2023年上海市高考數(shù)學(xué)考前20天復(fù)習(xí)-03 平面向量教師版

03平面向量

一、填空題

?上海?統(tǒng)考模擬預(yù)測)

1.(2023a=(l,2),?=(-l√),β??=5√=.

【答案】3

【分析】根據(jù)平面向量的數(shù)量積的坐標運算求解.

【詳解】由題意可得：α?∕2=l×(-1)+2×∕=2∕-1=5,解得f=3.

故答案為：3.

2?(2023?上海青浦?統(tǒng)考二模)已知向量a=(l,0),?=(√3,1),則方在〃方向上的投影

是.

【答案】√3

【分析】根據(jù)向量投影的知識求得正確答案.

ab?/?rτ

【詳解】人在α方向上的投影是丁T=T='3.

故答案為：?/?

3.(2023?上海?統(tǒng)考模擬預(yù)測)在ASC中,AC=4,BC=3,點尸是AB的中點，則

BACP=.

7

【答案】?

2

【分析】利用向量的加法和減法法則，將胡，C尸分別用CA，CB表示出來，然后代

入結(jié)論計算即可.

【詳解】在ASC中，點P是A3的中點，所以CP=g(CA+CB),BA=CA-CB,

所以84CP=(CA-C*(C4+C8)C8)=!?(4232)=∣.

7

故答案為：~?

2

4.(2023?上海崇明?上海市崇明中學(xué)?？寄M預(yù)測)若向量α,b滿足

∣α∣=l,?b?=y∣3,∣a-2?∣=3,則q?}=.

【答案】1

【分析】將∣α-26∣=3兩邊平方，然后將條件代入即可得到答案.

【詳解】因為∣α∣=1,∣?∣=√3,?a-2b?=-i,

所以∣α-26f=9,即(Λ-2?)2=9,

所以/-4a-b+4b2=9>Wp∣2-4f∕?Z>+4∣?∣^=9

所以l-4a∕+12=9,

所以a?b-?

故答案為：1.

5.(2023?上海靜安?統(tǒng)考二模)已知向量&=(1,6)，且α,〃的夾角為g,

(α+b)?(2α-3b)=4,貝心在4方向上的投影向量等于.

【答案】(空)

【分析】根據(jù)所給條件利用向量數(shù)量積運算求出I百，再由投影向量的定義求解即可.

【詳解】d=(l,K),...而=2，

(a+b)(2a-3bj=2?a?l-a-b-3?b?2=S-2?b?cos^-3?b?i=4,

—>

.?.∣?∣=ι，

力在4方向上的投影向量為區(qū)ICOSg二=歷=(1當.

3∣α∣2244

故答案為：(：,去)

6.(2023?上海嘉定?統(tǒng)考二模)ABC是邊長為1的等邊三角形，點M為邊AB的中點，

貝UAC-AM=.

【答案】V/0.25

4

【分析】根據(jù)正三角形的性質(zhì)可得IAMI=g,ZCAM=1,然后代入向量的數(shù)量積公式

即可求解.

【詳解】由題意可知：[AM]=；,ZCAM=P由平面向量的數(shù)量積公式可得，

ACAM=∣AC∣∣AM∣cosZC4Λ/=1×→^=^?,

故答案為：~.

4

7.(2023?上海浦東新?統(tǒng)考二模)已知邊長為2的菱形ABC。中，NA=I20。，P、。是

菱形內(nèi)切圓上的兩個動點，且PQ則ApC。的最大值是.

【答案】τ∕0.25

4

【分析】畫出圖形，求出內(nèi)切圓半徑，設(shè)出川，〃,〃)，表達出APCQ=-2(〃-￡)+；,

結(jié)合-3<〃<立求出最值.

22

【詳解】如圖，40=1,00=6,故菱形內(nèi)切圓半徑為點。到40的距離，

故內(nèi)切圓半徑r=a°'0d=且，

AD2

z、3

由對稱性可知，P,。關(guān)于X軸對稱，設(shè)P(W,〃)，m2+n2=-,

則Q(八f),當<"吟,

其中A(0,1),C(O,-1),故AP?C(2=(∕∕7,n-l)?(∕n,-w÷l)=m2—π2+2n-l

322cle2Cl/IYl

=-n—Yi+2H-1=-2,n+2M—=—2.n—H—，

44Ik2；4

當〃=；時，AaeQ取得最大值，最大值為，

故答案為：—

4

8.(2023上海金山?統(tǒng)考二模)已知〃、8、2、4都是平面向量,且W=2k-0=卜4-1=1,

若《w，則1-d∣+∣c-d∣的最小值為.

【答案】V26—/卜J26

22

【分析】根據(jù)題意作出圖形，利用數(shù)形結(jié)合即可求解.

【詳解】如圖，設(shè)0A=q,OM=5"，OB=b，OC=c<OD=d>

則點8在以A為圓心，以T為半徑的圓上，點C在以M為圓心，以1為半徑的圓上，

N

所以1-d+∣c-d=p,+∣oc∣≥Wd-g+QΛ∕∣-ι=WA∣+pM∣-3,

作點A關(guān)于射線。N對稱的點G,則|。Gl=ID4∣,且NGOA=',

所以m+WM≥∣GM∣=√F=回（當?shù)﹥H當點GRM三點共線時取等號）

所以1—d+∣c-0的最小值為后-?∣,

故答案為：Λ∕26—.

UMtlLIrIU

9.（2023?上海黃浦?統(tǒng)考一模）已知四邊形ABCQ是平行四邊形，若AZ）=2OE，B/〃3E，

UUUUUUlUULlULU

AF-BC=O-且AF?AC=60，則Ae在A尸上的數(shù)量投影為.

【答案】10

【分析】運用向量共線、向量垂直畫圖，運用平行線性質(zhì)及直角三角形性質(zhì)可得

IACl=IlAMI、IAMleoSO=IAFI,再運用數(shù)量積運算及幾何意義即可求得結(jié)果.

【詳解】因為Ao=2DE，所以人。、E三點共線，且∣AO∣=2∣OE∣,

IBCllMCI25

又因為AO〃BC,所以上U=匕U=;，所以IACI=力AM∣,

IAE∣IAMI33

UUULKJUl

因為BF//BE，所以3、E、尸三點共線，乂因為AF?BE=0,所以AF_1_8￡,如圖所示,

設(shè)NE4C=e,則IAMlCos，=IAFI,

所以AF?AC=∣4∕∣∣ACleOS0=g∣AM∣lA尸ICOs。=；IAfT=60,解得：∣AF∣=6,

AC?AF

所以AC在AF上的數(shù)量投影為I4。COSg=2一二=U6∩=IO.

IAF∣6

故答案為：10.

10.(2023?上海崇明?統(tǒng)考二模)設(shè)平面向量a1,c滿足：忖=2,W=ICl,14=1,/社C,

則1-c∣的取值范圍是.

【答案】［正,30］

【分析】根據(jù)題設(shè)條件，設(shè)出a,"c的坐標，利用坐標運算進行求解

【詳解】依題意，設(shè)α=(2cose,2sin0),?=(f,()),c=(0√),reR

根據(jù).-4=1,即∣(2COSeT,2Sine)I=1,即(2CoSeT)?+(2Sine)?=1,整理得

r+3=4/cosθ.

顯然rwθ,否則匕=(0,0)=0,H=自=1,與已知矛盾，故/+3=4/cos?？傻?/p>

Cr+3

cosθ=-------.

4t

產(chǎn)+3

由ICOSq=而41,即產(chǎn)—4”+3≤0,貝悟M2—4”+3≤0,?fc(∣r∣-l)(∣f∣-3)≤0,解得

l≤∣r∣≤3.

故卜-C∣=∣(f,τ)∣=曲忖&,3句

故答案為：［友,3√η

11.(2023?上海奉賢?統(tǒng)考二模)在集合｛1,2,3,4｝中任取一個偶數(shù)”和一個奇數(shù)6構(gòu)成一

個以原點為起點的向量2=(α,b),從所有得到的以原點為起點的向量中任取兩個向量為

鄰邊作平行四邊形，面積不超過4的平行四邊形的個數(shù)是.

【答案】3

【分析】由題可得滿足題意的向量有4個，滿足題意的平行四邊形有6個，依次計算6

個平行四邊形的面積即可得答案.

【詳解】由題可得滿足題意的向量有(2,1),(2,3),(4,1),(4,3),又若兩向量α,6不共線,

且卜力)=8,則以兩向量為鄰邊的平行四邊形面積為：

S=?a??b?sin=∣α∣∣?∣?--r-jΓ=J“|-("").

?HPl

則以(2,1),(2,3)為鄰邊的平行四邊形面積為/>13-49=4;

以(2,1),(4,1)為鄰邊的平行四邊形面積為J5X17-81=2;

以(2,1),(4,3)為鄰邊的平行四邊形面積為4X25-⑵=2;

以(2,3),(4,1)為鄰邊的平行四邊形面積為√13X17-⑵=10;

以(2,3),(4,3)為鄰邊的平行四邊形面積為川3X25-289=6;

以(4,1),(4,3)為鄰邊的平行四邊形面積為J*X25-361=8：

綜上可知面積不超過4的平行四邊形的個數(shù)是3.

故答案為：3

12.(2023?上海松江?統(tǒng)考二模)已知點A,8是平面直角坐標系中關(guān)于y軸對稱的兩點,

且IOAI=2α(a>0).若存在加,〃eR,使得與“AB+08垂直，且

|(/7ZAB+OA)-(/?AB+OB)|=?,貝IJlABl的最小值為.

【答案】√15a

【分析】設(shè)WIAB=A尸，nAB=BQ,根據(jù)向量線性運算可得卜g=。，設(shè)P(x,f),則

2

Q(x+αj),由向量垂直的坐標表示可構(gòu)造方程，結(jié)合二次函數(shù)最值求法可求得產(chǎn)≤與,

由∣AB∣=2?∣4a2-t^可求得最小值.

【詳解】設(shè)AB在直線y=f上，又AB是平面直角坐標系中關(guān)于y軸對稱的兩點，

IOAi=2α(α>0),.?.?AB?=2?∣4a2-t2；

^tmAB=AP,HAB=BQ,則〃*B+OA=OA+AP=OP，"AB+OB=OB+BQ=OQ，

:.^mAB+OA)-(nAB+OB^=\OP-OQ\=\PQ\=a,

不妨設(shè)P在。的左側(cè)，p(x∕),則Q(x+a,r),

mAB+OAiJ∏AB+OBW,..OPOQ=O,

即X(X+ɑ)+*=0有解，；.t~=—x(x+α)=-x2-ar≤-—α?^--∣?^=?^-)

.?.∣Λβ∣=2〃/">2—展瓜,即IABl的最小值為715?.

故答案為：y∕15a.

【點睛】關(guān)鍵點點睛：本題考查平面向量模長最值的求解問題，解題關(guān)鍵是能夠?qū)栴}

轉(zhuǎn)化為求解與變量t有關(guān)的函數(shù)最值的求解問題，從而根據(jù)向量的線性運算和向量垂直

的坐標表示求得r的范圍，結(jié)合函數(shù)最值求法可求得結(jié)果.

13.(2023?上海黃浦?統(tǒng)考二模)如圖.在直角梯形ABCO

中.AD/∕BC,ZABC=90。，AD=2,BC=I,點P是腰AB上的動點，則∣2PC+P0的

最小值為.

【答案】4

【分析】建立平面直角坐標系，設(shè)■=0,求得相關(guān)點坐標，求出∣2PC+PD∣的表達式,

結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)即可求得答案.

【詳解】由在直角梯形ABC。中.AD/∕BC,ZABC=90。，AD=2,BC=I,

則NzMB=90。，則以A為原點，A。為MN軸建立平面直角坐標系，

設(shè)AB=α,設(shè)P(x,0),則8(α,0),C(a,l),D(0⑵,

故PC=(α-x,l),PD=(T,2),

所以2PC+PO=(2α-3x,4),故12PC+尸。∣=24，

當且僅當2a-3x=0即X=$，時取得等號，

即∣2PC+P。的最小值為4,

故答案為：4

14.(2023?上海普陀?統(tǒng)考二模)設(shè)x、yeR,若向量”，力，c滿足α=(x,D,力=(2,y),

c=(l,l),且向量α-6與C互相平行，則∣“∣+2∣?∣的最小值為.

【答案】3√5

t分析】由向量平行的坐標表示可得X+y=3,在坐標系中&=礪=(X,1),

2?=OD=(4,6-2Λ),將。按向量4平移至C,根據(jù)C軌跡為直線2x+y-15=0,將問

題化為同+2向=|。4|+|4。最小，數(shù)形結(jié)合法求原點到直線距離即可得結(jié)果.

【詳解】由α-6=(x-2,l-y),乂向量α-6與C互相平行，

所以x-2=l-y,故x+y=3,

令“=OA=(X,1),b=OB=(2,3-x),則2b=OO=(4,6-2x),

所以A(x,l),Γ>(4,6-2x),將。按向量d平移至C(4+x,7-2x),

所以C是直線2x+y-15=0上的動點，如下圖示，

所以26=OO=AC,故?a?+2?b∣=∣OA∣+∣AC∣,

由圖知：要使I。I+2聞最小，只需。,A,C三點共線且。到直線2x+y-15=O距離最短,

故|〃|+2聞最小值為原點到直線2》+丫-15=0的距離,最小值為〃=

此時題設(shè)中的Λ=2,.y=l.

故答案為：3不

【點睛】關(guān)鍵點點睛：找到力=而的Z>,并將其平移至C使2%麗=前,即有

k∣+2∣"=∣OA∣+M4,問題化為求點到直線距離.

15?(2023?上海閔行?統(tǒng)考二模)平面上有一組互不相等的單位向量。4，OA11,

若存在單位向量OP滿足OPOA+OP?04++QPOA=0，則稱o尸是向量組。A，

OA2,…，OA”的平衡向量.已知(OA,。&)=三，向量OP是向量組。A，OA2,OAi的

平衡向量，當OPoA取得最大值時，Q4?oa值為.

［答案］-3±?

6

【分析】設(shè)磔=43,例=BC,OCD,結(jié)合題意可得OPAo=O,為使ORM最

大，則。RCH5兩向量的方向相同，即OP,CD兩向量的方向相同，也即OP=CD，設(shè)直

線AB與直線CQ交于點E，再分如圖所示兩種情況討論即可得解.

【詳解】設(shè)0?1=AB,OA2=BC,網(wǎng)=CO,

由(QA,OA2)J,得(AB,BC)=g即NABC=軍,

由題意可得OPcM+OPOA2+OP√M,=O,

g∣JOP-AB+OPBC+OPCD=OP-(AB+BC+CD)=OP-AD=O,AD,

為使0P?Q4,最大，則OP,04兩向量的方向相同，即OP,8兩向量的方向相同,

也即OP=C。，所以ADLCO,

設(shè)直線AB與直線C。交于點E，

IAB∣=∣BC∣=∣CD∣=1,ZABC=y,ZBAC=ZBCA=?^,ADlCD,ΛC=√3,

則SinZCAD=—,cosZCAD=—,

33

因為SinNcAQ=且>,=sin^,所以NC4O>Zft4C,

326

如圖1所示，

cosZAED=sinZDAE=sin(ZCAD+ZCAB)=^-×-+^-×-=+'?e,

'732326

__o_/7

所以42?CD=1χ1χCOS(AaC￡(>=-cosZAED=工,

即OAs=七亞

如圖2所示，

cosZAEC=cos(ZEAD+ZADE)=-sinZEAD=-sin(ZC4D-ZSAC)

f√3√3√6∩-3+√6

=-×-------×—=-------

I3232)6

所以AB?CO=lχlχcos<AB,CS=CoSN4EO=

即OA。4=芻捶，

綜上所述，0A∣Q3=.

故答案為：二-.K

6

【點睛】關(guān)鍵點睛：設(shè)Q41=Aβ,Q42=BC,O%=CD,結(jié)合題意可得OPJ_AD,根據(jù)

OPoA3最大,說明OP,OA,兩向量的方向相同，即OP=CD，是解決本題的關(guān)鍵所在.

16.(2023?上海楊浦?統(tǒng)考二模)已知非零平面向量a、b、C滿足Ial=5,2向=向，且

(?-oj?(c-α)=0,則W的最小值是

【答案】√5

【分析】由向量的運算，數(shù)量積與模長的關(guān)系，利用三角函數(shù)的性質(zhì)求最值即可.

1rUlMlrrUll

解：如圖AC=a,AD=b-AB=C則6-α=CO,c-a=CB，

/?*r?/rr?LiiBUUH

已知也-a)?(c-α)=0,即CDCB=O,所以CDLCB,

1Ilrrl

取80的中點。則有OC=5BD=5W-c?∣,

而OA=義力+4，根據(jù)三角形的三邊關(guān)系可知。4+OC≥AC

則乎+3+小」上向=5,所以J+U+J叫≥10,當A,O,C三點共線時取等號,

記b,c向量的夾角為8，則卜+4=J(j+<)=J5I2+412cos拜=WJ5+4CoSe，

同理卜二卜卜5-48$J,

由區(qū)+q+卜一4210,可得M(J5+4cosl+j5-4cosK)210,

則w≥__________10100>100

2

?∣5+4cosθ+yJ5-4cosθ10+2√25-16COS(9^10+2λ^5

當CoSe=0,即萬工d時取等號，

所以M≥石，即W的最小值是君,

故答案為：?/?.

【點睛】本題考查平面向量的綜合運用，關(guān)鍵點在于利用三角形的三邊關(guān)系得到不等式

∣?+c∣+∣i-^∣≥ιo,進而利用數(shù)量積求模長.

二、單選題

17.(2023?上海青浦?統(tǒng)考二模)設(shè)分C2是兩個不平行的向量，則下列四組向量中，不能

組成平面向量的一個基底的是()

A.備+02和0一02B.e∣+2e2和e2+2e∣

C.3β∣—2e,和4e,—GeiD.e2和e,+e∣

【答案】C

【分析】根據(jù)基底的知識確定正確答案.

【詳解】依題意，4、弓不共線，

A選項，不存在2∈R使G+/=∕l^1-^2),

所以q+/和q-弓可以組成基底.

B選項，不存在4∈R使弓+2%=%(/+2eJ,

所以q+2/和弓+2e,可以組成基底.

C選項，4β2-6e1=-2(3ei-2e2),

所以3q-2/和4e；-6e；不能構(gòu)成基底.

D選項，不存在XeR使02=/112+6),

所以e?和C?+G可以組成基底.

故選：C

18.(2023?上海?高三專題練習(xí))已知向量α/滿足Iai=IJbl=百Ja-2,h3,則α.6=()

A.-2B.-IC.1D.2

【答案】C

【分析】根據(jù)給定模長，利用向量的數(shù)量積運算求解即可.

【詳解】W：V∣d-25∣2=∣Λ∣2^fl??+4∣?∣2,

又；|a|=IJZH=6,?a-2b|=3,

?"?9=l-4d??+4×3=13—4α??>

??ab=\

故選：C.

19.(2023春?上海寶山?高三上海交大附中?？茧A段練習(xí))已知。、6是平面內(nèi)兩個互相

垂直的單位向量，若向量C滿足(c-α)?(c-6)=0,則Icl的最大值是()

5

A.1B.2C.√2D.—

2

【答案】C

【分析】由向量垂直的條件可得α