點.

（1）證明：B,E,Dl,F四點共面;

⑵若AB=AAx,ΔDAB=求直線AE與平面BED1F所成角的正弦值.

【答案】(1)證明見解析

⑵零

26

【分析】(1)通過證明￡0必5￡來證明用E,D1,尸四點共面.

(2)建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法求得直線/E與平面BED/所成角的正弦值.

【詳解】(I)取烏。的中點為G,連接∕G,GE,

由￡G分別為CG,DA的中點，

：.EGI/DCIlAB,且EG=DC=4B.

四邊形ABEG為平行四邊形，

故AG//BE.

乂尸是44∣的中點，即皿〃/G.

.?.FDJIBE,

故8,F,2,E四點共面.

(2)連接/U8D交丁點0,取上底面的中心為。I，

以。為原點，0A,0B.函分別為X、AZ軸正方向，建立如圖所示的空間直角坐

標(biāo)系。-Λ^Z,

設(shè)/5=2,則/(G0,0),B(0,1,0),f(-√3,0,l),F(√3,0,1),

.?.AE=(-2√3,0,1),5F=(√3,-1,1),SE=(√3,-1,1)

設(shè)面BE.的一個法向量為成=(X,y,z),

m-BF=0?/??-y+z=0

則取玩=(OJJ),

th?BE=0-SX-y+z=O

.CI而?西√26

設(shè)直線AE與平面BED1F所成角為，，故SInθ=同網(wǎng)=?,

.?.直線AE與平面BED1F所成角的正弦值為叵.

26

4.（河南省十所名校2022-2023學(xué)年高三階段性測試（四）理科數(shù)學(xué)試題）如圖所示,

四棱臺Z8CD-44CQ的上、下底面均為正方形，且。AI底面/8CD

（1）證明：150,；

（2）^AD=DDi=24。=2,求二面角/一8A-C的正弦值.

【答案】（1）證明見解析

⑵半

【分析】（1）利用線面垂直的判定定理證明線線垂直；

（2）利用空間向量的坐標(biāo)運算求面面角.

【詳解】（1）Q。。i平面∕8CD4C1平面Z8C2??.∕C1OA,

如圖，連接四邊形"8為正方形，.?.∕1C?LB,

乂“：DDlCBD=D,：DR,BDu平面DQB,

.?./C/平面〃08,

：BD,U平面AZ）氏.?.4C1BR.

(2)由題意知直線DC。4兩兩互相垂直，故以。為坐標(biāo)原點，建立如圖所示的空

間直角坐標(biāo)系.

由已知可得4(2,0,0),B(2,2,0),C(0,2,0))當(dāng)Q,l,2),

βlβ=(l,l,-2),BC=(-2,0,0),8l=(0,-2,0).

設(shè)平面N8∣8與平面陰C的法向量分別為Nl=(xl,y∣,zl),n2=(x2,y2>?)?

%由8=%+必-24=0

則-----令4=1,則*=(2,0,1),

〃]?BA=-2必=0,

n2-B,B=x2+y2-2z2=0,

------令Z2=l,則Z=(O21),

n2?BC=-2x2=0,

11

.,.COSGa卜箭=F6=S'

故二面角-C的正弦值為Jm=半.

5.(貴州省畢節(jié)市2023屆高三年級診斷性考試(一)數(shù)學(xué)(理)試題)如圖，四棱錐

P-/8C。的底面是矩形，尸4_1_底面/8。。，AB=6y[2,AD=6,M,N分別為CD,

PO的中點，K為PA上一點、,PK=^PA.

(1)證明：B,M,N,K四點共面;

TT

(2)若PC與平面ABCD所成的角為w,求平面BMNK與平面PAD所成的銳二面角的余

6

弦值.

【答案】(1)證明見解析

⑵4

O

【分析】(1)先證明線線平行，再利用基本事實判定四點共面；

(2)建立空間直角坐標(biāo)系，求出點的坐標(biāo)，求解兩個平面的法向量，然后利用向量法

求解二面角平面角的余弦值.

【詳解】(I)證明：連接/C交于瓦連接KE,

,二四邊形/8CQ是矩形，"為8的中點,

CECM_\

:.CM//ABBLCM=-AB

2~AE~^4B~2

PKCE

'：PK=-PA..-.PK=-KA:.KE//PC,

32

■：M,N分別是CD,Pn的中點，,MN〃尸C,.?.KE〃加N,

???K,E,M,N四點共面,

'.'BeEM,--B,M,N,K四點共面.

⑵?.78=6√LAD=6,：.AC=643.

：PA1平面48CDPC與平面Z5C。所成的角為NPe4=￡,

6

在APZC中，^?tan?=-.?AP=6.

AC63

以/8為X軸，4。為y軸，XP為Z軸建立空間直角坐標(biāo)系，如圖

4(0,0,0),5(6√2,0,0),M(3√2,6,0),K(0,0,4),

?.-BΛ7=(-3√2,6,O),β?=(-6√2,0,4).

4?BM=-3y∕2x+6y=0

設(shè)平面BMNK的一個法向量為W=(Xj,z),則

々?BK--6?∣2x+4z=0

令X=√L得平面BMNK的一個法向量為nλ=(√2,1,3),

又平面Pzz)的個法向量為限=(1,0,0).

設(shè)平面BMNK與平面PAD所成的銳二面角的大小為夕

平面BMNK與平面PAD所成的銳二面角的余弦值為逅.

6.(貴陽省銅仁市2023屆高三下學(xué)期適應(yīng)性考試(一)數(shù)學(xué)(理)試題)如圖(1),

在梯形/8CZ)中，ADHBC,AD1AB,AD=2AB=IBC,E為XZ)中點，現(xiàn)沿SE將

△IBE折起，如圖(2),其中尸,G分別是BE,ZC的中點.

(1)(2)

⑴求證：FGI平面/CO；

Q)若AB=AC=6,求二面角8—4C-O的余弦值.

【答案】(1)證明見解析

⑵-4

【分析】(1)取力。中點H,易證得四邊形EFG〃為平行四邊形，從而得到JFG//￡〃，

利用等腰三角形三線合一性質(zhì)可分別得到FG1AC,EH1AD,結(jié)合平行關(guān)系和線面垂

直的判定可證得結(jié)論；

(2)根據(jù)長度關(guān)系可證得ZRBE,FC兩兩互相垂直，則以f為坐標(biāo)原點建立空間直角

坐標(biāo)系，利用二面角的向量求法可求得結(jié)果.

【詳解】（1）取4。中點〃，連接CE,AF,FC,EH,GH,

???四邊形BCOE為平行四邊形，.?.8E"CZ),BE=CD,

GH=gcD,

又產(chǎn)為BE中點，.?.EFHCD,EF=gcD,.?.EFHGH,EF=GH.

二四邊形EFGH為平行四邊形，：.FGHEH；

'：AE=DE,丹為/￡>中點，.-.EH1.AD.?FGLAD-,

'：AEHBC.AE=AB≈BC=^AD,ABLAD,二四邊形NBCE為正方形，

AF=FC,:.FGLAC1又/CCM。=/,/(7,/。匚平面48,

.?.FGi3P?∣ACD.

(2)由(1)知：CE=AB=^-AD,:.ACLCD,義BEHCD,:.BE?.FC■,

YAB=AE,尸為8E中點，AFi.BE,

■：AF=FC=^BE=AB2+AE2=1,AC=五':.AF2+FC2=AC2,

:.AFLFC,又BECFC=F、BE,FCu平?面BCDE,r./尸1平面BCDE,

以尸為坐標(biāo)原點，麗,網(wǎng),成正方向為χ,v,z軸，可建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系,

則8(1,0,0),/(0,0,l),C(0,l,0),F(0,0,0),G(Os

.?.存=(l,0,T),就=(OJ-I),用=(0St),

設(shè)平面MC的法向量〃=(Xj,Z),

*.

AB?n=x-z=0aj、

―._,令X=1,解得：y=z=ι..?.∏=(1,1,1)；

AC`n=y-Z=0

■：FG1平面ACD..?.平面ACD的一個法向量為FG=（°，；，；），

∣=——-yj==半

.?.1cos<FG,π>1=MIT-HJ6下3'

2

由圖形知：二面角5-4C-。為鈍二面角，，二面角B-ZC-。的余弦值為-逅.

3

7.（湖北省武漢市2022屆高三下學(xué)期2月調(diào)研考試數(shù)學(xué)試題）在如圖所示的多面體中,

點及F在矩形ABCD的同側(cè)，直線EDI平面ABCD,平面BCF1平面ABCD,且△BCF

為等邊三角形，ED=AD=2,AB=y∣2.

/D:-Ac

(1)證明：ACVEF-,

（2）求平面45尸與平面ECF所成銳二面角的余弦值.

【答案】（1）證明見解析

⑵李

6

【分析】⑴取BC中點M,連接尸則由平面BCFL平面/8CO,可得尸Wi平面

ABCD,再由即1平面23CD,可得即//月0,ACiED,再由已知條件可證得

ACLDM,由線面垂直的判定定理可得ZCI平面EZWF,然后由線面垂直的性質(zhì)可

得結(jié)論，

l?JUULlULMU

（2）以。為坐標(biāo)原點，D4,Z）C,Z）E的方向為x，y，z軸的正方向，建立如圖所示的空間

直角坐標(biāo)系，利用空間向量求解

【詳解】（I）取BC中點M,連接產(chǎn)以，

'：FB=FC,:.FM1BC.

由平面BCF1平面ABCD,且交線為BC,

FM1平面ABCD.

又EZ）I平面,有ED//FM.

.?.E,Q,尸,M四點共面.

■：ED?.^ABCD,AC'?平面∕8CO,

.?.ACLED.

乂在矩形Z8C。中，段=照=

DCCM

：.XADCSXMCD、

/CAD=KDM、

?.?ZCOΛf+Z^OA/=90°.

；/CAD+Z.ADM=90°,

.?.ACiDM.

又：EDCDM=D,

.?.4C」平面EDMF.

二所u平面EDMF,:,ACLEF.

ULl4ULlUUUU

(2)以。為坐標(biāo)原點，D4,OC,OE的方向為XJ*軸的正方向，建立如圖所示的空間

直角坐標(biāo)系廁有：J(2,0,0),β(2,√2,0),F(l,√2,√3),E(0,0,2),c(0,√2,0).

設(shè)平面的法向量〃=（AM,zj,行=（θ,√∑,θ）,麗=卜1,0,碼.

n?AB=V∑y=O

1令Z]=1,則〃=(JJ,O,1).

n?BF=-x1÷V?1=O

設(shè)平面Ea，的法向量前=（Z/2，Z2），斤=（Lo，6），醞=（0，-五,2）.

tnCF=x+y∣3z=O

22令z?=1,則m=(-??/l,l)

fhCE=-41y1+2z2=O

m-n?∣-3+l∣_√6

/.Icosun,n

∕W∣∣W∣y∕4-yfβ6

所平面43尸與平面ECF所成銳二面角的余弦值為四.

6

8.（甘肅省蘭州市第五十中學(xué)2022-2023學(xué)年高三第一次模擬考試數(shù)學(xué)（理科）試題）

如圖，在多面體N8COE尸中，四邊形ZBCO為直角梯形，AD//BC,ABLAD,四邊

形4DEF為正方形,平面NDETU平面NBCDBC=3AB=3AD,M為線段8。的中點.

(1)求證：8。，平面/FA/；

(2)求平面AFM與平面ACE所成的銳二面角的余弦值.

【答案】(1)證明見解析；

⑵岑,

【分析】⑴證明AFLBD以及BDLAM即可求證BDLAM；

(2)在點/處建立空間坐標(biāo)系，分別計算平面/尸M與平面4CE的法向量，結(jié)合空間角

與向量角的聯(lián)系計算即可.

【詳解】(1)因為四邊形力。E尸為正方形，所以"L4D

乂因為平面/OE/U平面ABCD,且平面ADEFD平面ABCD=AD,AFU平面ADEF,

所以/尸，平面43CI>,而BQU平面438,所以工因為48=4。，M線段8。

的中點，

所以8。2M^.AM^}AF=A,ZM,/尸U平面4尸”,所以平面

(2)由⑴知ZFl平面488,所以XFLI8,AFLAD,

51.ABLAD,所以48,AD,/F兩兩垂直.

分別以萬,亞,萬X軸，y軸，z軸的正方向建立空間直角坐標(biāo)系/-型(如圖).

設(shè)/8=1,則4(0,0,0),5(1,0,0),C(l,3,0),D(0,1,0),Λ(0,1,1),

所以麗=(TI,O),Zg=(0,1,1),衣=(1,3,0),

設(shè)平面ZCE的'?個法向量為A=(X,y,z),

ACn=O,x+3y=O

則即

AE-H=Oy+z=O

令y=l,貝IJX=-3,Z=-1,貝=(-3,1,-1).

由⑴知，麗=（-1,1,0）為平面/尸M的一個法向量.

設(shè)平面AFM與平面ACE所成的銳二面角為夕

忸力(-3)×(-l)+l×l+(-l)×0

則cos6=cos(AO,〃

22222J

阿阿√(-3)+1+(-1)√(-1)+1+0

所以平面與平面ACE所成的銳二面角的余弦值為雙紅.

11

9.（甘肅省蘭州市第五十八中學(xué)2022-2023學(xué)年高三上學(xué)期第一次模擬考試數(shù)學(xué)（理科）

試題）在直角梯形/8Co（如圖1）,ZABC=W,BCHAD,∕1D=8,AB=BC=4,

M為線段中點.將4/8C沿ZC折起，使平面力8CJ_平面力CZx得到幾何體8-

/0（如圖2）.

（I）求證：CD_L平面N8C；

⑵求AB與平面BCM所成角8的正弦值.

【答案】（1）證明見解析

⑵羋

【分析】（1）先根據(jù)勾股定理得到CD14C,再根據(jù)面面垂直的性質(zhì)定理可證CDL平

ABC-,

（2）取NC的中點0,連接。8,先證明。4OB,OM兩兩垂直，再以。為原點，OM、

OUOB所在直線為X軸、y軸、Z軸建立空間直角坐標(biāo)系，利用線面角的向量公式可

求出結(jié)果.

【詳解】（1）由題設(shè)可知ZC=4jΣ,CD=4√2,/IP=8,

.?.AD2=CD2+AC2,：.CD]_AC,

又r平面/8CI平面4CD,平面/8CC平面NCZJ=/C,CDU平面ZCZ),

，C￡>_L平面ABC.

(2)取力。的中點0,連接08,由題設(shè)可知4/8C為等腰直角三角形，所以08INC,

又因為平面48C_L平面XCD平面/8CC平面/CO=NC,。8U平面/8C,

所以。81平面/CM.連接OM,因為OMu平面ZCW,所以051Qir

因為M、O分別為4。和/C的中點，所以O(shè)M“CD,

所以O(shè)MI/C,故以。為原點，OM.OU08所在直線為X軸、y軸、Z軸建立空間直

角坐標(biāo)系，如圖所示：

則/(θ,-2√∑,θ),B(0,0,2√2),C(0,2板,0),Λf(2√2,θsθ),

C5=(θ,-2√2,2√2),O7=(2√2,-2√2,0),=(θ,-2√2,-2√2),

設(shè)平面BCM的一個法向量為n=(x,y,z),

ii-CB=-2y∕2y+2-j2z=O

則得x=y=z,令χ=l,得萬=(1,1,1),

H-CM=2y∕2x-2y∕2y=0

BAn

.p.1I4√2√6

“網(wǎng)不標(biāo)XG=5

所以”與平面BCM所成角6的正弦值為也.

3

10.(陜西省西安市長安區(qū)2023屆高三下學(xué)期一模理科數(shù)學(xué)試題)如圖，在四棱錐

P-ZBCD中，PA15FWABCD,ADLCD,AD//BC,PA=AD=CD=I,BC=3,

E為尸。的中點，F(xiàn)在PC上，滿足EFl.PC.

B'C

(1)求證：81平面PND；

(2)求二面角8-4F-C的余弦值.

【答案】(1)證明見解析.

【分析】(1)根據(jù)線面垂直的判定定理即可證明結(jié)論；

(2)建立空間直角坐標(biāo)系，根據(jù)題意求得相關(guān)點坐標(biāo)，求出點F的坐標(biāo)，求出平面/BF

和平面NeF■的法向量，根據(jù)空間角的向量求法，即可求得答案.

【詳解】(1)證明：因為PR1平面488,CDu平面488,所以&，C

又因為力OIC。，PZC4D=4P4∕Ou平面，

所以CD1平面PAD.

(2)過Z作4。的垂線交BC廣點K

因為尸41平面N8C。U平面488.

所以刃1∕M,P4?,AD,

以/為坐標(biāo)原點，以/〃尸分別為χ,y,z軸，建立空間直角坐標(biāo)系如圖，

則)(0,0,0),B(2,-1,0),C(2,2,01O?,2,0)P(),0,2),

因為E為PQ的中點,所以E(OJl),

因為F在尸C上,設(shè)而=4定=*2,2,-2),則尸(2兒2兒2-2人),

故而=(2W,2∕l-l,1-2/1),

因為MI尸C,所以而1斤而?京=0,

即(2兒24-1,1-24)?(2,2,—2)=0,即12R-4=0,入=g,

224

即％,英)，

所以第z=（m）,刀=（2T0）,

ffι?AB=。

設(shè)平面ABF的一個法向量為m=（x,y,z）,則

m?AF=O

2x-y=0

即224c,令χ=2,則y=4,z=-3,故而=(2,4,-3)；

—X+—y+—z=0

1333

H-AC=O

ZC=（2,2,0）,設(shè)平面」CF的一個法向量為7=（α也C）,則

n-AF=θ'

'2a+2b=Q

即?22,4c，令α=l,則b=-l,c=0,故1=(1,-1,0),

-a+-b+-c=0

1333

..z---.m?n-2Λ∕58^

故COS〈加，n)==~→-=——尸=------

?m??n?Vj29×>∕229

由圖可知二面角B-∕F-C為銳角，故二面角8-/尸-C的余弦值為恒.

29

IL（陜西省銅川市王益中學(xué)2023屆高三下學(xué)期一模理科數(shù)學(xué)試題）如圖，四棱錐

P-ZBCD中，PB1JS?ABCD,AB//CD,AB1BC,B,AB=2BC=2CD=2.

（2）若平面PAD與平面PBC所成的二面角的余弦值為近，求PA與底面ABCD所成的角

6

的正切值.

【答案】（1）證明見解析:

【分析】⑴由已知結(jié)合勾股定理可推得，4。18,進(jìn)而證得/Di平面尸8。，然后

根據(jù)線面垂宜的性質(zhì)即可得出ADVPD.

⑵以點8為坐標(biāo)原點，建立空間直角坐標(biāo)系.設(shè)8P=t寫出各點的坐標(biāo)，根據(jù)向量法

得出平面以。與平面PBC的法向量，結(jié)合已知可得?。?埋求出點P坐標(biāo).在

√2z2+46

RSPBA中，求出tanAPAB即可.

【詳解】(1)取48中點R連接QE,則由已知得OE〃8C且。E=BC,所以。E184

由已知可得，AD2=AE1+DE1=2,BD2≈DC2+BC2=2.

乂/8=2,所以力/=BO+4)2

所以1BD.

又產(chǎn)81底面力88,4。U平面NBCD,所以PB140.

又PBCBD=B、P8u平面PBD,BDU平面PBD.

所以/O1平面P8D.

因為PoU平面P8D,所以4D1PZ).

如圖，以BC,8∕,8P所在宜線分別為X軸、y軸、Z軸建立空間直角坐標(biāo)系.

設(shè)BP=f(f>0),由題知8(0,0,0),4(0,2,0),C(l,0,0),￡>(1,1,0),P(0,0√).

則赤=(LT,0),萬=(0,-2/),第=(0,2,0).

設(shè)/=(x,y,z)是平面PAD的一個法向量.

ADin=x-y=0

所以有

AP?in=-Iy+Zz=0

令X=f,則y=/,z=2,則而=(f,f,2)是平面尸”。的一個法向量.

由已知得，BA=(0,2,0)是平面P8C的一個法向量.

又平面PAD與平面PBC所成的二面角的余弦值為星＞0,

6

2/ty∕β

2y∕t2+t2+4∣2t2+46

則H反網(wǎng)卜品鬻y

整理可得，*=ι.

因為。0,所以f=L即BP=L

由直線馬平面所成角定義知PA與底面/J5CD所成的角為NP/8.

在:RtAP8/中，^jtanZPAB=-=-,所以tan∕Λ48=L

AB22

所以，PA與底面/8S所成的角的正切值為g.

12.(山西省太原市2022屆高三下學(xué)期模擬三理科數(shù)學(xué)試題)已知三角形尸4。是邊長

為2的正三角形，現(xiàn)將菱形/8C。沿4。折疊，所成二面角P-NO-8的大小為120。，

此時恰有尸CI/D.

(1)求8。的長；

(2)求二面角D-PC-B的余弦值.

【答案】C)BD=2也

⑵一短

7

【分析】⑴取X。中點"，連接PM,CM,即可得到PMl/O,再由PCI/D.

從而得到平面尸MC,即可得解NOlMC,從而求出

(2)建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量法求出二面角的余弦值；

【詳解】(1)解：取4。中點M,連接PM,CM,

是正三角形，

.?.PMLAD.

又：.PCLAD,PCCPM=P,尸C,PA/U平面PMC

，1平面PΛ∕C,MCU平面PMC,

ADlMC,

在菱形ABCD中，NCDA=60°,則ND48=120°,

12

BD=Λ∣AD+AB-2AD-ABcosΛDAB=2m

⑵解：取M為坐標(biāo)原點，建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系，則。(T,0,0),P(θ,√3,θ),

(√33

dco

22['^τ4

設(shè)平面Pa＞的法向量為機=(xj,z),

3√3rι3_q一

2-2,令y=l,則X=-6，z=y∣3,m=(-√3,

x+>j3y=0

設(shè)平面PCB的法向量為n=(α,b,c)

?,?C5=(2,0,0),^C=O,

3√33

一萬2C,令6=1,則c=6α=0,所以G=(0,1,6)

2a=0

∣O×+1×1+?/?×?V3∣2y∣j

m`n

COS

一麗2×√77

又二面角D-PC-B為鈍二面角，二面角D-PC-B的余弦值為一2"

7

13.(山西省呂梁市2022屆高三三模理科數(shù)學(xué)試題)如圖，在四棱柱/8CQCa中,

底面”8是平行四邊形，D41O8,側(cè)面4)A4是矩形，AB=2AD=^AA,M為AA?

的中點，DlAlBM.

(1)證明：BD1平面ADDtA,；

(2)點N在線段4G上，若4G=44N,求二面角M-08-N的余弦值.

【答案】(1)證明見解析；

⑵坐.

3

【分析】(1)由即可得D/LMD,然后利用線面垂直的判定定理可得D/1平面BQM,

進(jìn)而即得；

(2)建立空間直角坐標(biāo)系，利用二面角的向量求法即得.

(1)

因為矩形中，y∕2AAt=2AD,M為AA1的中點，

所以IanZMDA=XanZADlD=—.

2

所以∕Λ∕r%=∕4qo.

因為∕XOQ+No/D=

所以NMDA+ZDiAD=?,

所以

因為D/1BM,MDcBM=M.

所以1平面BDM.

因為8。U平面8?！?

所以"∕18Q,乂DALDB,R4cDA=A,

所以8。1平面力。。/.

(2)

由(1)知。4。民?！鰞蓛上嗷ゴ怪?，所以以。為原點，D4,D8,DD所在直線分別為

χ,y,z軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系.

連接

則。(o,o,o)Q(0,0,6),4(1,0,0),8@應(yīng)O)G(T，石，(,o,C

J√3

所以麗=(O,百,0),麗=可'+而=可彳。

2彳

設(shè)平面BDN的一個法向量為n=(x,y,z),

y∕3y=0

伍”=0

則-X+^-y+?∣2z=0

n?DN=0''

,24-

所以尸0,令Z=-L得χ=2√∑,所以1(2√Σ,0,-l),

由⑴知即=(l,0,-6^)是平面BOM的一個法向量,

/取___________3叵√6

所以Cos(ED)=

W?取√(2√2)2+l2×√(√2)2+l23

故二面角M-DB-N的余弦值為限.

3

14.(山西省際名校2022屆高三聯(lián)考二(沖刺卷)理科數(shù)學(xué)試題)如圖，在四棱錐

P-ABCD'V,底面W。是梯形，AB//CD,ABLAD,AB=AD=2CD=2,AAPD

為等邊三角形，E為棱PB的中點.

(1)證明：CE∕j平面PAD；

(2)當(dāng)PB的長為多少時，平面P4。，平面458?請說明理由，并求出此時直線CE與

平面尸Co所成角的大小.

【答案】(1)證明見解析

(2)PS=2√2.?

0

【分析】(1)取線段P/的中點尸，連接跖、FD,利用三角形中位線定理結(jié)合已知條

件可得四邊形CEEo為平行四邊形，則CEDF,然后利用線面平行的判定定理可證

得結(jié)論，

(2)當(dāng)PB=2√2時，由已知條件可證得AB1平面PAD,從而可得平面PAD1平面

ABCD.分別取線段ZQ,BC的中點O,M,連接尸O,OM,則可證得04OM.OP

兩兩垂直，所以分別以04OM、。尸所在直線為X軸，y軸，Z軸，建立空間直角坐標(biāo)

系的Z,利用空間向量求解

(I)

證明：取線段P4的中點/，連接EfFD.

則EF為Ap43的中位線，

.?.EFIlAB,EF=-AB,

■：ABIlCD.CD=-AB.

EFIlCD,EF=CD,

二四邊形CEFD為平行四邊形.

:.CE/IDF,

...。尸:3平面尸”。，CE(X平面P4。，

:.CEIl平面PW.

(2)

當(dāng)PB=2√2時，平面PAD1平面ABCD.

理由如下：

在△尸48中，;AB=P4=2,P8=2√L.?.AB?.PA.

乂?：ABLAD,ADcPA=A,.?.AB15FffiPzlD,

又ABU平面ABCD,平面PADi平面ABCD.

分別取線段月。，SC的中點O,M,連接P。，OM,

因為△/「￡＞為等邊三角形，。為4)的中點，所以尸。1/。，即尸OJ平面Z88.

PO=B

因為。，M分別為4。，8C的中點，所以

又1814D,所以。M』ND.

分別以。4OM,。尸所在直線為X軸，V軸，Z軸，建立空間直角坐標(biāo)系。斗，則

5(1,2,0),P(θ,θ,√3),C(-l,l,0),0(-1,0,0),

PC=(-l,l,-√3),PC=(O,1,O),CE=

設(shè)平面PCD的法向量?為〃=（Xj,z）,

PC`n=-x÷?-?/?z=O

DCn=?=O

所以直線CE與平面PCD所成角的正弦值為7,所成的角為3.

z6

15.（內(nèi)蒙古呼倫貝爾市部分校2022屆高考模擬數(shù)學(xué)（理）試題）如圖，在四棱錐

P-ZBCD中，PA1jPWABCD,ADHBC,AB=BC=CD=PA=X,AD=2.

(1)求證：平面尸8_L平面尸/C;

(2)求平面218與平面PCD所成銳二面角的余弦值.

【答案】(1)證明見解析；

【分析】⑴取的中點E,連接CE.證明CZ)I/C,CDVPA,由線面垂直判定

定理知81平面H4C,再由面面垂直的判定定理得證；

(2)建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法求解即可.

(1)

取的中點E,連接CE,如圖，

因為∕D∕∕BC,AB=BC=CD=1,/0=2,所以NE=5C,AEHBC,

所以四邊形/8CE為平行四邊形，

所以CE=XB=JNO=I,所以COizc,

因為PZl平面/88,Cr)U平面N5CZ),所以COlP/,

因為"ΓMC=/,所以CoI平面P4C,

因為CZ)U平面尸Cn所以平面尸CDI平面P/C.

(2)

過點8作AWl/。于M,以旭為原點，建立空間直角坐標(biāo)系，如圖所示,

在等腰梯形中NBCQ、ADUBC,AB=BC=CD=LAD=2,

則NΛ/=L=旦，

222

0

設(shè)平面Pa＞的法向量為?=(x,y,z),因為戶4=**悒=-≠r

n?PC=x+-y-z=O

22

所以令x=l,則7=0,√J,2√J),

nCD=-^-x+^-y=O

22

(李，；，0)，莎=(o,o,-ι),

設(shè)平面PAB的法向量為蔡=(a,b,c),因為方=

一√31

所以，"31r"5b=O令—則嬴(一百°),

fhPA=-C=Q

所以卜os(前,。卜備，=/2=_—==1

I'A硯√1+3+12×√ΓΓ34

16.(內(nèi)蒙古呼和浩特市2022屆高三第二次質(zhì)量數(shù)據(jù)監(jiān)測理科數(shù)學(xué)試題)如圖，在三棱

柱∕RC'-∕8C中，側(cè)棱44'1底面Z5C,AB=AC,BC=y∣2AA,,。、E分別是SC,

班’的中點.

(1)證明：平面/CDi平面ADE；

(2)已知44'=&,求直線44'與平面E所成角的正弦值.

【答案】⑴證明見解析

⑵4

【分析】(I)由acα>~a∑>8E,證得CQIQE,再根據(jù)題意證得/Z)I平面BCCr)

得到AD1CD,進(jìn)而證得CD1平面ADE,即可證得平面ZC'。1平面4。E.

⑵以。為原點，。/為X軸，OC為y軸，在平面8CC'd內(nèi)，過。且平行與58'直

線為Z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，得到五？=倒,0,亞)和平面3E的法向量為

DC=(θ,l,√2),結(jié)合向量的夾角公式，即可求解.

(?)

證明：由題意知∕8=NC,BC=41AA',可得m=應(yīng)，警=應(yīng)，

CD

所以△CCO?△OBE,所以NCDC'+NBOE=90。，所以CD1OE,

因為月8=NC,且。為BC的中點,可得/O/8C,

又因為側(cè)棱41'1底面/8C,且力。U底面/8C,所以4。L44,

乂由88'∕∕∕H,所以401.8".

因為BCClBQ=B,所以4)1平面8CC'。'.

又因為CQU平面BCCD',所以/O_LC'。，

因為/OcOE=。且AD,DEU平面NOE,所以CDi平面/OE,

又因為CDu平面/C'。，所以平面/C'。i平面4OE.

(2)

解：以。為原點，D4為X軸，OC為y軸，在平面BeCR內(nèi)，過。且平行與38'直線

為Z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，如圖所示，

因為44'=√Σ,可得8C=2,設(shè)4)=α,

可得C(OJO),N(α,0,0),Cl(θ,l,√2),則Z?=(0,0,&),DC1=(θ,l,√2),

由CD1平面/OE,所以平面ZOE的法向量為DC=(θ,?,√Σ),

AADC'2^√6

設(shè)/與平面所成角為萬,則β=

sinRFi√2√3-5^

17.(內(nèi)蒙古包頭市2022屆高三第二次模擬考試數(shù)學(xué)(理)試題)已知直三棱柱

Z8C-48C中，側(cè)面BBCC為正方形./8=BC==3,D,E分別為/C和44上

的點，且∕Z)=2DC,AlE=2EA,尸為棱8?上的點，BElBG.

(1)證明：ABIBC,且BEJ.DF;

(2)當(dāng)CE為何值時，平面44蜴8與平面OEF所成的二面角的正弦值最小?

【答案】(1)證明見解析

7

(2)C1F=-

【分析】(D先證8C1BE以及BCiBA即可證得BC/平面88//,即可證得

BCLAB,建立空間直角坐標(biāo)系，求出屜,而，由樂.而=0即可證得5E1DF；

(2)直接寫出平面44lB聲的一個法向量，求出平面Z)M的法向量，由夾角公式表示

出余弦值，由平方關(guān)系求出二面角的正弦值，結(jié)合二次函數(shù)求解即可.

【詳解】(I)因為8E18C,BC/∕BtCl,所以BCLBE.

又BCIBB、,且BBICBE=B,所以BC/平面88/“,

又∕8u平面8耳44所以BC1/8.

因為∕8=8C=88∣=3,所以在RtZ?∕BC∣∣∣,

AC=Λ∣BC2+AB2=3√2.

?

又AD=2DC,所以ZO=]∕C=2√Σ,

由/4=84=3,且4E=2EN,得NE=1,

取點8為坐標(biāo)原點，以A4,BC,所在直線分別為％%z軸,

建立空間直角坐標(biāo)系8-種（如圖所示）.

則8(0,0,0),D(1,2,0),E(3,0,l),屁=(3,0,1),

設(shè)Cr=w(0≤加≤3),則F(0,3-〃7,3),于是DF=(-l,l-w,3),

所以樂?而z=-3+3=0,即8E1AF?

(2)因為平面物5中的一個法向量為G=(Oj0),又由⑴知方=(2,-2,1),

麗=(一3,3-加,2),