2023年中考數(shù)學(xué)知識(shí)點(diǎn)練習(xí)-二次函數(shù)利潤問題的四種題型（附例題講解）

2023年中考數(shù)學(xué)重點(diǎn)核心知識(shí)點(diǎn)專題講練-二次函

數(shù)利潤問題的四種題型（附例題講解）

“每每”的利潤問題

次函數(shù)應(yīng)用

；（二次函數(shù)和分段函數(shù)綜合的利潤問IB）

<含參數(shù)的利潤問題

?題型一：“每每”的利潤問題

商場某種商品平均每天可銷售30件，每件盈利50元，為了盡快減少庫存，商場決定采

取適當(dāng)?shù)慕祪r(jià)措施，經(jīng)調(diào)查發(fā)現(xiàn)，每件商品每降價(jià)1元，商場每天可多售出2件，設(shè)每

件商品降低X元，

“每每”問題的做題步驟

①找出原來的銷量：30件，原來的每件盈利：50元；

②確定每件產(chǎn)品降價(jià)（或漲價(jià)）后的利潤：（50-x）元；

③計(jì)算出降價(jià)（或漲價(jià)）后銷量的變化量：2x件；

④找出降價(jià)（或漲價(jià)）后的銷量，本題里有明確的“多出”

字樣，即為：（30+2x）件；

⑤利潤=每件利潤X數(shù)量：y=（50-x）（30+2x）

計(jì)算注意事項(xiàng)

①若題中要求價(jià)格為整數(shù)，而二次函數(shù)的對(duì)稱軸不是整數(shù),

要用二次函數(shù)的性質(zhì)取適當(dāng)?shù)恼麛?shù)求最值；

②結(jié)果可能不唯一，例如題中要求結(jié)果為整數(shù)，而對(duì)稱軸

是51.5,那么51和52都可以；

③看清楚題中是否有“最優(yōu)惠”等條件，算出多個(gè)結(jié)果需

要舍根。

IDBl例題精講：

【例1】商場某種商品平均每天可銷售30件，每件盈利50元，為了盡快減少庫存，商場

決定采取適當(dāng)?shù)慕祪r(jià)措施，經(jīng)調(diào)查發(fā)現(xiàn)，每件商品每降價(jià)1元，商場每天可多售出2件，設(shè)

每件商品降低X元，據(jù)此規(guī)律，請回答：

(1)商場日銷售量增加件，每件商品盈利一元(用含X的代數(shù)式表示)；

(2)在上述條件不變，銷售正常的情況下，設(shè)商場日盈利y元，求y與X的函數(shù)關(guān)系式；

(3)在(2)的條件下，每件商品降價(jià)多少元時(shí)，商場「I盈利最高？

【答案】⑴2χ,(50-X)；

(2)y=-√-70x+15∞

(3)每件商品降價(jià)35元時(shí)，商場日盈利最高.

【分析】(1)每件商品每降價(jià)1元，商場平均每天可多售出2件.設(shè)每件商品降價(jià)X元.商

場日銷售量增加2%件，每件商品盈利(50-X)元；

(2)根據(jù)(1)得，單件利潤乘以銷售量等于利潤，即可得到y(tǒng)與X的函數(shù)關(guān)系式；

(3)由題意得：利潤函數(shù)的表達(dá)式為)=(50-x)(30+2x),再化為頂點(diǎn)式得

y=-(x+35)2+2725,得，當(dāng)χ=35時(shí)，y有最大值.

【詳解】(1)解：每天銷售30件，每件盈利50元，每件商品每降價(jià)1元，商場平均每天可

多售出2件，

當(dāng)降價(jià)X元時(shí)，商場日銷售量增加2%件，每件商品盈利為(50-耳元，

故答案為：2%，(50-力；

(2)解：根據(jù)題意得:y=(50-x)(30+2x}=-x2-70x+1500.

(3)解：y=-X2-70x+1500=-(x+35)2÷2725,

當(dāng)χ=35時(shí)，y有最大值，

答：每件商品降價(jià)35元時(shí)，商場日盈利最高.

【點(diǎn)睛】本題考查二次函數(shù)的銷售問題，涉及到利潤函數(shù)=單件利潤乘以銷售數(shù)量，利用二

次函數(shù)的性質(zhì)求最值，通常都是化為頂點(diǎn)式來解決問題.

國真題演練：

1.(2022?貴州遵義?三模)紅星公司銷售一種成本為4元/件的產(chǎn)品，若月銷售單價(jià)不高于5

元/件.一個(gè)月可售出5萬件；月銷售單價(jià)每漲價(jià)1元，月銷售量就減少0.1萬件.其中月銷

售單價(jià)不低于成本.設(shè)月銷售單價(jià)為X(單位：元/件)，月銷售量為y(單位：萬件).

(1)直接寫出y與X之間的函數(shù)關(guān)系式，并寫出自變量X的取值范圍；

(2)當(dāng)月銷售單價(jià)是多少元/件時(shí)，月銷售利潤最大，最大利潤是多少萬元？

(3)為響應(yīng)國家“鄉(xiāng)村振興”政策，該公司決定在某月每銷售件產(chǎn)品便向大別山區(qū)捐款。元，已

知該公司捐款當(dāng)月的月銷售單價(jià)不高于70元/件，月銷售最大利潤是78萬元，求”的值

5(40≤x≤50)

【答案】⑴y=，

-0.1X+10(50<Λ≤100)

(2)7元/件，最大利潤為9萬元

(3)?=4

【分析】(1)分4OMXM5O和∣X>5O兩種情況，根據(jù)“月銷售單價(jià)每漲價(jià)1元，月銷售量就

減少0.1萬件”即可得函數(shù)關(guān)系式，再根據(jù)y≥0求出X的取值范圍；

(2)在(1)的基礎(chǔ)上，根據(jù)“月利潤=(月銷售單價(jià)一成本價(jià))X月銷售量”建立函數(shù)關(guān)系

式，分別利用一次函數(shù)和二次函數(shù)的性質(zhì)求解即可得；

(3)設(shè)該產(chǎn)品的捐款當(dāng)月的月銷售利潤為。萬元，先根據(jù)捐款當(dāng)月的月銷售單價(jià)、月銷售

最大利潤可得50Vx≤70,再根據(jù)“月利潤=(月銷售單價(jià)一成本價(jià)-。)X月銷售量''建立

函數(shù)關(guān)系式，然后利用二次函數(shù)的性質(zhì)即可得.

【詳解】(1)解：由題意，當(dāng)40<X<50時(shí)，y=5,

當(dāng)x>50時(shí)，y=5-0.1(x-50)=-0.k+10,

Qy≥O,

.?.-0.1x+10>0，

解得XMIoo,

5(40≤x≤50)

綜上，V=

-0.1X+10(50<Λ<100)

(2)解：設(shè)該產(chǎn)品的月銷售利潤為W萬元，

Φ?40<x≤50時(shí)，卬=5(x-40)=5x-200,

由一次函數(shù)的性質(zhì)可知，在40<x<50內(nèi)，W隨X的增大而增大，

則當(dāng)x=50時(shí)，W取得最大值，最大值為5×50-200=50；

②當(dāng)50vx≤100時(shí)，w=(x-40)(-0.1x+10)=-0.1(x-70)'+90,

由二次函數(shù)的性質(zhì)可知，當(dāng)x=70時(shí)，W取得最大值，最大值為9,

因?yàn)?0>50，

所以當(dāng)月銷售單價(jià)是7元/件時(shí)，月銷售利潤最大，最大利潤是9萬元

(3)解：捐款當(dāng)月的月銷售單價(jià)不高于7元/件，月銷售最大利潤是78萬元(大于5萬

元)，

.?.50<%≤70,

設(shè)該產(chǎn)品捐款當(dāng)月的月銷售利潤為。萬元，

由題意得：Q=(x-40-α)(-0.1x+10),

整理得：Q=+*3a+90,

140+。”

-?->7θ，

.,.在5O<x≤7O內(nèi)，。隨X的增大而增大，

則當(dāng)X=70時(shí)，Q取得最大值，最大值為(70—40—“)(-0.1x70+10)=90—3。，

因此有90-3?=78,

解得。=4

【點(diǎn)睛】本題考查了二次函數(shù)與一次函數(shù)的實(shí)際應(yīng)用，正確建立函數(shù)關(guān)系式是解題關(guān)鍵.

2.(2022?遼寧朝陽?模擬預(yù)測)商場某種商品平均每天可銷售30件，每件盈利50元，為了

盡快減少庫存，商場決定采取適當(dāng)?shù)慕祪r(jià)措施，經(jīng)調(diào)查發(fā)現(xiàn)，每件商品每降價(jià)1元，商場每

天可多售出2件，設(shè)每件商品降低X元據(jù)此規(guī)律，請回答：

(1)商場日銷售量增加件，每件商品盈利一元(用含X的代數(shù)式表示)；

(2)在上述條件不變，銷售正常的情況下，設(shè)商場日盈利y元，求y與X的函數(shù)關(guān)系式；

(3)在(2)的條件下，每件商品降價(jià)多少元時(shí)，商場日盈利最高？

【答案】(1)2%，(50-X)；

(2)y=-x2-70x+1500

(3)每件商品降價(jià)35元時(shí)，商場日盈利最高.

【分析】(1)每件商品每降價(jià)1元，商場平均每天可多售出2件.設(shè)每件商品降價(jià)X元.商

場日銷售量增加2%件，每件商品盈利(50-X)元；

(2)根據(jù)(1)得，單件利潤乘以銷售量等于利潤，即可得到y(tǒng)與X的函數(shù)關(guān)系式：

(3)由題意得：利潤函數(shù)的表達(dá)式為V=(50-x)(30+2x),再化為頂點(diǎn)式得

y=-(x+35『+2725,得，當(dāng)χ=35時(shí)，y有最大值.

【詳解】(1)解：每天銷售30件，每件盈利50元，每件商品每降價(jià)1元，商場平均每天可

多售出2件，

.?.當(dāng)降價(jià)X元時(shí)，商場日銷售量增加2%件，每件商品盈利為(50-X)元，

故答案為：2%,(50-x);

(2)解：根據(jù)題意得：>=(50-?)(30+2x)=-X2-70x+15∞.

(3)解：y?-X2-70x+1500=-(x+35)2+2725,

當(dāng)x=35時(shí)，y有最大值，

答：每件商品降價(jià)35元時(shí)，商場日盈利最高.

【點(diǎn)睛】本題考查二次函數(shù)的銷售問題，涉及到利潤函數(shù)=單件利潤乘以銷售數(shù)量，利用二

次函數(shù)的性質(zhì)求最值，通常都是化為頂點(diǎn)式來解決問題.

3.(貴州遵義?統(tǒng)考一模)某水果批發(fā)店銷售一種優(yōu)質(zhì)水果，已知這種優(yōu)質(zhì)水果的進(jìn)價(jià)為10元

/千克.經(jīng)市場調(diào)查發(fā)現(xiàn)：若售價(jià)為12元/千克時(shí)，每天的銷售量為180千克；若售價(jià)每千克

提高1元,每天的銷售量就會(huì)減少10千克.設(shè)每天的銷售量為y千克,每千克的售價(jià)為X元.請

解答以下問題：

(1)為讓利給顧客，當(dāng)這種優(yōu)質(zhì)水果售價(jià)為多少時(shí)，每天可獲得利潤960元.

(2)當(dāng)售價(jià)定為多少時(shí)，每天可獲得最大利潤，并求最大利潤是多少？

【答案】(1)當(dāng)這種優(yōu)質(zhì)水果售價(jià)為18元時(shí)，每天可獲得利潤960元

(2)當(dāng)售價(jià)定為20元時(shí)，每天可獲得最大利潤，最大利潤是IoOO元

【分析】(1)先根據(jù)題意求得銷量與售價(jià)的關(guān)系，然后根據(jù)銷量乘以每千克的利潤等于總利

潤，列出一元二次方程，解方程即可求解；

(2)設(shè)利潤為狡，根據(jù)題意列出二次函數(shù)，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)即可求解.

【詳解】(I)解：設(shè)每天的銷售量為y千克，每千克的售價(jià)為X元，根據(jù)題意得，

>'=180-(x-12)×10=-10x+300,

(x-10)(-10x+300)=960,

解得：玉=18,x2=22,

Y為讓利給顧客，

X=I8,

答：當(dāng)這種優(yōu)質(zhì)水果售價(jià)為18元時(shí)，每天可獲得利潤960元；

(2)解：設(shè)利潤為w,貝IJW=(X-10)(-10x+30O)=-IOX2+400x—3000=—10(x—20)2+1000,

x=20時(shí)，W最大，最大利潤是I(X)O元，

答：當(dāng)售價(jià)定為20元時(shí)，每天可獲得最大利潤，最大利潤是Iooo元.

【點(diǎn)睛】本題考查了一元二次方程的應(yīng)用，二次函數(shù)的應(yīng)用，根據(jù)題意列出方程和函數(shù)關(guān)系

式是解題的關(guān)鍵.

4.(2022?四川巴中?統(tǒng)考中考真題)端午節(jié)吃粽子是中華民族的傳統(tǒng)習(xí)俗，市場上豬肉粽進(jìn)

價(jià)比豆沙粽進(jìn)價(jià)每盒貴10元，一盒豬肉粽加兩盒豆沙粽進(jìn)價(jià)為100元.

(1)求每盒豬肉粽和豆沙粽的進(jìn)價(jià)；

(2)在銷售中，某商家發(fā)現(xiàn)當(dāng)每盒豬肉粽售價(jià)為50元時(shí)，每天可售出100盒，若每盒售價(jià)提

高1元，則每天少售出2盒.設(shè)每盒豬肉粽售價(jià)為a元，銷售豬肉粽的利潤為W元，求該商

家每天銷售豬肉粽獲得的最大利潤.

【答案】(1)每盒豬肉粽的進(jìn)價(jià)為40元，每盒豆沙粽進(jìn)價(jià)為30元

⑵1800元

【分析】(1)設(shè)每盒豬肉粽的進(jìn)價(jià)為X元，每盒豆沙粽的進(jìn)價(jià)為y元，根據(jù)豬肉粽進(jìn)價(jià)比豆

沙粽進(jìn)價(jià)每盒貴10元，一盒豬肉粽加兩盒豆沙粽進(jìn)價(jià)為100元列出方程組，解出即可.

(2)根據(jù)當(dāng)。=50時(shí)，每天可售出100盒，每盒豬肉粽售價(jià)為a元時(shí)，每天可售出豬肉粽

[100-2(。-50)]盒，列出:次函數(shù)關(guān)系式，再化成頂點(diǎn)式即可得解.

(1)

設(shè)每盒豬肉粽的進(jìn)價(jià)為X元，每盒豆沙粽的進(jìn)價(jià)為，元，由題意得：

?x-y=10

[x+2y=]()0

A，鼠=40

解得：M

Iy=3。

每盒豬肉粽的進(jìn)價(jià)為40元，每盒豆沙粽進(jìn)價(jià)為30元.

(2)

W=(α-40)。00-2(a-50)]

=-2(α-70)2+1800.

,當(dāng)a=7O時(shí)，W最大值為1800元.

該商家每天銷售豬肉粽獲得的最大利潤為1800元.

【點(diǎn)睛】本題主要考查了二元一次方程組的實(shí)際應(yīng)用以及二次函數(shù)的實(shí)際應(yīng)用，根據(jù)題意列

出相應(yīng)的函數(shù)關(guān)系式是解此題的關(guān)鍵.

5.(2022?山東青島.統(tǒng)考中考真題)李大爺每天到批發(fā)市場購進(jìn)某種水果進(jìn)行銷售，這種水

果每箱10千克，批發(fā)商規(guī)定：整箱購買，一箱起售，每人一天購買不超過10箱；當(dāng)購買I

箱時(shí)，批發(fā)價(jià)為8.2元/千克，每多購買1箱，批發(fā)價(jià)每千克降低0.2元.根據(jù)李大爺?shù)匿N售

經(jīng)驗(yàn)，這種水果售價(jià)為12元/千克時(shí)，每天可銷售1箱；售價(jià)每千克降低0.5元，每天可多

銷售1箱.

(D請求出這種水果批發(fā)價(jià)y(元/千克)與購進(jìn)數(shù)量X(箱)之間的函數(shù)關(guān)系式；

(2)若每天購進(jìn)的這種水果需當(dāng)天全部售完，請你計(jì)算，李大爺每天應(yīng)購進(jìn)這種水果多少箱，

才能使每天所獲利潤最大？最大利潤是多少？

【答案】(l)y=-O.2x+8.4(l≤χ≤10且χ為整數(shù)).

(2)李大爺每天應(yīng)購進(jìn)這種水果7箱，獲得的利潤最大，最大利潤是140元.

【分析】(1)根據(jù)題意列出y=8.2-0.2(x-l),得到結(jié)果.

(2)根據(jù)銷售利潤=銷售量X(售價(jià)-進(jìn)價(jià))，利用(1)結(jié)果，列出銷售利潤W與X的函數(shù)

關(guān)系式，即可求出最大利潤.

【詳解】⑴解:由題意得y=8.2-0.2(x-l)

=-0.2x+8.4

批發(fā)價(jià)y與購進(jìn)數(shù)量X之間的函數(shù)關(guān)系式是y=-0?2x+8.4(l≤x≤10,且X為整數(shù)).

(2)解：設(shè)李大爺銷售這種水果每天獲得的利潤為W元

則w=[12-0.5(x-l)->,]?10x

=[12-0.5(X-l)-(-0.2x+8.4)]?IOx

=-3√+4k

*.*a=-3<0

...拋物線開口向下

：對(duì)稱軸是直線X=4?1

O

41

.?.當(dāng)l≤x≤?時(shí)，W的值隨X值的增大而增大

O

?.?χ為正整數(shù)，.?.此時(shí)，當(dāng)X=6時(shí)，M?t=138

當(dāng)號(hào)≤x≤10時(shí)?，W的值隨X值的增大而減小

6

?.?χ為正整數(shù)，...此時(shí)，當(dāng)X=7時(shí)，M?大=140

V140>138

.?.李大爺每天應(yīng)購進(jìn)這種水果7箱，獲得的利潤最大，最大利潤是140元.

【點(diǎn)睛】本題考查了二次函數(shù)的性質(zhì)在實(shí)際生活中的應(yīng)用，最大銷售利潤的問題常利用二次

函數(shù)的增減性來解答，解題關(guān)鍵是理解題意，確定變量，建立函數(shù)模型，然后結(jié)合實(shí)際選擇

最優(yōu)方案進(jìn)行解決.

6.(2022.貴州銅仁.統(tǒng)考中考真題)為實(shí)施“鄉(xiāng)村振興”計(jì)劃，某村產(chǎn)業(yè)合作社種植了“千畝桃

園”.2022年該村桃子豐收，銷售前對(duì)本地市場進(jìn)行調(diào)查發(fā)現(xiàn)：當(dāng)批發(fā)價(jià)為4千元/噸時(shí)，每

天可售出12噸，每噸漲1千元，每天銷量將減少2噸，據(jù)測算，每噸平均投入成本2千元，

為了搶占市場，薄利多銷，該村產(chǎn)業(yè)合作社決定，批發(fā)價(jià)每噸不低于4千元，不高于5.5千

元.請解答以下問題：

(1)求每天銷量y(噸)與批發(fā)價(jià)X(千元/噸)之間的函數(shù)關(guān)系式，并直接寫出自變量X的取

值范圍；

(2)當(dāng)批發(fā)價(jià)定為多少時(shí)，每天所獲利潤最大？最大利潤是多少？

【答案】⑴y=-2x+20,4≤x≤5.5

(2)將批發(fā)價(jià)定為每噸5.5千元時(shí)，每天獲得的利潤最大，最大利潤是31.5千元.

【分析】（1）根據(jù)題意直接寫出y與X之間的函數(shù)關(guān)系式和自變量的取值范圍；

（2）根據(jù)銷售利潤=銷售量X（批發(fā)價(jià)一成本價(jià)），列出銷售利潤W（元）與批發(fā)價(jià)X（千元

/噸）之間的函數(shù)關(guān)系式，再依據(jù)函數(shù)的增減性求得最大利潤.

（1）

解：根據(jù)題意得y=12—2（x—4）=-2x+20（4≤x≤5.5）,

所以每天銷量y（噸）與批發(fā)價(jià)X（千元/噸）之間的函數(shù)關(guān)系式尸-2X+20,

自變量X的取值范圍是4≤x≤5.5

⑵

解：設(shè)每天獲得的利潤為W千元，根據(jù)題意得

卬=（-2x+20）（x-2）=-2x2+24x-40=—2（x-6）2+32,

v-2<0.

.?.當(dāng)xv6,W隨X的增大而增大.

?.?4≤x≤5?5.

.?.當(dāng)x=5?5時(shí),W有最大值,最大值為-2x6.5-6）2+32=31.5,

將批發(fā)價(jià)定為每噸5.5千元時(shí)，每天獲得的利潤最大，最大利潤是31.5千元.

【點(diǎn)睛】本題考查二次函數(shù)應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是讀懂題意，列出函數(shù)關(guān)系式.

?題型二：二次函數(shù)和一次函數(shù)綜合的利潤問題

∣EΞ∣例題精講：

當(dāng)題中明確出現(xiàn)了“成一次函數(shù)關(guān)系”，或給了一次函數(shù)的

圖像，或給了一次函數(shù)表格時(shí)，先求出相關(guān)的一次函數(shù)解析

式；然后根據(jù)利潤的相關(guān)公式表示利潤。

【例2】2022年春，新冠肺炎有所蔓延，市場對(duì)口罩的需求量仍然較大.某公司銷售一種

進(jìn)價(jià)為12元/袋的口罩，其銷售量y（萬袋）與銷售價(jià)格X（元/袋）的變化如表：

價(jià)格x（元

14161820

/袋）

銷售量y

5432

(萬袋)

另外，銷售過程中的其他開支(不含進(jìn)價(jià))總計(jì)6萬元.

(1)根據(jù)表中數(shù)據(jù)變化規(guī)律及學(xué)過的“一次函數(shù)、二次函數(shù)、反比例函數(shù)”知識(shí)，請判斷銷售

量y(萬袋)與價(jià)格X(元/袋)滿足什么函數(shù)？并求出y與X之間的函數(shù)表達(dá)式：

(2)設(shè)該公司銷售這種口罩的凈利潤為W(萬元)，當(dāng)銷售價(jià)格定為多少元時(shí)凈利潤最大，

最大值是多少？

【答案】(1)該函數(shù)是一次函數(shù)，y與X之間的函數(shù)表達(dá)式為y=-gχ+i2

(2)當(dāng)銷售價(jià)格定為18元/袋時(shí)凈得利潤最大，最大值是12萬元

【分析】(1)根據(jù)表格中X每增加2,V減少相同的值1,可判斷該函數(shù)是一次函數(shù)；設(shè)y

與X的函數(shù)表達(dá)式為：y=kx+b,待定系數(shù)法求函數(shù)表達(dá)式即可；

(2)由題意得，W=(X-12)y-6=(x-12)1-；x+12]-6,化成頂點(diǎn)式，然后根據(jù)函數(shù)的

性質(zhì)求最值即可.

(1)

解：根據(jù)表格中數(shù)據(jù)可得出：y與X是一次函數(shù)關(guān)系；

設(shè)y與X的函數(shù)表達(dá)式為：y=kχ+b,

{↑4k+b=5

將。4,5)、(16,4)分別代入)，=履+6得，*6%+/?=4，

k=-L

解得2.

b=12

.?.函數(shù)表達(dá)式為y=-gχ+i2.

⑵

解：由題意得，VV=(X-12)y-6

=(x72XT+1216

1?

=X÷18x—150

2

=TX-18/+12

,.ea=――<0

.?.當(dāng)x=18時(shí)，W有最大值，值為12,

.?.當(dāng)銷售價(jià)格定為18元/袋時(shí)凈得利潤最大，最大值是12萬元.

陽真題演練：

1.(2022?貴州遵義??？家荒?農(nóng)經(jīng)公司以30元/千克的價(jià)格收購一批農(nóng)產(chǎn)品進(jìn)行銷售，為了

得到日銷售量p(千克)與銷售價(jià)格M元/千克)之間的關(guān)系，經(jīng)過市場調(diào)查獲得部分?jǐn)?shù)據(jù)如下

表：

銷售價(jià)格M元/千克)3035404550

日銷售量P(千克)6004503001500

(1)請直接寫出P與X之間的函數(shù)關(guān)系式：

(2)農(nóng)經(jīng)公司應(yīng)該如何確定這批農(nóng)產(chǎn)品的銷售價(jià)格，才能使日銷售利潤最大？

(3)若農(nóng)經(jīng)公司每銷售1千克這種農(nóng)產(chǎn)品需支出4元(〃>0)的相關(guān)費(fèi)用，當(dāng)40≤x≤45時(shí)，農(nóng)經(jīng)

公司的日獲利的最大值為2430元，求α的值.

【答案】⑴P=-30X+1500

(2)這批農(nóng)產(chǎn)品的銷售價(jià)格定為40元，才能使日銷售利潤最大

(3)a的值為2.

【分析】(1)首先根據(jù)表中的數(shù)據(jù)，可猜想y與X是一次函數(shù)關(guān)系，任選兩點(diǎn)求表達(dá)式，再

驗(yàn)證猜想的正確性；

(2)根據(jù)題意列出日銷售利潤W與銷售價(jià)格X之間的函數(shù)關(guān)系式，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)確

定最大值即可；

(3)根據(jù)題意列出日銷售利潤”與銷售價(jià)格X之間的函數(shù)關(guān)系式,并求得拋物線的對(duì)稱軸，

再分兩種情況進(jìn)行討論，依據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)求得a的值.

【詳解】(1)解：由表格的數(shù)據(jù)可知：P與X成一次函數(shù)關(guān)系，設(shè)函數(shù)關(guān)系式為p=kx+b,

∕30%+b=600

則\，

[40%+8=300

解得:k=-30,b=1500,

Λp=-30x+l500,

二所求的函數(shù)關(guān)系為p=-30x+1500；

(2)解：設(shè)日銷售利潤W=P(x-30)=(-30x+1500)(x-30),

即W=-30x2+2400x-45000=-30(X-40)2+3000,

V-30<0,

當(dāng)x=40時(shí)，w有最大值3000元，

故這批農(nóng)產(chǎn)品的銷售價(jià)格定為40元，才能使日銷售利潤最大；

(3)解：日獲利w'=p(x-30-a)=(-30x+1500)(x-30-a),

即W=-30X2+(2400+30(a)x-(1500a+45000),

-2400+30?,cI

對(duì)稱軸為X=--C,加=40+-a,

2×(-30)2

①若a>10,則當(dāng)x=45時(shí)，M有最大值，

即w'=2250-150aV2430(不合題意)；

②若0<aW10,則當(dāng)x=40+；a時(shí)，M有最大值，

2

將x=40+1?a代入，可得w'=30(：a-10a+100),

當(dāng)w'=2430時(shí)，2430=3Oda27o’,+ι00),

4

解得％=2,生=38(舍去)，

綜上所述，a的值為2.

【點(diǎn)睛】本題主要考查了二次函數(shù)的綜合應(yīng)用，解題時(shí)要利用圖表中的信息，學(xué)會(huì)用待定系

數(shù)法求解函數(shù)解析式，并將實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為求函數(shù)最值問題，從而來解決實(shí)際問題.

2.(2021?四川德陽?二模)某工廠制作A、B兩種手工藝品，8每件獲利比A多105元，制作

16件A與制作2件B獲利相同.

(1)制作一件A和一件B分別獲利多少元；

(2)工廠安排65人制作A,B兩種手工藝品，每人每天制作2件A或1件艮現(xiàn)在在不增加

工人的情況下，增加制作C工藝品.已知每人每天可制作1件C(每人每天只能制作一種手

工藝品)，要求每天制作A,C兩種手工藝品的數(shù)量相等，設(shè)每天安排X人制作B,y人制作

4.寫出y與X之間的函數(shù)關(guān)系式；

⑶在(1)(2)的條件下，每天制作8不少于5件.當(dāng)每天制作8為5件時(shí)，每件B獲利不

變，若8每增加1件，則當(dāng)天平均每件B獲利減少2元，已知C每件獲利30元，求每天制

作三種手工藝品可獲得的總利潤W(元)的最大值及相應(yīng)X的值.

【答案】(1)制作一件A獲利15元，制作一件B獲利120元；

(3)最大利潤為3198元,此時(shí)χ=26.

【分析】(I)根據(jù)數(shù)量關(guān)系，設(shè)未知數(shù)，列一元一次方程即可求出,

(2)A、C的工藝品數(shù)量相等，由工作效率的關(guān)系可得，生產(chǎn)C產(chǎn)品的人數(shù)是A產(chǎn)品人數(shù)

的2倍，根據(jù)三種工藝品生產(chǎn)人數(shù)的和為65,從而得出y與X的函數(shù)關(guān)系式，

(3)由于B工藝品每件盈利，隨著X的變化而變化，得出8工藝品的每件盈利與X的關(guān)系，

再根據(jù)總利潤等于三種工藝品的利潤之和，得出W與X的二次函數(shù)關(guān)系，利用函數(shù)取最大值

時(shí)，即為頂點(diǎn)坐標(biāo)，因?yàn)榇藭r(shí)》不為整數(shù)，因此要根據(jù)拋物線的增減性和對(duì)稱性，確定X為

何整數(shù)時(shí)，W最大.

(1)

解：設(shè)制作一件A獲利X元，則制作一件B獲利(105+X)元，

由題意得：16X=2(105+X),

解得：X=I5,

當(dāng)X=I5時(shí),x+105=120,

答：制作一件A獲利15元，制作一件3獲利120元；

(2)

解：設(shè)每天安排X人制作8，?人制作A,則2y人制作C，

于是有：y+x+2y=65,

.165

..y=一一χ+一,

33

答：*與X之間的函數(shù)關(guān)系式為y=-；x+竽；

(3)

解：由題意得：W=15×2×y+[120-2(x-5)]x+2γ×30=-2Λ-2+130x+90y,

又：y=,

...W=-2X2+130Λ+90y=-2x2+130Λ+90(-∣x+y)=-2x2+100x+l950,

,.?W=-Ix2+100Λ?+1950=-2(x-25)2+3200,

.?.拋物線的對(duì)稱軸為直線X=25,

當(dāng)％=25時(shí),y=_**_gx25+等=My的值不是整數(shù),不合題意，

.?.W=-2(x-25)2+3200不在頂點(diǎn)處取最值，

當(dāng)x=24時(shí)，y=+=F不是整數(shù)，不符合題意；

當(dāng)X=26時(shí);y=-；x26+竽=13,

Va=-2<0,

???當(dāng)25VxV65時(shí)，y隨著X的增大而減小,

.?.當(dāng)X=26時(shí)，叫/=-2×262+100×26+1950=3198.

???此時(shí)制作A產(chǎn)品的13人，8產(chǎn)品的26人，C產(chǎn)品的26人，獲利最大，最大利潤為3198

元.

【點(diǎn)睛】此題考查了一元一次方程的應(yīng)用、一次函數(shù)的性質(zhì)、二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)等知識(shí)，

在利用二次函數(shù)的增減性時(shí)，有時(shí)還要根據(jù)實(shí)際情況，在對(duì)稱軸的兩側(cè)取合適的值時(shí)，求出

函數(shù)的最值，這是解答此題的關(guān)鍵.

3.(2022?遼寧大連?校考模擬預(yù)測)新冠肺炎疫情后期，我縣某藥店進(jìn)了一批口罩，成本價(jià)

為2元/個(gè)，投入市場銷售，其銷售單價(jià)不低于成本，按物價(jià)局規(guī)定銷售利潤率不高于80%,經(jīng)

一段時(shí)間調(diào)查，發(fā)現(xiàn)每天銷售量y(個(gè))與銷售單價(jià)X(元/個(gè))之間存在一次函數(shù)關(guān)系，

且有兩天數(shù)據(jù)為：銷售價(jià)定為2.3元，每天銷售1080個(gè)；銷售價(jià)定為2.5元，每天銷售Iooo個(gè).

(I)直接寫出y與X之間的函數(shù)關(guān)系式，并寫出自變量X的取值范圍.

(2)如果該藥店銷售口罩每天獲得800元的利潤，那么這種口罩的銷售單價(jià)應(yīng)定為多少元？

(3)設(shè)每天的總利潤為W元，當(dāng)銷售單價(jià)定為多少元時(shí)，該藥店每天的利潤最大？最大利潤

是多少元？

【答案】(l)y=-400x+2000(2≤x≤3.6)

(2)3元

⑶3.5元，900元

【分析】(I)設(shè)y與X之間的函數(shù)關(guān)系式為y=h+8,用待定系數(shù)法可得y與X之間的函數(shù)

關(guān)系式為)，=YOOx+2000,根據(jù)銷售單價(jià)不低于成本,按物價(jià)局規(guī)定銷售利潤率不高于80%,

可得2VxV3.6:

(2)根據(jù)題意得：(X-2)(TOOX+2000)=800,即可解得答案；

(3)由題意得：W=(X-2)(VoOX+2000),整理計(jì)算，再利用二次函數(shù)的性質(zhì)可得答案.

【詳解】(1)設(shè)，與X之間的函數(shù)關(guān)系式為y=h?+b,將銷售價(jià)定為2.3元,每天銷售1080個(gè)；

銷售價(jià)定為2.5元，每天銷售IoOO個(gè)代入得：

∫2.3*+?=1080Jz=TOO

∣2.5?+?=1OOO,'"lk[?=2000'

???y與X的函數(shù)關(guān)系式為y=-400x+2000,

■：銷售單價(jià)不低于成本，按物價(jià)局規(guī)定銷售利潤率不高于80%,

,∫x≥2

■"∣X-2≤2×8O%,

解得2MxV3.6,

.?.y=-400x+2000(2≤x≤3.6)；

（2）根據(jù)題意得：（x-2）（-400x+2000）=800,

整理得：W-7χ+12=0,

解得：X1=3,超=4（不合題意，舍去），

答：如果每天獲得800元的利潤，銷售單價(jià)應(yīng)定為3元；

（3）由題意得：卬=（x-2）（TOOX+2000）

W=400√÷2800Λ-4000

w=-400任一7χ+1225—12.25）-4000

2

vv=-400（x-3.5）+900

-400<0,

二拋物線開口向下，W有最大值，

."=3.5時(shí)，W最大值是900,

答：銷售單價(jià)定為3.5元時(shí)，每天的利潤最大，最大利潤是900元.

【點(diǎn)睛】本題考查一元二次方程及二次函數(shù)的應(yīng)用，解題關(guān)鍵是讀懂題意，找到等量關(guān)系列

方程和函數(shù)關(guān)系是.

4.（2022?江蘇泰州?統(tǒng)考一模）2022年春，新冠肺炎有所蔓延，市場對(duì)口罩的需求量仍然較

大.某公司銷售一種進(jìn)價(jià)為12元/袋的口罩，其銷售量y（萬袋）與銷售價(jià)格X（元/袋）

的變化如表：

價(jià)格M元

14161820

/袋）

銷售量y

5432

（萬袋）

另外，銷售過程中的其他開支（不含進(jìn)價(jià)）總計(jì)6萬元.

（1）根據(jù)表中數(shù)據(jù)變化規(guī)律及學(xué)過的“一次函數(shù)、二次函數(shù)、反比例函數(shù)”知識(shí)，請判斷銷售

量y（萬袋）與價(jià)格X（元/袋）滿足什么函數(shù)？并求出y與X之間的函數(shù)表達(dá)式；

（2）設(shè)該公司銷售這種口罩的凈利潤為W（萬元），當(dāng)銷售價(jià)格定為多少元時(shí)凈利潤最大，

最大值是多少？

【答案】（1）該函數(shù)是一次函數(shù)，y與X之間的函數(shù)表達(dá)式為y=-；x+12

（2）當(dāng)銷售價(jià)格定為18元/袋時(shí)凈得利潤最大，最大值是12萬元

【分析】（1）根據(jù)表格中X每增加2,N減少相同的值1,可判斷該函數(shù)是一次函數(shù)；設(shè)y

與X的函數(shù)表達(dá)式為：y=kχ+b,待定系數(shù)法求函數(shù)表達(dá)式即可；

(2)由題意得，w=(x-12)y-6=(x-12)^-→+12j-6,化成頂點(diǎn)式，然后根據(jù)函數(shù)的

性質(zhì)求最值即可.

(1)

解：根據(jù)表格中數(shù)據(jù)可得出：y與X是一次函數(shù)關(guān)系；

設(shè)y與X的函數(shù)表達(dá)式為：y=kx+b,

?4k+b=5

將(14,5)、(16,4)分別代入)，=履+8得,

I6k+h=4'

k=--

解得《2,

h=n

.?.函數(shù)表達(dá)式為y=—；X+12.

(2)

解：由題意得，w=(x-12)y-6

=(12)∣-%+12卜6

當(dāng)x=18時(shí)，W有最大值，值為12,

.?.當(dāng)銷售價(jià)格定為18元/袋時(shí)凈得利潤最大，最大值是12萬元.

【點(diǎn)睛】本題考查了二次函數(shù)的應(yīng)用，待定系數(shù)法求一次函數(shù)解析式，二次函數(shù)的最值等知

識(shí).根據(jù)已知得出y與X的函數(shù)關(guān)系是解題關(guān)鍵.

5.(2022.四川成都.校考三模)為了穩(wěn)增長，成都市政府開展了促線下消費(fèi)活動(dòng)，共發(fā)放約

6億元的“成都520”消費(fèi)券.某商家參與了本次活動(dòng)，售賣一款成本為30元/件的服裝.經(jīng)

市場調(diào)研發(fā)現(xiàn)，這款服裝的銷售量y(單位：件)與銷售價(jià)格X(單位：元/件)之間的關(guān)系

如圖所示.

Av

120——二，、

≡?

40-------i——X

II、

II

04080^Γ

(1)求y與X的函數(shù)關(guān)系式;

(2)為讓利顧客，活動(dòng)要求利潤不得高于成本的80%.試問：商家售價(jià)定為多少時(shí)，總利潤

最大？并求出此時(shí)的最大利潤.

【答案】⑴)7X+200

⑵54元/件時(shí)，總利潤最大，最大利潤為2208元

【分析】(1)根據(jù)圖形中數(shù)據(jù)用待定系數(shù)法求函數(shù)解析式即可；

(2)根據(jù)利潤=單件利潤X銷售量列出函數(shù)解析式，再根據(jù)X的取值范圍和二次函數(shù)的性質(zhì)

求最值即可.

【詳解】(1)解：設(shè)銷售量y(件)與售價(jià)X(元/件)之間的函數(shù)關(guān)系式為y=h+^ɑ≠0),

[40?+?=120

則《，

[80?+?=40

{k=-2

解得：A?nn-

[o=200

.?.銷售量y(件)與售價(jià)X(元/件)之間的函數(shù)關(guān)系式是y=-2x+200;

(2)商家銷售該服裝的利潤為W元，

根據(jù)題意得：W=CV-30)y=(x-30)(-2x+200)=-2x2+260Λ-6(XX)=-2(x-65)2+2450,

Y活動(dòng)要求利潤不得高于成本的80%.

士過≤80%,

30

解得:x≤54,

,.?-2<0,

.?.當(dāng)X=54時(shí)，W有最大值，最大值為2208,

商家售價(jià)定為54元/件時(shí)，總利潤最大，最大利潤為2208元.

【點(diǎn)睛】本題考查一次函數(shù)的應(yīng)用，二次函數(shù)的應(yīng)用，解答本題的關(guān)鍵是明確題意，利用一

次函數(shù)的性質(zhì)和二次函數(shù)的性質(zhì)解答.

6.(2022?云南?模擬預(yù)測)某商場試銷一種成本為每件60元的服裝，規(guī)定試銷期間銷售單價(jià)

不低于成本單價(jià)，且獲利不得高于45%,經(jīng)試銷發(fā)現(xiàn)，銷售量y(件)與銷售單價(jià)X(元)

符合一次函數(shù)),=履+儀％W0),且X=65時(shí)，y=55；x=75時(shí)，y=45.

(1)求一次函數(shù))>=履+儀k≠0)的表達(dá)式；

(2)若該商場認(rèn)得利潤為W元，試寫出利潤W與銷售單價(jià)X之間的關(guān)系式；銷售單價(jià)定為多

少元時(shí)，商場可獲得最大利潤，最大利潤是多少元？

【答案】⑴y=τ+i20

(2)利潤W與銷售單價(jià)X之間的關(guān)系式是W=-O-90)2+900,當(dāng)銷售單價(jià)定為87元時(shí)，

商場可獲得最大利潤，最大利潤是891元；

【分析】（1）利用待定系數(shù)法可以求得一次函數(shù)的表達(dá)式；

（2）根據(jù)題意可以得到利潤W與銷售單價(jià)X之間的關(guān)系式,并求得銷售單價(jià)定為多少元時(shí)，

商場可獲得最大利潤，最大利潤是多少元：

【詳解】（1）解：銷售量y（件）與銷售單價(jià)X（元）符合一次函數(shù)y=H+Mk≠O）,且x=65

時(shí)，y=55；x=75時(shí)，y=45.

∫65Ar+?=55

[15k+h=45,

解得，k=-1,b=120,

即一次函數(shù)的表達(dá)式為＞=-x+120；

（2）解：由題意可得，

W=（X—60）（—尤+120）

=-X2+180χ-7200

=-（x-90）2+900,

?.?銷售單價(jià)不低于成本單價(jià)，且獲利不得高于45%,

.?.60≤x≤60（l+45%）,得60≤X≤87,

.?.當(dāng)χ=87時(shí)，W取得最大值，此時(shí)W=_（87-90）2+900=891,

答：利潤W與銷售單價(jià)X之間的關(guān)系式是W=—（X—90）2+900,當(dāng)銷售單價(jià)定為87元

時(shí)，商場可獲得最大利潤，最大利潤是891元；

【點(diǎn)睛】本題考查二次函數(shù)的應(yīng)用，解答本題的關(guān)鍵是明確題意,找出所求問題需要的條件，

利用二次函數(shù)的性質(zhì)和不等式的性質(zhì)解答.

7.（2022.廣東佛山?佛山市華英學(xué)校?？既＃┠彻窘?jīng)銷一種綠茶，每千克成本為50元.市

場調(diào)查發(fā)現(xiàn)，在一段時(shí)間內(nèi)，銷售量W（千克）隨銷售單價(jià)X（元/千克）的變化而變化，

具體關(guān)系式為：W=-2*+240.設(shè)這種綠茶在這段時(shí)間內(nèi)的銷售利潤為N（元），解答下列問

題：

（1）求y與X的關(guān)系式；

（2）當(dāng)銷售單價(jià)定為多少元時(shí)，可獲得最大利潤？

（3）如果物價(jià)部門規(guī)定這種綠茶的銷售單價(jià)不得高于90元/千克，公司想要在這段時(shí)間內(nèi)獲

得2250元的銷售利潤，應(yīng)將銷售單價(jià)定為多少元？

【答案】⑴V=-2χ2+340x-12000；

（2）當(dāng)銷售單價(jià)定為85元時(shí)，可獲得最大利潤；

（3）將銷售單價(jià)定為75元時(shí)，可獲得2250元的銷售利潤.

【分析】(I)根據(jù)利潤=(售價(jià)一成本)X銷售量列關(guān)系式即可；

(2)用配方法將函數(shù)解析式化成頂點(diǎn)式即可得出答案；

(3)令y=2250,求出X的值即可.

【詳解】(1)解：由題意得：?=(x-50)?W=(x-50)?(-2x+240)=-2x2+340x-12(XX),

2

???yLjχ的關(guān)系式為：y=-2χ+340x-12000：

(2)解：Vy=-2x2+340x-12000=-2(x-85)2+2450,

.?.當(dāng)χ=85時(shí)，V的值最大，

即當(dāng)銷售單價(jià)定為85元時(shí)，可獲得最大利潤；

(3)解:當(dāng)y=2250時(shí)，Uj得方程-2(x-85)2+2450=2250,

解得：xl=75,x2=95(不合題意，舍去)，

將銷售單價(jià)定為75元時(shí)，可獲得2250元的銷售利潤.

【點(diǎn)睛】本題考查的是二次函數(shù)的實(shí)際應(yīng)用，一元二次方程的應(yīng)用，求二次函數(shù)的最大(小)

值有三種方法，第一種可由圖象直接得出，第二種是配方法，第三種是公式法，常用的是后

兩種方法.

?題型三：二次函數(shù)和分段函數(shù)綜合的利潤問題

H例題精講：

①寫分段函數(shù)解析式是要明確自變量的取值范圍；

②要分段求利潤的最值，再比較兩段之間的最大值；

③注意自變量的范圍和結(jié)果的取舍。

【例3】運(yùn)行在某區(qū)段的高鐵動(dòng)車組對(duì)二等座實(shí)施浮動(dòng)票價(jià).二等座的基準(zhǔn)票價(jià)為100元，

按照基準(zhǔn)票價(jià)售票時(shí)，上座率為60%.試運(yùn)行階段實(shí)施表明，票價(jià)在基準(zhǔn)票價(jià)基礎(chǔ)上每上

浮10元，則上座率減少5個(gè)百分點(diǎn)；如果票價(jià)在基準(zhǔn)票價(jià)基礎(chǔ)上每下降10元，則上座率增

加10個(gè)百分點(diǎn).如：票價(jià)為110元時(shí)，上座率為55%；票價(jià)為90元時(shí)，上座率為70%.在

實(shí)施浮動(dòng)票價(jià)期間，保證上座率不低于30%.

(1)設(shè)該列車二等座上座率為My≤100%),實(shí)際票價(jià)為X元，寫出y關(guān)于X的函數(shù)解析式，

并寫出自變量X的取值范圍；

(2)請你用適當(dāng)?shù)暮瘮?shù)解析式表示該列車二等座售票收入的變化規(guī)律；

(3)在不超載的情況下，請你幫助該列車的經(jīng)營單位確定一個(gè)合理的價(jià)格，使得二等座售票

收入最多.

IO

-------Λ-+-(60≤x<10())

1005

【答案】⑴y=<

--—?+-(1()0≤Λ-≤160)

[20010

皿―T?"+1x)(60≤XVI00)

(2)W=<(W為收入，m為二等座個(gè)數(shù))

m(--——-X2+—x)(l00≤X≤160)

20010

(3)當(dāng)票價(jià)為80元時(shí)，二等座的收入最多

【分析】(1)、分兩種情況進(jìn)行討論：當(dāng)X2100,根據(jù)每上浮10元，則上座率減少5個(gè)百分

點(diǎn)列出解析式，當(dāng)Z100,根據(jù)每下降10元，則上座率增加10個(gè)百分點(diǎn)列解析式，再根據(jù)

30%<y<100%求自變量X的取值范圍即可；

(2)、設(shè)收入為w,共有m個(gè)二等座，根據(jù)利潤=票價(jià)X總共的座位數(shù)X上座率求出函數(shù)解析

式即可；

(3)、由(2)得出的函數(shù)解析式，將其配成頂點(diǎn)式，再根據(jù)函數(shù)圖像和性質(zhì)即可求解.

【詳解】⑴解：當(dāng)X≥100時(shí)，y=60%-三產(chǎn)χ5%=-焉x+巳，

1V/?v√

VJ>30%,

即--—Λ+-≥30%,

20010

解得：x≤160,

.?.100≤x≤160,

當(dāng)KlOO時(shí)，y=60%+?^^χl0%=-焉x+|,

.y≤100%,

8

即

5-

解得：x≥60

.?,60≤x<100

1O

-------x+-(60≤x<100)

y=<IOO5

--—x+-(100≤x≤160)

20010

（2）設(shè)二等座售票收入w,二等座由m個(gè)，則可得:

當(dāng)60≤X<100時(shí),

W=D機(jī)=，M-x+§)=〃，(一一L/+阻)，

IOO5IOO5

當(dāng)100≤x≤160時(shí),

W=W=加--Lχ+U)=砥--Lγ+Uχ)

20010—20010

1,8

rn(-------X+-XX60≤x<?00)

1005

綜上所述:

〃7(———X2+—x)(100≤x≤160)

20010

（3）設(shè)二等座售票收入w,二等座由m個(gè)，則可得:

當(dāng)60≤X<100時(shí),

IQ11

w=xym=m(-------%2+—x)=-------m(x2—160x+6400—6400)=--------m(x—80)2÷64/w

1005100100

.?.當(dāng)工=80時(shí)，W取最大值64m；

當(dāng)100≤x≤160時(shí),

w=xym=tn{-----%2+—x)=-----nι(x2-220x+12100-12100)=------∕n(x-lIO)2+???/w

200102002002

121

???當(dāng)X=IK)時(shí)，W取最大值?j?m；

Mm>----m,

2

.?.x=80時(shí)，W取最大值,

綜上所述，當(dāng)票價(jià)為80元時(shí)，二等座的收入最多.

需真題演練:

1.（2021?四川南充?統(tǒng)考中考真題）超市購進(jìn)某種蘋果，如果進(jìn)價(jià)增加2元/千克要用300元;

如果進(jìn)價(jià)減少2元/千克，同樣數(shù)量的蘋果只用200元.

（1）求蘋果的進(jìn)價(jià).

（2）如果購進(jìn)這種蘋果不超過100千克，就按原價(jià)購進(jìn)；如果購進(jìn)蘋果超過100千克，超

過部分購進(jìn)價(jià)格減少2元/千克.寫出購進(jìn)蘋果的支出y（元）與購進(jìn)數(shù)量X（千克）之間的

函數(shù)關(guān)系式.

（3）超市一天購進(jìn)蘋果數(shù)量不超過300千克，且購進(jìn)蘋果當(dāng)天全部銷售完.據(jù)統(tǒng)計(jì)，銷售

單價(jià)Z（元/千克）與一天銷售數(shù)量X（千克）的關(guān)系為Z=-*x+12.在（2）的條件下，

要使超市銷售蘋果利潤w（元）最大，求一天購進(jìn)蘋果數(shù)量.（利潤=銷售收入一購進(jìn)支出）

【答案】（1）蘋果的進(jìn)價(jià)為io元/千克；⑵…、；⑶要使超市銷售蘋

[8x+2（X）（x>100）

果利潤W最大，一天購進(jìn)蘋果數(shù)量為200千克.

【分析】（1）設(shè)蘋果的進(jìn)價(jià)為X元/千克，根據(jù)等量關(guān)系，列出分式方程，即可求解；

（2）分兩種情況：當(dāng)XqOO時(shí)，當(dāng)x>100時(shí)，分別列出函數(shù)解析式，即可；

（3）分兩種情況：若XWIOO時(shí)，若x>100時(shí)，分別求出W關(guān)于X的函數(shù)解析式，根據(jù)二

次函數(shù)的性質(zhì)，即可求解.

【詳解】解：（1）設(shè)蘋果的進(jìn)價(jià)為X元/千克，

由題意得：-=——>解得：x=10,

x+2%—2

經(jīng)檢驗(yàn)：x=10是方程的解，且符合題意,

答：蘋果的進(jìn)價(jià)為U）元/千克；

(2)當(dāng)XWloO時(shí)，y=10x,

當(dāng)x>100時(shí)，y=10×100+(10-2)X(x-100)=8x+200,

.JoX(X≤100)

???-[8x+200(x>l()0)；

1

(3)若XWloo時(shí)，w=zx-y=----Λ,÷12∣Λ~1Ox=/+2X=-擊(X-IoO)2+100,

100)100

當(dāng)X=IOo時(shí)，W最大=IO0,

x÷12j?-(8.x,+200)--------x~+4x-200——-—(x~200)+200,

若X>100時(shí)，W=ZX-y：

Ioo)v7100100'7

：?當(dāng)x=200時(shí)，W最大=200,

綜上所述：當(dāng)x=200時(shí)，超市銷售蘋果利潤W最大，

答：要使超市銷售蘋果利潤W最大，一天購進(jìn)蘋果數(shù)量為200千克.

【點(diǎn)睛】本題主要考查分式方程、一次函數(shù)、二次函數(shù)的實(shí)際應(yīng)用，根據(jù)數(shù)量關(guān)系，列出函

數(shù)解析式和分式方程，是解題的關(guān)鍵.

2.(遼寧鞍山?中考真題)某商場銷售一種商品的進(jìn)價(jià)為每件30元，銷售過程中發(fā)現(xiàn)月銷售

量)，(件)與銷售單價(jià)X(元)之間的關(guān)系如圖所示.

(1)根據(jù)圖象直接寫出y與X之間的函數(shù)關(guān)系式.

(2)設(shè)這種商品月利潤為W(元)，求W與X之間的函數(shù)關(guān)系式.

(3)這種商品的銷售單價(jià)定為多少元時(shí)，月利潤最大？最大月利潤是多少？

[-X+180(40≤x≤60)(-√+21