2023版高考數(shù)學一輪復習講義：第七章不等式7-3 二元一次不等式（組）與簡單的線性規(guī)劃問題

第三節(jié)二元一次不等式（組）與簡單的線性規(guī)劃問題

,最新考綱,

1.會從實際情境中抽象出二元一次不等式組.

2.了解二元一次不等式的幾何意義，能用平面區(qū)域表示二元一次不等式組.

3.會從實際情境中抽象出一些簡單的二元線性規(guī)劃問題，并能加以解決.

?考向預測?

考情分析：主要考查利用線性規(guī)劃知識求目標函數(shù)的最值、取值范圍、參數(shù)的取值（范

圍）以及實際應用，目標函數(shù)大多是線性的，偶爾也會出現(xiàn)斜率型和距離型的目標函數(shù)，此

部分內容仍是高考的熱點，主要以選擇題和填空題的形式出現(xiàn).

學科素養(yǎng)：通過線性規(guī)劃在求最值中的應用問題考查直觀想象、數(shù)學運算的核心素養(yǎng).

積累必備知識——基礎落實贏得良好開端

一、必記3個知識點

1.二元一次不等式（組）表示的平面區(qū)域

_____________________不等式________________________________表示區(qū)域____________

Ar+By+OO直線Ar+B.y+C=O某一側的所不包括_

Ar+8,y+C20有點組成的平面區(qū)域，包括

不等式組一各個不等式所表示平面區(qū)域的___________________________

2.二元一次不等式（組）的解集

滿足二元一次不等式（組）的X和y的取值構成的,叫做二元一

次不等式（組）的解，所有這樣的構成的集合稱為二元一次不等式（組）

的解集.

3.線性規(guī)劃中的基本概念

_______名稱_________________________________________________________________________

約束條件____________________由變量尤，y組成的____________________

線性約束條件由X,y的不等式（或方程）組成的不等式組

目標函數(shù)一關于X,y的函數(shù)解析式，如z=2x+3y等

線性目標函數(shù)一關于X,y的解析式

可行解一滿足線性約束條件的解

可行域所有可行解組成的________

最優(yōu)解使目標函數(shù)取得一或的可行解

線性規(guī)劃問題~~在線性約束條件下求線性目標函數(shù)的或問題

二、必明2個常用結論

1.畫二元一次不等式表示的平面區(qū)域的直線定界，特殊點定域

（1）直線定界：不等式中無等號時直線畫成虛線，有等號時直線畫成實線；

（2）特殊點定域：若直線不過原點，特殊點常選原點；若直線過原點，則特殊點常選取（0,

1）或（1,0）來驗證.

2.判斷二元一次不等式表示的區(qū)域

⑴若B（AX+By+C）＞0時，區(qū)域為直線Ar+By+C=O的上方；

(2)當次Ar+By+C)<O時，區(qū)域為直線Ax+By+C=O的下方.

三、必練4類基礎題

(一)判斷正誤

1.判斷下列說法是否正確(請在括號中打“J”或"X”).

(1)二元一次不等式組所表示的平面區(qū)域是各個不等式所表示的平面區(qū)域的交集.()

(2)不等式Ax+By+CO表示的平面區(qū)域一定在直線〃+By+C=O的上方.()

(3)點(?，yi),(X2,竺)在直線4c+By+C=O同側的充要條件是(AXl+B)，I+0(AX2+B)，2

+C)>0,異側的充要條件是(ArI+By∣+C)(ΛΛ2+By2+C)<O.()

(4)目標函數(shù)z="x+力S≠0)中，z的幾何意義是直線ax+by-z=O在y軸上的截

距.()

(二)教材改編

2.［必修5?P86練習T3改編］不等式組卜一3y+6<3表示的平面區(qū)域是()

(x-y+2≥0

2x—y≥0,

X+y—4≤0,則x-2y的最大值為

{y≥0,

(三)易錯易混

(X≥1,

4.(目標函數(shù)的幾何意義不請)已知(χ-y+l≤O,則x2+γ2的最小值是.

(2x-y-2≤0,

y≥0,

5.(最優(yōu)斛個數(shù)無數(shù)理群不透)已知實數(shù)x,y滿足不等式組(y.χ+ι≤o,若z=y一

y—2x÷4≥0.

辦取得最大值時的最優(yōu)解有無數(shù)個，則。的值為.

(四)走進高考

x+y≥4,

6.［2021?全國乙卷］若x,y滿足約束條件?x-y≤2,則z=3x+y的最小值為（）

（y≤3,

A.18B.IO

C.6D.4

提升關鍵能力——考點突破掌握類題通法

考點一二元一次不等式（組）表示的平面區(qū)域［基礎性］

x-y≥0,

x+y-l<0,表示的平面區(qū)域的面積是（）

{y≥0

A.?B.-C.-D.-

248

rx-y≥0,

2.若不等式組∣2x+y≤2,表示的平面區(qū)域的形狀是三角形，則α的取值范圍是（）

y≥0,

、X+y≤a

A.a^-B.0<α≤l

3

C.lWα≤fD.OCa≤1或心3

33

'X≤0,

3.已知由不等式組Iy≥°'確定的平面區(qū)域。的面積為7,則人的值為（）

y-kx≤2,

<y—X-4≤0

A.13B.—1

C.3D.1

反思感悟二元一次不等式（組）表示的

平面區(qū)域的確定方法

（1）線定界：二元一次不等式Ar+By+OO在平面直南坐標系中表示直線AX+8），+C=O

某一側的所有點組成的平面區(qū)域（半平面），不含邊界直線；

（2）點定域：在直線Av+Bv+C=O的某一側取一個特殊點（xo,vo）,代入不等式檢驗，

若滿足不等式，則包含此點的半平面為不等式所表示的平面區(qū)域，否則為另一側所表示的平

面區(qū)域；

（3）交定區(qū)：若平面區(qū)域是由不等式組決定的，則在確定了各個不等式所表示的區(qū)域后，

求這些區(qū)域的公共部分，這個公共部分即為所求.

考點二求目標函數(shù)的最值問題［綜合性］

角度1求線性目標函數(shù)的最值

χ-y+1≥0,

［例1］（1）設實數(shù)X,y滿足不等式組{x-2y-l≤0,則2χ-y的取值范圍為（）

、X+y-1≥0,

A.[-4,2]B.[-1,2]

C.[-1,+∞)D.[2,+∞)

x+1≥O,

x-y≤0,則Z=L3的最小值是

{2x+3y-1≤0,

)

A.-2B.--

2

C.--D.—

2IO

聽課筆記：

反思感悟

1.求目標函數(shù)的最值

形如Z=Or+6y(6H0)的目標函數(shù)，可變形為斜截式y(tǒng)=-3+;S≠0).

⑴若6>0,當直線過可行域且在y軸上的截距最大時，Z值最大，在y軸上的截距最小

時，Z值最?。?/p>

(2)若6<0,當直線過可行域且在y軸上的截距最大時，Z值最小，在)，軸上的截距最小

時，z值最大.

2.求目標函數(shù)最優(yōu)解的常用方法

如果可行域是一個多邊形，那么一般在某頂點處使目標函數(shù)取得最優(yōu)解，到底哪個頂點

為最優(yōu)解，可有兩種方法判斷：

(1)將可行域各頂點的坐標代入目標函數(shù)，通過比較各頂點函數(shù)值大小即可求得最優(yōu)解；

(2)將目標函數(shù)的直線平移，最先通過或最后通過的頂點便是最優(yōu)解.

角度2求非線性目標函數(shù)的最值

x-4y+3≤O,

3x+5y_25≤0,

{X≥1,

(1)設z=5求Z的取值范圍；

(2)設z=f+y2,求Z的取值范圍.

聽課筆記：

一題多變

1.(變問題)若例2中條件不變，將az=x2+y2"改為''z=x2+y2+6χ-4y+13”,如何

求解？

2.(變問題)若例2中條件不變，將''z=F改為''z=∣x+W',如何求解？

反思感悟求解非線性規(guī)劃問題的基本方法是利用目標函數(shù)的幾何意義求解.常見非線

性目標函數(shù)類型及其幾何意義.

(l)Jχ2+y2表示點(χ,y)與原點(0,0)的距離；

J(X-a)2+(y—b)2表示點(χ,y)與點(0,力的距離.

(2)(表示點(X,y)與原點(0,0)連線的斜率，M表示點(x,y)與點(“，6)連線的斜率.

(3)∣%鬻I表示點(x,y)到直線Ax+By+C=0的距離.

角度3求參數(shù)值或取值范圍

χ-y+1≥0,

x+y-2≥0,若目標函數(shù)Z=OX+y僅在點(2,3)

{X≤2,

處取得最大值，則實數(shù)α的取值范圍是()

A.(―∞,1)B.(―∞,1]

C.[-1,+∞)D.(-1,+∞)

(2)已知實數(shù)X,y滿足IWyWX+yW0r+3,若y-2x的最大值是3,則實數(shù)4的取值范

圍是()

A.(一8,3]B.fl,3]

C.(一8,2)D.(2,+∞)

聽課筆記：

反思感悟由目標函數(shù)的最值求參數(shù)的方法

（1）把參數(shù)當常數(shù)用，根據(jù)線性規(guī)劃問題的求解方法求出最優(yōu)解，代入目標函數(shù)求出最

值，通過構造方程或不等式求出參數(shù)的值或取值范圍.

（2）先分離含有參數(shù)的式子，數(shù)形結合確定含參數(shù)的式子所滿足的條件，確定最優(yōu)解的

位置，從而求出參數(shù).

［提醒］參數(shù)可能在表示可行域的不等式中（影響可行域的形狀），也可能在目標函數(shù)中

（影響最優(yōu)解的位置），求解時注意參數(shù)的影響，有時需要對參數(shù)進行分類討論.

【對點訓練】

x-y≥0,

1.若x,y滿足約束條件,2x+y≤6,則Z=X+3y的最小值是，最大值是

、X+y≥2,

'x+y≥2,

2.設心y滿足約束條件1χ-y≤2,則目標函數(shù)zi=2x—y的最大值是,目

<y≤2,

標函數(shù)Z2=X*2+y2的最小值是.

x≥0,

x+y-2≤0,若z=2x+y的最大值為f則實數(shù)4的值為（）

（ax-y-a≤0,

7

A.--B.0

2

C.1D.一（或1

考點三線性規(guī)劃的實際應用［應用性］

［例4］某校準備采用導師制成立培養(yǎng)各學科全優(yōu)尖子生培優(yōu)小組A,B,設想培優(yōu)小組

A中，每1名學生需要配備2名理科教師和2名文科教師做導師；設想培優(yōu)小組8中，每1

名學生需要配備3名理科教師和1名文科教師做導師.若學校現(xiàn)有14名理科教師和9名文

科教師積極支持，則兩培優(yōu)小組能夠成立的學生人數(shù)和最多是.

聽課筆記：

反思感悟

1.解線性規(guī)劃應用題3步驟

(1)轉化——設元，寫出約束條件和目標函數(shù)，從而將實際問題轉化為線性規(guī)劃問題.

(2)求解——解這個純數(shù)學的線性規(guī)劃問題.

(3)作答——將數(shù)學問題的答案還原為實際問題的答案.

2.求解線性規(guī)劃應用題的3個注意點

(1)明確問題中的所有約束條件，并根據(jù)題意判斷約束條件是否能夠取到等號.

(2)注意結合實際問題的實際意義，判斷所設未知數(shù)X,y的取值范圍，特別注意分析X,

y是否是整數(shù)、是否是非負數(shù)等.

(3)正確地寫出目標函數(shù)，一般地，目標函數(shù)是等式的形式.

【對點訓練】

[2022?河北省''五個一名校聯(lián)盟"考試]某企業(yè)生產甲、乙兩種產品均需用A,8兩種原

料，已知生產1噸每種產品所需原料及每天原料的可用限額如表所示.如果生產1噸甲、乙

產品可獲利潤分別為3萬元、4萬元，則該企業(yè)每天可獲得的最大利潤為()

甲乙原料限額

4/噸3212

5/噸128

A.15萬元B.16萬元

C.17萬元D.18萬元

第三節(jié)二元一次不等式(組)與簡單的線性規(guī)劃問題

積累必備知識

1.邊界直線邊界直線公共部分

2.有序數(shù)對(x,y)有序數(shù)對(x,y)

3.不等式(組)一次一次(x,?)集合最大值最小值最大值最小值

--、

I.答案：(I)J(2)×(3)√(4)X

2.解析：%—3y+6<0表示直線x—3y+6=0左上方部分，x—y+220表示直線χ-y

+2=0及其右下方部分.故不等式組表示的平面區(qū)域為選項C所示部分.

答案：C

(2x-y≥0

3.解析：不等式組x+y-4≤0表示的平面區(qū)域如圖中陰影部分所示,

(y≥0

作出直線χ-2y=0并平移，當經過A(4,0)時，(χ-2‰x=4-2×0=4.

答案：4

X≥1,

4.解析：作出《χ-y+l≤O,表示的可行域，如圖中陰影部分所示，易求得點4(1，

2x-y-2≤0

2),8(3,4)./+y2的幾何意義為可行域內的點到原點。的距離的平方.由圖知，可行域

內的點A到原點的距離最小，所以x2+γ2的最小值是l2+22=5.

答案：5

5.解析：依題意，在坐標平面內畫出不等式組表示的平面區(qū)域，如圖所示.

要使z=y—0r取得最大值時的最優(yōu)解(x,y)有無數(shù)個，

則直線z=y一亦必平行于直線y—x+l=0,于是有a=l.

答案：1

6.解析：作出可行域如圖中陰影部分所示，作出直線y=-3x,并平移，數(shù)形結合可

知，當平移后的直線經過點A時，直線y=-3x+z在y軸上的截距最小，即Z最小.

解方程組得即點4的坐標為(1,3).從而z=3x+y的最小值為3X1

+3=6.故選C.

答案：C

提升關鍵能力

考點一

1.解析：作可行域如圖中等腰直角三角形OAB所示,

由［x-y=0,得「一，即昭,|）.且A（l,0）.

（x÷y-1=0,y=-,122）

、2

所以其面積為1X*X1=］，故選C.

224

答案：C

χ-y≥0，

2.解析：作出不等式組（2χ+y≤2,表示的平面區(qū)域如圖中陰影部分（含邊界）所示.且

、y≥0

作/1：x+y=0,Iy.x+y=I,/3:x+y=∣.

由圖知，要使原不等式組表示的平面區(qū)域的形狀為三角形，只需動直線/：x+），="在

∕∣,/2之間（包含/2,不包含/或，3上方（包含/3）.

即a的取值范圍是O<αWl或6!≥∣.

答案：D

（X≤0,

3.解析：作出不等式組（y>0,所表示的平面區(qū)域，如圖陰影部分（含邊界）所示，

（y_X_4≤O

可知該區(qū)域是等腰直角三角形且面積為8.

由于直線y=fcc+2恒過點B（0,2）,且原點的坐標恒滿足y—fctW2,

當&=O時，y≤2,此時平面區(qū)域。的面積為6,

y—kx=2,

由于6<7,由此可得A<0.由

.y-X-4=0,

可得。(涓，≡)>

依題意應有:X2X∣浸|=1,

解得Z=-I或4=3(舍去)，故選B.

答案：B

考點二

例I解析：(1)如圖，畫出可行域(如圖，陰影部分含邊界)，令z=2x—y,y=2x—z.當

Z=O時，畫出初始目標函數(shù)表示的直線y=2x,當直線平移至點A(0,1)時，z=2χ-y取得

最小值Zmin=2X0—1=-1,根據(jù)可行域可知，無最大值，所以的取值范圍是［-1,

÷∞).

x+1≥0,

解析：(2)畫出滿足約束條件x-y≤0,的可行域,

2x÷3y-1≤0

如下圖所示:

目標函數(shù)Z=X-點化為y=2χ-2z,

由《解得J設A(—1,1),

(2x+3y-1=0,Iy=I,

當直線y=2x—2Z過A點時，

z=χ-^y取得最小值為一|.

答案：(I)C(2)B

例2解析：由約束條件

x-4y+3≤O,

-3x+5y_25≤0,作出可行域如圖所示.

、X≥1,

由1X=I'解得C(1,1).

(x—4y+3=0,

.fX—4y+3=0,,

由，解得僅5,2).

(3x+5y-25=0,

(1)因為Z=Y=言，

所以Z的值是可行域中的點與原點O連線的斜率.

觀察圖形可知Zmin=%OB=g,ZmaX=hw=g?

所以Z的取值范圍為[|,y].

(2)Z=F+V的幾何意義是可行域上的點到原點。的距離的平方.結合圖形可知，可行

域上的點到原點的距離中，?in=∣0C∣=√2,dmaX=IoBl=聞.

所以Z的取值范圍為[2,29].

一題多變

1.解析：滿足約束條件的可行域及各點坐標同本例.

2=?+.儼+6]-4)，+13=。+3)2+0-2)2的幾何意義是可行域上的點到點(一3,2)的距

離的平方.結合圖形可知，可行域上的點到(一3,2)的距離中，Jmin=1-(-3)=4,"max=

√(-3-5)2+(2-2)2=8.

所以Z的取值范圍為[16,64].

2.解析：滿足約束條件的可行域及各點坐標同本例.

Z=IX+y∣=√∑甯的幾何意義是可行域上的點到直線x+y=O的距離的√Σ倍.結合圖形

可知，可行域上點C(l,1)到直線x+y=O的距離最小，可行域上點8(5,2)到直線x+y=O

的距離最大，

所以ZmaX=√∑X%?=7,Zmin=或X邑察=2.

√2√2

所以Z的取值范圍為[2,7].

例3解析：（1）作出不等式組表示的可行域，如圖中陰影部分（含邊界）所示，目標函數(shù)

Z=Or+>可化為y=-αx+z,且目標函數(shù)僅在點4（2,3）處取到最大值，所以一火以小即一

?<1,所以a>—1,故選D.

解析：（2）不等式IWyWX+yWαx+3等價于

y≥1，(y≥ι,

化簡得，x≥0,

χ+y≥y,

(y≤(a-l)x+3,

X+y≤ax+3,

設z=y-2x,貝!|y=2x+z,且Z的最大值是3,

由圖形知，a—1W2,解得αW3,

所以實數(shù)”的取值范圍是（-8,3].

答案：⑴D（2）A

對點訓練

x-y≥0,

2x+y≤6,畫出可行域如圖中陰影部分所示（含邊界）.

{x+y≥2,

由［2x+y=6,解得44,一2),?fx^y=°,解得8(2,2),

(X+y=2,I2x+y=6,

將函數(shù)y=—1的圖象平移可知，

當目標函數(shù)的圖象經過4(4,—2)時，Zmin=4+3X(—2)=-2；

當目標函數(shù)的圖象經過B(2,2)時，Zmaχ=2+3X2=8.

答案：一28

2.解析：在平面直角坐標系內畫出題中的不等式組表示的平面區(qū)域，其是以(2,0),(0,

2),(4,2)為頂點的三角形區(qū)域(包含邊界)(圖略)，易得當目標函數(shù)Z∣=2Λ-y經過平面區(qū)域

內的點(4,2)時，取得最大值2X4—2=6.Z2=f+y2表示平面區(qū)域內的點到原點的距離的平

方，易得原點到直線x+