高考數(shù)學(xué)理科二輪復(fù)習(xí)資料（全套）

./高考數(shù)學(xué)理科二輪復(fù)習(xí)資料全套一、集合與常用邏輯用語〔理科數(shù)學(xué)1.集合<1>集合的運算性質(zhì)：①A∪B＝A?B?A；②A∩B＝B?B?A；③A?B??UA??UB.<2>子集、真子集個數(shù)計算公式：對于含有n個元素的有限集合M,其子集、真子集、非空子集、非空真子集的個數(shù)依次為2n,2n－1,2n－1,2n－2.<3>數(shù)軸和Venn圖是進行交、并、補運算的有力工具,在具體計算時不要忘記集合本身和空集這兩種特殊情況.補集思想常運用于解決否定型或正面較復(fù)雜的有關(guān)問題.2.四種命題及其相互關(guān)系<1><2>互為逆否命題的兩命題同真同假.3.含有邏輯聯(lián)結(jié)詞的命題的真假<1>命題p∨q：若p、q中至少有一個為真,則命題為真命題,簡記為：一真則真.<2>命題p∧q：若p、q中至少有一個為假,則命題為假命題,p、q同為真時,命題才為真命題,簡記為：一假則假,同真則真.<3>命題綈p與命題p真假相反.4.全稱命題、特稱命題及其否定<1>全稱命題p：?x∈M,p<x>,其否定為特稱命題綈p：?x0∈M,綈p<x0>.<2>特稱命題p：?x0∈M,p<x0>,其否定為全稱命題綈p：?x∈M,綈p<x>.5.充分條件和必要條件<1>若p?q且q?p,則p是q的充分不必要條件；<2>若p?q且q?p,則稱p是q的必要不充分條件；<3>若p?q,則稱p是q的充要條件；<4>若p?q且q?p,則稱p是q的既不充分也不必要條件.1.描述法表示集合時,一定要理解好集合的含義——抓住集合的代表元素.如：{x|y＝lgx}——函數(shù)的定義域；{y|y＝lgx}——函數(shù)的值域；{<x,y>|y＝lgx}——函數(shù)圖象上的點集.2.易混淆0,?,{0}：0是一個實數(shù)；?是一個集合,它含有0個元素；{0}是以0為元素的單元素集合,但是0??,而??{0}.3.集合的元素具有確定性、無序性和互異性,在解決有關(guān)集合的問題時,尤其要注意元素的互異性.4.空集是任何集合的子集.由條件A?B,A∩B＝A,A∪B＝B求解集合A時,務(wù)必分析研究A＝?的情況.5.區(qū)分命題的否定與否命題,已知命題為"若p,則q",則該命題的否定為"若p,則綈q",其否命題為"若綈p,則綈q".6.在對全稱命題和特稱命題進行否定時,不要忽視對量詞的改變.7.對充分、必要條件問題,首先要弄清誰是條件,誰是結(jié)論.1.已知集合A＝{1,3,eq\r<m>},B＝{1,m},A∪B＝A,則m等于<>A.0或eq\r<3>B.0或3C.1或eq\r<3>D.1或3答案B解析∵A∪B＝A,∴B?A,∴m∈{1,3,eq\r<m>},∴m＝1或m＝3或m＝eq\r<m>,由集合中元素的互異性易知m＝0或m＝3.2.設(shè)集合A＝{x|1<x<2},B＝{x|x<a},若A?B,則a的取值范圍是<>A.{a|a≥2}B.{a|a≤1}C.{a|a≥1}D.{a|a≤2}答案A解析若A?B,則a≥2,故選A.3.已知集合M＝{x|－3<x≤5},N＝{x|x<－5或x>5},則M∪N等于<>A.{x|－3<x<5} B.{x|－5<x<5}C.{x|x<－5或x>－3} D.{x|x<－3或x>5}答案C解析在數(shù)軸上表示集合M、N,則M∪N＝{x|x<－5或x>－3},故選C.4.滿足條件{a}?A?{a,b,c}的所有集合A的個數(shù)是<>A.1B.2C.3D.4答案D解析滿足題意的集合A可以為{a},{a,b},{a,c},{a,b,c},共4個.5.已知集合U＝R<R是實數(shù)集>,A＝{x|－1≤x≤1},B＝{x|x2－2x<0},則A∪<?UB>等于<>A.[－1,0]B.[1,2]C.[0,1]D.<－∞,1]∪[2,＋∞>答案D解析B＝{x|x2－2x<0}＝<0,2>,A∪<?UB>＝[－1,1]∪<－∞,0]∪[2,＋∞>＝<－∞,1]∪[2,＋∞>,故選D.6.下列命題正確的是<><1>命題"?x∈R,2x>0"的否定是"?x0∈R,2≤0"；<2>l為直線,α,β為兩個不同的平面,若l⊥β,α⊥β,則l∥α；<3>給定命題p,q,若"p∧q為真命題",則綈p是假命題；<4>"sinα＝eq\f<1,2>"是"α＝eq\f<π,6>"的充分不必要條件.A.<1><4>B.<2><3>C.<1><3>D.<3><4>答案C解析命題"?x∈R,2x>0"的否定是"?x0∈R,2≤0"；l為直線,α,β為兩個不同的平面,若l⊥β,α⊥β,則l∥α或l?α；給定命題p,q,若"p∧q為真命題"；則p且q是真命題,綈p且綈q是假命題；"sinα＝eq\f<1,2>"是"α＝eq\f<π,6>"的必要不充分條件,因此<1><3>為真,選C.7.設(shè)命題p：?x0∈R,使xeq\o\al<2,0>＋2x0＋a＝0<a∈R>,則使得p為真命題的一個充分不必要條件是<>A.a>－2B.a<2C.a≤1D.a<0答案D解析設(shè)f<x>＝x2＋2x＋a,則p為真命題?f<x>在R內(nèi)有零點?Δ≥0?a≤1.8.已知命題p：在△ABC中,若AB<BC,則sinC<sinA；命題q：已知a∈R,則"a>1"是"eq\f<1,a><1"的必要不充分條件.在命題p∧q,p∨q,<綈p>∨q,<綈p>∧q中,真命題的個數(shù)為<>A.1B.2C.3D.4答案A解析由題意得,在△ABC中,若AB<BC,即c<a,由正弦定理可得sinC<sinA,所以p真,又已知a∈R,則"a>1"是"eq\f<1,a><1"的充分不必要條件,所以q假,只有p∨q為真命題,故選A.9.已知命題p：?m∈[0,1],x＋eq\f<1,x>≥2m,則綈p為<>A.?m∈[0,1],x＋eq\f<1,x><2mB.?m0∈[0,1],x＋eq\f<1,x>≥2C.?m0∈<－∞,0>∪<1,＋∞>,x＋eq\f<1,x>≥2D.?m0∈[0,1],x＋eq\f<1,x><2答案D解析根據(jù)全稱命題與特稱命題的關(guān)系,可知命題p：?m∈[0,1],x＋eq\f<1,x>≥2m,則綈p為"?m0∈[0,1],x＋eq\f<1,x><2",故選D.10.下列結(jié)論正確的是________.<1>f<x>＝ax－1＋2<a>0,且a≠1>的圖象經(jīng)過定點<1,3>；<2>已知x＝log23,4y＝eq\f<8,3>,則x＋2y的值為3；<3>若f<x>＝x3＋ax－6,且f<－2>＝6,則f<2>＝18；<4>f<x>＝x<eq\f<1,1－2x>－eq\f<1,2>>為偶函數(shù)；<5>已知集合A＝{－1,1},B＝{x|mx＝1},且B?A,則m的值為1或－1.答案<1><2><4>解析<1>當(dāng)x＝1時,f<1>＝a0＋2＝1＋2＝3,則函數(shù)的圖象經(jīng)過定點<1,3>,故<1>正確；<2>已知x＝log23,4y＝eq\f<8,3>,則22y＝eq\f<8,3>,2y＝log2eq\f<8,3>,則x＋2y＝log23＋log2eq\f<8,3>＝log2<eq\f<8,3>×3>＝log28＝3,故<2>正確；<3>若f<x>＝x3＋ax－6,且f<－2>＝6,則<－2>3－2a－6＝6,即a＝－10,則f<2>＝23－2×10－6＝－18,故<3>錯誤；<4>函數(shù)的定義域為{x|x≠0},關(guān)于原點對稱,f<x>＝x<eq\f<1,1－2x>－eq\f<1,2>>＝x·eq\f<1＋2x,2<1－2x>>,則f<－x>＝－x·eq\f<1＋2－x,2<1－2－x>>＝－x·eq\f<2x＋1,2<2x－1>>＝x·eq\f<1＋2x,2<1－2x>>＝f<x>,即有f<x>為偶函數(shù),則f<x>＝x<eq\f<1,1－2x>－eq\f<1,2>>為偶函數(shù),故<4>正確；<5>已知集合A＝{－1,1},B＝{x|mx＝1},且B?A,當(dāng)m＝0時,B＝?,也滿足條件,故<5>錯誤,故正確的是<1><2><4>.11.已知M是不等式eq\f<ax＋10,ax－25>≤0的解集且5?M,則a的取值范圍是________________.答案<－∞,－2>∪[5,＋∞>解析若5∈M,則eq\f<5a＋10,5a－25>≤0,∴<a＋2><a－5>≤0且a≠5,∴－2≤a＜5,∴5?M時,a<－2或a≥5.12.若三個非零且互不相等的實數(shù)a,b,c滿足eq\f<1,a>＋eq\f<1,b>＝eq\f<2,c>,則稱a,b,c是調(diào)和的；若滿足a＋c＝2b,則稱a,b,c是等差的.若集合P中元素a,b,c既是調(diào)和的,又是等差的,則稱集合P為"好集",若集合M＝{x||x|≤2014,x∈Z},集合P＝{a,b,c}?M,則<1>"好集"P中的元素最大值為________；<2>"好集"P的個數(shù)為________.答案20121006解析因為a＝－2b,c＝4b,若集合P中元素a、b、c既是調(diào)和的,又是等差的,則eq\f<1,a>＋eq\f<1,b>＝eq\f<2,c>且a＋c＝2b,故滿足條件的"好集"為形如{－2b,b,4b}<b≠0>的形式,則－2014≤4b≤2014,解得－503≤b≤503,且b≠0,P中元素的最大值為4b＝4×503＝2012.符合條件的b值可取1006個,故"好集"P的個數(shù)為1006.13.設(shè)命題p：實數(shù)x滿足x2－4ax＋3a2<0,其中a<0；命題q：實數(shù)x滿足x2＋2x－8>0,若q是p的必要不充分條件,則實數(shù)a的取值范圍是________.答案<－∞,－4]解析由命題q：實數(shù)x滿足x2＋2x－8>0,得x<－4或x>2,由命題p：實數(shù)x滿足x2－4ax＋3a2<0,其中a<0,得<x－3a><x－a><0,∵a<0,∴3a<x<a,∵q是p的必要不充分條件,∴a≤－4,∴a∈<－∞,－4].14.已知命題p：eq\b\lc\|\rc\|<\a\vs4\al\co1<1－\f<x＋1,2>>>≤1,命題q：x2－2x＋1－m2<0<m>0>,若p是q的充分不必要條件,則實數(shù)m的取值范圍是________.答案<2,＋∞>解析∵eq\b\lc\|\rc\|<\a\vs4\al\co1<1－\f<x＋1,2>>>≤1?－1≤eq\f<x＋1,2>－1≤1?0≤eq\f<x＋1,2>≤2?－1≤x≤3,∴p：－1≤x≤3；∵x2－2x＋1－m2<0<m>0>?[x－<1－m>][x－<1＋m>]<0?1－m<x<1＋m,∴q：1－m<x<1＋m.∵p是q的充分不必要條件,∴[－1,3]是<1－m,1＋m>的真子集,則eq\b\lc\{\rc\<\a\vs4\al\co1<1－m<－1,,1＋m>3,>>解得m>2.二、函數(shù)與導(dǎo)數(shù)1．函數(shù)的定義域和值域<1>求函數(shù)定義域的類型和相應(yīng)方法①若已知函數(shù)的解析式,則函數(shù)的定義域是使解析式有意義的自變量的取值范圍；②若已知f<x>的定義域為[a,b],則f[g<x>]的定義域為不等式a≤g<x>≤b的解集；反之,已知f[g<x>]的定義域為[a,b],則f<x>的定義域為函數(shù)y＝g<x><x∈[a,b]>的值域；③在實際問題中應(yīng)使實際問題有意義．<2>常見函數(shù)的值域①一次函數(shù)y＝kx＋b<k≠0>的值域為R；②二次函數(shù)y＝ax2＋bx＋c<a≠0>：a>0時,值域為eq\b\lc\[\rc\><\a\vs4\al\co1<\f<4ac－b2,4a>,＋∞>>,a<0時,值域為eq\b\lc\<\rc\]<\a\vs4\al\co1<－∞,\f<4ac－b2,4a>>>；③反比例函數(shù)y＝eq\f<k,x><k≠0>的值域為{y∈R|y≠0}．2．函數(shù)的奇偶性、周期性<1>奇偶性是函數(shù)在其定義域上的整體性質(zhì),對于定義域內(nèi)的任意x<定義域關(guān)于原點對稱>,都有f<－x>＝－f<x>成立,則f<x>為奇函數(shù)<都有f<－x>＝f<x>成立,則f<x>為偶函數(shù)>．<2>周期性是函數(shù)在其定義域上的整體性質(zhì),一般地,對于函數(shù)f<x>,如果對于定義域內(nèi)的任意一個x的值：若f<x＋T>＝f<x><T≠0>,則f<x>是周期函數(shù),T是它的一個周期．3．關(guān)于函數(shù)周期性、對稱性的結(jié)論<1>函數(shù)的周期性①若函數(shù)f<x>滿足f<x＋a>＝f<x－a>,則f<x>為周期函數(shù),2a是它的一個周期．②設(shè)f<x>是R上的偶函數(shù),且圖象關(guān)于直線x＝a<a≠0>對稱,則f<x>是周期函數(shù),2a是它的一個周期．③設(shè)f<x>是R上的奇函數(shù),且圖象關(guān)于直線x＝a<a≠0>對稱,則f<x>是周期函數(shù),4a是它的一個周期．<2>函數(shù)圖象的對稱性①若函數(shù)y＝f<x>滿足f<a＋x>＝f<a－x>,即f<x>＝f<2a－x>,則f<x>的圖象關(guān)于直線x＝a對稱．②若函數(shù)y＝f<x>滿足f<a＋x>＝－f<a－x>,即f<x>＝－f<2a－x>,則f<x>的圖象關(guān)于點<a,0>對稱．③若函數(shù)y＝f<x>滿足f<a＋x>＝f<b－x>,則函數(shù)f<x>的圖象關(guān)于直線x＝eq\f<a＋b,2>對稱．4．函數(shù)的單調(diào)性函數(shù)的單調(diào)性是函數(shù)在定義域上的局部性質(zhì)．①單調(diào)性的定義的等價形式：設(shè)x1,x2∈[a,b],那么<x1－x2>[f<x1>－f<x2>]>0?eq\f<f<x1>－f<x2>,x1－x2>>0?f<x>在[a,b]上是增函數(shù)；<x1－x2>[f<x1>－f<x2>]<0?eq\f<f<x1>－f<x2>,x1－x2><0?f<x>在[a,b]上是減函數(shù)．②若函數(shù)f<x>和g<x>都是減函數(shù),則在公共定義域內(nèi),f<x>＋g<x>是減函數(shù)；若函數(shù)f<x>和g<x>都是增函數(shù),則在公共定義域內(nèi),f<x>＋g<x>是增函數(shù)；根據(jù)同增異減判斷復(fù)合函數(shù)y＝f[g<x>]的單調(diào)性．5．函數(shù)圖象的基本變換<1>平移變換：y＝f<x>eq\o<→,\s\up7<h>0,右移>,\s\do5<h<0,左移>>y＝f<x－h(huán)>,y＝f<x>eq\o<→,\s\up7<k>0,上移>,\s\do5<k<0,下移>>y＝f<x>＋k.<2>伸縮變換：y＝f<x>eq\o<→,\s\up7<0<ω<1,伸>,\s\do5<ω>1,縮>>y＝f<ωx>,y＝f<x>eq\o<→,\s\up7<0<A<1,縮>,\s\do5<A>1,伸>>y＝Af<x>．<3>對稱變換：y＝f<x>eq\o<→,\s\up7<x軸>>y＝－f<x>,y＝f<x>eq\o<→,\s\up7<y軸>>y＝f<－x>,y＝f<x>eq\o<→,\s\up7<原點>>y＝－f<－x>．6．準(zhǔn)確記憶指數(shù)函數(shù)與對數(shù)函數(shù)的基本性質(zhì)<1>定點：y＝ax<a>0,且a≠1>恒過<0,1>點；y＝logax<a>0,且a≠1>恒過<1,0>點．<2>單調(diào)性：當(dāng)a>1時,y＝ax在R上單調(diào)遞增；y＝logax在<0,＋∞>上單調(diào)遞增；當(dāng)0<a<1時,y＝ax在R上單調(diào)遞減；y＝logax在<0,＋∞>上單調(diào)遞減．7．函數(shù)與方程<1>零點定義：x0為函數(shù)f<x>的零點?f<x0>＝0?<x0,0>為f<x>的圖象與x軸的交點．<2>確定函數(shù)零點的三種常用方法①解方程判定法：即解方程f<x>＝0.②零點定理法：根據(jù)連續(xù)函數(shù)y＝f<x>滿足f<a>f<b><0,判斷函數(shù)在區(qū)間<a,b>內(nèi)存在零點．③數(shù)形結(jié)合法：尤其是方程兩端對應(yīng)的函數(shù)類型不同時多用此法求解．8．導(dǎo)數(shù)的幾何意義<1>f′<x0>的幾何意義：曲線y＝f<x>在點<x0,f<x0>>處的切線的斜率,該切線的方程為y－f<x0>＝f′<x0><x－x0>．<2>切點的兩大特征：①在曲線y＝f<x>上；②在切線上．9．利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性<1>求可導(dǎo)函數(shù)單調(diào)區(qū)間的一般步驟：①求函數(shù)f<x>的定義域；②求導(dǎo)函數(shù)f′<x>；③由f′<x>>0的解集確定函數(shù)f<x>的單調(diào)增區(qū)間,由f′<x><0的解集確定函數(shù)f<x>的單調(diào)減區(qū)間．<2>由函數(shù)的單調(diào)性求參數(shù)的取值范圍：①若可導(dǎo)函數(shù)f<x>在區(qū)間M上單調(diào)遞增,則f′<x>≥0<x∈M>恒成立；若可導(dǎo)函數(shù)f<x>在區(qū)間M上單調(diào)遞減,則f′<x>≤0<x∈M>恒成立；②若可導(dǎo)函數(shù)在某區(qū)間上存在單調(diào)遞增<減>區(qū)間,f′<x>>0<或f′<x><0>在該區(qū)間上存在解集；③若已知f<x>在區(qū)間I上的單調(diào)性,區(qū)間I中含有參數(shù)時,可先求出f<x>的單調(diào)區(qū)間,則I是其單調(diào)區(qū)間的子集．10．利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值與最值<1>求函數(shù)的極值的一般步驟：①確定函數(shù)的定義域；②解方程f′<x>＝0；③判斷f′<x>在方程f′<x>＝0的根x0兩側(cè)的符號變化：若左正右負(fù),則x0為極大值點；若左負(fù)右正,則x0為極小值點；若不變號,則x0不是極值點．<2>求函數(shù)f<x>在區(qū)間[a,b]上的最值的一般步驟：①求函數(shù)y＝f<x>在<a,b>內(nèi)的極值；②比較函數(shù)y＝f<x>的各極值與端點處的函數(shù)值f<a>、f<b>的大小,最大的一個是最大值,最小的一個是最小值．1．解決函數(shù)問題時要注意函數(shù)的定義域,要樹立定義域優(yōu)先原則．2．解決分段函數(shù)問題時,要注意與解析式對應(yīng)的自變量的取值范圍．3．求函數(shù)單調(diào)區(qū)間時,多個單調(diào)區(qū)間之間不能用符號"∪"和"或"連接,可用"及"連接或用","隔開．單調(diào)區(qū)間必須是"區(qū)間",而不能用集合或不等式代替．4．判斷函數(shù)的奇偶性,要注意定義域必須關(guān)于原點對稱,有時還要對函數(shù)式化簡整理,但必須注意使定義域不受影響．5．準(zhǔn)確理解基本初等函數(shù)的定義和性質(zhì)．如函數(shù)y＝ax<a>0,a≠1>的單調(diào)性忽視字母a的取值討論,忽視ax>0；對數(shù)函數(shù)y＝logax<a>0,a≠1>忽視真數(shù)與底數(shù)的限制條件．6．易混淆函數(shù)的零點和函數(shù)圖象與x軸的交點,不能把函數(shù)零點、方程的解、不等式解集的端點值進行準(zhǔn)確互化．7．已知可導(dǎo)函數(shù)f<x>在<a,b>上單調(diào)遞增<減>,則f′<x>≥0<≤0>對?x∈<a,b>恒成立,不能漏掉"＝"號,且需驗證"＝"不能恒成立；而已知可導(dǎo)函數(shù)f<x>的單調(diào)遞增<減>區(qū)間為<a,b>,則f′<x>＞0<＜0>的解集為<a,b>．8．f′<x>＝0的解不一定是函數(shù)f<x>的極值點．一定要檢驗在x＝x0的兩側(cè)f′<x>的符號是否發(fā)生變化,若變化,則為極值點；若不變化,則不是極值點．1．若函數(shù)f<x>＝eq\b\lc\{\rc\<\a\vs4\al\co1<2x＋2,x≤0,,2x－4,x>0,>>則f[f<1>]等于<>A．－10B．10C．－2D．2答案C解析由f[f<1>]＝f<21－4>＝f<－2>＝2×<－2>＋2＝－2,故選C.2．若函數(shù)f<x>＝x2－eq\f<1,2>lnx＋1在其定義域內(nèi)的一個子區(qū)間<k－1,k＋1>內(nèi)不是單調(diào)函數(shù),則實數(shù)k的取值范圍是<>A．[1,＋∞> B．[1,eq\f<3,2>>C．[1,2> D．[eq\f<3,2>,2>答案B解析因為f<x>的定義域為<0,＋∞>,y′＝2x－eq\f<1,2x>,由f′<x>＝0,得x＝eq\f<1,2>.利用圖象可得,eq\b\lc\{\rc\<\a\vs4\al\co1<k－1<\f<1,2><k＋1,,k－1≥0,>>解得1≤k<eq\f<3,2>,故選B.3．若函數(shù)f<x>＝eq\b\lc\{\rc\<\a\vs4\al\co1<<3－a>x－3,x≤7,,ax－6,x>7>>單調(diào)遞增,則實數(shù)a的取值范圍是<>A．<eq\f<9,4>,3> B．[eq\f<9,4>,3>C．<1,3> D．<2,3>答案D解析因為函數(shù)f<x>＝eq\b\lc\{\rc\<\a\vs4\al\co1<<3－a>x－3,x≤7,,ax－6,x>7>>單調(diào)遞增,所以1<a<3且由f<7><f<8>得,7<3－a>－3<a2,解得a<－9或a>2,所以實數(shù)a的取值范圍是<2,3>,故選D.4．函數(shù)y＝eq\f<x·2x,|x|>的圖象大致形狀是<>答案A解析y＝eq\b\lc\{\rc\<\a\vs4\al\co1<2x,x>0,,－2x,x<0,>>y＝2x在<0,＋∞>上單調(diào)遞增,且y＝2x＞0,排除B,D；又y＝－2x在<－∞,0>上單調(diào)遞減,排除C.5．<2016·課標(biāo)全國甲>下列函數(shù)中,其定義域和值域分別與函數(shù)y＝10lgx的定義域和值域相同的是<>A．y＝xB．y＝lgxC．y＝2xD．y＝eq\f<1,\r<x>>答案D解析函數(shù)y＝10lgx的定義域為{x|x>0},值域為{y|y>0},所以與其定義域和值域分別相同的函數(shù)為y＝eq\f<1,\r<x>>,故選D.6．已知定義在R上的奇函數(shù)f<x>滿足f<x＋2>＝－f<x>,且f<－1>＝2,則f<2017>的值是<>A．2B．0C．－1D．－2答案D解析由題意得f<x＋4>＝－f<x＋2>＝f<x>,所以函數(shù)是以T＝4的周期函數(shù),所以f<2017>＝f<1>＝－f<－1>＝－2,故選D.7．已知函數(shù)f<x>＝eq\b\lc\<\rc\><\a\vs4\al\co1<\f<1,5>>>x－log3x,若x0是函數(shù)y＝f<x>的零點,且0＜x1＜x0,則f<x1>的值<>A．恒為正值 B．等于0C．恒為負(fù)值 D．不大于0答案A解析由題意知f<x>為<0,＋∞>上的減函數(shù),又f<x0>＝0,x1＜x0,∴f<x1>＞f<x0>＝0,故選A.8．設(shè)a＝log32,b＝log52,c＝log23,則<>A．a(chǎn)>c>b B．b>c>aC．c>b>a D．c>a>b答案D解析易知log23>1,log32,log52∈<0,1>．在同一平面直角坐標(biāo)系中畫出函數(shù)y＝log3x與y＝log5x的圖象,觀察可知log32>log52.所以c>a>b.比較a,b的其他解法：log32>log3eq\r<3>＝eq\f<1,2>,log52<log5eq\r<5>＝eq\f<1,2>,得a>b；0<log23<log25,所以eq\f<1,log23>>eq\f<1,log25>,結(jié)合換底公式得log32>log52,即a＞b.9．若函數(shù)f<x>定義域為[－2,2],則函數(shù)y＝f<2x>·ln<x＋1>的定義域為________．答案<－1,1]解析由題意可得eq\b\lc\{\rc\<\a\vs4\al\co1<－2≤2x≤2,,x＋1>0,>>∴－1<x≤1,即函數(shù)y＝f<2x>·ln<x＋1>的定義域為<－1,1]．10．<2016·天津>已知函數(shù)f<x>＝<2x＋1>ex,f′<x>為f<x>的導(dǎo)函數(shù),則f′<0>的值為________．答案3解析因為f<x>＝<2x＋1>ex,所以f′<x>＝2ex＋<2x＋1>ex＝<2x＋3>ex,所以f′<0>＝3e0＝3.11．設(shè)奇函數(shù)y＝f<x><x∈R>,滿足對任意t∈R都有f<t>＝f<1－t>,且x∈[0,eq\f<1,2>]時f<x>＝－x2,則f<3>＋f<－eq\f<3,2>>的值等于________．答案－eq\f<1,4>解析由于y＝f<x>為奇函數(shù),根據(jù)對任意t∈R都有f<t>＝f<1－t>,可得f<－t>＝f<1＋t>,所以函數(shù)y＝f<x>的一個周期為2,故f<3>＝f<1>＝f<0＋1>＝－f<0>＝0,f<－eq\f<3,2>>＝f<eq\f<1,2>>＝－eq\f<1,4>,∴f<3>＋f<－eq\f<3,2>>＝－eq\f<1,4>.12．函數(shù)f<x>＝x3＋ax2＋bx＋a2在x＝1處有極小值10,則a＋b的值為________．答案－7解析∵f′<x>＝3x2＋2ax＋b,由已知可得eq\b\lc\{\rc\<\a\vs4\al\co1<f′<1>＝3＋2a＋b＝0,,f<1>＝1＋a＋b＋a2＝10,>>解得a＝4,b＝－11或a＝－3,b＝3,經(jīng)驗證,a＝4,b＝－11符合題意,故a＋b＝－7.13．已知函數(shù)f<x>＝eq\f<x＋1,ex><e為自然對數(shù)的底數(shù)>．<1>求函數(shù)f<x>的單調(diào)區(qū)間；<2>設(shè)函數(shù)φ<x>＝xf<x>＋tf′<x>＋eq\f<1,ex>,存在實數(shù)x1,x2∈[0,1],使得2φ<x1><φ<x2>成立,求實數(shù)t的取值范圍．解<1>∵函數(shù)的定義域為R,f′<x>＝－eq\f<x,ex>,∴當(dāng)x<0時,f′<x>>0,當(dāng)x>0時,f′<x><0,∴f<x>在<－∞,0>上單調(diào)遞增,在<0,＋∞>上單調(diào)遞減．<2>存在x1,x2∈[0,1],使得2φ<x1><φ<x2>成立,則2[φ<x>]min<[φ<x>]max.∵φ<x>＝xf<x>＋tf′<x>＋e－x＝eq\f<x2＋<1－t>x＋1,ex>,∴φ′<x>＝eq\f<－x2＋<1＋t>x－t,ex>＝－eq\f<<x－t><x－1>,ex>.①當(dāng)t≥1時,φ′<x>≤0,φ<x>在[0,1]上單調(diào)遞減,∴2φ<1><φ<0>,即t>3－eq\f<e,2>>1；②當(dāng)t≤0時,φ′<x>>0,φ<x>在[0,1]上單調(diào)遞增,∴2φ<0><φ<1>,即t<3－2e<0；③當(dāng)0<t<1時,若x∈[0,t>,φ′<x><0,φ<x>在[0,t>上單調(diào)遞減,若t∈<t,1],φ′<x>>0,φ<x>在<t,1>上單調(diào)遞增,∴2φ<t><max{φ<0>,φ<1>},即2·eq\f<t＋1,et><max{1,eq\f<3－t,e>}．<*>由<1>知,g<t>＝2·eq\f<t＋1,et>在[0,1]上單調(diào)遞減,故eq\f<4,e>≤2·eq\f<t＋1,et>≤2,而eq\f<2,e>≤eq\f<3－t,e>≤eq\f<3,e>,∴不等式<*>無解．綜上所述,存在t∈<－∞,3－2e>∪<3－eq\f<e,2>,＋∞>,使得命題成立．三、三角函數(shù)、平面向量1.準(zhǔn)確記憶六組誘導(dǎo)公式對于"eq\f<kπ,2>±α,k∈Z"的三角函數(shù)值,與α角的三角函數(shù)值的關(guān)系可按口訣記憶：奇變偶不變,符號看象限.2.同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式sin2α＋cos2α＝1,tanα＝eq\f<sinα,cosα><cosα≠0>.3.兩角和與差的正弦、余弦、正切公式<1>sin<α±β>＝sinαcosβ±cosαsinβ.<2>cos<α±β>＝cosαcosβ?sinαsinβ.<3>tan<α±β>＝eq\f<tanα±tanβ,1?tanαtanβ>.<4>asinα＋bcosα＝eq\r<a2＋b2>sin<α＋φ><其中tanφ＝eq\f<b,a>>.4.二倍角的正弦、余弦、正切公式<1>sin2α＝2sinαcosα.<2>cos2α＝cos2α－sin2α＝2cos2α－1＝1－2sin2α.<3>tan2α＝eq\f<2tanα,1－tan2α>.5.三種三角函數(shù)的性質(zhì)函數(shù)y＝sinxy＝cosxy＝tanx圖象單調(diào)性在[－eq\f<π,2>＋2kπ,eq\f<π,2>＋2kπ]<k∈Z>上單調(diào)遞增；在[eq\f<π,2>＋2kπ,eq\f<3π,2>＋2kπ]<k∈Z>上單調(diào)遞減在[－π＋2kπ,2kπ]<k∈Z>上單調(diào)遞增；在[2kπ,π＋2kπ]<k∈Z>上單調(diào)遞減在<－eq\f<π,2>＋kπ,eq\f<π,2>＋kπ><k∈Z>上單調(diào)遞增對稱性對稱中心：<kπ,0><k∈Z>；對稱軸：x＝eq\f<π,2>＋kπ<k∈Z>對稱中心：<eq\f<π,2>＋kπ,0><k∈Z>；對稱軸：x＝kπ<k∈Z>對稱中心：<eq\f<kπ,2>,0><k∈Z>6.函數(shù)y＝Asin<ωx＋φ><ω>0,A>0>的圖象<1>"五點法"作圖：設(shè)z＝ωx＋φ,令z＝0,eq\f<π,2>,π,eq\f<3π,2>,2π,求出相應(yīng)的x的值與y的值,描點、連線可得.<2>由三角函數(shù)的圖象確定解析式時,一般利用五點中的零點或最值點作為解題突破口.<3>圖象變換：y＝sinxeq\o<→,\s\up7<向左<φ>0>或向右<φ<0>>,\s\do5<平移|φ|個單位>>y＝sin<x＋φ>eq\o<→,\s\up10<橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼腬f<1,ω><ω>0>倍>,\s\do5<縱坐標(biāo)不變>>y＝sin<ωx＋φ>eq\o<→,\s\up7<縱坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼腁<A>0>倍>,\s\do5<橫坐標(biāo)不變>>y＝Asin<ωx＋φ>.7.正弦定理及其變形eq\f<a,sinA>＝eq\f<b,sinB>＝eq\f<c,sinC>＝2R<2R為△ABC外接圓的直徑>.變形：a＝2RsinA,b＝2RsinB,c＝2RsinC.sinA＝eq\f<a,2R>,sinB＝eq\f<b,2R>,sinC＝eq\f<c,2R>.a∶b∶c＝sinA∶sinB∶sinC.8.余弦定理及其推論、變形a2＝b2＋c2－2bccosA,b2＝a2＋c2－2accosB,c2＝a2＋b2－2abcosC.推論：cosA＝eq\f<b2＋c2－a2,2bc>,cosB＝eq\f<a2＋c2－b2,2ac>,cosC＝eq\f<a2＋b2－c2,2ab>.變形：b2＋c2－a2＝2bccosA,a2＋c2－b2＝2accosB,a2＋b2－c2＝2abcosC.9.面積公式S△ABC＝eq\f<1,2>bcsinA＝eq\f<1,2>acsinB＝eq\f<1,2>absinC.10.解三角形<1>已知兩角及一邊,利用正弦定理求解.<2>已知兩邊及一邊的對角,利用正弦定理或余弦定理求解,解的情況可能不唯一.<3>已知兩邊及其夾角,利用余弦定理求解.<4>已知三邊,利用余弦定理求解.11.平面向量的數(shù)量積<1>若a,b為非零向量,夾角為θ,則a·b＝|a||b|cosθ.<2>設(shè)a＝<x1,y1>,b＝<x2,y2>,則a·b＝x1x2＋y1y2.12.兩個非零向量平行、垂直的充要條件若a＝<x1,y1>,b＝<x2,y2>,則<1>a∥b?a＝λb<b≠0>?x1y2－x2y1＝0.<2>a⊥b?a·b＝0?x1x2＋y1y2＝0.13.利用數(shù)量積求長度<1>若a＝<x,y>,則|a|＝eq\r<a·a>＝eq\r<x2＋y2>.<2>若A<x1,y1>,B<x2,y2>,則|eq\o<AB,\s\up6<→>>|＝eq\r<<x2－x1>2＋<y2－y1>2>.14.利用數(shù)量積求夾角若a＝<x1,y1>,b＝<x2,y2>,θ為a與b的夾角,則cosθ＝eq\f<a·b,|a||b|>＝eq\f<x1x2＋y1y2,\r<x\o\al<2,1>＋y\o\al<2,1>>\r<x\o\al<2,2>＋y\o\al<2,2>>>.15.三角形"四心"向量形式的充要條件設(shè)O為△ABC所在平面上一點,角A,B,C所對的邊長分別為a,b,c,則<1>O為△ABC的外心?|eq\o<OA,\s\up6<→>>|＝|eq\o<OB,\s\up6<→>>|＝|eq\o<OC,\s\up6<→>>|＝eq\f<a,2sinA>.<2>O為△ABC的重心?eq\o<OA,\s\up6<→>>＋eq\o<OB,\s\up6<→>>＋eq\o<OC,\s\up6<→>>＝0.<3>O為△ABC的垂心?eq\o<OA,\s\up6<→>>·eq\o<OB,\s\up6<→>>＝eq\o<OB,\s\up6<→>>·eq\o<OC,\s\up6<→>>＝eq\o<OC,\s\up6<→>>·eq\o<OA,\s\up6<→>>.<4>O為△ABC的內(nèi)心?aeq\o<OA,\s\up6<→>>＋beq\o<OB,\s\up6<→>>＋ceq\o<OC,\s\up6<→>>＝0.1.利用同角三角函數(shù)的平方關(guān)系式求值時,不要忽視角的范圍,要先判斷函數(shù)值的符號.2.在求三角函數(shù)的值域<或最值>時,不要忽略x的取值范圍.3.求函數(shù)f<x>＝Asin<ωx＋φ>的單調(diào)區(qū)間時,要注意A與ω的符號,當(dāng)ω<0時,需把ω的符號化為正值后求解.4.三角函數(shù)圖象變換中,注意由y＝sinωx的圖象變換得y＝sin<ωx＋φ>時,平移量為eq\b\lc\|\rc\|<\a\vs4\al\co1<\f<φ,ω>>>,而不是φ.5.在已知兩邊和其中一邊的對角時,要注意檢驗解是否滿足"大邊對大角",避免增解.6.要特別注意零向量帶來的問題：0的模是0,方向任意,并不是沒有方向；0與任意非零向量平行.7.a·b>0是〈a,b〉為銳角的必要不充分條件；a·b<0是〈a,b〉為鈍角的必要不充分條件.1.2sin45°cos15°－sin30°的值等于<>A.eq\f<1,2>B.eq\f<\r<2>,2>C.eq\f<\r<3>,2>D.1答案C解析2sin45°cos15°－sin30°＝2sin45°cos15°－sin<45°－15°>＝2sin45°cos15°－<sin45°cos15°－cos45°sin15°>＝sin45°cos15°＋cos45°sin15°＝sin60°＝eq\f<\r<3>,2>.故選C.2.要得到函數(shù)y＝sin2x的圖象,可由函數(shù)y＝cos<2x－eq\f<π,3>><>A.向左平移eq\f<π,6>個單位長度得到B.向右平移eq\f<π,6>個單位長度得到C.向左平移eq\f<π,12>個單位長度得到D.向右平移eq\f<π,12>個單位長度得到答案D解析由于函數(shù)y＝sin2x＝cos<eq\f<π,2>－2x>＝cos<2x－eq\f<π,2>>＝cos[2<x－eq\f<π,12>>－eq\f<π,3>],所以可由函數(shù)y＝cos<2x－eq\f<π,3>>向右平移eq\f<π,12>個單位長度得到函數(shù)y＝sin2x的圖象,故選D.3.在△ABC中,內(nèi)角A,B,C所對的邊分別是a,b,c.若c2＝<a－b>2＋6,C＝eq\f<π,3>,則△ABC的面積是<>A.3B.eq\f<9\r<3>,2>C.eq\f<3\r<3>,2>D.3eq\r<3>答案C解析c2＝<a－b>2＋6,即c2＝a2＋b2－2ab＋6,①∵C＝eq\f<π,3>,由余弦定理得c2＝a2＋b2－ab,②由①和②得ab＝6,∴S△ABC＝eq\f<1,2>absinC＝eq\f<1,2>×6×eq\f<\r<3>,2>＝eq\f<3\r<3>,2>,故選C.4.<1＋tan18°><1＋tan27°>的值是<>A.eq\r<3>B.1＋eq\r<2>C.2D.2<tan18°＋tan27°>答案C解析由題意得,tan<18°＋27°>＝eq\f<tan18°＋tan27°,1－tan18°tan27°>,即eq\f<tan18°＋tan27°,1－tan18°tan27°>＝1,所以tan18°＋tan27°＝1－tan18°tan27°,所以<1＋tan18°><1＋tan27°>＝1＋tan18°＋tan27°＋tan18°tan27°＝2,故選C.5.設(shè)△ABC的內(nèi)角A,B,C所對的邊分別為a,b,c,若bcosC＋ccosB＝asinA,則△ABC的形狀為<>A.銳角三角形B.直角三角形C.鈍角三角形D.不確定答案B解析∵bcosC＋ccosB＝asinA,∴sinBcosC＋cosBsinC＝sin2A,∴sin<B＋C>＝sin2A,∴sinA＝1,∴A＝eq\f<π,2>,三角形為直角三角形.6.已知A,B,C是銳角△ABC的三個內(nèi)角,向量p＝<sinA,1>,q＝<1,－cosB>,則p與q的夾角是<>A.銳角B.鈍角C.直角D.不確定答案A解析∵A、B、C是銳角△ABC的三個內(nèi)角,∴A＋B>eq\f<π,2>,即A>eq\f<π,2>－B>0,∴sinA>sin<eq\f<π,2>－B>＝cosB,∴p·q＝sinA－cosB>0.再根據(jù)p,q的坐標(biāo)可得p,q不共線,故p與q的夾角為銳角.7.f<x>＝eq\f<1,2>sin<2x－eq\f<π,3>>＋eq\f<\r<3>,2>cos<2x－eq\f<π,3>>是<>A.最小正周期為2π的偶函數(shù) B.最小正周期為2π的奇函數(shù)C.最小正周期為π的奇函數(shù) D.最小正周期為π的偶函數(shù)答案C解析f<x>＝eq\f<1,2>sin<2x－eq\f<π,3>>＋eq\f<\r<3>,2>cos<2x－eq\f<π,3>>＝sin<2x－eq\f<π,3>＋eq\f<π,3>>＝sin2x,是最小正周期為π的奇函數(shù),故選C.8.已知a,b為同一平面內(nèi)的兩個向量,且a＝<1,2>,|b|＝eq\f<1,2>|a|,若a＋2b與2a－b垂直,則a與b的夾角為<>A.0B.eq\f<π,4>C.eq\f<2π,3>D.π答案D解析|b|＝eq\f<1,2>|a|＝eq\f<\r<5>,2>,而<a＋2b>·<2a－b>＝0?2a2－2b2＋3b·a＝0?b·a＝－eq\f<5,2>,從而cos〈b,a〉＝eq\f<b·a,|b|·|a|>＝－1,〈b,a〉＝π,故選D.9.在△ABC中,內(nèi)角A,B,C所對的邊分別是a,b,c有下列命題：①若A>B>C,則sinA>sinB>sinC；②若eq\f<cosA,a>＝eq\f<cosB,b>＝eq\f<cosC,c>,則△ABC為等邊三角形；③若sin2A＝sin2B,則△ABC為等腰三角形；④若<1＋tanA><1＋tanB>＝2,則△ABC為鈍角三角形；⑤存在A,B,C使得tanAtanBtanC<tanA＋tanB＋tanC成立.其中正確的命題為________.<寫出所有正確命題的序號>.答案①②④解析若A>B>C,則a>b>c?sinA>sinB>sinC；若eq\f<cosA,a>＝eq\f<cosB,b>＝eq\f<cosC,c>,則eq\f<cosA,sinA>＝eq\f<cosB,sinB>?sin<A－B>＝0?A＝B?a＝b,同理可得a＝c,所以△ABC為等邊三角形；若sin2A＝sin2B,則2A＝2B或2A＋2B＝π,因此△ABC為等腰或直角三角形；若<1＋tanA><1＋tanB>＝2,則tanA＋tanB＝1－tanAtanB,因此tan<A＋B>＝1?C＝eq\f<3π,4>,△ABC為鈍角三角形；在△ABC中,tanAtanBtanC＝tanA＋tanB＋tanC恒成立,因此正確的命題為①②④.10.若△ABC的三邊a,b,c及面積S滿足S＝a2－<b－c>2,則sinA＝________.答案eq\f<8,17>解析由余弦定理得S＝a2－<b－c>2＝2bc－2bccosA＝eq\f<1,2>bcsinA,所以sinA＋4cosA＝4,由sin2A＋cos2A＝1,解得sin2A＋<1－eq\f<sinA,4>>2＝1,sinA＝eq\f<8,17><0舍去>.11.若tanθ＝3,則cos2θ＋sinθcosθ＝________.答案eq\f<2,5>解析∵tanθ＝3,∴cos2θ＋sinθcosθ＝eq\f<cos2θ＋sinθcosθ,sin2θ＋cos2θ>＝eq\f<1＋tanθ,tan2θ＋1>＝eq\f<1＋3,32＋1>＝eq\f<2,5>.12.已知單位向量a,b,c,且a⊥b,若c＝ta＋<1－t>b,則實數(shù)t的值為________.答案1或0解析c＝ta＋<1－t>b?c2＝t2＋<1－t>2＝|c|2＝1?t＝0或t＝1.13.在△ABC中,角A,B,C的對邊分別為a,b,c,且滿足bcosA＝<2c＋a>cos<A＋C>.<1>求角B的大?。?lt;2>求函數(shù)f<x>＝2sin2x＋sin<2x－B><x∈R>的最大值.解<1>由已知,bcosA＝<2c＋a>cos<π－B>,即sinBcosA＝－<2sinC＋sinA>cosB,即sin<A＋B>＝－2sinCcosB,則sinC＝－2sinCcosB,∴cosB＝－eq\f<1,2>,即B＝eq\f<2π,3>.<2>f<x>＝2sin2x＋sin2xcoseq\f<2π,3>－cos2xsineq\f<2π,3>＝eq\f<3,2>sin2x－eq\f<\r<3>,2>cos2x＝eq\r<3>sin<2x－eq\f<π,6>>,即x＝eq\f<π,3>＋kπ,k∈Z時,f<x>取得最大值eq\r<3>.14.已知函數(shù)f<x>＝2cosx<sinx－cosx>＋1.<1>求函數(shù)f<x>的最小正周期和單調(diào)增區(qū)間；<2>在△ABC中,角A,B,C的對邊分別是a,b,c,且銳角A滿足f<A>＝1,b＝eq\r<2>,c＝3,求a的值.解<1>f<x>＝2sinxcosx－2cos2x＋1＝sin2x－cos2x＝eq\r<2>sin<2x－eq\f<π,4>>,所以f<x>的最小正周期為π.由－eq\f<π,2>＋2kπ≤2x－eq\f<π,4>≤eq\f<π,2>＋2kπ<k∈Z>,得kπ－eq\f<π,8>≤x≤kπ＋eq\f<3π,8><k∈Z>,所以f<x>的單調(diào)增區(qū)間為[kπ－eq\f<π,8>,kπ＋eq\f<3π,8>]<k∈Z>.<2>由題意知f<A>＝eq\r<2>sin<2A－eq\f<π,4>>＝1,sin<2A－eq\f<π,4>>＝eq\f<\r<2>,2>,又∵A是銳角,∴2A－eq\f<π,4>＝eq\f<π,4>,∴A＝eq\f<π,4>,由余弦定理得a2＝2＋9－2×eq\r<2>×3×coseq\f<π,4>＝5,∴a＝eq\r<5>.四、數(shù)列1.牢記概念與公式等差數(shù)列、等比數(shù)列等差數(shù)列等比數(shù)列通項公式an＝a1＋<n－1>dan＝a1qn－1<q≠0>前n項和Sn＝eq\f<n<a1＋an>,2>＝na1＋eq\f<n<n－1>,2>d<1>q≠1,Sn＝eq\f<a1<1－qn>,1－q>＝eq\f<a1－anq,1－q><2>q＝1,Sn＝na12.活用定理與結(jié)論<1>等差、等比數(shù)列{an}的常用性質(zhì)等差數(shù)列等比數(shù)列性質(zhì)①若m,n,p,q∈N*,且m＋n＝p＋q,則am＋an＝ap＋aq②an＝am＋<n－m>d③Sm,S2m－Sm,S3m－S2m,…仍成等差數(shù)列①若m,n,p,q∈N*,且m＋n＝p＋q,則am·an＝ap·aq②an＝amqn－m③Sm,S2m－Sm,S3m－S2m,…仍成等比數(shù)列<Sn≠0><2>判斷等差數(shù)列的常用方法①定義法：an＋1－an＝d<常數(shù)><n∈N*>?{an}是等差數(shù)列.②通項公式法：an＝pn＋q<p,q為常數(shù),n∈N*>?{an}是等差數(shù)列.③中項公式法：2an＋1＝an＋an＋2<n∈N*>?{an}是等差數(shù)列.④前n項和公式法：Sn＝An2＋Bn<A,B為常數(shù),n∈N*>?{an}是等差數(shù)列.<3>判斷等比數(shù)列的三種常用方法①定義法：eq\f<an＋1,an>＝q<q是不為0的常數(shù),n∈N*>?{an}是等比數(shù)列.②通項公式法：an＝cqn<c,q均是不為0的常數(shù),n∈N*>?{an}是等比數(shù)列.③中項公式法：aeq\o\al<2,n＋1>＝an·an＋2<an·an＋1·an＋2≠0,n∈N*>?{an}是等比數(shù)列.3.數(shù)列求和的常用方法<1>等差數(shù)列或等比數(shù)列的求和,直接利用公式求和.<2>形如{an·bn}<其中{an}為等差數(shù)列,{bn}為等比數(shù)列>的數(shù)列,利用錯位相減法求和.<3>通項公式形如an＝eq\f<c,<an＋b1><an＋b2>><其中a,b1,b2,c為常數(shù)>用裂項相消法求和.<4>通項公式形如an＝<－1>n·n或an＝a·<－1>n<其中a為常數(shù),n∈N*>等正負(fù)項交叉的數(shù)列求和一般用并項法.并項時應(yīng)注意分n為奇數(shù)、偶數(shù)兩種情況討論.<5>分組求和法：分組求和法是解決通項公式可以寫成cn＝an＋bn形式的數(shù)列求和問題的方法,其中{an}與{bn}是等差<比>數(shù)列或一些可以直接求和的數(shù)列.<6>并項求和法：先將某些項放在一起求和,然后再求Sn.1.已知數(shù)列的前n項和求an,易忽視n＝1的情形,直接用Sn－Sn－1表示.事實上,當(dāng)n＝1時,a1＝S1；當(dāng)n≥2時,an＝Sn－Sn－1.2.易混淆幾何平均數(shù)與等比中項,正數(shù)a,b的等比中項是±eq\r<ab>.3.等差數(shù)列中不能熟練利用數(shù)列的性質(zhì)轉(zhuǎn)化已知條件,靈活整體代換進行基本運算.如等差數(shù)列{an}與{bn}的前n項和分別為Sn和Tn,已知eq\f<Sn,Tn>＝eq\f<n＋1,2n＋3>,求eq\f<an,bn>時,無法正確賦值求解.4.易忽視等比數(shù)列中公比q≠0,導(dǎo)致增解,易忽視等比數(shù)列的奇數(shù)項或偶數(shù)項符號相同造成增解.5.運用等比數(shù)列的前n項和公式時,易忘記分類討論.一定分q＝1和q≠1兩種情況進行討論.6.利用錯位相減法求和時,要注意尋找規(guī)律,不要漏掉第一項和最后一項.7.裂項相消法求和時,分裂前后的值要相等,如eq\f<1,n<n＋2>>≠eq\f<1,n>－eq\f<1,n＋2>,而是eq\f<1,n<n＋2>>＝eq\f<1,2>eq\b\lc\<\rc\><\a\vs4\al\co1<\f<1,n>－\f<1,n＋2>>>.8.通項中含有<－1>n的數(shù)列求和時,要把結(jié)果寫成分n為奇數(shù)和n為偶數(shù)兩種情況的分段形式.1.已知數(shù)列{an}的前n項和為Sn,若Sn＝2an－4<n∈N*>,則an等于<>A.2n＋1B.2nC.2n－1D.2n－2答案A解析an＋1＝Sn＋1－Sn＝2an＋1－4－<2an－4>?an＋1＝2an,再令n＝1,∴S1＝2a1－4?a1＝4,∴數(shù)列{an}是以4為首項,2為公比的等比數(shù)列,∴an＝4·2n－1＝2n＋1,故選A.2.已知數(shù)列{an}滿足an＋2＝an＋1－an,且a1＝2,a2＝3,Sn為數(shù)列{an}的前n項和,則S2016的值為<>A.0B.2C.5D.6答案A解析由題意得,a3＝a2－a1＝1,a4＝a3－a2＝－2,a5＝a4－a3＝－3,a6＝a5－a4＝－1,a7＝a6－a5＝2,∴數(shù)列{an}是周期為6的周期數(shù)列,而2016＝6·336,∴S2016＝336S6＝0,故選A.3.已知等差數(shù)列{an}的前n項和為Sn,若a5＝14－a6,則S10等于<>A.35B.70C.28D.14答案B解析a5＝14－a6?a5＋a6＝14,S10＝eq\f<10<a1＋a10>,2>＝eq\f<10<a5＋a6>,2>＝70.故選B.4.已知等差數(shù)列{an}的前n項和為Sn,a2＝4,S10＝110,則使eq\f<Sn＋63,an>取得最小值時n的值為<>A.7B.7或8C.eq\f<17,2>D.8答案D解析a2＝4,S10＝110?a1＋d＝4,10a1＋45d＝110?a1＝2,d＝2,因此eq\f<Sn＋63,an>＝eq\f<2n＋n<n－1>＋63,2n>＝eq\f<n,2>＋eq\f<63,2n>＋eq\f<1,2>,又n∈N*,所以當(dāng)n＝8時,eq\f<Sn＋63,an>取得最小值.5.等比數(shù)列{an}中,a3a5＝64,則a4等于<>A.8B.－8C.8或－8D.16答案C解析由等比數(shù)列的性質(zhì)知,a3a5＝aeq\o\al<2,4>,所以aeq\o\al<2,4>＝64,所以a4＝8或a4＝－8.6.已知等比數(shù)列{an}的前n項和為Sn,a1＋a3＝eq\f<5,2>,且a2＋a4＝eq\f<5,4>,則eq\f<Sn,an>等于<>A.4n－1B.4n－1C.2n－1D.2n－1答案D解析設(shè)等比數(shù)列{an}的公比為q,則eq\b\lc\{\rc\<\a\vs4\al\co1<a1<1＋q2>＝\f<5,2>,,a1q<1＋q2>＝\f<5,4>,>>解得eq\b\lc\{\rc\<\a\vs4\al\co1<a1＝2,,q＝\f<1,2>,>>∴eq\f<Sn,an>＝eq\f<\f<a1<1－qn>,1－q>,a1qn－1>＝eq\f<\f<2×<1－\f<1,2n>>,1－\f<1,2>>,2×<\f<1,2>>n－1>＝2n－1.故選D.7.設(shè)函數(shù)f<x>＝xa＋ax的導(dǎo)函數(shù)f′<x>＝2x＋2,則數(shù)列{eq\f<1,f<n>>}的前9項和是<>A.eq\f<29,36>B.eq\f<31,44>C.eq\f<36,55>D.eq\f<43,66>答案C解析由題意得函數(shù)f<x>＝xa＋ax的導(dǎo)函數(shù)f′<x>＝2x＋2,即axa－1＋a＝2x＋2,所以a＝2,即f<x>＝x2＋2x,eq\f<1,f<n>>＝eq\f<1,n<n＋2>>＝eq\f<1,2><eq\f<1,n>－eq\f<1,n＋2>>,所以Sn＝eq\f<1,2><1－eq\f<1,3>＋eq\f<1,2>－eq\f<1,4>＋eq\f<1,3>－eq\f<1,5>＋…＋eq\f<1,n>－eq\f<1,n＋2>>＝eq\f<1,2><1＋eq\f<1,2>－eq\f<1,n＋1>－eq\f<1,n＋2>>.則S9＝eq\f<1,2><1＋eq\f<1,2>－eq\f<1,10>－eq\f<1,11>>＝eq\f<36,55>,故選C.8.已知等差數(shù)列{an}的公差d≠0,且a1,a3,a13成等比數(shù)列,若a1＝1,Sn是數(shù)列{an}前n項的和,則eq\f<2Sn＋16,an＋3><n∈N*>的最小值為<>A.4B.3C.2eq\r<3>－2D.eq\f<9,2>答案A解析據(jù)題意由a1,a3,a13成等比數(shù)列可得<1＋2d>2＝1＋12d,解得d＝2,故an＝2n－1,Sn＝n2,因此eq\f<2Sn＋16,an＋3>＝eq\f<2n2＋16,2n＋2>＝eq\f<n2＋8,n＋1>＝eq\f<<n＋1>2－2<n＋1>＋9,n＋1>＝<n＋1>＋eq\f<9,n＋1>－2,據(jù)基本不等式知eq\f<2Sn＋16,an＋3>＝<n＋1>＋eq\f<9,n＋1>－2≥2eq\r<<n＋1>×\f<9,n＋1>>－2＝4,當(dāng)n＝2時取得最小值4.9.等比數(shù)列{an}中,a4＝2,a5＝5,則數(shù)列{lgan}的前8項和等于________.答案4解析由等比數(shù)列的性質(zhì)有a1a8＝a2a7＝a3a6＝a4a5,所以T8＝lga1＋lga2＋…＋lga8＝lg<a1a2…a8>＝lg<a4a5>4＝lg<10>4＝4.10.已知數(shù)列{an}滿足an＋1＝an＋2n且a1＝2,則數(shù)列{an}的通項公式an＝__________.答案n2－n＋2解析an＋1＝an＋2n,∴an＋1－an＝2n,采用累加法可得∴an＝<an－an－1>＋<an－1－an－2>＋…＋<a2－a1>＋a1,＝2<n－1>＋2<n－2>＋…＋2＋2＝n2－n＋2.11.若數(shù)列{an}滿足an＝3an－1＋2<n≥2,n∈N*>,a1＝1,則數(shù)列{an}的通項公式為an＝____________.答案2×3n－1－1解析設(shè)an＋λ＝3<an－1＋λ>,化簡得an＝3an－1＋2λ,∵an＝3an－1＋2,∴λ＝1,∴an＋1＝3<an－1＋1>,∵a1＝1,∴a1＋1＝2,∴數(shù)列{an＋1}是以2為首項,3為公比的等比數(shù)列,∴an＋1＝2×3n－1,∴an＝2×3n－1－1.12.數(shù)列1eq\f<1,3>,2eq\f<1,9>,3eq\f<1,27>,4eq\f<1,81>,5eq\f<1,243>,…的前n項之和等于________________.答案eq\f<n<n＋1>,2>＋eq\f<1,2>[1－<eq\f<1,3>>n]解析由數(shù)列各項可知通項公式為an＝n＋eq\f<1,3n>,由分組求和公式結(jié)合等差數(shù)列、等比數(shù)列求和公式可知前n項和為Sn＝eq\f<n<n＋1>,2>＋eq\f<1,2>[1－<eq\f<1,3>>n].13.設(shè)數(shù)列{an}的前n項和為Sn,a1＝1,an＋1＝λSn＋1<n∈N*,且λ≠－1>,且a1,2a2,a3＋3為等差數(shù)列{bn}的前三項.<1>求數(shù)列{an},{bn}的通項公式；<2>求數(shù)列{anbn}的前n項和.解<1>方法一∵an＋1＝λSn＋1<n∈N*>,∴an＝λSn－1＋1<n≥2>.∴an＋1－an＝λan,即an＋1＝<λ＋1>an<n≥2>,λ＋1≠0,又a1＝1,a2＝λS1＋1＝λ＋1,∴數(shù)列{an}為以1為首項,以λ＋1為公比的等比數(shù)列,∴a3＝<λ＋1>2,∴4<λ＋1>＝1＋<λ＋1>2＋3,整理得λ2－2λ＋1＝0,得λ＝1.∴an＝2n－1,bn＝1＋3<n－1>＝3n－2.方法二∵a1＝1,an＋1＝λSn＋1<n∈N*>,∴a2＝λS1＋1＝λ＋1,a3＝λS2＋1＝λ<1＋λ＋1>＋1＝λ2＋2λ＋1.∴4<λ＋1>＝1＋λ2＋2λ＋1＋3,整理得λ2－2λ＋1＝0,得λ＝1.∴an＋1＝Sn＋1<n∈N*>,∴an＝Sn－1＋1<n≥2>,∴an＋1－an＝an,即an＋1＝2an<n≥2>,又a1＝1,a2＝2,∴數(shù)列{an}為以1為首項,以2為公比的等比數(shù)列,∴an＝2n－1,bn＝1＋3<n－1>＝3n－2.<2>設(shè)數(shù)列{anbn}的前n項和為Tn,anbn＝<3n－2>·2n－1,∴Tn＝1·1＋4·21＋7·22＋…＋<3n－2>·2n－1. ①∴2Tn＝1·21＋4·22＋7·23＋…＋<3n－5>·2n－1＋<3n－2>·2n. ②①－②得－Tn＝1·1＋3·21＋3·22＋…＋3·2n－1－<3n－2>·2n＝1＋3·eq\f<2·<1－2n－1>,1－2>－<3n－2>·2n.整理得Tn＝<3n－5>·2n＋5.14.已知數(shù)列{an}的各項均為正數(shù),前n項和為Sn,且Sn＝eq\f<an<an＋1>,2><n∈N*>,<1>求證：數(shù)列{an}是等差數(shù)列；<2>設(shè)bn＝eq\f<1,Sn>,Tn＝b1＋b2＋…＋bn,若λ≤Tn對于任意n∈N*恒成立,求實數(shù)λ的取值范圍.<1>證明∵Sn＝eq\f<an<an＋1>,2><n∈N*>,①∴Sn－1＝eq\f<an－1<an－1＋1>,2><n≥2>. ②①－②得：an＝eq\f<a\o\al<2,n>＋an－a\o\al<2,n－1>－an－1,2><n≥2>,整理得：<an＋an－1><an－an－1>＝<an＋an－1>,∵數(shù)列{an}的各項均為正數(shù),∴an＋an－1≠0,∴an－an－1＝1<n≥2>.當(dāng)n＝1時,a1＝1,∴數(shù)列{an}是首項為1,公差為1的等差數(shù)列.<2>解由<1>得Sn＝eq\f<n2＋n,2>,∴bn＝eq\f<2,n2＋n>＝eq\f<2,n<n＋1>>＝2<eq\f<1,n>－eq\f<1,n＋1>>,∴Tn＝2[<1－eq\f<1,2>>＋<eq\f<1,2>－eq\f<1,3>>＋<eq\f<1,3>－eq\f<1,4>>＋…＋<eq\f<1,n>－eq\f<1,n＋1>>]＝2<1－eq\f<1,n＋1>>＝eq\f<2n,n＋1>,∵Tn＝eq\f<2,1＋\f<1,n>>,∴Tn單調(diào)遞增,∴Tn≥T1＝1,∴λ≤1.故λ的取值范圍為<－∞,1].五、不等式與線性規(guī)劃1.一元二次不等式的解法解一元二次不等式的步驟：一化<將二次項系數(shù)化為正數(shù)>；二判<判斷Δ的符號>；三解<解對應(yīng)的一元二次方程>；四寫<大于取兩邊,小于取中間>.解含有參數(shù)的一元二次不等式一般要分類討論,往往從以下幾個方面來考慮：①二次項系數(shù),它決定二次函數(shù)的開口方向；②判別式Δ,它決定根的情形,一般分Δ>0、Δ＝0、Δ<0三種情況；③在有根的條件下,要比較兩根的大小.2.一元二次不等式的恒成立問題<1>ax2＋bx＋c>0<a≠0>恒成立的條件是eq\b\lc\{\rc\<\a\vs4\al\co1<a>0,,Δ<0.>><2>ax2＋bx＋c<0<a≠0>恒成立的條件是eq\b\lc\{\rc\<\a\vs4\al\co1<a<0,,Δ<0.>>3.分式不等式eq\f<f<x>,g<x>>>0<<0>?f<x>g<x>>0<<0>；eq\f<f<x>,g<x>>≥0<≤0>?eq\b\lc\{\rc\<\a\vs4\al\co1<f<x>g<x>≥0<≤0>,,g<x>≠0.>>4.基本不等式<1>①a2＋b2≥2ab<a,b∈R>當(dāng)且僅當(dāng)a＝b時取等號.②eq\f<a＋b,2>≥eq\r<ab><a,b∈<0,＋∞>>,當(dāng)且僅當(dāng)a＝b時取等號.<2>幾個重要的不等式：①ab≤eq\b\lc\<\rc\><\a\vs4\al\co1<\f<a＋b,2>>>2<a,b∈R>；②eq\r<\f<a2＋b2,2>>≥eq\f<a＋b,2>≥eq\r<ab>≥eq\f<2ab,a＋b><a>0,b>0,當(dāng)a＝b時等號成立>.③a＋eq\f<1,a>≥2<a>0,當(dāng)a＝1時等號成立>；④2<a2＋b2>≥<a＋b>2<a,b∈R,當(dāng)a＝b時等號成立>.5.可行域的確定"線定界,點定域",即先畫出與不等式對應(yīng)的方程所表示的直線,然后代入特殊點的坐標(biāo),根據(jù)其符號確定不等式所表示的平面區(qū)域.6.線性規(guī)劃<1>線性目標(biāo)函數(shù)的最大值、最小值一般在可行域的頂點處取得；<2>線性目標(biāo)函數(shù)的最值也可在可行域的邊界上取得,這時滿足條件的最優(yōu)解有無數(shù)多個.1.不等式兩端同時乘以一個數(shù)或同時除以一個數(shù),不討論這個數(shù)的正負(fù),從而出錯.2.解形如一元二次不等式ax2＋bx＋c>0時,易忽視系數(shù)a的討論導(dǎo)致漏解或錯解,要注意分a>0,a<0進行討論.3.應(yīng)注意求解分式不等式時正確進行同解變形,不能把eq\f<f<x>,g<x>>≤0直接轉(zhuǎn)化為f<x>·g<x>≤0,而忽視g<x>≠0.4.容易忽視使用基本不等式求最值的條件,即"一正、二定、三相等"導(dǎo)致錯解,如求函數(shù)f<x>＝eq\r<x2＋2>＋eq\f<1,\r<x2＋2>>的最值,就不能利用基本不等式求解最值；求解函數(shù)y＝x＋eq\f<3,x><x<0>時應(yīng)先轉(zhuǎn)化為正數(shù)再求解.5.解線性規(guī)劃問題,要注意邊界的虛實；注意目標(biāo)函數(shù)中y的系數(shù)的正負(fù)；注意最優(yōu)整數(shù)解.6.求解線性規(guī)劃問題時,不能準(zhǔn)確把握目標(biāo)函數(shù)的幾何意義導(dǎo)致錯解,如eq\f<y－2,x＋2>是指已知區(qū)域內(nèi)的點<x,y>與點<－2,2>連線的斜率,而<x－1>2＋<y－1>2是指已知區(qū)域內(nèi)的點<x,y>到點<1,1>的距離的平方等.1.下列命題中正確的個數(shù)是<>①a>b,c>d?a＋c>b＋d；②a>b,c>d?eq\f<a,d>>eq\f<b,c>；③a2>b2?|a|>|b|；④a>b?eq\f<1,a><eq\f<1,b>.A.4B.3C.2D.1答案C解析①a>b,c>d?a＋c>b＋d正確,不等式的同向可加性；②a>b,c>d?eq\f<a,d>>eq\f<b,c>錯誤,反例：若a＝3,b＝2,c＝1,d＝－1,則eq\f<a,d>>eq\f<b,c>不成立；③a2>b2?|a|>|b|正確；④a>b?eq\f<1,a><eq\f<1,b>錯誤,反例：若a＝2,b＝－2,則eq\f<1,a><eq\f<1,b>不成立.故選C.2.設(shè)M＝2a<a－2>＋4,N＝<a－1><a－3>,則M,N的大小關(guān)系為<>A.M>NB.M<NC.M＝ND.不能確定答案A解析M－N＝2a<a－2>＋4－<a－1><a－3>＝a2＋1>0.故選A.3.若不等式2kx2＋kx－eq\f<3,8>≥0的解集為空集,則實數(shù)k的取值范圍是<>A.<－3,0>B.<－∞,－3>C.<－3,0]D.<－∞,－3>∪<0,＋∞>答案C解析由題意可知2kx2＋kx－eq\f<3,8><0恒成立,當(dāng)k＝0時成立,當(dāng)k≠0時需滿足eq\b\lc\{\rc\<\a\vs4\al\co1<k<0,,Δ<0,>>代入求得－3<k<0,所以實數(shù)k的取值范圍是<－3,0].4.<2016·XX>設(shè)p：實數(shù)x,y滿足<x－1>2＋<y－1>2≤2,q：實數(shù)x,y滿足eq\b\lc\{\rc\<\a\vs4\al\co1<y≥x－1,,y≥1－x,,y≤1,>>則p是q的<>A.必要不充分條件 B.充分不必要條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件答案A解析如圖,<x－1>2＋<y－1>2≤2,①表示圓心為<1,1>,半徑為eq\r<2>的圓內(nèi)區(qū)域的所有點<包括邊界>；eq\b\lc\{\rc\<\a\vs4\al\co1<y≥x－1,,y≥1－x,,y≤1,>>②表示△ABC內(nèi)部區(qū)域的所有點<包括邊界>.實數(shù)x,y滿足②則必然滿足①,反之不成立.則p是q的必要不充分條件.故選A.5.不等式eq\f<1,x－1>≥－1的解集為<>A.<－∞,0]∪[1,＋∞> B.[0,＋∞>C.<－∞,0]∪<1,＋∞> D.[0,1>∪<1,＋∞>答案C解析由題意得,eq\f<1,x－1>≥－1?eq\f<1,x－1>＋1＝eq\f<x,x－1>≥0,解得x≤0或x>1,所以不等式的解集為<－∞,0]∪<1,＋∞>,故選C.6.設(shè)第一象限內(nèi)的點<x,y>滿足約束條件eq\b\lc\{\rc\<\a\vs4\al\co1<2x－y－6≤0,,x－y＋2≥0,>>目標(biāo)函數(shù)z＝ax＋by<a>0,b>0>的最大值為40,則eq\f<5,a>＋eq\f<1,b>的最小值為<>A.eq\f<25,6>B.eq\f<9,4>C.1D.4答案B解析不等式表示的平面區(qū)域如圖中陰影部分,直線z＝ax＋by過點<8,10>時取最大值,即8a＋10b＝40,4a＋5b＝20,從而eq\f<5,a>＋eq\f<1,b>＝<eq\f<5,a>＋eq\f<1,b>>eq\f<4a＋5b,20>＝eq\f<1,20><25＋eq\f<4a,b>＋eq\f<25b,a>>≥eq\f<1,20><25＋2eq\r<\f<4a,b>×\f<25b,a>>>＝eq\f<9,4>,當(dāng)且僅當(dāng)2a＝5b時取等號,因此eq\f<5,a>＋eq\f<1,b>的最小值為eq\f<9,4>,故選B.7.已知實數(shù)x、y滿足eq\b\lc\{\rc\<\a\vs4\al\co1<y≥1,,y≤2x－1,,x＋y≤m,>>如果目標(biāo)函數(shù)z＝x－y的最小值為－1,則實數(shù)m等于<>A.6B.5C.4D.3答案B解析作出不等式組對應(yīng)的平面區(qū)域,如圖所示,由目標(biāo)函數(shù)z＝x－y的最小值為－1,得y＝x－z,及當(dāng)z＝－1時,函數(shù)y＝x＋1,此時對應(yīng)的平面區(qū)域在直線y＝x＋1的下方,由eq\b\lc\{\rc\<\a\vs4\al\co1<y＝x＋1,y＝2x－1>>?eq\b\lc\{\rc\<\a\vs4\al\co1<x＝2,,y＝3,>>即A<2,3>,同時A也在直線x＋y＝m上,所以m＝5.8.在平面直角坐標(biāo)系中,若不等式組eq\b\lc\{\rc\<\a\vs4\al\co1<y≥0,,y≤x,,y≤k<x－1>－1>>表示一個三角形區(qū)域,則實數(shù)k的取值范圍是<>A.<－∞,－1> B.<1,＋∞>C.<－1,1> D.<－∞,－1>∪<1,＋∞>答案A解析易知直線y＝k<x－1>－1過定點<1,－1>,畫出不等式組表示的可行域示