《第一章 集合與常用邏輯用語》單元復(fù)習(xí)與單元檢測試卷（共6套）

《第一章集合與常用邏輯用語》單元復(fù)習(xí)基礎(chǔ)知識講解一．子集與真子集1.真子集是對于子集來說的．真子集定義：如果集合A?B，但存在元素x∈B，且元素x不屬于集合A，我們稱集合A是集合B的真子集．也就是說如果集合A的所有元素同時(shí)都是集合B的元素，則稱A是B的子集，若B中有一個元素，而A中沒有，且A是B的子集，則稱A是B的真子集，注：①空集是所有集合的子集；②所有集合都是其本身的子集；③空集是任何非空集合的真子集2、真子集和子集的區(qū)別子集就是一個集合中的全部元素是另一個集合中的元素，有可能與另一個集合相等；真子集就是一個集合中的元素全部是另一個集合中的元素，但不存在相等；注意集合的元素是要用大括號括起來的“{}”，如{1，2}，{a，b，g}；另外，{1，2}的子集有：空集，{1}，{2}，{1，2}．真子集有：空集，{1}，{2}．一般來說，真子集是在所有子集中去掉它本身，所以對于含有n個（n不等于0）元素的集合而言，它的子集就有2n個；真子集就有2n﹣1．但空集屬特殊情況，它只有一個子集，沒有真子集．【技巧點(diǎn)撥】注意真子集和子集的區(qū)別，不可混為一談，A?B，并且B?A時(shí)，有A＝B，但是A?B，并且B?A，是不能同時(shí)成立的；子集個數(shù)的求法，空集與自身是不可忽視的．二．集合的包含關(guān)系判斷及應(yīng)用【技巧點(diǎn)撥】1．按照子集包含元素個數(shù)從少到多排列．2．注意觀察兩個集合的公共元素，以及各自的特殊元素．3．可以利用集合的特征性質(zhì)來判斷兩個集合之間的關(guān)系．4．有時(shí)借助數(shù)軸，平面直角坐標(biāo)系，韋恩圖等數(shù)形結(jié)合等方法．三．空集的定義、性質(zhì)及運(yùn)算1.空集不是沒有；它是內(nèi)部沒有元素的集合，而集合是存在的．這通常是初學(xué)者的一個難理解點(diǎn)．例如：{x|x2+1＝0，x∈R}＝?．雖然有x的表達(dá)式，但方程中根本就沒有這樣的實(shí)數(shù)x使得方程成立，所以方程的解集是空集．2、空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集．【技巧點(diǎn)撥】解答與空集有關(guān)的問題，例如集合A∩B＝B?B?A，實(shí)際上包含3種情況：①B＝?；②B?A且B≠?；③B＝A；往往遺漏B是?的情形三．并集及其運(yùn)算【基礎(chǔ)知識】由所有屬于集合A或?qū)儆诩螧的元素的組成的集合叫做A與B的并集，記作A∪B．符號語言：A∪B＝{x|x∈A或x∈B}．圖形語言：．運(yùn)算形狀：①A∪B＝B∪A．②A∪?＝A．③A∪A＝A．④A∪B?A，A∪B?B．⑤A∪B＝B?A?B．⑥A∪B＝?，兩個集合都是空集．⑦A∪（?UA）＝U．⑧?U（A∪B）＝（CUA）∩（CUB）．【技巧方法】解答并集問題，需要注意并集中：“或”與“所有”的理解．不能把“或”與“且”混用；注意并集中元素的互異性．不能重復(fù)．四．交集及其運(yùn)算【基礎(chǔ)知識】由所有屬于集合A且屬于集合B的元素組成的集合叫做A與B的交集，記作A∩B．符號語言：A∩B＝{x|x∈A，且x∈B}．A∩B實(shí)際理解為：x是A且是B中的相同的所有元素．當(dāng)兩個集合沒有公共元素時(shí)，兩個集合的交集是空集，而不能說兩個集合沒有交集．運(yùn)算形狀：①A∩B＝B∩A．②A∩?＝?．③A∩A＝A．④A∩B?A，A∩B?B．⑤A∩B＝A?A?B．⑥A∩B＝?，兩個集合沒有相同元素．⑦A∩（?UA）＝?．⑧?U（A∩B）＝（?UA）∪（?UB）．【技巧方法】解答交集問題，需要注意交集中：“且”與“所有”的理解．不能把“或”與“且”混用；求交集的方法是：①有限集找相同；②無限集用數(shù)軸、韋恩圖．五．補(bǔ)集及其運(yùn)算【基礎(chǔ)知識】一般地，如果一個集合含有我們所研究問題中所涉及的所有元素，那么就稱這個集合為全集，通常記作U．（通常把給定的集合作為全集）．對于一個集合A，由全集U中不屬于集合A的所有元素組成的集合稱為集合A相對于全集U的補(bǔ)集，簡稱為集合A的補(bǔ)集，記作?UA，即?UA＝{x|x∈U，且x?A}．其圖形表示如圖所示的Venn圖．．【技巧方法】常用數(shù)軸以及韋恩圖幫助分析解答，補(bǔ)集常用于對立事件，否命題，反證法．六．全集及其運(yùn)算【基礎(chǔ)知識】一般地，如果一個集合含有我們所研究問題中所涉及的所有元素，那么就稱這個集合為全集，通常記作U．（通常把給定的集合作為全集）．全集是相對概念，元素個數(shù)可以是有限的，也可以是無限的．例如{1，2}；R；Q等等．七．交、并、補(bǔ)集的混合運(yùn)算【基礎(chǔ)知識】集合交換律A∩B＝B∩A，A∪B＝B∪A．集合結(jié)合律（A∩B）∩C＝A∩（B∩C），（A∪B）∪C＝A∪（B∪C）．集合分配律A∩（B∪C）＝（A∩B）∪（A∩C），A∪（B∩C）＝（A∪B）∩（A∪C）．集合的摩根律Cu（A∩B）＝CuA∪CuB，Cu（A∪B）＝CuA∩CuB．集合吸收律A∪（A∩B）＝A，A∩（A∪B）＝A．集合求補(bǔ)律A∪CuA＝U，A∩CuA＝Φ．八．Venn圖表達(dá)集合的關(guān)系及運(yùn)算【基礎(chǔ)知識】用平面上一條封閉曲線的內(nèi)部來代表集合，這個圖形就叫做Venn圖（韋恩圖）．集合中圖形語言具有直觀形象的特點(diǎn)，將集合問題圖形化，利用Venn圖的直觀性，可以深刻理解集合的有關(guān)概念、運(yùn)算公式，而且有助于顯示集合間的關(guān)系．運(yùn)算公式：card（A∪B）＝card（A）+card（B）﹣card（A∩B）的推廣形式：card（A∪B∪C）＝card（A）+card（B）+card（C）﹣card（A∩B）﹣card（B∩C）﹣card（A∩C）+card（A∩B∩C），或利用Venn圖解決．公式不易記住，用Venn圖來解決比較簡潔、直觀、明了．【技巧方法】在解題時(shí)，弄清元素與集合的隸屬關(guān)系以及集合之間的包含關(guān)系，結(jié)合題目應(yīng)很好地使用Venn圖表達(dá)集合的關(guān)系及運(yùn)算，利用直觀圖示幫助我們理解抽象概念．Venn圖解題，就必須能正確理解題目中的集合之間的運(yùn)算及關(guān)系并用圖形準(zhǔn)確表示出來．九．充分條件、必要條件、充要條件【基礎(chǔ)知識】1、判斷：當(dāng)命題“若p則q”為真時(shí)，可表示為p?q，稱p為q的充分條件，q是p的必要條件．事實(shí)上，與“p?q”等價(jià)的逆否命題是“￢q?￢p”．它的意義是：若q不成立，則p一定不成立．這就是說，q對于p是必不可少的，所以說q是p的必要條件．例如：p：x＞2；q：x＞0．顯然x∈p，則x∈q．等價(jià)于x?q，則x?p一定成立．2、充要條件：如果既有“p?q”，又有“q?p”，則稱條件p是q成立的充要條件，或稱條件q是p成立的充要條件，記作“p?q”．p與q互為充要條件．【技巧方法】判斷充要條件的方法是：①若p?q為真命題且q?p為假命題，則命題p是命題q的充分不必要條件；②若p?q為假命題且q?p為真命題，則命題p是命題q的必要不充分條件；③若p?q為真命題且q?p為真命題，則命題p是命題q的充要條件；④若p?q為假命題且q?p為假命題，則命題p是命題q的即不充分也不必要條件．⑤判斷命題p與命題q所表示的范圍，再根據(jù)“誰大誰必要，誰小誰充分”的原則，判斷命題p與命題q的關(guān)系．十．全稱量詞和全稱命題【基礎(chǔ)知識】命題全稱命題xM，p（x）特稱命題xM，p（x）表述方法①所有的xM，使p（x）成立①存在xM，使p（x）成立②對一切xM，使p（x）成立②至少有一個xM，使p（x）成立③對每一個xM，使p（x）成立③對有些xM，使p（x）成立④任給一個xM，使p（x）成立④對某個xM，使p（x）成立⑤若xM，則p（x）成立⑤有一個xM，使p（x）成立【技巧方法】要求我們會判斷含有一個量詞的全稱命題和一個量詞的特稱命題的真假；正確理解含有一個量詞的全稱命題的否定是特稱命題和含有一個量詞的特稱命題的否定是全稱命題，并能利用數(shù)學(xué)符號加以表示．應(yīng)熟練掌握全稱命題與特稱命題的判定方法．十一．存在量詞和特稱命題【基礎(chǔ)知識】命題全稱命題x∈M，p（x）特稱命題x0∈M，p（x0）表述方法①所有的x∈M，使p（x）成立①存在?x0∈M，使p（x0）成立②對一切x∈M，使p（x）成立②至少有一個x0∈M，使p（x0）成立③對每一個x∈M，使p（x）成立③某些x∈M，使p（x）成立④對任給一個x∈M，使p（x）成立④存在某一個x0∈M，使p（x0）成立⑤若x∈M，則p（x）成立⑤有一個x0∈M，使p（x0）成立【技巧方法】短語“存在一個”“至少有一個”在邏輯中通常叫做存在量詞．符號：?特稱命題：含有存在量詞的命題．符號：“?”．存在量詞：對應(yīng)日常語言中的“存在一個”、“至少有一個”、“有個”、“某個”、“有些”、“有的”等詞，用符號“?”表示．《第一章集合與常用邏輯用語》單元檢測試卷（一）選擇題（共12小題）1．設(shè)全集，集合，則（）A． B． C． D．2．設(shè)集合A={x|x2–4≤0}，B={x|2x+a≤0}，且A∩B={x|–2≤x≤1}，則a=（）A．–4 B．–2 C．2 D．43．設(shè)集合，，，則A．{2} B．{2，3} C．{-1，2，3} D．{1，2，3，4}4．已知集合M＝{－1,0}，則滿足M∪N＝{－1,0,1}的集合N的個數(shù)是()A．2 B．3C．4 D．85.設(shè)，則“”是“”的A．充分而不必要條件 B．必要而不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件6．設(shè)，則“”是“”的（）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件7．已知集合，則中元素的個數(shù)為（）A．9 B．8 C．5 D．48．下列命題錯誤的是（）A．命題“若，則”的逆否命題為“若，則”B．命題“，”的否定是“，”C．若“且”為真命題，則，均為真命題D．“”是“”的充分不必要條件9．已知集合A={x|x-1≥0}，B={0，1，2}，則A∩B=（）A．{0} B．{1} C．{1，2} D．{0，1，2}10．已知集合，，若，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（）A． B． C． D．11．已知全集，集合，，則（）A． B．C． D．12．設(shè)全集為R，集合，，則集合A． B．或C． D．或填空題（共6小題）13．已知集合，，則_____.14．若命題“使”是假命題，則實(shí)數(shù)的取值范圍為_____，15．已知命題或，命題或，若是的充分非必要條件，則實(shí)數(shù)的取值范圍是________16．設(shè)集合，集合，若，則實(shí)數(shù)_____.17．已知命題“不等式”為真命題，則的取值范圍為_______.18．命題“”的否定是_____.三．解析題（共6小題）19．設(shè)全集為R，集合或.（1）求，；（2）已知，若，求實(shí)數(shù)的取值范圍.20．已知，，其中．若，且為真，求x的取值范圍；若是的充分不必要條件，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．21．己知（1）若是真命題，求對應(yīng)的取值范圍；（2）若是的必要不充分條件，求的取值范圍.22．設(shè)集合，不等式的解集為B．當(dāng)時(shí)，求集合A，B；當(dāng)時(shí)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．23．設(shè)集合，．（Ⅰ）若，求實(shí)數(shù)的值；（Ⅱ）若，求實(shí)數(shù)的取值范圍．24．已知命題：“，都有不等式成立”是真命題.（1）求實(shí)數(shù)的取值集合；（2）設(shè)不等式的解集為，若是的充分不必要條件，求實(shí)數(shù)的取值范圍.【答案解析】選擇題（共12小題）1．設(shè)全集，集合，則（）A． B． C． D．【答案】C【解析】由題意結(jié)合補(bǔ)集的定義可知：，則.故選：C.2．設(shè)集合A={x|x2–4≤0}，B={x|2x+a≤0}，且A∩B={x|–2≤x≤1}，則a=（）A．–4 B．–2 C．2 D．4【答案】B【解析】求解二次不等式可得：，求解一次不等式可得：.由于，故：，解得：.故選：B.3．設(shè)集合，，，則A．{2} B．{2，3} C．{-1，2，3} D．{1，2，3，4}【答案】D【解析】因?yàn)?，所?故選D．4．已知集合M＝{－1,0}，則滿足M∪N＝{－1,0,1}的集合N的個數(shù)是()A．2 B．3C．4 D．8【答案】C【解析】因?yàn)橛蒑∪N={-1，0，1}，得到集合M?M∪N，且集合N?M∪N，又M={0，-1}，所以元素1∈N，則集合N可以為{1}或{0，1}或{-1，1}或{0，-1，1}，共4個．故選C5.設(shè)，則“”是“”的A．充分而不必要條件 B．必要而不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件【答案】A【解析】分析：求解三次不等式和絕對值不等式，據(jù)此即可確定兩條件的充分性和必要性是否成立即可.詳解：求解不等式可得，求解絕對值不等式可得或，據(jù)此可知：“”是“”的充分而不必要條件.本題選擇A選項(xiàng).6．設(shè)，則“”是“”的（）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件【答案】A【解析】求解二次不等式可得：或，據(jù)此可知：是的充分不必要條件.故選：A.7．已知集合，則中元素的個數(shù)為（）A．9 B．8 C．5 D．4【答案】A【解析】當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；所以共有9個，故選：A.8．下列命題錯誤的是（）A．命題“若，則”的逆否命題為“若，則”B．命題“，”的否定是“，”C．若“且”為真命題，則，均為真命題D．“”是“”的充分不必要條件【答案】B【解析】對于A中，根據(jù)逆否命題的概念，可得命題“若，則”的逆否命題為“若，則”，所以A正確的；對于B中，根據(jù)全稱命題與存在性命題的關(guān)系，可得命題“，”的否定是“，”，所以B不正確；對于C中，根據(jù)復(fù)合命題的真假判定方法，若“且”為真命題，則，均為真命題，所以C是正確的；對于D中，不等式，解得或，所以“”是“”的充分不必要條件，所以D正確.綜上可得，命題錯誤為選項(xiàng)B.故選：B.9．已知集合A={x|x-1≥0}，B={0，1，2}，則A∩B=（）A．{0} B．{1} C．{1，2} D．{0，1，2}【答案】C【解析】由題意得A={x|x≥1}，B={0，1，2}，∴A∩B={1，2}．故選：C10．已知集合，，若，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（）A． B． C． D．【答案】C【解析】集合，集合，若，則，解得，故選C.11．已知全集，集合，，則（）A． B．C． D．【答案】A【解析】，則故選：A12．設(shè)全集為R，集合，，則集合A． B．或C． D．或【答案】D【解析】因?yàn)?，或；；或．故選D填空題（共6小題）13．已知集合，，則_____.【答案】.【解析】由題知，.14．若命題“使”是假命題，則實(shí)數(shù)的取值范圍為_____，【答案】【解析】由題意得若命題“”是假命題，則命題“，”是真命題，則需,故本題正確答案為．15．已知命題或，命題或，若是的充分非必要條件，則實(shí)數(shù)的取值范圍是________【答案】【解析】因?yàn)槭堑某浞址潜匾獥l件，所以是的真子集，故解得：，又因?yàn)?，所以，綜上可知，故填.16．設(shè)集合，集合，若，則實(shí)數(shù)_____.【答案】-3【解析】因?yàn)榧?，，A={0,3}，故m=-3.17．已知命題“不等式”為真命題，則的取值范圍為_______.【答案】【解析】解：令，則對稱軸為，要使不等式恒成立，即，當(dāng)時(shí)解得；當(dāng)時(shí)解得；當(dāng)時(shí)解得；綜上可得：故答案為：18．命題“”的否定是_____.【答案】【解析】命題“”的否定是“”.故答案為：.三．解析題（共6小題）19．設(shè)全集為R，集合或.（1）求，；（2）已知，若，求實(shí)數(shù)的取值范圍.【答案】（1），；（2）.【解析】（1）因?yàn)槿癁镽，集合或，所以，利用數(shù)軸法得，；（2）因?yàn)?，所以且，即，所以?shí)數(shù)的取值范圍為.20．已知，，其中．若，且為真，求x的取值范圍；若是的充分不必要條件，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．【答案】（1）（2）【解析】解：由，解得，所以；又，因?yàn)?，解得，所以．?）當(dāng)時(shí)，，又為真，，都為真，解得．所以的取值范圍為．（2）由是的充分不必要條件，即，，表示“推不出”其逆否命題為，，由于，，所以，．實(shí)數(shù)的取值范圍為．21．己知（1）若是真命題，求對應(yīng)的取值范圍；（2）若是的必要不充分條件，求的取值范圍.【答案】（1）；（2）【解析】（1）為真命題，即，解得（2）根據(jù)（1）知：，是的必要不充分條件當(dāng)時(shí)，，故滿足，即；當(dāng)時(shí)，，滿足條件；當(dāng)時(shí)，，故滿足，即.綜上所述：22．設(shè)集合，不等式的解集為B．當(dāng)時(shí)，求集合A，B；當(dāng)時(shí)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．【答案】（1）A={x|-1<x<0},B={Xx|-2<x<4}；（2）a≤2.【解析】（1）當(dāng)時(shí)，（2）若，則有：①當(dāng)，即，即時(shí)，符合題意，②當(dāng)，即，即時(shí)，有解得：綜合①②得：23．設(shè)集合，．（Ⅰ）若，求實(shí)數(shù)的值；（Ⅱ）若，求實(shí)數(shù)的取值范圍．【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）．【解析】（Ⅰ），，，且，所以，，解得；（Ⅱ），，則或，又，所以，解得.因此，實(shí)數(shù)的取值范圍是．24．已知命題：“，都有不等式成立”是真命題.（1）求實(shí)數(shù)的取值集合；（2）設(shè)不等式的解集為，若是的充分不必要條件，求實(shí)數(shù)的取值范圍.【答案】（1）；（2）.【解析】（1）命題：“，都有不等式成立”是真命題，得在時(shí)恒成立，∴，得，即.（2）不等式，①當(dāng)，即時(shí)，解集，若是的充分不必要條件，則是的真子集，∴，此時(shí)；②當(dāng)，即時(shí)，解集，滿足題設(shè)條件；③當(dāng)，即時(shí)，解集，若是的充分不必要條件，則是的真子集，，此時(shí).綜上①②③可得《第一章集合與常用邏輯用語》單元檢測試卷（二）時(shí)間：120分鐘分值：150分一、選擇題（本大題共12小題，每小題5分，共60分．在每小題給出的四個選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的）1．設(shè)集合，集合，則下列關(guān)系中正確的是()A．B．C．D．2．集合，，，全集為，則圖中陰影部分表示的集合是()A． B．C． D．3．已知集合，則滿足的集合的個數(shù)是()A．2B．3C．4D．84．集合，，則“”是“”的()A．充分不必要條件B．必要不充分條件C．充要條件D．既不充分也不必要條件5．已知集合滿足，那么這樣的集合的個數(shù)為()A．5 B．6C．7 D．86．設(shè)，則“”是“”的()A．充要條件B．充分不必要條件C．必要不充分條件D．既不充分也不必要條件7．若集合中只有一個元素，則實(shí)數(shù)的值為()A．1B．0C．0或1D．以上答案都不對8．命題“，”的否定是()A．，B．，C．，D．，9．已知A、B均為集合的子集，且，，則()A． B．C． D．10．下列有關(guān)命題的說法正確的是()A．設(shè)集合M＝{x|0<x≤3}，N＝{x|0<x≤2}，則“a∈M”是“a∈N”的充分而不必要條件；B．“x＝－1”是“x2－5x－6＝0”的必要不充分條件C．命題“?x∈R，使得x2＋x＋1<0”的否定是：“?x∈R，均有x2＋x＋1<0”D．命題“若cosx＝cosy，則x＝y(tǒng)”的逆命題為真命題11．已知命題，，命題，恒成立．若p或q為假命題，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是()A．m≥2 B．m≤－2C．m≤－2或m≥2 D．－2≤m≤212．設(shè)數(shù)集，，且M，N都是集合的子集，如果把叫做集合的“長度”，那么集合的“長度”的最小值是()A． B．C． D．二、填空題(本大題共4小題，每小題5分，共20分．請把正確答案填在題中橫線上)13．集合A＝{(0,1)，(1,1)，(－1，2)}，B＝{(x，y)|x＋y－1＝0，x，y∈Z}，則A∩B＝________．14．若命題“，使得”是真命題，則實(shí)數(shù)的取值范圍是______．15．設(shè)集合A＝{－1,1,3}，B＝{a＋2，a2＋4}，A∩B＝{3}，則實(shí)數(shù)a＝________．16．已知方程x2＋(2k－1)x＋k2＝0，則方程有兩個大于1的實(shí)數(shù)根（含相等兩根）的充要條件是． ．三、解答題(本大題共6小題，共70分．解答時(shí)應(yīng)寫出必要的文字說明、證明過程或演算步驟)17．（本小題10分）已知全集，，，求的值．18．（本小題12分）已知集合，．若，則由實(shí)數(shù)組成的集合．19．（本小題12分）設(shè)全集為R，集合A＝{x|3≤x<6}，B＝{x|2<x<9}．(1)分別求A∩B，(?RB)∪A．(2)已知C＝{x|a<x<a＋1}，若C?B，求實(shí)數(shù)a取值構(gòu)成的集合．20．（本小題12分）求至少有一個負(fù)實(shí)根的充要條件．21．（本小題12分）已知命題p{x|2≤x≤10}，命題q{x|x<a或x>2a＋1}(a>0)，若p是q成立的充分不必要條件，求a22．（本小題12分）已知集合A＝{x∈R|ax2－3x＋2＝0，a∈R}．(1)若A是空集，求a的取值范圍；(2)若A中只有一個元素，求a的值，并把這個元素寫出來；(3)若A中至多有一個元素，求a的取值范圍．【參考答案】一、選擇題（本大題共12小題，每小題5分，共60分．在每小題給出的四個選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的）1．設(shè)集合，集合，則下列關(guān)系中正確的是()A．B．C．D．【解析】A∵M(jìn)＝{x|x<4}，N＝{x|0<x<2}，∴M∪N＝{x|x<4}＝M，故選項(xiàng)A正確；M∪(?RN)＝R≠M(fèi)，故選項(xiàng)B錯誤；N∪(?RM)＝{x|0<x<2或x≥4}≠R，故選項(xiàng)C錯誤；M∩N＝{x|0<x<2}＝N，故選項(xiàng)D錯誤．故選A．2．集合，，，全集為，則圖中陰影部分表示的集合是()A． B．C． D．【解析】C∵M(jìn)＝{1,3}，P＝{－2，－3}，∴M∩N＝{1}，N∩P＝{－2}，故陰影部分表示的集合為{3，－3}．3．已知集合，則滿足的集合的個數(shù)是()A．2B．3C．4D．8【解析】C因?yàn)橛蒑∪N={-1，0，1}，得到集合M?M∪N，且集合N?M∪N，又M={0，-1}，所以元素1∈N，則集合N可以為{1}或{0，1}或{-1，1}或{0，-1，1}，共4個．4．集合，，則“”是“”的()A．充分不必要條件B．必要不充分條件C．充要條件D．既不充分也不必要條件【解析】BA＝{x||x|≤4，x∈R}?A＝{x|－4≤x≤4}，所以A?B?a>4，而a>5?a>4，反之，不成立，所以“A?B”是“a>5”的必要不充分條件．5．已知集合滿足，那么這樣的集合的個數(shù)為()A．5 B．6C．7 D．8【解析】C根據(jù)題意，M集合一定含有元素1,2，且為集合{1,2,3,4,5}的真子集，所以集合M的個數(shù)為23－1＝7個,故選C．6．設(shè)，則“”是“”的()A．充要條件B．充分不必要條件C．必要不充分條件D．既不充分也不必要條件【解析】C由x>y推不出x>|y|，由x>|y|能推出x>y，所以“x>y”是“x>|y|”的必要不充分條件．7．若集合中只有一個元素，則實(shí)數(shù)的值為()A．1B．0C．0或1D．以上答案都不對【解析】C當(dāng)k＝0時(shí)，A＝{－1}；當(dāng)k≠0時(shí)，Δ＝16－16k＝0，k＝1．故k＝0或k＝1．選C．8．命題“，”的否定是()A．，B．，C．，D．，【解析】B∵eq\f(x,x－1)>0，∴x<0或x>1，∴命題“?x>0，eq\f(x,x－1)>0”的否定是“?x>0,0≤x≤1”9．已知A、B均為集合的子集，且，，則()A． B．C． D．【解析】D由題意知，A中有3和9，若A中有7或5，則?UB中無7和5，即B中有7或5，則與A∩B＝{3}矛盾，故選D．10．下列有關(guān)命題的說法正確的是()A．設(shè)集合M＝{x|0<x≤3}，N＝{x|0<x≤2}，則“a∈M”是“a∈N”的充分而不必要條件；B．“x＝－1”是“x2－5x－6＝0”的必要不充分條件C．命題“?x∈R，使得x2＋x＋1<0”的否定是：“?x∈R，均有x2＋x＋1<0”D．命題“若cosx＝cosy，則x＝y(tǒng)”的逆命題為真命題【解析】D11．已知命題，，命題，恒成立．若p或q為假命題，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是()A．m≥2 B．m≤－2C．m≤－2或m≥2 D．－2≤m≤2【解析】A由p或q為假命題可知p和q都是假命題，即非p是真命題，所以m>－1；再由q：?x∈R，x2＋mx＋1>0恒成立為假命題知m≥2或m≤－2，∴m≥212．設(shè)數(shù)集，，且M，N都是集合的子集，如果把叫做集合的“長度”，那么集合的“長度”的最小值是()A． B．C． D．【解析】A此題雖新定義了“長度”概念，但題意不難理解，只要求出M∩N，然后再求一個式子的最小值即可；如何求M∩N呢？若真這樣理解的話，就走彎路了．其實(shí)，根本用不著求M∩N；集合M的“長度”是eq\f(3,4)，由于m是一個變量，因此，這個長度為eq\f(3,4)的區(qū)間可以在區(qū)間[0,1]上隨意移動；同理，集合N的長度為eq\f(1,3)且也可以在區(qū)間[0,1]上隨意移動；兩區(qū)間的移動又互不影響，因此M∩N的“長度”的最小值即為eq\f(1,3)－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(3,4)))＝eq\f(1,12)二、填空題(本大題共4小題，每小題5分，共20分．請把正確答案填在題中橫線上)13．已知集合A＝{(0,1)，(1,1)，(－1，2)}，B＝{(x，y)|x＋y－1＝0，x，y∈Z}，則A∩B＝________．【解析】{(0,1)，(－1,2)}A、B都表示點(diǎn)集，A∩B即是由集合A中落在直線x＋y－1＝0上的所有點(diǎn)組成的集合，將A中點(diǎn)的坐標(biāo)代入直線方程檢驗(yàn)知，A∩B＝{(0,1)，(－1,2)}．14．若命題“，使得”是真命題，則實(shí)數(shù)的取值范圍是______．【解析】由題意可知，Δ＝(1－a)2－4>0，解得或.15．設(shè)集合A＝{－1,1,3}，B＝{a＋2，a2＋4}，A∩B＝{3}，則實(shí)數(shù)a＝________．【解析】1∵3∈B，又a2＋4≥4，∴a＋2＝3，∴a＝1．16．已知方程x2＋(2k－1)x＋k2＝0，則方程有兩個大于1的實(shí)數(shù)根（含相等兩根）的充要條件是． ．【解析】令f(x)＝x2＋(2k－1)x＋k2，則方程x2＋(2k－1)x＋k2＝0有兩個大于1的實(shí)數(shù)根?eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(Δ＝2k－12－4k2≥0，,－\f(2k－1,2)＞1，,f1＞0))?k＜－2．因此k＜－2是使方程x2＋(2k－1)x＋k2＝0有兩個大于1的實(shí)數(shù)根的充要條件．三、解答題(本大題共6小題，共70分．解答時(shí)應(yīng)寫出必要的文字說明、證明過程或演算步驟)17．（本小題10分）已知全集，，，求的值．【解析】2由補(bǔ)集概念及集合中元素互異性知應(yīng)滿足分兩種情況進(jìn)行討論：在A中，由（1）得a=0依次代入（2）、（3）、（4）檢驗(yàn)，不合②，故舍去。在B中，由（1）得a=－3,a=2，分別代入（2、（3）、（4）檢驗(yàn)，a=－3不合②，故舍去，a=2能滿足②③④，故a=2符合題意。18．（本小題12分）已知集合，．若，則由實(shí)數(shù)組成的集合．【解析】當(dāng)時(shí)，集合為空集，符合．當(dāng)時(shí)，A＝，，由，得或，即或；所以．19．（本小題12分）設(shè)全集為R，集合A＝{x|3≤x<6}，B＝{x|2<x<9}．(1)分別求A∩B，(?RB)∪A．(2)已知C＝{x|a<x<a＋1}，若C?B，求實(shí)數(shù)a取值構(gòu)成的集合．解析：(1)A∩B＝{x|3≤x<6}．因?yàn)?RB＝{x|x≤2或x≥9}，所以(?RB)∪A＝{x|x≤2或3≤x<6或x≥9}．(2)因?yàn)镃?B，如圖所示：所以eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a≥2，,a＋1≤9，))解得2≤a≤8，所以所求集合為{a|2≤a≤8}．20．（本小題12分）求至少有一個負(fù)實(shí)根的充要條件．【解析】（1）時(shí)為一元一次方程，其根為，符合題目要求（2）當(dāng)時(shí)，為一元二次方程，它有實(shí)根的充要條件是判斷式，即，從而……①又設(shè)方程的兩根為，則由韋達(dá)定理得因而方程有一個負(fù)實(shí)根的充要條件是，得…．①②方程有兩個負(fù)根的充要條件是，即綜上，至少有一個負(fù)實(shí)根的充要條件是：………．．21．（本小題12分）已知命題p{x|2≤x≤10}，命題q{x|x<a或x>2a＋1}(a>0)，若p是q成立的充分不必要條件，求a解析：p是q的充分不必要條件，∴p?q，q不能推出p，∴{x|2≤x≤10}{x|x＜a或x＞2a＋1}(a畫出數(shù)軸：結(jié)合數(shù)軸得a>10或2a故a的取值范圍為a>10或0<a<eq\f(1,2)．22．（本小題12分）已知集合A＝{x∈R|ax2－3x＋2＝0，a∈R}．(1)若A是空集，求a的取值范圍；(2)若A中只有一個元素，求a的值，并把這個元素寫出來；(3)若A中至多有一個元素，求a的取值范圍．解析：集合A是方程ax2－3x＋2＝0在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)的解組成的集合．(1)A是空集，即方程ax2－3x＋2＝0無解，得∴a>eq\f(9,8)，即實(shí)數(shù)a的取值范圍是(eq\f(9,8)，＋∞)．(2)當(dāng)a＝0時(shí)，方程只有一解eq\f(2,3)，此時(shí)A中只有一個元素eq\f(2,3)；當(dāng)a≠0時(shí)，應(yīng)有Δ＝0，∴a＝eq\f(9,8)，此時(shí)方程有兩個相等的實(shí)數(shù)根，A中只有一個元素eq\f(4,3)，∴當(dāng)a＝0或a＝eq\f(9,8)時(shí)，A中只有一個元素，分別是eq\f(2,3)和eq\f(4,3)．(3)A中至多有一個元素，包括A是空集和A中只有一個元素兩種情況，根據(jù)(1)，(2)的結(jié)果，得a＝0或a≥eq\f(9,8)，即a的取值范圍是{a|a＝0或a≥eq\f(9,8)}．《第一章集合與常用邏輯用語》單元檢測試卷（三）一、單選題1．命題“”的否定是（）A． B．C． D．2．設(shè)p：x<3，q：-1<x<3，則p是q成立的（）A．充分必要條件 B．充分不必要條件C．必要不充分條件 D．既不充分也不必要條件3．除夕夜，萬家團(tuán)圓之時(shí)，中國人民解放軍陸、海、空三軍醫(yī)療隊(duì)馳援武漢.“在疫情面前，我們中國人民解放軍誓死不退！不獲勝利決不收兵！”這里“獲取勝利”是“收兵”的（）.A．充分條件 B．必要條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件4．已知命題，，則命題的否定是（）A．， B．，C．， D．，5．下列說法正確的是（）A．命題“直角相等”的條件和結(jié)論分別是“直角”和“相等”B．語句“最高氣溫30℃時(shí)我就開空調(diào)”不是命題C．命題“對角線互相垂直的四邊形是菱形”是真命題D．語句“當(dāng)a>4時(shí)，方程x2－4x＋a＝0有實(shí)根”是假命題6．下列語句：①；②作射線AB；③；④有一個根是－1；⑤.其中是命題的是（）A．①②③ B．①③④C．③ D．②⑤7．已知不等式x＋3≥0的解集是A，若a∈A是假命題，則a的取值范圍是（）A．a(chǎn)≥－3 B．a(chǎn)>－3C．a(chǎn)≤－3 D．a(chǎn)<－38．設(shè)集合，，則“”是“”的（）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件.C．充分必要條件 D．既不充分又不必要條件9．命題“存在實(shí)數(shù)x,，使x>1”的否定是（）A．對任意實(shí)數(shù)x,都有x>1 B．不存在實(shí)數(shù)x，使x1C．對任意實(shí)數(shù)x,都有x1 D．存在實(shí)數(shù)x，使x110．已知，那么“”是“”的（）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件二、多選題11．下列不等式中可以作為的一個充分不必要條件的有（）A． B． C． D．12．下列命題的否定中，是全稱命題且是真命題的是（）A． B．所有正方形都是矩形C． D．至少有一個實(shí)數(shù)x，使13．（多選）對任意實(shí)數(shù)，，，給出下列命題：①“”是“”的充要條件；②“是無理數(shù)”是“是無理數(shù)”的充要條件；③“”是“”的必要條件；④“”是“”的充分條件.其中真命題是（）.A．① B．② C．③ D．④14．下列命題中，是全稱量詞命題的有（）A．至少有一個x使成立 B．對任意的x都有成立C．對任意的x都有不成立 D．存在x使成立E.矩形的對角線垂直平分三、填空題15．把命題“當(dāng)x＝2時(shí)，x2－3x＋2＝0”改寫成“若p，則q”的形式：____________________________.16．命題“”的否定是________．17．已知命題或，命題或，若是的充分非必要條件，則實(shí)數(shù)的取值范圍是________四、雙空題18．已知命題：弦的垂直平分線經(jīng)過圓心并且平分弦所對的弧，若把上述命題改為“若p，則q”的形式，則p是____________________，q是__________________.19．“”的一個充分非必要條件可以為________；一個必要非充分條件可以為________.20．下列語句是命題的有______，其中是假命題的有______．（只填序號）①等邊三角形是等腰三角形嗎？②作三角形的一個內(nèi)角平分線③若為有理數(shù)，則，也都是有理數(shù)．④．21．命題:，是__________（填“全稱命題”或“特稱命題”），它是_________命題（填“真”或“假”）.五、解答題22．將下列命題改寫成“若，則”的形式，并判斷命題的真假.（1）是和的公約數(shù)；（2）當(dāng)時(shí)，方程有兩個不等實(shí)根；（3）平行四邊形的對角線互相平分；（4）已知為非零自然數(shù)，當(dāng)時(shí)，.23．判斷下列命題的真假.（1）.（2）.（3）.24．指出下列命題是全稱量詞命題還是存在量詞命題，并判斷它們的真假.（1）?x∈N，2x＋1是奇數(shù)；（2）存在一個x∈R，使＝0；（3）對任意實(shí)數(shù)a，|a|＞0；25．判斷下列存在量詞命題的真假：（1）存在一個四邊形，它的兩條對角線互相垂直；（2）至少有一個整數(shù)n，使得為奇數(shù)；（3）是無理數(shù)}，是無理數(shù).26．寫出下列命題的否定：（1）所有人都晨練；（2）；（3）平行四邊形的對邊相等；（4）．27．寫出下列命題的否定并判斷真假.（1）不論m取何實(shí)數(shù)，方程必有實(shí)數(shù)根.（2）所有末位數(shù)是0或5的整數(shù)都能被5整除.（3）某些梯形的對角線互相平分.（4）被8整除的數(shù)能被4整除.【答案解析】一、單選題1．命題“”的否定是（）A． B．C． D．【答案】A【解析】特稱命題的否定是全稱命題，注意到要否定結(jié)論，故A選項(xiàng)正確.故選A.2．設(shè)p：x<3，q：-1<x<3，則p是q成立的（）A．充分必要條件 B．充分不必要條件C．必要不充分條件 D．既不充分也不必要條件【答案】C【解析】∵，∴，但，∴是成立的必要不充分條件，故選C.3．除夕夜，萬家團(tuán)圓之時(shí)，中國人民解放軍陸、海、空三軍醫(yī)療隊(duì)馳援武漢.“在疫情面前，我們中國人民解放軍誓死不退！不獲勝利決不收兵！”這里“獲取勝利”是“收兵”的（）.A．充分條件 B．必要條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件【答案】B【解析】由題意可得，“獲取勝利”是“收兵”的必要條件故選：B4．已知命題，，則命題的否定是（）A．， B．，C．， D．，【答案】C【解析】命題為特稱命題，其否定為，.故選：C.5．下列說法正確的是（）A．命題“直角相等”的條件和結(jié)論分別是“直角”和“相等”B．語句“最高氣溫30℃時(shí)我就開空調(diào)”不是命題C．命題“對角線互相垂直的四邊形是菱形”是真命題D．語句“當(dāng)a>4時(shí)，方程x2－4x＋a＝0有實(shí)根”是假命題【答案】D【解析】對于A，改寫成“若p，則q”的形式應(yīng)為“若兩個角都是直角，則這兩個角相等”，則A錯誤；對于B，所給語句是命題，則B錯誤；對于C，邊長為3的等邊三角形與底邊為3，腰為2的等腰三角形拼成的四邊形，對角線相互垂直，但不是菱形，則C錯誤；對于D，當(dāng)時(shí)，，方程x2－4x＋a＝0無實(shí)根，則D正確；故選：D6．下列語句：①；②作射線AB；③；④有一個根是－1；⑤.其中是命題的是（）A．①②③ B．①③④C．③ D．②⑤【答案】B【解析】解析②是祈使句，故不是命題，⑤無法判斷真假，故不是命題.①③④符合命題的定義，故選：B.7．已知不等式x＋3≥0的解集是A，若a∈A是假命題，則a的取值范圍是（）A．a(chǎn)≥－3 B．a(chǎn)>－3C．a(chǎn)≤－3 D．a(chǎn)<－3【答案】D【解析】∵x＋3≥0，∴A＝{x|x≥}，又∵a∈A是假命題，即aA，∴a<.故選：D8．設(shè)集合，，則“”是“”的（）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件.C．充分必要條件 D．既不充分又不必要條件【答案】A【解析】當(dāng)時(shí)，，滿足，故充分性成立；當(dāng)時(shí)，或，所以不一定滿足，故必要性不成立.故選：A.9．命題“存在實(shí)數(shù)x,，使x>1”的否定是（）A．對任意實(shí)數(shù)x,都有x>1 B．不存在實(shí)數(shù)x，使x1C．對任意實(shí)數(shù)x,都有x1 D．存在實(shí)數(shù)x，使x1【答案】C【解析】特稱命題的否定是全稱命題，否定結(jié)論的同時(shí)需要改變量詞．∵命題“存在實(shí)數(shù)x，使x＞1”的否定是“對任意實(shí)數(shù)x，都有x≤1”故選C．10．已知，那么“”是“”的（）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件【答案】A【解析】當(dāng)時(shí)，成立，取，此時(shí)成立，但是不成立，“”是“”的充分不必要條件，故選：A.二、多選題11．下列不等式中可以作為的一個充分不必要條件的有（）A． B． C． D．【答案】BC【解析】解不等式，可得，，，，因此，使得的成立一個充分不必要條件的有：，.故選：BC.12．下列命題的否定中，是全稱命題且是真命題的是（）A． B．所有正方形都是矩形C． D．至少有一個實(shí)數(shù)x，使【答案】AC【解析】由題意可知：原命題為特稱命題且為假命題.選項(xiàng)A.原命題為特稱命題,,所以原命題為假命題，所以選項(xiàng)A滿足條件.選項(xiàng)B.原命題是全稱命題，所以選項(xiàng)B不滿足條件.選項(xiàng)C.原命題為特稱命題,在方程中，所以方程無實(shí)數(shù)根，所以原命題為假命題，所以選項(xiàng)C滿足條件.選項(xiàng)D.當(dāng)時(shí)，命題成立.所以原命題為真命題，所以選項(xiàng)D不滿足條件.故選：AC13．（多選）對任意實(shí)數(shù)，，，給出下列命題：①“”是“”的充要條件；②“是無理數(shù)”是“是無理數(shù)”的充要條件；③“”是“”的必要條件；④“”是“”的充分條件.其中真命題是（）.A．① B．② C．③ D．④【答案】BC【解析】①由“”可得，但當(dāng)時(shí)，不能得到，故“”是“”的充分不必要條件，故①錯誤；②因?yàn)?是有理數(shù)，所以當(dāng)是無理數(shù)時(shí)，必為無理數(shù)，反之也成立，故②正確；③當(dāng)時(shí)，不能推出；當(dāng)時(shí)，有成立，故“”是“”的必要不充分條件，故③正確.④取，，此時(shí)，故④錯誤；故答案為：BC14．下列命題中，是全稱量詞命題的有（）A．至少有一個x使成立 B．對任意的x都有成立C．對任意的x都有不成立 D．存在x使成立E.矩形的對角線垂直平分【答案】BCE【解析】A和D中用的是存在量詞“至少有一個”“存在”，屬存在量詞命題；B和C用的是全稱量詞“任意的”，屬全稱量詞命題，所以B、C是全稱量詞命題；E中命題“矩形的對角線垂直平分”省略量詞“任意”，是全稱量詞命題.故選：BCE三、填空題15．把命題“當(dāng)x＝2時(shí)，x2－3x＋2＝0”改寫成“若p，則q”的形式：____________________________.【答案】若x＝2，則x2－3x＋2＝0【解析】命題“當(dāng)x＝2時(shí)，x2－3x＋2＝0”可以改寫成“若x＝2，則x2－3x＋2＝0”故答案為：若x＝2，則x2－3x＋2＝016．命題“”的否定是________．【答案】【解析】命題為特稱命題，則命題的否定為“，”.故答案為：，.17．已知命題或，命題或，若是的充分非必要條件，則實(shí)數(shù)的取值范圍是________【答案】【解析】因?yàn)槭堑某浞址潜匾獥l件，所以是的真子集，故解得：，又因?yàn)?，所以，綜上可知，故填.四、雙空題18．已知命題：弦的垂直平分線經(jīng)過圓心并且平分弦所對的弧，若把上述命題改為“若p，則q”的形式，則p是____________________，q是__________________.【答案】一條直線是弦的垂直平分線這條直線經(jīng)過圓心且平分弦所對的弧【解析】已知中的命題改為“若p，則q”的形式為“若一條直線是弦的垂直平分線，則這條直線經(jīng)過圓心且平分弦所對的弧”，p：一條直線是弦的垂直平分線；q：這條直線經(jīng)過圓心且平分弦所對的弧.故答案為：一條直線是弦的垂直平分線；這條直線經(jīng)過圓心且平分弦所對的弧19．“”的一個充分非必要條件可以為________；一個必要非充分條件可以為________.【答案】（答案不唯一）（答案不唯一）【解析】“”的充分非必要條件可以為；一個必要非充分條件可以為；故答案為：（答案不唯一）；（答案不唯一）20．下列語句是命題的有______，其中是假命題的有______．（只填序號）①等邊三角形是等腰三角形嗎？②作三角形的一個內(nèi)角平分線③若為有理數(shù)，則，也都是有理數(shù)．④．【答案】③③【解析】①②不是陳述句，④不能判斷真假，均不符合命題定義，不是命題③是可以判斷真假的陳述句，是命題；當(dāng)，時(shí)，為有理數(shù)，但不是有理數(shù)③是假命題本題正確結(jié)果：③；③21．命題:，是__________（填“全稱命題”或“特稱命題”），它是_________命題（填“真”或“假”）.【答案】特稱命題假【解析】由題知命題:，中條件為，故命題為特稱命題，又因?yàn)榉匠讨?，故方程沒有根，所以命題為假命題.故答案為：特稱命題；假.五、解答題22．將下列命題改寫成“若，則”的形式，并判斷命題的真假.（1）是和的公約數(shù)；（2）當(dāng)時(shí)，方程有兩個不等實(shí)根；（3）平行四邊形的對角線互相平分；（4）已知為非零自然數(shù)，當(dāng)時(shí)，.【答案】答案見解析.【解析】（1）若一個數(shù)是，則它是和的公約數(shù)，是真命題.（2）若，則方程有兩個不等實(shí)根，因?yàn)楫?dāng)時(shí)，原方程只有一解，所以原命題是假命題.（3）若一個四邊形是平行四邊形，則它的對角線互相平分，是真命題.（4）已知是非零自然數(shù)，若，則，是假命題.23．判斷下列命題的真假.（1）.（2）.（3）.【答案】（1）假命題；（2）假命題；（3）真命題.【解析】（1）假命題，因?yàn)橹挥谢驎r(shí)滿足.（2）假命題，因?yàn)椴淮嬖趯?shí)數(shù)x，使成立.（3）真命題，因?yàn)榇嬖谡麛?shù)2和4，使.24．指出下列命題是全稱量詞命題還是存在量詞命題，并判斷它們的真假.（1）?x∈N，2x＋1是奇數(shù)；（2）存在一個x∈R，使＝0；（3）對任意實(shí)數(shù)a，|a|＞0；【答案】（1）是全稱量詞命題；是真命題；（2）是存在量詞命題；是假命題；（3）是全稱量詞命題；是假命題.【解析】（1）是全稱量詞命題.因?yàn)槎际瞧鏀?shù)，所以該命題是真命題.（2）是存在量詞命題.因?yàn)椴淮嬖?，使成立，所以該命題是假命題.（3）是全稱量詞命題.因?yàn)椋圆欢汲闪?，因此，該命題是假命題.25．判斷下列存在量詞命題的真假：（1）存在一個四邊形，它的兩條對角線互相垂直；（2）至少有一個整數(shù)n，使得為奇數(shù)；（3）是無理數(shù)}，是無理數(shù).【答案】（1）真命題；（2）假命題；（3）真命題【解析】（1）真命題，因?yàn)檎叫蔚膬蓷l對角線互相垂直；（2）假命題，因?yàn)槿魹檎麛?shù)，則必為偶數(shù)；（3）真命題，因?yàn)槭菬o理數(shù)，是無理數(shù).26．寫出下列命題的否定：（1）所有人都晨練；（2）；（3）平行四邊形的對邊相等；（4）．【答案】（1）有的人不晨練；（2）；（3）存在平行四邊形，它的對邊不相等；（4）；【解析】（1）因?yàn)槊}“所有人都晨練”是全稱命題，所以其否定是“有的人不晨練”．（2）因?yàn)槊}“”是全稱命題，所以其否定是“”．（3）因?yàn)槊}“平行四邊形的對邊相等”是指任意一個平行四邊形的對邊相等，是一個全稱命題，所以它的否定是“存在平行四邊形，它的對邊不相等”．（4）因?yàn)槊}“”是特稱命題，所以其否定是“”．27．寫出下列命題的否定并判斷真假.（1）不論m取何實(shí)數(shù)，方程必有實(shí)數(shù)根.（2）所有末位數(shù)是0或5的整數(shù)都能被5整除.（3）某些梯形的對角線互相平分.（4）被8整除的數(shù)能被4整除.【答案】（1）答案見解析；（2）答案見解析；（3）答案見解析；（4）答案見解析.【解析】（1）這一命題可以表述為“對所有的實(shí)數(shù)m，方程都有實(shí)數(shù)根”，其否定為“存在實(shí)數(shù)m，使得沒有實(shí)數(shù)根”，注意到當(dāng)，即時(shí)，一元二次方程沒有實(shí)根，因此其否定是真命題；（2）命題的否定是“存在末位數(shù)字是0或5的整數(shù)不能被5整除”，是假命題；（3）命題的否定是“任何一個梯形的對角線都不互相平分”，是真命題；（4）命題的否定是“存在一個數(shù)能被8整除，但不能被4整除”，是假命題.《第一章集合與常用邏輯用語》單元檢測試卷（四）選擇題1．設(shè)集合M＝{m∈Z|－3<m<2}，N＝{n∈Z|－1≤n≤3}，則M∩N等于()A．{0,1}B．{－1,0,1}C．{0,1,2}D．{－1,0,1,2}2．已知集合M＝{－1,0}，則滿足M∪N＝{－1,0,1}的集合N的個數(shù)是()A．2B．3C．4D．83．已知M＝{x∈R|x≥22}，a＝π，有下列四個式子：(1)a∈M；(2){a}?M；(3)a?M；(4){a}∩M＝π.其中正確的是()A．(1)(2)B．(1)(4)C．(2)(3)D．(1)(2)(4)4．設(shè)集合A＝{1,2,6}，B＝{2,4}，C＝{x∈R|－1≤x≤5}，則(A∪B)∩C＝()A．{2}B．{1,2,4}C．{1,2,4,6}D．{x∈R|－1≤x≤5}5．已知集合U={1,2,3,4,5,6,7},A={2,4,5,7},B={3,4,5},則(?UA)∪(?UB)等于()A．{1,6} B．{4,5} C．{2,3,4,5,7} D．{1,2,3,6,7}6．已知全集U，M，N是U的非空子集，若(?UM)?N，則必有()A．M?(?UN) B．N(?UM)C．(?UM)＝(?UN) D．M＝N7．設(shè)U＝{不大于10的正整數(shù)}，A＝{10以內(nèi)的素(質(zhì))數(shù)}，B＝{1,3,5,7,9}，則(?UA)∩(?UB)是()A．{2,4,6,8,9}B．{2,4,6,8,9,10}C．{1,2,6,8,9,10}D．{4,6,8,10}8．設(shè)M，P是兩個非空集合，定義M與P的差集M－P＝{x|x∈M且x?P}，則M－(M－P)等于()A．PB．MC．M∩PD．M∪P9．設(shè)集合，，那么“或”是“”的（）A．充分不必要條件B．必要不充分條件C．充要條件D．既不充分也不必要條件10．已知，，且是的必要不充分條件，則實(shí)數(shù)的取值范圍為（）A．B．C．或D．或11．全稱命題“”的否定是（）A.B.C．D.12．三個數(shù)不全為零的充要條件是（）Ａ．都不是零 Ｂ．中至多一個是零Ｃ．中只有一個為零 Ｄ．中至少一個不是零二、填空題13．設(shè)全集是實(shí)數(shù)集R，M＝{x|－2≤x≤2}，N＝{x|x<1}，則?R(M∩N)＝________.14．已知集合，，且，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是______________________.15．關(guān)于x的方程m2x2-(m+1)x+2=0的所有根的和為2的充要條件是_____.16．對任意實(shí)數(shù)a，b，c，給出下列命題：①“a＝b”是“ac＝bc”的充要條件；②“a>b”是“a2>b2”的充分條件；③“a<5”是“a<3”的必要條件；④“a＋5是無理數(shù)”是“a是無理數(shù)”的充要條件．其中真命題的序號為________．三、解答題17．設(shè)全集為R，集合A＝{x|3≤x<7}，B＝{x|2<x<6}，求?R(A∪B)，?R(A∩B)，(?RA)∩B，A∪(?RB)．18．已知A＝{a－1,2a2＋5a＋1，a2＋1}，且－2∈A，求a的值．19．設(shè)集合．（1）若，求實(shí)數(shù)的值；（2）若，求實(shí)數(shù)的取值范圍．20．判斷下列命題是全稱量詞命題還是存在量詞命題，并寫出它們的否定：（1）p：對任意的x∈R，x2+x+1=0都成立；（2）p：?x∈R，x2+2x+5＞0．21．求方程至少有一個負(fù)根的充要條件．【答案解析】一、選擇題1．設(shè)集合M＝{m∈Z|－3<m<2}，N＝{n∈Z|－1≤n≤3}，則M∩N等于()A．{0,1}B．{－1,0,1}C．{0,1,2}D．{－1,0,1,2}【答案】B【解析】由題意，M＝{m∈Z|－3<m<2}＝{－2，－1,0,1}，N＝{n∈Z|－1≤n≤3}＝{－1,0,1,2,3}，則M∩N＝{－1,0,1}，故選B.2．已知集合M＝{－1,0}，則滿足M∪N＝{－1,0,1}的集合N的個數(shù)是()A．2B．3C．4D．8【答案】C【解析】因?yàn)橛蒑∪N={-1，0，1}，得到集合M?M∪N，且集合N?M∪N，又M={0，-1}，所以元素1∈N，則集合N可以為{1}或{0，1}或{-1，1}或{0，-1，1}，共4個．故選C3．已知M＝{x∈R|x≥22}，a＝π，有下列四個式子：(1)a∈M；(2){a}?M；(3)a?M；(4){a}∩M＝π.其中正確的是()A．(1)(2)B．(1)(4)C．(2)(3)D．(1)(2)(4)【答案】A【解析】由題意，（1）中，根據(jù)元素與集合的關(guān)系，可知是正確的；（2）中，根據(jù)集合與集合的關(guān)系，可知是正確的；(3)是元素與集合的關(guān)系，應(yīng)為a∈M，所以不正確；(4)應(yīng)為{a}∩M＝{π}，所以不正確，故選A．4．設(shè)集合A＝{1,2,6}，B＝{2,4}，C＝{x∈R|－1≤x≤5}，則(A∪B)∩C＝()A．{2}B．{1,2,4}C．{1,2,4,6}D．{x∈R|－1≤x≤5}【答案】B【解析】由題意A∪選B5．已知集合U={1,2,3,4,5,6,7},A={2,4,5,7},B={3,4,5},則(?UA)∪(?UB)等于()A．{1,6} B．{4,5} C．{2,3,4,5,7} D．{1,2,3,6,7}【答案】D【解析】由補(bǔ)集的定義可得：?UA={1,3,6},?UB={1,2,6,7},所以(?UA)∪(?UB)={1,2,3,6,7}.本題選擇D選項(xiàng).6．已知全集U，M，N是U的非空子集，若(?UM)?N，則必有()A．M?(?UN) B．N(?UM)C．(?UM)＝(?UN) D．M＝N【答案】A【解析】由題意，作出Venn圖，如圖所示，即可得到M?(?UN)，故選A.7．設(shè)U＝{不大于10的正整數(shù)}，A＝{10以內(nèi)的素(質(zhì))數(shù)}，B＝{1,3,5,7,9}，則(?UA)∩(?UB)是()A．{2,4,6,8,9}B．{2,4,6,8,9,10}C．{1,2,6,8,9,10}D．{4,6,8,10}【答案】D【解析】由題意，集合A＝{2,3,5,7}，則?UA＝{1,4,6,8,9,10}和集合?UB＝{2,4,6,8,10}，∴(?UA)∩(?UB)＝{4,6,8,10}，故選D.8．設(shè)M，P是兩個非空集合，定義M與P的差集M－P＝{x|x∈M且x?P}，則M－(M－P)等于()A．PB．MC．M∩PD．M∪P【答案】C【解析】由題意，作出Venn圖，如圖所示：可得M－(M－P)=M∩P，故選C.9．設(shè)集合，，那么“或”是“”的（）A．充分不必要條件B．必要不充分條件C．充要條件D．既不充分也不必要條件【答案】B【解析】或，即，，即．∴或，或推不出.10．已知，，且是的必要不充分條件，則實(shí)數(shù)的取值范圍為（）A．B．C．或D．或【答案】B【解析】∵，是的必要不充分條件，所以由能推出，而由推不出，，故選B．11．全稱命題“”的否定是（）A.B.C．D.【答案】B【解析】本題中給出的命題是全稱量詞命題，它的否定是存在量詞命題.12．三個數(shù)不全為零的充要條件是（）Ａ．都不是零 Ｂ．中至多一個是零Ｃ．中只有一個為零 Ｄ．中至少一個不是零【答案】Ｄ【解析】主要考查充要條件的概念及其判定方法。三個數(shù)不全為零的充要條件是中至少一個不是零。二、填空題13．設(shè)全集是實(shí)數(shù)集R，M＝{x|－2≤x≤2}，N＝{x|x<1}，則?R(M∩N)＝________.【答案】{x|x<－2或x≥1}【解析】由題意，集合M＝{x|－2≤x≤2}，N＝{x|x<1}，則M∩N＝{x|－2≤x<1},所以?R(M∩N)＝{x|x<－2或x≥1}.14．已知集合，，且，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是______________________.【答案】【解析】在數(shù)軸上表示出集合和集合,要使，只有.15．關(guān)于x的方程m2x2-(m+1)x+2=0的所有根的和為2的充要條件是_____.【答案】【解析】當(dāng)m=0時(shí)，方程為-x+2=0,解得x=2；當(dāng)m≠0時(shí)，方程為一元二次方程，設(shè)x1，x2是方程的解，則x1+x2=，若x1+x2=2，解方程，得m=或1當(dāng)m=或1時(shí)，<0,即當(dāng)m=或1時(shí)，方程無解.故當(dāng)m=0時(shí)符合題意.16．對任意實(shí)數(shù)a，b，c，給出下列命題：①“a＝b”是“ac＝bc”的充要條件；②“a>b”是“a2>b2”的充分條件；③“a<5”是“a<3”的必要條件；④“a＋5是無理數(shù)”是“a是無理數(shù)”的充要條件．其中真命題的序號為________．【答案】③④【解析】對于①，因?yàn)椤啊睍r(shí)成立，時(shí)，不一定成立，所以“”是“”的的充分不必要條件，故①錯，對于②，時(shí)，;，時(shí)，，所以“”是“”的的既不充分也不必要條件，故②錯，對于③，因?yàn)椤啊睍r(shí)一定有“”成立，所以“”是“”的必要條件，③正確；對于④“是無理數(shù)”是“是無理數(shù)”的充要條件，④正確，故答案為③④．三、解答題17．設(shè)全集為R，集合A＝{x|3≤x<7}，B＝{x|2<x<6}，求?R(A∪B)，?R(A∩B)，(?RA)∩B，A∪(?RB)．【答案】見解析【解析】解：如圖所示．∴A∪B＝{x|2<x<7}，A∩B＝{x|3≤x<6}．∴?R(A∪B)＝{x|x≤2或x≥7}，?R(A∩B)＝{x|x≥6或x<3}．又∵?RA＝{x|x<3或x≥7}，∴(?RA)∩B＝{x|2<x<3}．又∵?RB＝{x|x≤2或x≥6}，∴A∪(?RB)＝{x|x≤2或x≥3}．18．已知A＝{a－1,2a2＋5a＋1，a2＋1}，且－2∈A，求a的值．【答案】a＝－3【解析】由題意，因?yàn)椋?∈A且a2＋1≥1，∴a2＋1≠－2.從而有a－1＝－2或2a2＋5a＋1＝－2，解得a＝－32或a當(dāng)a＝－32時(shí)，a－1＝－52，2a2＋5a2＋1＝134當(dāng)a＝－1時(shí)，a－1＝2a2＋5a＋1＝－2，故a＝－1應(yīng)舍去．所以a＝－3219．設(shè)集合．（1）若，求實(shí)數(shù)的值；（2）若，求實(shí)數(shù)的取值范圍．【答案】（1）或；（2）或.【解析】（1）集合，若，則是方程的實(shí)數(shù)根，可得：，解得或；（2）∵，∴，當(dāng)時(shí)，方程無實(shí)數(shù)根，即解得：或；當(dāng)時(shí)，方程有實(shí)數(shù)根，若只有一個實(shí)數(shù)根，，解得：．若只有兩個實(shí)數(shù)根，x=1、x=2，,無解.綜上可得實(shí)數(shù)的取值范圍是{a|a≤-3或a＞}20．判斷下列命題是全稱量詞命題還是存在量詞命題，并寫出它們的否定：（1）p：對任意的x∈R，x2+x+1=0都成立；（2）p：?x∈R，x2+2x+5＞0．【答案】（1）全稱量詞命題；￢p：存在一個x∈R，使x2+x+1≠0成立，即“?x∈R，使x2+x+1≠0成立”；（2）存在量詞命題；￢p：對任意一個x都有x2+2x+5≤0，即“?x∈R，x2+2x+5≤0”．【解析】（1）由于命題中含有全稱量詞“任意的”，因而是全稱量詞命題；又由于“任意的”的否定為“存在一個”，因此，￢p：存在一個x∈R，使x2+x+1≠0成立，即“?x∈R，使x2+x+1≠0成立”；（2）由于“?x∈R”表示存在一個實(shí)數(shù)x，即命題中含有存在量詞“存在一個”，因而是存在量詞命題；又由于“存在一個”的否定為“任意一個”，因此，￢p：對任意一個x都有x2+2x+5≤0，即“?x∈R，x2+2x+5≤0”．21．求方程至少有一個負(fù)根的充要條件．【答案】．【解析】方程至少有一個負(fù)根等價(jià)于，解得?！兜谝徽录吓c常用邏輯用語》單元檢測試卷（五）一、單選題（總分48分，每題4分)1．已知集合M={x|1≤x＜3}，N={1，2}，則M∩N=（）A． B． C． D．2．下列元素與集合的關(guān)系表示正確的是()①N*；②?Z；③∈Q；④π∈QA．①② B．②③ C．①③ D．③④3．設(shè)命題，則為().A． B．C． D．4．已知全集U=R,集合M={x|-1≤x≤3},則?UM=()A．{x|-1<x<3}B．{x|-1≤x≤3}C．{x|x<-1或x>3}D．{x|x≤-1或x≥3}5．是的_________條件；（）A.必要不充分 B.充要C.充分不必要 D.既不充分也不必要6．設(shè)全集，，，則（）A． B． C． D．7．下列各式中，正確的個數(shù)是:①；②；③；④；⑤；⑥.A．1 B．2 C．3 D．48．已知集合A＝{x|y，x∈Z}，則集合A的真子集個數(shù)為（）A．32 B．4 C．5 D．319．已知M,N都是U的子集,則圖中的陰影部分表示()A．M∪NB．?U(M∪N)C．(?UM)∩ND．?U(M∩N)10．設(shè)M，P是兩個非空集合，定義M與P的差集M－P＝{x|x∈M且x?P}，則M－(M－P)等于()A．PB．MC．M∩PD．M∪P11．已知集合M滿足{1,2}?M{1,2,3,4,5}，那么這樣的集合M的個數(shù)為()A．5B．6C．7D．812．對于實(shí)數(shù)，“”是“”的A．充分不必要條件 B．必要不充分條件 C．充要條件 D．既不充分也不必要條件二、填空題（總分16分，每題4分)13．若，且，則的可能取值組成的集合中元素的個數(shù)為_____．14．已知集合，則A中元素的個數(shù)為_____.15．已知集合，，且，則實(shí)數(shù)的取值范圍是_________。16．有下列命題：①“若，則”的否命題；②“矩形的對角線相等”的否命題；③“若，則的解集是”的逆命題；④“若是無理數(shù)，則是無理數(shù)”的逆否命題．其中正確命題的序號是____________三、解答題（總分56分，17、18、19每題8分，20、21題10分，22每題12分.)17．已知集合，或．（1）若，求；（2）若，求實(shí)數(shù)的取值范圍．18．若A＝{3,5}，B＝{x|x2＋mx＋n＝0}，A∪B＝A，A∩B＝{5}，求m，n的值．19．已知全集，集合，.（1）求；（2）若，求實(shí)數(shù)的取值范圍.20．已知集合，．（1）當(dāng)時(shí)，求，；（2）若，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．21．已知集合，集合.(1)當(dāng)時(shí)，求；(2)設(shè)，若“”是“”的必要不充分條件，求實(shí)數(shù)的取值范圍.22．求證：方程有兩個同號且不相等的實(shí)根的充要條件是．【答案解析】一、單選題（總分48分，每題4分)1．已知集合M={x|1≤x＜3}，N={1，2}，則M∩N=（）A． B． C． D．【答案】B【解析】∵，∴．故選B．2．下列元素與集合的關(guān)系表示正確的是()①N*；②?Z；③∈Q；④π∈QA．①② B．②③ C．①③ D．③④【答案】B【解析】①不是正整數(shù)，∴N*錯誤；②是無理數(shù)，∴正確；③是有理數(shù)，∴正確；④π是無理數(shù)，∴π∈Q錯誤；∴表示正確的為②③．故選:B．3．設(shè)命題，則為().A． B．C． D．【答案】C【解析】命題，則為:,故選C.4．已知全集U=R,集合M={x|-1≤x≤3},則?UM=()A．{x|-1<x<3}B．{x|-1≤x≤3}C．{x|x<-1或x>3}D．{x|x≤-1或x≥3}【答案】C【解析】由題意，全集，集合，所以或，故選C.5．是的_________條件；（）A.必要不充分 B.充要C.充分不必要 D.既不充分也不必要【答案】C【解析】因?yàn)椋?，所以，是的充分不必要條件，故選C。6．設(shè)全集，，，則（）A． B． C． D．【答案】B【解析】全集，，，.故選B.7．下列各式中，正確的個數(shù)是:①；②；③；④；⑤；⑥.A．1 B．2 C．3 D．4【答案】B【解析】對①，集合與集合之間不能用符號，故①不正確；對②，由于集合兩個集合相等，任何集合都是本身的子集，故②正確；對③，空集是任何集合的子集，故③正確；對④，空集是不含任何元素的集合，而是含有1個元素的集合，故④不正確；對⑤，集合是數(shù)集，含有2個元素，集合是點(diǎn)集，只含1個元素，故⑤不正確；對⑥，元素與集合只能用或符號,故⑥不正確.8．已知集合A＝{x|y，x∈Z}，則集合A的真子集個數(shù)為（）A．32 B．4 C．5 D．31【答案】D【解析】因?yàn)榍?，所以，故集合的真子集個數(shù)為：.9．已知M,N都是U的子集,則圖中的陰影部分表示()A．M∪NB．?U(M∪N)C．(?UM)∩ND．?U(M∩N)【答案】B【解析】由題意，圖中非陰影部分所表示的集合是，所以圖中陰影部分所表示的集合為的補(bǔ)集，即圖中陰影部分所表示的集合為，故選B.10．設(shè)M，P是兩個非空集合，定義M與P的差集M－P＝{x|x∈M且x?P}，則M－(M－P)等于()A．PB．MC．M∩PD．M∪P【答案】C【解析】由題意，作出Venn圖，如圖所示：可得M－(M－P)=M∩P，故選C.11．已知集合M滿足{1,2}?M{1,2,3,4,5}，那么這樣的集合M的個數(shù)為()A．5B．6C．7D．8【答案】C【解析】根據(jù)題意，M集合一定含有元素1,2，且為集合{1,2,3,4,5}的真子集，所以集合M的個數(shù)為23－1＝7個,故選C.12．對于實(shí)數(shù)，“”是“”的A．充分不必要條件 B．必要不充分條件 C．充要條件 D．既不充分也不必要條件【答案】B【解析】主要考查不等式的性質(zhì)．當(dāng)c=0時(shí)顯然左邊無法推導(dǎo)出右邊，但右邊可以推出左邊。故選B.二、填空題（總分16分，每題4分)13．若，且，則的可能取值組成的集合中元素的個數(shù)為_____．【答案】3【解析】當(dāng)時(shí)，；當(dāng)；當(dāng)；當(dāng)，故的可能取值組成的集合中元素的個數(shù)為3.14．已知集合，則A中元素的個數(shù)為_____.【答案】9【解析】法一：將滿足的整數(shù)全部列舉出來，即，共有9個.法二：根據(jù)集合的元素特征及圓的方程，在坐標(biāo)系中作出圖形，如圖所示，易知在圓中有9個整點(diǎn)，即為集合的元素個數(shù).15．已知集合，，且，則實(shí)數(shù)的取值范圍是_________?！敬鸢浮?【解析】由題意可得：，據(jù)此結(jié)合題意可得：，即，即實(shí)數(shù)的取值范圍是.16．有下列命題：①“若，則”的否命題；②“矩形的對角線相等”的否命題；③“若，則的解集是”的逆命題；④“若是無理數(shù)，則是無理數(shù)”的逆否命題．其中正確命題的序號是____________【答案】①③④【解析】對于①“若，則”的逆命題為“若，則”故逆命題為真命題，則否命題也為真，故①正確；對于②“矩形的對角線相等”的逆命題為“對角線相等的四邊形是矩形”為假命題，故其逆命題也為假，故②錯誤；對于③其逆命題為：若的解集是，則，當(dāng)該不等式解集為時(shí)，1.時(shí)，不合題意，2.解得，故逆命題為真，即③正確；對于④，原命題為真，故逆否命題也為真，故④正確，即正確的序號為①③④，故答案為①③④.三、解答題（總分56分，17、18、19每題8分，20、21題10分，22每題12分.)17．已知集合，或．（1）若，求；（2）若，求實(shí)數(shù)的取值范圍．【答案】（1）；（2）.【解析】（1）當(dāng)時(shí)，，，所以；（2）因?yàn)?，所以，解得?18．若A＝{3,5}，B＝{x|x2＋mx＋n＝0}，A∪B＝A，A∩B＝{5}，求m，n的值．【答案】【解析】解：∵A∪B＝