2023-2024新版北師大七年級數(shù)學下冊全冊教案

第一章整式的乘除

1.1同底數(shù)幕的乘法

教學目標：1.能夠在實際情境中，抽象概括出所要探討的數(shù)學問題，增加學生的數(shù)感符號感。

2.在已有的對嘉的學問的了解基礎之上，通過與同伴合作，經(jīng)驗探究同底數(shù)幕乘法運算性質(zhì)

過程，進一步體會幕的意義，發(fā)展合作溝通實力、推理實力和有條理的表達實力。

3.了解同底數(shù)累乘法的運算性質(zhì)，并能解決一些實際問題，感受數(shù)學與現(xiàn)實生活的親密聯(lián)系,

增加學生的數(shù)學應用意識，訓練他們養(yǎng)成學會分析問題、解決問題的良好習慣。

教學重點：同底數(shù)塞乘法的運算性質(zhì)，并能解決一些實際問題。

教學過程：

一、復習回顧

活動內(nèi)容：復習七年級上冊數(shù)學課本中介紹的有關乘方運算學問：

*?a"-a×a×..×a

幕

二、情境引入

活動內(nèi)容：以課本上好玩的天文學問為引例，讓學生從中抽象出簡潔的數(shù)學模型，實際在列式計算時

遇到了同底數(shù)幕相乘的形式，給出問題，啟發(fā)學生進行獨立思索，也可采納小組合作溝通的形式，結合學

生現(xiàn)有的有關幕的意義的學問，進行推導嘗試，力爭獨立得出結論。

三、講授新課

1.利用乘方的意義，提問學生，引出法則：計算1。3義1()2.

解：103×102=(10XIOX10)×(IOXlO)(募的意義)

=10×10×10×10×10(乘法的結合律)

=IO5.

2.引導學生建立基的運算法則：

將上題中的底數(shù)改為a,則有a3?a2=(aaa)?(aa)

=aaaaa

=a5,KPa??a2?a^a?4'2.

用字母m,n表示正整數(shù)，則有amφan=aa???a?aa???a

m個ah個a

=a?a???a>

(m??n)個a

BPam?an=am+n.

3.引導學生剖析法則

(1)等號左邊是什么運算？(2)等號兩邊的底數(shù)有什么關系？

(3)等號兩邊的指數(shù)有什么關系？⑷公式中的底數(shù)a可以表示什么

(5)當三個以上同底數(shù)幕相乘時，上述法則是否成立？

要求學生敘述這個法則，并強調(diào)累的底數(shù)必需相同，相乘時指數(shù)才能相加.

三、應用提高

活動內(nèi)容：1.完成課本“想一想"：α'"?""?""等于什么？

2.通過一組推斷，區(qū)分“同底數(shù)累的乘法”與“合并同類項”的不同之處。

3.獨立處理例2,從實際情境中學會處理問題的方法。

4.處理隨堂練習(可采納小組評分競爭的方式，如時間緊，放于課下完成)。

四、拓展延長

活動內(nèi)容：計算：⑴七6⑵(-χ)?(-χ)3⑶ym√n+l(4)(-7)8×73

(5)(一6)7χ6,(6)(-5)5×5,×(-5)4.(7){a-b^?(a-b)

(8)(b—?)2?{a-b)⑼χ5?χ6.χ3(lθ)-b??b?

(ll)-a?(-a)?(12)(-a∕?(-a)??(-a)

五、課堂小結

活動內(nèi)容：師生相互溝通總結本節(jié)課上應當駕馭的同底數(shù)幕的乘法的特征，老師對課堂上學生駕馭不

夠堅固的學問進行強調(diào)與補充，學生也可談一談個人的學習感受。

六、布置作業(yè)

1.請你依據(jù)本節(jié)課學習，把感受最深、收獲最大的方面寫成體會，用于小組溝通。

2.完成課本習題1.4中全部習題。

1.2募的乘方與積的乘方(一)

教學目標：1.經(jīng)驗探究基的乘方運算性質(zhì)的過程，進一步體會辱的意義。了解暴的乘方的運算性質(zhì)，并

能解決實際問題。

2.在探究基的乘方的運算性質(zhì)的過程中，發(fā)展推理實力和有條理的表達實力。學習幕的乘方

的運算性質(zhì)，提高解決問題的實力。

3.在發(fā)展推理實力和有條理的表達實力的同時，體會學習數(shù)學的愛好，培育學習數(shù)學的信念,

感愛數(shù)學的內(nèi)在美。

教學重點：會進行基的乘方的運算。

教學難點：幕的乘方法則的總結及運用。

教學方法：嘗試練習法，探討法，歸納法。

教學過程：

一、復習回顧

活動內(nèi)容：復習已學過的幕的意義及幕運算的運算法則

(-)基的意義

(二)α"'?α"=/+".(m、n為正整數(shù))

同底數(shù)塞相乘，底數(shù)不變，指數(shù)相加。

二、情境引入

活動內(nèi)容：依據(jù)已經(jīng)學習過的學問，帶領學生回憶并探討以下實際問題

1.乙正方體的棱長是2cm,則乙正方體的體積Vz=—cm3。

甲正方體的棱長是乙正方體的5倍，則甲正方體的體積V,=—Cm3。

2.乙球的半徑為3cm,則乙球的體積Vz.=cm3

甲球的半徑是乙球的10倍，則甲球的體積VMJ=cm3.

假如甲球的半徑是乙球的〃倍，那么甲球體積是乙球體積的倍。

地球、木星、太陽可以近似地看作球體。木星、太陽的半徑分別約是地球的10倍和IO2倍，它們

的體積分別約是地球的倍和倍.

三、探究新知

活動內(nèi)容：L通過問題情境接著探討：為什么(IO?1=1()6?讓學生清晰運算之間的關系，題目所描

述的是10的2次基的三次方，其底數(shù)是幕的形式，然后依據(jù)幕的意義綻開運算，去探究運算的過程。

2.計算下列各式，并說明理由.

(1)(62)4；(2)(03；⑶(a111)2；(4)(am)n.

仿照前面，來探討以上四個題目的運算狀況，事實上做到(3)題時可以猜想(4)題的結果，也為后

面幕的乘方的法則推導帶來指導性。完成本節(jié)課的主要教學任務。

通過上面的探究活動,發(fā)覺了什么？

塞的乘方，底數(shù),指數(shù)O

四、落實基礎

活動內(nèi)容：一、完成教科書例題1

【例U計算:

23⑵(丙⑶(a"

(I)(IO)

2m232634

(4)-(x)(5)(y')'?y(6)2(a)-(a)

二、隨堂練習

1.計算：

3325(3)(x3)4?χ2

⑴(10、)⑵?(a)

“J、2、3…/22、2“、423

(4)[(-X)](5)(-a)(a)(6)XX-XX.

2.推斷下面計算是否正確？假如有錯誤請改正:

小,3、36η、6424

(1)(x)=X(2)a?a=a

五、聯(lián)系拓廣

活動內(nèi)容：把所學學問面拓廣，幕的運算都在指數(shù)上做文章，這節(jié)課的拓廣題，也是以指數(shù)變更為主。

z12/3、()z2()3()zX3z?4

(1n)a=(a)''=(aλ)'7=aa''=()=()

∕2Cm()小3n9n

(2ox)o3?9=o3v7(3)y=3o,y=.

2m+132

(4)(a)=I(5)((a-b)]=(b-a)()

mm9

(6)若4?8.16=2'則m=I

abc

(7)假如2=3,2=6,2=12,那么a、b、C的關系是I

六、課堂小結

活動內(nèi)容：師生相互溝通本堂課上應當駕馭的基的乘方的特征，老師對課堂上發(fā)覺的學生駕馭不好的

地方給以強調(diào)。特殊要留意已經(jīng)學習過的兩種幕的運算一一同底數(shù)幕的乘法與哥的乘方，它們之間的整合

也是這堂課要駕馭的。

七、布置作業(yè)：完成課本習題1.5

1.4幕的乘方與積的乘方(二)

教學目標：1.經(jīng)驗探究積的乘方的運算的性質(zhì)的過程，進一步體會暴的意義，發(fā)展推理

實力和有條理的表達實力。

2.了解積的乘方的運算性質(zhì)，并能解決一些實際問題。

教學重點：會進行積的乘方的運算。

教學難點：正確區(qū)分幕的乘方與積的乘方的異同。

教學方法：探究、猜想、實踐法。

教學過程：

一、復習回顧：

活動內(nèi)容：復習前幾節(jié)課學習的有關幕的三個學問點：

1.鼎的意義

2.同底數(shù)基的乘法運算法則優(yōu)"?α"="〃+〃.(m、n為正整數(shù))

3.幕的乘方運算法則(J7J=JI”(〃八〃都是正整數(shù))

二、探究溝通

活動內(nèi)容：本環(huán)節(jié)是這節(jié)課最為重要的環(huán)節(jié)之一，老師應當留意在授課中學會調(diào)動學生的學習愛好，

比如在課上可以對學生進行升級式提問：

(1)依據(jù)哥的意義，(ab)3表示什么？

(2)為了計算(化簡)算式ab?ab?ab,可以應用乘法的交換律和結合律。又可以把它寫成什么形式？

(3)由特殊的(ab)??a?b?動身，你能想到一般的公式嗎？

此環(huán)節(jié)的三個連貫性問題用到了剛剛復習到的幕的意義及依據(jù)其建立的數(shù)學模型。

三、學問擴充

活動內(nèi)容：1.借助剛剛探討的結果，完成課本19頁“做一做”的三個問題。

(3X5)，=3()X5()

(3X5)m=3()X5()

(ab)n=a(N)

2.學會復述積的乘方的運算法則：(ab)n=anbn

積的乘方等于把各個因式分別乘方，再把所得的塞相乘。

3.公式拓展：三個或三個以上的積的乘方，是否也具有上面的性質(zhì)？怎樣用公式表示？

4.進一步探討出答案(abc)n=a"?bn?cn

四、鞏固新知

活動內(nèi)容：1.課本21頁數(shù)學理解推斷題：

下面的計算是否正確？如有錯誤請改正.

(1)(ab4)4=abli；(2){-3>pq)^=-6p2q2

2.課本【例2】計算：

(l)(3x)2;⑵(-26)3；⑶(-2燈)4；⑷(3」)J

3.【例3】地球可以近似地看做是球體，假如用V,r分別代表球的體積和半徑，那么

V=-7rr?地球的半徑約為6×103千米，它的體積大約是多少立方千米？

3

4.課本隨堂練習1

五、公式逆用

活動內(nèi)容：L逆用的一組相關習題

(1)23×53;(2)28×58

(3)(-5)16X(-2)15;(4)24X44X(-0.125)4

2.混合運算習題：⑴a3?a4?a+(a2)4+(-2a4)2(2)2(Λ3)2??-(3?)3+(5x)2?7

(3)0,25100×410°(4)812×0,12513

六、提高練習:

1、計算：-2MχO.5∣ooχ(-l)2o°3-L2、已知2"'=3,2"=4求23^"的值。

2

3、已知V=5y"=3求(∕y)2"的值。

4、已知α=255,6=3",C=533,試比較a、b、C的大小。

七、課堂小結：

活動內(nèi)容：師生相互溝通本堂課上應當駕馭的積的乘方的特征，老師對課堂上發(fā)覺的學生駕馭不好的

地方給以強調(diào)。特殊要留意已經(jīng)學習過的四種幕的運算之間的整合也是這堂課要駕馭的。

八、布置作業(yè)：完成課本習題1.6

1.5同底數(shù)塞的除法

教學目標：1.了解同底數(shù)暴除法的運算性質(zhì)，并解決一些實際問題。

2.理解零指數(shù)幕和負指數(shù)基的意義。

3.在進一步體會幕的意義的過程中，發(fā)展學生的推理實力和有條理的表達實力；提高學生

視察、歸納、類比、概括等實力。

4.在解決問題的過程中了解數(shù)學的價值，發(fā)展“用數(shù)學”的信念，提高數(shù)學素養(yǎng)。

教學重點：會進行同底數(shù)暴的除法運算。

教學難點：同底數(shù)累的除法法則的總結及運用。

教學方法：嘗試練習法，探討法，歸納法。

教學過程：

一、情境引入

活動內(nèi)容：一種液體每升含有IO12個有害細菌，為了試驗某種殺菌劑的效果,科學家們進行了試驗,

發(fā)覺1滴殺蟲劑可以殺死109個此種細菌，要將1升液體中的有害細菌全部殺死，須要這種殺菌劑多

少滴？你是怎樣計算的？

二、了解同底數(shù)塞除法的運算及應用

活動內(nèi)容：活動1先讓學生作“做一做”：

計算下列各式，并說明理由(m>n)

(I)IO8÷105;(2)10m÷10n;(3)(-3)m÷(-3)n;

從中歸納出同底數(shù)基除法的運算性質(zhì)。

從上面的練習中你發(fā)覺了什么規(guī)律？_______________________________________

猜一猜：cιm÷a"=(α≠0,加,〃都是正整數(shù)，且

三、同底數(shù)暮除法運算的應用

活動內(nèi)容：例1計算：

(l)07÷a4;⑵(τ)6÷(τ)3;⑶(孫)4÷(孫)；

(4)?2,n+2÷b2?,(5)(m-n)s÷(n-∕n)3;(6)(-w)4÷(-m)2.

例2：地震的強度通常用里克特震級表示，描繪地震級數(shù)的數(shù)字表示地震的強度是10的若干次事。例

如用里克特震級表示地震是8級，說明地震的強度是IO,。1992年4月荷蘭發(fā)生了5級地震，12天后，加

利福尼亞發(fā)生了7級地震。加利福尼亞地震強度是荷蘭地震強度的多少倍？

(學生先想一想，再進行小組探討，相互補充完善，并派代表回答)

四、探究零指數(shù)幕和負整數(shù)指數(shù)嘉的意義

活動內(nèi)容：想一想：

10000=104,16=24

1000=100,8=2()

100=10(),4=2O

10=102=2()

猜一猜：

1=10()1=2<>

0.1=10()-=2。

2

0.01=10。,=2()

4

0.001=10<>-=2C

8

例3計算：用小數(shù)或分數(shù)分別表示下列各數(shù)：

(l)10^3(2)70×8^2;(3)1.6XK)T

五、練習與提高

活動內(nèi)容：(一)基礎題

1.下列計算中錯誤的有()

(l)πl(wèi)°÷a2=a5(2)a5a÷a=a5(3)(-a)5÷(-π)3=-a2(4)3°=3

A.1個B.2個C.3個D.4個

2.計算(/丫÷J∕)2的結果正確的是()

A.—tz2B.a2C.-aD.a

3.用科學記數(shù)法表示下列各數(shù)：

(1)0.000876(2)-0.0000001

(―)實力題

4.計算：(1)(x-2j)4÷(2j-x)2÷(x-2y)(2)[(x+γXx-?)]9÷(j-x)s÷(-x-?)9

5.計算27'"÷9'"÷3=6.若3'=α,3'=匕，求的32Xr的值

六、課堂小結

活動內(nèi)容：師生相互溝通本節(jié)課的內(nèi)容以及應用和須要留意的問題。

七、布置作業(yè)課本P24習題1?7學問技能第1,2題

1.6整式的乘法(一)

教學目標：1.經(jīng)驗探究單項式乘法法則的過程，在詳細情境中了解單項式乘法的意義，理解單項式

乘法法則。

2.會利用法則進行單項式的乘法運算。

3.理解單項式乘法運算的算理，發(fā)展學生有條理的思索實力和語言表達實力。

4.體驗探求數(shù)學問題的過程，體驗轉(zhuǎn)化的思想方法，獲得勝利的體驗。

教學重點：單項式乘法法則及其應用。

教學難點：理解運算法則及其探究過程。

教學過程:

一、復習回顧

活動內(nèi)容：老師提出問題，引導學生復習幕的運算性質(zhì)

問題1：前面學習了哪三種球的運算?運算方法分別是什么？

讓學生分別用語言和字母表示基的三種運算性質(zhì)。

問題2：運用事的運算性質(zhì)計算下列各題：

(?)(—a5)5-(2)(-a2b)3

(3)(-2a)2(-3a2)3(4)(-yn)2yn-1

二、實例引入米

活動內(nèi)容：提出學生身邊的一個實例，引出問題：

七年級三班舉辦新年才藝展示，小明的作品是用同樣大小的紙細心制作的兩幅剪貼畫，如右圖所示，

第一幅畫的畫面大小與紙的大小相同，其次幅畫的畫面在紙的上、下方各留有LX米的空白，你能表示出

8

兩幅畫的面積嗎？

老師提出以下問題，引導學生對兩個代數(shù)式進行分析：

問題1:以上求矩形的面積時，會遇到X-Jivc,(∕2U)?(∣X),這是什么運算呢？

學生回答：因為因式都是單項式，所以它們相乘是單項式乘以單項式的運算。

問題2：什么是單項式？(表示數(shù)與字母的積的代數(shù)式叫做單項式)

引入新課：我們知道，整式包括單項式和多項式，從這節(jié)課起我們就來探討整式的乘法，先學習單項

式乘以單項式。

三、探究法則

活動內(nèi)容：接著引導學生分析實例中出現(xiàn)的算式，老師提出以下三個問題:

3

問題1：對于實際問題的結果xm,(OU)?(—?U)可以表達得更簡潔些嗎？說說你的理由？

4

問題2：類似地，3a2b?2ab?和(xyz)?y2z可以表達的更簡潔一些嗎？

3a2b?2ab3=(3×2)(a2?a)(b?b3)=6a3b4;

問題3：如何進行單項式與單項式相乘的運算？

單項式乘法的法則：單項式與單項式相乘，把它們的系數(shù)、相同字母的募分別相乘，其

余字母連同它的指數(shù)不變，作為積的因式。

問題4：在你探究單項式乘法運算法則的過程中，運用了哪些運算律和運算法則？

學生回答：運用了乘法的交換律、結合律和同底數(shù)幕乘法的運算性質(zhì).

四、剛好訓練

活動內(nèi)容：老師通過例題，使學生明確利用單項式乘法法則進行計算的方法。雖然是例題，但是老師

先不講解，讓學生嘗試獨立完成，老師依據(jù)學生遇到的問題和出現(xiàn)的錯誤，有針對性地進行講解和板書示

范。同時教學中應通過恰當?shù)姆绞阶寣W生明確每一部運算的依據(jù)。

例1計算：

⑴(2盯2).(；孫)(2)(-2//).(一3公

(3)(4XIO)5X(5XIO4)(4)(-3Ω2?2)?(-√Z?2)5

231

(5)(-—a2?c3)?(--C5)?(-ab2c')

343

隨堂練習：

1.計算：＜D(5√)?(2x2γ)(2)(-3O?)?(-4?2)(3)(2x2y)3-(-4xγ2)

2.一種電子計算機每秒可做4x109次運算，它工作5x102秒，可做多少次運算？

3.一個長方體形儲貨倉長4X10,cm,寬3X10,cm,高5Xlθ'cm,求這個貨倉的體積。

五、拓展延長

活動內(nèi)容：給出兩個問題，讓學生先獨立思索解決，再溝通探討。

1.學以致用：一家住房的結構如圖示，房子的主子準備把臥房以外的部分全都鋪上地磚，至少須要

多少平方米的地轉(zhuǎn)？假如某種地磚的價格是a元/平方米，那么購買所需地磚至少須要多少元？

2.探討、探究:若(am+?n+2;-(a2n-'-b)=a5b3,求機+〃的值。

六、隨堂測評

活動內(nèi)容：讓學生獨立完成以下各題

(3)計算：

①3一.5/②(-5∕b)?(-2∕)③(3X1()2)?(-2XK)3)

223223

④(—5。"+⑸?(—2a)⑤(2x)3?(-2xy)@(-xyz).(-Xy)

2.計算：⑴(-χ2)?χ3.Q2y)3+(2^)2?(-χ)3y

(2).2ic)2fscLF"c)2

七、課堂小結：利用乘法交換律和結合律及同底數(shù)事的乘法探究出單項式乘以單項式的運算法則。

八、課后作業(yè)：習題1.8

1.6整式的乘法(二)

教學目標：1.在詳細情境中了解單項式與多項式乘法的意義。

2.經(jīng)驗探究單項式與多項式乘法運算法則的過程，理解單項式乘以多項式的運算法則。

3.會利用法則進行單項式與多項式的乘法運算，理解單項式與多項式相乘的算理，體會乘

法安排律及轉(zhuǎn)化的數(shù)學思想。

4.發(fā)展學生有條理思索的實力和語言表達實力。

5.在探究單項式與多項式乘法運算法則的過程中，獲得成就感，激發(fā)學習數(shù)學的愛好。

教學重點：單項式與多項式相乘的運算法則及應用。

教學難點：敏捷應用單項式與多項式乘法的法則。

教學過程:

一、提出問題，引入新課

活動內(nèi)容：老師依次提出以下幾個問題：

(1)我們本單元學習整式的乘法，整式包括什么？

(2)什么是多項式？怎么理解多項式的項數(shù)和次數(shù)？

(3)整式乘法除了我們上節(jié)課學習的單項式乘以單項式外，還應包含哪些內(nèi)容?

由此引入今日將學習單項式與多項式相乘。

ab

二、借助情境，探究規(guī)律：■1

活動內(nèi)容：給學生供應如下問題情景，并通過問題，引導y

學生主動探究，發(fā)覺單項式與多項式相乘的運算規(guī)律：

一、實際問題：如圖所示，公園中有一塊長mx米、寬y米的空地，依嘛

要在兩邊各留下寬為a米、b米的兩條小路，其余部分種植花草，求種植花草%」∏χ一

1

部分的面積.讓學生獨立思索完成。

2.提出問題：

(1)你是怎樣列式表示種植花草部分的面積的?是否有不同的表示方法？其中包含了

什么運算?與同伴溝通.

一方面可以先表示出種植花草部分的長與寬，由此得到y(tǒng)(ιwc-a-加米2

另一方面可以用總面積減去兩條小路的面積，得到：y?(mx)—y-a—y-

引導學生發(fā)覺兩種不同的運算一方面是包含單項式與單項式乘法、再把所得的積相加，另一方面是單

項式與多項式相乘，二者最終是統(tǒng)一的，從而發(fā)覺單項式乘以多項式的方法。

(2)由上面的探究，我們得到了y(mr-a-a=yιwc-ya-yb,你能用所學過的學問來說明

上面的等式成立的緣由嗎？

(3)你能用上面的方法計算2"926—2"2+3)嗎？請說明每一步的依據(jù)。

(4)通過以上過程，你發(fā)覺如何進行單項式與多項式相乘的運算？請你試著用語言來

描述。

單項式與多項式相乘，就是依據(jù)安排律用單項式去乘多項式的每一項，再把所得的積相

加。

三、變式訓練，鞏固新知

活動內(nèi)容：通過一組例題和練習，讓學生在應用法則解決問題的過程中，獲得解題體驗，學會方法，

進一步明確算理。

例1計算:(1)2ab(5a2b+3ab2)(2)(^ab1-2ab)?-ab

32

(3)(-2α)(2α?-3α+l)(4){-?2xy1-10x2y+21>,3)(-6xy3)

例2計算：(-2a2)?(ab+b2)-5a(a2b-ab2)

總結：單項式與多項式相乘的步驟：

①按乘法安排律把乘積寫成單項式與單項式乘積的代數(shù)和的形式；

②轉(zhuǎn)化為單項式的乘法運算；

③把所得的積相加.

解題時須要留意的問題：

①單項式乘多項式的積仍是多項式，其項數(shù)與原多項式的項數(shù)相同。

②單項式分別與多項式的每一項相乘時,要留意積的各項符號的確定，多項式中的每一項前面的符號

是性質(zhì)符號，同號相乘得正，異號相乘得負，最終寫成省略加號的代數(shù)和的形式。

③單項式要乘以多項式的每一項，不要出現(xiàn)漏乘現(xiàn)象。

④混合運算中，要留意運算依次，結果有同類項的要合并同類項。

隨堂練習：1.推斷正誤：(1)m(a+b+c+d)=ma+b+c+d()

(2)-a(a2+a+2)=-a3+-a2+↑()

222

(3)(~2x)?(ax÷b-3)=-2ax2-2bx-6x()

2.計算：⑴-6x(x-3y);(.2)-2a2(-ab+b2)

—2a4b1c?(―a3hc——ac2+1)

(3)2χ∕?(-√+2/+1)(4)52

n++n

(5)3xy?2xy-x(y-2)+x](6)a'(a"'-a"-'+a-3)

3.先化簡，再求值：2a(a-b)-b(2a-b)+2ab,其中a=2,b=-3.

四、延長拓展，解決問題：

活動內(nèi)容：學生探究完成以下幾個拓展題：

1.若一2爐火一爐，+3e3)=2/3；2一6/'",求"〃的值.

2.求證對于隨意自然數(shù)n,代數(shù)式n(n+7)-n(n-5)+6的值都能被6整除。

五、課堂小結：師生以談話溝通的形式共同總結本節(jié)課所學學問：

1.單項式乘以多項式的乘法法則及留意事項；

2.轉(zhuǎn)化的數(shù)學思想。

六、課后作業(yè)：習題1.9o

1.6整式的乘法(三)

教學目標：1.經(jīng)驗探究多項式與多項式乘法法則的過程，在詳細情境中了解多項式乘法的意義，理解多

項式乘法法則。

2.會利用法則進行簡潔的多項式乘法運算。

3.理解多項式與多項式相乘運算的算理，發(fā)展學生有條理的思索實力和語言表達實力。

4.體驗探求數(shù)學問題的過程，體驗乘法安排律的作用及“整體”、“轉(zhuǎn)化”的數(shù)學思想方法

在解決問題過程中的應用，獲得勝利的體驗。

教學重點：多項式乘法法則及其應用。

教學難點：理解運算法則及其探究過程。

教學過程:

一、情境引入

活動內(nèi)容：老師利用課前準備好的教具，讓學生進行拼圖嬉戲，通過對所拼圖形面積的比較，引出多

項式與多項式相乘的運算

拼圖嬉戲：以下不同形態(tài)的長方形卡片各有若干張，請你選取其中的兩張，用它們拼成更大的長方形,

盡可能采納多種拼法。

"□?

b

小組合作完成，老師要進行

指導，小組成員分工合作，要求盡可能多地拼出不同大小的長方形，并畫出圖形記錄不同的拼圖方案。老

師留意收集整理學生所畫圖形，并選取以下四種典型圖形加以探討，進一步提出探究問題：

問題1：分別列

代數(shù)式表示所拼出

矩形的面積,你能發(fā)

覺什么？說出包含

什么運算？

學生活動：獨立列式

圖4

圖(1)所示的矩形

面積為m(a+n)=ma+mn,所含有運算為單項式乘以多項式運算；

圖(2)所示的矩形面積為b(a+n)=ba+bn,所含運算為單項式乘以多項式運算；

圖(3)所示的矩形面積為n(m+b)=mn+bn,所含運算為單項式乘以多項式運算。

圖(4)所示的矩形面積為a(m+b)=am+ab,所含運算為單項式乘以多項式運算。

列代數(shù)式表示四個圖形的面積時，既可以用大長方形的長乘以寬，也可以轉(zhuǎn)化為每一個小長方形面積

之和，因此得到以上四個等式，其中都包含單項式乘以多項式的運算，拼圖嬉戲

正是對單項式與多項式相乘的一個幾何說明。

問題2：將圖1,2,3,4四個圖形進一步拼擺，會得到更大的長方形，做一n

做，或許你會有新的發(fā)覺。

學生拼出如圖所示大正方形后，發(fā)覺其長為(m+b),寬為(a+n),要計算其面a1.ΞΞ

Wlb

積就是(m+b)(a+n),其中包含的運算為多項式與多項式相乘運算，從而引入新課。lRIS

囹?

二、互動探究

活動內(nèi)容：1.引導學生再次從代數(shù)運算的角度來探討所拼圖形，學生會發(fā)覺圖5的面積既等于圖1、

圖2面積之和，也等于圖3、圖4面積之和,最終都可以轉(zhuǎn)化為四個小長方形面積之和。由此得到：(m+b)(a+n)

=m(a+n)+b(a+n)=ma+mn+ba+bn,引導學生利用乘法安排律進行說明，現(xiàn)將其中的一個多項式看作一個

整體，再運用單項式與多項式相乘的方法進行計算。詳細過程如下：

(m+b)(a+n)

=m(a+n)+b(a+n)(把a+n看作一個整體)

=ma+mn+ba+bn(轉(zhuǎn)化為單項式乘以單項式)

2.老師啟發(fā)學生用數(shù)學式子或用自己的語言歸納、描述多項式乘以多項式的運算法則：

多項式與多項式相乘，先用一個多項式的每一項分別乘以另一個多項式的每一項，再把

所得的積相加。

3.在進行多項式乘法運算的過程中運用了哪些數(shù)學思想方法？與同伴溝通。

老師幫助學生反思探究過程，體會出在以上過程中較好地運用了整體、轉(zhuǎn)化和數(shù)形結合的數(shù)學思想。

三、例題解析

活動內(nèi)容：通過一組例題，讓學生先獨立思索嘗試完成，在應用法則解決問題的過程中，獲得解題體

驗，發(fā)覺問題，學會方法，老師針對學生遇到的困難進行有針對性地講解，進一步明確算理。

例1計算：(1)(1—x)(0.6-x),(2)(2x+y)(x-y)

(3)(x-2γ)(4)(-2x+5)

例2計算：(I)(X+2)(y+3)-(Λ+l)(y-2)

(2)4~(α+l)2—2(α-l)(α+2)

師生點評：(1)用一個多項式的每一項依次去乘另一個多項式的每一項，不要漏乘，在沒有合并同類項之

前，兩個多項式相乘綻開后的項數(shù)應是原來兩個多項式項數(shù)之積。

(2)多項式里的每一項都包含前面的符號，兩項相乘時先推斷積的符號，再寫成代數(shù)和形式。

(3)綻開后若有同類項要合并，化成最簡形式。

四、剛好鞏固

活動內(nèi)容：隨堂練習：

1.計算：

①(m+2〃)(加一2〃)，②(2“+5)(〃-3),③(x+2y)2,

@(—a+b)(-a-b),⑤(x+a)(x+b),⑥(OX+Z?)(CX+d)。

2.計算：-3xy(x2-2x-1)+(2x-3y)(3x-4y)

五、拓展應用

活動內(nèi)容：本節(jié)課是整式乘法單元的最終一節(jié)課，應當進一步加強對學生應用學問解決問題實力的訓

練，因此為學生供應一組拓展題，激勵學有余力的學生探究完成。

1.若Gnr+y)(x-y)=2χ2+∏JQ;一>2,求m,n的值.

2.已知(―+〃猶+〃)(》+1)的結果中不含/項和》項，求m,n的值.

3.計算(a+b+c)(c+d+e),你有什么發(fā)覺？

六、課堂小結：

本節(jié)課通過拼圖嬉戲，直觀地相識了多項式與多項式的乘法，又從代數(shù)運算的角度將多項式與多項式

相乘轉(zhuǎn)化為單項式與多項式相乘，歸納出了多項式相乘的法則，重點是明確算理，敏捷應用法則計算。提

出兩個問題，幫助學生形成完整的學問結構，達到對本單元學問的總體相識：

(1)關于整式的乘法，我們共學習了哪幾種運算？

(2)在探究的過程中，用到了哪些數(shù)學思想方法？

七、課后作業(yè)：習題1.10,問題解決，聯(lián)系拓展。

1.7平方差公式(一)

教學目標：1.經(jīng)驗探究平方差公式的過程，進一步發(fā)展學生的符號感和推理實力;

2.會推導平方差公式，并能運用公式進行簡潔的計算;

3.了解平方差公式的幾何背景。

教學重點：1.弄清平方差公式的來源及其結構特點，能用自己的語言說明公式及其特點;

2.會用平方差公式進行運算。

教學難點：會用平方差公式進行運算

教學方法：探究探討、歸納總結。

教學過程：

一、發(fā)覺特征、探究規(guī)律

活動內(nèi)容：我們已經(jīng)學過了多項式的乘法，出示題目，看誰算得快：

(1)(x+2)(x-2)(2)(l+3a)(l-3a)(3)(x+5y)(x-5y)⑷(-m+n)(-m-n)

提出問題：你們能發(fā)覺什么規(guī)律？

在多項式的乘法中，對于某些特殊形式的多項式相乘，我們把它寫成公式，并加以熟記，以便遇到類

似形式的多項式相乘時就可以干脆運用公式進行計算。以后常常遇到(a+b)(a-b)這種乘法，所以把

(a+b)(a-b)=a2-b?作為公式，叫做乘法的平方差公式。

在此基礎上，讓學生用語言敘述公式，總結公式結構特征：(1)公式左邊兩個二項式必需是相同兩數(shù)

的和與差相乘；且左邊兩括號內(nèi)的第一項相等、其次項符號相反[互為相反數(shù)(式)];(2)公式右邊是這兩個

數(shù)的平方差；即右邊是左邊括號內(nèi)的第一項的平方減去其次項的平方。(3)公式中的。和〃可以代表數(shù),

也可以是代數(shù)式.

二、運用學問，解決問題

活動內(nèi)容：(I)干脆運用新知，解決第一層次問題。

例1計算：①(2x+3)(2x-3)②(2a+3b)(2a-3b)③(-l+2a)(-1-2a)

(2)間接運用新知，解決其次層次問題。

例2計算：①(-2X+3)(3+2x)②(3b+2a)(2a-3b)

例3計算：(-4a-l)(-4a+l)

例4計算：(l)(x+y-z)(x+y+z);(2)(a-b÷c)(a+b÷c).

三、鞏固練習、體驗勝利

活動內(nèi)容：

1、下列各式中哪些可以運用平方差公式計算

(1)(a+b^a—c)(2)(x+>'X-y+%)

(3)(ab-3x-ab)(4)(-m—n?m+n)

2、推斷：

(1)(2a+b)(2b-a)=4a2-b2()

(3)(3x-y?-3x+y)=9x2-y2()(4)(-2x-yX-2x+y)=4x2-y2()

(5)(G+2?a-3)=<72-6()(6)(X+3)(y-3)=Xy-■9()

3、計算下列各式：

(1)(4a-7b?4a+7b)(-2m--〃)

(3)+(4)-(5+2%X5-2x)

(5)(2+3tz2)(3?2-2)(6)(gx-2)(gx+2)+(-3+x)(-x-3)

4、填空：

(1)(2x+3y)(2x-3y)=

(2)(4a—1)()=16/7

↑-ab-3?=-a1b2-9

(3)

'--------------?7)49

(4)(2x+1-3y)=4j?-9;/

提高練習：

1、求(χ+y)(χ-y)(χ2+J)的值，其中χ=5,y=2

2、計算：（1）（a-0+。*。-。-。）

（2）%4—（2%2+I）（2/-1）-（x-2）（X+2*χ2+4）

3、若χ2-y2=12,χ+y=6,?tr,y的值。

五、歸納總結，形成學問網(wǎng)絡

活動內(nèi)容：

小結：1.敘述公式

2.公式中的字母可以代表什么？(數(shù)字、單項式、多項式)

只要習題符合平方差公式的結構，都可應用其計算。

1.7平方差公式(二)

教學目標：1.在進一步體會平方差公式的意義時，發(fā)展學生的符號感、推理實力和有條理的表達實力。

2.通過拼圖嬉戲，了解平方差公式的幾何背景。

教學重點：公式的應用及推廣

教學方法：引導探究探討發(fā)覺法、主動探究探討發(fā)覺法

教學過程:

一、復習回顧

活動內(nèi)容：1.提問平方差公式的內(nèi)容

2.推斷正誤：

(1)(a+5)(a-5>β2-5(2)(3x+2)(3x-2)=3x?—22

(3)(a-2b)(-a-2b)=β2-疝(4)(100+2)(100-2)=1∞2-2?=9996

(5)(2a+b)(2a-b)=4α?-b^

提問：⑴兩個二項式相乘，因式要具備什么特征時，積才會是二項式？

(當因式是兩個數(shù)的和與這兩個數(shù)的差相乘時，積是二項式。)

⑵為什么具備這些特點的兩個二項式相乘，積會是二項式？而它們的積又有什么特征？

(這是因為具備這樣特征的兩個二項式相乘，積的四項中，會出現(xiàn)互為相反數(shù)的兩項，合并這兩項的結

果為零，于是就剩下兩項了。而它們的積等于因式中這兩個數(shù)的平方差。)

二、拼圖嬉戲，驗證公式

活動內(nèi)容：如左圖，邊長為a的大正方形中有一個邊長為b的小正方形。

1.請表示圖中陰影(紫色)部分的面積。

2.小穎將陰影部分拼成了一個長方形，這個長方形的長和寬分別是多少？你能表示出它的面積嗎？

圖1a2-b2圖2(a+b)(a-b)

3.比較1,2的結果，你能驗證平方差公式嗎？

a2-b2=(a+b)(a-b)

4.(1)敘述平方差公式的數(shù)學表達式及文字表達式；

(2)試比較公式的兩種表達式在應用上的差異.

三、鞏固深化，拓展思維

活動內(nèi)容：例1運用平方差公式計算

(1)(y+2)(7-2)(√-4)(2)(X-1)(X3+1)(X+1)

242

例2運用平方差公式計算

(1)(200+1)(200-1)(2)102X98(3)203X197(4)20^x199

77

四、感受問題，體驗勝利

活動內(nèi)容：

I計算.(1)。-(α+8)(。一匕)+(2)(2x—5)(2x+5)—2x(2x—3)

2.填空：⑴a2-4=(a+2)()(2)25-x2=(5-x)()(3)m2-n2=()()

思索題：什么樣的二項式才能逆用平方差公式寫成兩數(shù)和與這兩數(shù)的差的積？

(某兩數(shù)平方差的二項式可逆用平方差公式寫成兩數(shù)和與這兩數(shù)的差的積)

3.推斷

(1)(a+b)(-a-b)=a2-b2

fl1.Y1,11

—ad—b—b—a

⑵計算：(2???2J

En.1YI11ιI

原式=—b1+-a—bK——a=—bu2一——a2

(32人32J34

4.觀察下列各式：

(X-I)(X+1)=X2-1

(X-IXX2+x+l)=X3-1

(%-I)(X3+X2+x+1)=X4-1

根據(jù)前面的規(guī)律可得：

(x-IXX"+x,t'i+???+x+l)=

五、課堂小結

六、布置作業(yè)：習題L12

1.8完全平方公式(一)

教學目標：1.經(jīng)驗探究完全平方公式的過程，并從完全平方公式的推導過程中，培育學生視察、發(fā)覺、

歸納、概括、猜想等探究創(chuàng)新實力，發(fā)展邏輯推理實力和有條理的表達實力。

2.體會公式的發(fā)覺和推導過程，理解公式的本質(zhì)，從不同的層次上理解完全平方公式，并

會運用公式進行簡潔的計算。

3.了解完全平方公式的幾何背景，培育學生的數(shù)形結合意識。

4.在學習中使學生體會學習數(shù)學的樂趣，培育學習數(shù)學的信念，感愛數(shù)學的內(nèi)在美。

教學重點：L弄清完全平方公式的來源及其結構特點，用自己的語言說明公式及其特點；

2.會用完全平方公式進行運算。

教學難點：會用完全平方公式進行運算

教學方法：探究探討、歸納總結。

教學過程：

一、回顧與思索

活動內(nèi)容：復習已學過的平方差公式

L平方差公式:(a+b)(a-b)=a2-b2;

公式的結構特點：左邊是兩個二項式的乘積，即兩數(shù)和與這兩數(shù)差的積。

右邊是兩數(shù)的平方差。

2.應用平方差公式的留意事項：弄清在什么狀況下才能運用平方差公式。

二、情境引入

活動內(nèi)容：提出問題：

一塊邊長為a米的正方形試驗田，由于效益比較高，所以要擴大農(nóng)田，將其邊長增加b米，形成四塊

試驗田，以種植不同的新品種(如圖)。

用不同的形式表示試驗田的總面積，并進行比較。

三、初識完全平方公式

活動內(nèi)容：1.通過多項式的乘法法則來驗證(a+b)2=a2+2ab+b?的正確性。并利用兩數(shù)和的完全平方公

式推導出兩數(shù)差的完全平方公式：(a-b)2=a2-2ab+b20

2.引導學生利用幾何圖形來驗證兩數(shù)差的完全平方公式。

3,分析完全平方公式的結構特點，并用語言來描述完全平方公式。

結構特點：左邊是二項式(兩數(shù)和(差))的平方；

右邊是兩數(shù)的平方和加上(減去)這兩數(shù)乘積的兩倍。

語言描述：兩數(shù)和(或差)的平方，等于這兩數(shù)的平方和加上(或減去)這兩數(shù)積的兩倍。

四、再識完全平方公式

活動內(nèi)容：例1用完全平方公式計算：

(l)(2χ-3)2(2)(4x+5y)2(3)(mn-a)2(4)(-l-2x)2(5)(-2x+l)2

2.總結口訣：首平方，尾平方，兩倍乘積放中心，加減看前方，同加異減。

五、鞏固練習:

1、下列各式中哪些可以運用完全平方公式計算.

(1)(a+b^a+c)⑵(χ+yX-y+χ)

(3)(ab-3ΛX-3>X+ab)(4)(-m-n?m+n)

2、計算下列各式：

(I)(40+7?X4a+7?)(2)(-2m-n?lm+n)

(3)+(4)-(5+2XX5+2Λ)

(5)(2-3?2)(3?2-2)(6)(jχ+2IgX+2)+(-3-x)(-x-3)

3、填空：

(1)(2x++3y)=(2)(44-lX)=16√+8A+I

(3)(θα?+