2023年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)講義：第八章 8-5直線、平面垂直的判定與性質(zhì)

§8.5直線、平面垂直的判定與性質(zhì)

【考試要求)1.理解空間中直線與直線、直線與平面、平面與平面的垂直關(guān)系2掌握直線與平

面、平面與平面垂直的判定與性質(zhì)，并會簡單的應(yīng)用.

-落實主干知識

【知識梳理】

1.直線與平面垂直

(1)直線和平面垂直的定義

如果直線I與平面ɑ內(nèi)的任意二條直線都垂直，就說直線I與平面a互相垂直.

(2)判定定理與性質(zhì)定理

文字語言圖形表示符號表示

InUa、

-U-

I

判定一條直線與一個平面內(nèi)的兩條相交直mC?n=zP>

定理級都垂直，那么該直線與此平面垂直7/-Lm

>

=>∕±α

a~b

性性a-La

垂直于同一個平面的兩條直線平行//b

定理Z7bJ~α

2.平面與平面垂直

(1)平面與平面垂直的定義

一般地，兩個平面相交，如果它們所成的二面角是直二面角,就說這兩個平面互相垂直.

(2)判定定理與性質(zhì)定理

文字語言圖形表示符號表示

一個平面過另一個平面的垂線,

判定定理/

那么這兩個平面垂直?

、

兩個平面垂直，則一個平面內(nèi)垂a：LB

6aC6=a

性質(zhì)定理直于交線的直線與另一個平面/>=LLα

LLa

垂直

￡￡7IUB>

【知識拓展)

1.三垂線定理

在平面內(nèi)的一條直線，如果和穿過這個平面的一條斜線在這個平面內(nèi)的射影垂直，那么它也

和這條斜線垂直.

2.三垂線定理的逆定理

平面內(nèi)的一條直線如果和穿過該平面的一條斜線垂直，那么它也和這條斜線在該平面內(nèi)的射

影垂直.

【思考辨析】

判斷下列結(jié)論是否正確(請在括號中打“J”或“X”)

(1)直線/與平面ɑ內(nèi)的無數(shù)條直線都垂直，則/_La.(X)

(2)垂直于同一個平面的兩平面平行.(×)

(3)若兩平面垂直，則其中一個平面內(nèi)的任意一條直線垂直于另一個平面.(X)

(4)若直線。，平面ɑ,直線6,平面α,則直線4〃直線仇(√)

【教材改編題1

1.下列命題中錯誤的是()

A.如果平面。，平面夕，那么平面ɑ內(nèi)一定存在直線平行于平面夕

B.如果平面α不垂直于平面夕，那么平面ɑ內(nèi)一定不存在直線垂直于平面夕

C.如果平面a_L平面y,平面6_L平面aCβ=l,那么/1.平面y

D.如果平面6(_L平面夕，那么平面ɑ內(nèi)所有直線都垂直于平面夕

答案D

解析對于D,若平面α,平面夕，則平面ɑ內(nèi)的直線可能不垂直于平面夕，即與平面尸的關(guān)

系還可以是相交、平行或在平面夕內(nèi)，其他選項均是正確的.

2.“直線?與平面α內(nèi)的無數(shù)條直線都垂直”是“直線"與平面α垂直”的條件.

答案必要不充分

3.在三棱錐P-ABC中，點尸在平面ABC上的射影為點。

(1)若BA=PB=PC,則點。是AABC的心；

(2)若PBLPC,PCLPA,則點。是aABC的心.

答案⑴外⑵垂

解析(1)如圖1,連接OA,OB,OC,0P,

在RtZ?P0A,Rt?PC>β和Rt-0C中，

PA=PC=PB,

：.OA=OB=0C,

即0為aABC的外心.

PP

圖1圖2

(2)如圖2,延長A。，BO,Co分別交BC,AC,AB于點”，D,G.

,：PCLPA,PBLPC,PAQPB=P,

PA,P8U平面PAB,

；.PC_L平面必8,又ABU平面∕?B,

.'.PC-LAB,

'：ABlPO,POCPC=P,PO,PCU平面PGC,

.?.ABJ>平面尸GC,又CGU平面PGC,

.'.AB±CG,即CG為AABC邊AB上的高.

同理可證8￡>,AH分別為AABC邊AC,BC上的高，即。為aABC的垂心.

■探究核心題型

題型一直線與平面垂直的判定與性質(zhì)

例1(2021?全國甲卷)已知直三棱柱ABC-A山IG中，側(cè)面AAiBlB為正方形，AB=BC=2,

E,尸分別為AC和CCl的中點,BFJLAIB1.

(I)求三棱錐F-EBC的體積;

(2)已知。為棱4B∣上的點，證明：BFVDE.

⑴解如圖，取BC的中點為M,連接EM,由已知可得EM〃A8,AB=BC=2,

CF=I,EM=BAB=1,

AB//A↑B↑,

由BF_LAI8∣得EΛ∕J"BF,

又EMLCF,BFCCF=F,

所以EM_L平面BCF,

故娛,F-EBC=VWE-FBC=WXgBCXCF×EM^×^×2X1X1=；.

(2)證明連接4E,B∣M,

由(1)知EM//A1B1,

所以ED在平面EMBtAi內(nèi).

在正方形CGBlB中，由于F,M分別是CC∣,BC的中點，

所以由平面幾何知識可得BFJ_BlM,

又BFLAlB1,BiMΠAlBi=Bi,

所以BF，平面EMBiAl,

又DEU平面EMBtAi,所以BFVDE.

【教師備選1

如圖，在四棱錐P-ABe。中，四邊形ABC。是矩形，ABj_平面%D,AD=AP,E是PO的

中點，M,N分別在AB,PC上，且MNLAB,Λ∕ΛLLPC.證明：AE//MN.

證明：AB_L平面B4。，AEU平面叫。，

：.AElAB,

入AB"CD,.?AE±CD.

"：AD=AP,E是PZ>的中點,：.AELPD.

又CDCPD=D,CD,PDU平面PCD,

.?.AE，平面PCD.

"."MNlAB,AB//CD,J.MNLCD.

又YMNLPC,PCC?CD=C,PC,CoU平面PC￡>,

MALL平面Pe。，.".AE∕∕MN.

思維升華證明線面垂直的常用方法及關(guān)鍵

(1)證明直線和平面垂直的常用方法：①判定定理;②垂直于平面的傳遞性3〃b,a，a^b_La);

③面面平行的性質(zhì)(a_La,a//β=^aA-β)?,④面面垂直的性質(zhì).

(2)證明線面垂直的關(guān)鍵是證線線垂直，而證明線線垂直則需借助線面垂直的性質(zhì).

跟蹤訓(xùn)練1(2019?全國H)如圖，長方體ABCz)—A山∣GQ∣的底面ABcO是正方形，點E在

棱AΛ上，BELECi.

(1)證明：BE_L平面EsC|；

(2)若AE=4E,AB=3,求四棱錐E-8B∣C∣C的體積.

⑴證明由已知得BIG_L平面ABBI4,BEU平面ABBlA∣,

故BiClLBE.

又BELEC1,BlCmEG=C1,BιC∣,EGU平面EBlC∣,

所以BE_L平面EB?C?.

(2)解由(1)知NBEBl=90。.

由題設(shè)知Rt?ΛBE^Rt?A∣B∣E,

所以NAEB=NAIEBI=45。,

故AE=A8=3,AAι=2AE=6.

如圖，作EFL83∣,垂足為F,

則EF_L平面BfiiClC,

且EF=AB=3.

所以四棱錐E-B5GC的體積

V=∣×3×6×3=18.

題型二平面與平面垂直的判定與性質(zhì)

例2(12分)(2021?全國乙卷)如圖，四棱錐P-ABC。的底面是矩形，PoJ_底面ABC。，M

為BC的中點，且PB_LAM.

(1)證明：平面Λ4MJ"平面PBQ;［切入點：線面垂直］

(2)若PO=QC=I,求四棱錐P-ABCC的體積.［(1)問關(guān)鍵點：找平面∕?M或平面PBO的垂

線；(2)問關(guān)鍵點：底面矩形面積的計算］

(1)由線面垂直一線線垂直一線面垂直一面面垂直;

思路

分析(2)由(1)知AMl8D-Z?D48SZ?48M~由相似比可求AD-由錐體體積公式一結(jié)論

答題得分模板

(1)證明

?.?PD1平面48Co,AMU平面ABeO,

'<--------?①線面垂直》線線垂直

.?.PD1AM.^［1分］

???PBLAMiS.PBQPD=P,

PBU平面PBD,PDU平面PBD,<-②線線垂直》線面垂直

AMJ.平面PBD②［3分］

又AMU平面尸4M,

j4-------③線面垂直，面面垂直

.?.平面PAMJ.平面PBD.3[4分]

(2)解?.?Λ∕為BC的中點，.?.BM=∣AD.

由題意知AS=OC=L

???4"J.平面PBD,BDC平面PBD,

*--------------------------------④線線垂直)線線垂直

［6分］

由乙BAM+4MAr)二90。，

o

ΔMAD^ΔADB=90t

得乙7分］

易得48AMSZXAOR.?.需=得，5--⑤相似三角形對應(yīng)邊成比例

^AD1

即Zr-=TTV得AQ=4,［9分］

1ALf

；?S-Cn=ADQC=T2X1M,"［10分］，一一⑥求底面積

則四棱錐P-ABCD的體積

Z

Vfi=卜JiMSPD=JX々X1=咚W［12分］?---------------------------------⑦由錐體體積公式求體積

??M

【教師備選】

(2020?全國I)如圖，力為圓錐的頂點，0是圓錐底面的圓心，ZxABC是底面的內(nèi)接正三角形,

P為。。上一點，ZAPC=90o.

(1)證明：平面B48_L平面B4C；

(2)設(shè)。0=立，圓錐的側(cè)面積為小兀，求三棱錐P-ABC的體積.

(1)證明：。為圓錐頂點，O為底面圓心，

L平面ABC,

YP在。。上，OA=OB=OC,

.?f?=PB=PC,

「△ABC是圓內(nèi)接正三角形，

.'.AC=BC,ΛPAC^∕?PBC,

：.NAPC=NBPC=90。，

即PBJLPC,PA±PC,

PAHPB=P,

.?.PCLL平面出8,尸CU平面∕?C,

平面以BJ_平面PAC.

(2)解設(shè)圓錐的母線為/,底面半徑為廠，

D

圓錐的側(cè)面積為πr∕=√3π,

r∕=V3,

ODi1=P-I2=I,解得r=ι,

∕=√5,AC=2∕?sin60o=√3,

在等腰直角三角形APC中，

.p√6

AP—2AC—29

在RtZ?∕?O中,

.?.三棱錐P-ABC的體積為VP-ABC=！P0?SBC=9XX3=

JΔA3嘩Z乎4坐o.

思維升華(1)判定面面垂直的方法

①面面垂直的定義.②面面垂直的判定定理.

(2)面面垂直性質(zhì)的應(yīng)用

①面面垂直的性質(zhì)定理是把面面垂直轉(zhuǎn)化為線面垂直的依據(jù)，運(yùn)用時要注意“平面內(nèi)的直

線”.②若兩個相交平面同時垂直于第三個平面，則它們的交線也垂直于第三個平面.

跟蹤訓(xùn)練2如圖，在四棱錐PABCD中，底面ABCD為矩形,平面，平面ABCD,PALPD,

PA=PD,E為A。的中點.

(1)求證：PE上BC；

⑵求證：平面∕?8L平面PCD

證明(1)因為%=PO,E為AD的中點，

所以PELAD.

因為底面ABa)為矩形，所以BC〃AD

所以尸EJ_BC

(2)因為底面ABCO為矩形，所以ABLAD

又因為平面外。_1平面ABC。，平面∕?O∩平面ABCC=A。，ABU平面ABCC,

所以AB_L平面PAD.

又Pz)U平面∕?Q,所以A8_LPD

又因為∕??L尸。，且∕?Γ∣AB=A,PA,ABU平面南8,

所以P￡>_L平面∕?B.又PoU平面PCD,

所以平面以BJ_平面PCD.

題型三垂直關(guān)系的綜合應(yīng)用

例3在四棱錐「一ABC。中，△以力是等邊三角形，且平面《4O_L平面ABC￡),AD=2AB

=2BC,NBAo=NABC=90°.

(1)在Az)上是否存在一點使得平面PCM，平面ABC。，若存在，請證明；若不存在，請

說明理由；

(2)若aPCO的面積為8巾，求四棱錐尸一ABC。的體積.

解(1)存在，當(dāng)M為AQ的中點時，平面PCM，平面ABCD

證明：取A。的中點M,連接CM,PM,

由△/?O是等邊三角形，

可得PM_LA。，

由平面∕?Z)"L平面ABCZ),PMU平面∕?O,平面BA。。平面ABCO=AO,

可得PMj_平面ABCD,

由PMU平面PCM,

可得平面尸CMJ_平面ABCD.

(2)設(shè)AB=a,可得BC=4,AD=Ia,

可得MC=AB=MD-Ci,

則CD=巾a,PD=2a,PM=/a,

由PMlMC,

可得PC=y∣PM2+MC2=√3a2+α2=2a,

由SAPCD=3,巾a??∣4〃—1=乎=8幣,

可得α=4,

所以四棱錐P-ABCO的體積V=∣SΠ?*ABCD?PM=∣×∣×(4+8)×4×4√3=32√3.

【教師備選1

如圖，在四棱錐S-ABC。中，四邊形ABCo是邊長為2的菱形，NABC=60。，ZXSAO為正

三角形.側(cè)面SAOL底面ABC。，E,尸分別為棱AO,SB的中點.

(1)求證：AZ7〃平面SEC；

⑵求證：平面ASB_L平面CSB；

(3)在棱SB上是否存在一點M,使得BELL平面M4C?若存在，求黑的值；若不存在，請說

LJO

明理由.

⑴證明如圖，取SC的中點G,連接FG,EG,

,：F,G分別是SB,SC的中點,

.?FG∕∕BC,FG=aBC,

?.?四邊形ABC。是菱形，E是AO的中點，

J.AE∕∕BC,AE=^BC,

.?FG∕∕AE,FG=AE,，四邊形AFGE是平行四邊形，

.,.AF∕∕EG,又ARI平面SEC,EGU平面SEC,

.?.A尸〃平面SEC.

⑵證明：△%￡＞是等邊三角形，E是AO的中點，

.,.SE±AD,

：四邊形ABC。是菱形，ZABC=60°,

aACO是等邊三角形，又E是的中點，

J.ADLCE,又SECCE=E,SE,CEU平面SEC,

.?.AOL平面SEC,又EGU平面SEC,

J.ADLEG,

又四邊形AFGE是平行四邊形，

四邊形AFGE是矩形，.,,AF±FG,

又S4=AB,尸是SB的中點，ΛAF±Sfi,

又尸GCSB=尸，F(xiàn)GU平面SBC,SBU平面SBC,

.?.AF_L平面SBC,

又AFU平面AS8,

平面ASB_L平面CSB.

(3)解存在點M滿足題意.假設(shè)在棱SB上存在點M,使得BOL平面MAC,

連接MO,BE,則BDLOM,

；四邊形ABCz)是邊長為2的菱形，ZABC=60°,△%￡＞為正三角形，

ΛBE=√7,

SE=yβ,BD=2OB=2小,SD=2,SEI.AD,

：側(cè)面SAQ_L底面ABCD,

側(cè)面SAQC底面ABCD^AD,SEU平面SAD,

：.SEL平面ABCD,：.SELBE,

：.SB=NSE2+BE2=遮,

./,s^+m-s-3啊

..cosZSBD=2SBBD=20'

?OB3√30?2√10

''BM~203'

.BM_2

思維升華對于線面關(guān)系中的存在性問題，首先假設(shè)存在，然后在該假設(shè)條件下，利用線面

關(guān)系的相關(guān)定理、性質(zhì)進(jìn)行推理論證.

跟蹤訓(xùn)練3如圖(1),在RtaABC中，ZC=90o,D,E分別為AC,AB的中點，點尸為線

段CO上的一點，將AAQE沿Z)E折起到aAQE的位置，使AFLCz),如圖(2).

(1)求證：Z)E〃平面AlC8：

(2)線段48上是否存在點Q,使4CL平面。EQ?請說明理由.

(1)證明因為O,E分別為AC,AB的中點，

所以。E〃8C.

又因為OEC平面AlCB,BeU平面ACB,

所以O(shè)E〃平面4CB.

⑵解線段A1B上存在點Q,使AC平面DEQ.

理由如下：

如圖，分別取AC,48的中點P,Q,連接PO,PQ,QE,貝!∣PQ〃8C.

因為Z)E〃BC,所以DE〃PQ.

所以平面DEQ即為平面DEQP.

因為DELAiD,DELDC,AiDΠDC=D,AtD,OCU平面AQC,

所以￡>E_L平面A↑DC,

又AleU平面AQC,

所以。ELAC

又因為尸是等腰^D4∣C底邊4C的中點，

所以A∣C,OP.

因為。E∩OP=O,DE,DPU平面DEQP,

所以AC平面DEQP.

從而AC平面QE0.

故線段4B上存在點°,使得AC平面。EQ.

課時精練

立基礎(chǔ)保分練

1.（2022?哈爾濱模擬）設(shè)“，〃是兩條不同的直線，。是平面，機(jī)，〃不在α內(nèi)，下列結(jié)論中錯

誤的是（）

A.機(jī)-Lα,n//af則加_L〃

B.∕w±a,n.La,PPJtn//n

C./n?ɑ,則n//a

D.nt-Ln,n//a9則

答案D

解析對于A,??X〃a,由線面平行的性質(zhì)定理可知，過直線〃的平面S與平面。的交線/

平行于小

*/?n?ɑ,IUa,Λzn?/,

Λ∕π±n,故A正確；

對于B,若機(jī)_La,π±α,由直線與平面垂直的性質(zhì)，可得加〃小故B正確；

對于C,若加_La,∕W±H,貝i」九〃Ct或〃Uα,又聞α,.?n∕∕a,故C正確；

對于D,若加_!_〃，n//at則加〃α或相與α相交或〃?UQ,而則〃7〃a或機(jī)與ɑ相交，

故D錯誤.

2.已知〃?，/是兩條不同的直線，α,α是兩個不同的平面，則下列可以推出。_LS的是（）

A.機(jī)_L/,mU.,/_La

B.∕n±/,aC?β=l,ιn^a

C.m//Lιn,La1I邛

D.I.Lafm//1,m∕∕β

答案D

解析對于A,有可能出現(xiàn)ɑ,4平行這種情況，故A錯誤；對于B,會出現(xiàn)平面α,尸相交

但不垂直的情況，故B錯誤；對于C,m〃I,m?a,B，故C錯誤；對于D,ILa1

m//∕=>m±a,又由〃2〃/?=a_L￡,故D正確.

3.如圖，在斜三棱柱ABC—AiBG中，ZθAC=90o,BC∣±AC,則G在底面ABC上的射影

H必在（）

BE--------C

∕?x77

B：C1

A1

A.直線A3上

B.直線BC上

C.直線AC上

D.2λABC內(nèi)部

答案A

解析由ACJ_AB,ACA-BCi,ABQBCt=B,AB,BClU平面ABG,得4C_L平面ABc卜

因為ACU平面ABC,

所以平面ABCll?平面ABC.

所以G在平面ABC上的射影”必在兩平面的交線AB上.

4.在正方體A8Cf>-A∣BlGOl中，下列命題中正確的是（）

A.AC與SC是相交直線且垂直

B.AC與A。是異面直線且垂直

C.8。與BC是相交直線且垂直

D.AC與BDi是異面直線且垂直

答案D

解析如圖，連接AS,則AABC為等邊三角形，則AC與BC是相交直線且所成角為60。,

故A錯誤；

因為4O〃8iC,所以AC與40是異面直線且所成角為60。，故B錯誤；

連接C。，因為BCL平面CQQlC1,所以BCLCC∣,所以B。與BC所成角為NZλBC,為

銳角，故C錯誤；

連接BD,因為AC_L8O,ACA-DDi,且BO∩QO∣=O,BD,DDlU平面BOA,

所以ACL平面2OZλ,則ACL8Z）∣,則AC與8。是異面直線且垂直，故D正確.

5.如圖，在正四面體P-ABC中，D,E,尸分別是A8,BC,CA的中點，下面四個結(jié)論不成

立的是（）

A.BC〃平面PO尸

B.。尸J_平面PAE

C.平面PDF_L平面

D.平面PDEJL平面ABC

答案D

解析因為BC〃。尸，。F-U平面PoF,

Bea平面PDF,

所以BC〃平面POF,故選項A正確;

在正四面體中，AELBC,PE±BC,AECPE=E,

且AE,PEU平面∕?E,所以BCj"平面Λ4E,

因為。F〃BC,所以。F_L平面B4E,

又QFU平面PDF,從而平面PZ)F_L平面PAE.

因此選項B,C均正確.

6.(2021?新高考全國∏改編)如圖，在正方體中，。為底面的中心，P為所在棱的中點，M,

N為正方體的頂點.則滿足MN，。P的是()

A.①②B.①③

C.②③D.③④

答案C

解析設(shè)正方體的棱長為2,

對于①，如圖(1)所示，連接AC,則MN〃AC,

圖⑴

故NPOC(或其補(bǔ)角)為異面直線OP,MN所成的角,

在RtAOPC中，

0C=√2,CP=I,

故tanN,

故MALLO尸不成立.

對于②，如圖(2)所示，取AN的中點B,連接尸B,OB,

圖⑵

則OP=W2+（6）2=小,pβ=√2,OB=Nl2+22=小,

所以O(shè)P2+PB2=OB2,

所以O(shè)PLPB,

又PB〃MN,所以。P_LMN.

對于③，如圖(3)所示，取A。的中點C,連接OC,PC,BD,因為P,C分別是。E,Ao的

中點，所以CP_LB。，又OC_L平面AOEB,BDU平面ADEB,

圖⑶

所以。C_LB。，又OCCCP=C,OC,CPU平面OC尸，所以8￡>_L平面OC尸，所以Boj_0P,

又BD//MN,

所以O(shè)PLMN.

對于④，如圖(4)所示，取AN的中點8,ME的中點凡連接PB,BF,OF,

圖⑷

若OPLMN,又OF_L平面MENA,所以O(shè)F_LMN,所以MML平面OFBP,

所以MN_LB尸，顯然，MV與B尸不可能垂直，所以O(shè)PJ_MN不成立.

7.已知442C在平面α內(nèi)，NA=9（Γ,D4"L平面α,則直線CA與DB的位置關(guān)系是

答案垂直

解析?.?QA"L平面α,CAU平面α,：.DALCA,

在?ABC中，VZA=90o,.".ABlCA,

且ZMClBA=A,DA,BAU平面QAB,

ΛCAl5FWDAB,又DBC5FWDAB,

C.CALDB.

8.如圖所示，在四棱錐P-ABC。中，底面A8CC,且底面各邊都相等，M是PC上的一

動點，當(dāng)點例滿足時，平面M8D，平面PCD（只要填寫一個你認(rèn)為正確的條

件即可）

答案Z）M_LPC（或BMlPC等）

解析：布，底面A8C。，

：.BDLPA,連接AC（圖略），

則Bol.AC,且∕?Γ∣AC=4,PA,ACU平面出C,

8。_L平面∕?C,；.BD±PC.

當(dāng)。M_LPC（或BM?1PC）時，即有PCi.平面MBD

而PCU平面PCD,

平面MBZ）J"平面PCD.

9.如圖，在三棱錐A-BC。中，ABLAD,BCLBD,平面ABo_L平面BC。，點￡尸（E與4,

。不重合）分別在棱A。，BD上,KEFlAD.

A

∕Γ?E

B'-D

C

求證：(1)EF〃平面ABC；

(,2)AD1AC.

證明(1)在平面ABO內(nèi)，

因為A8J_A￡>,EFlAD,

所以EF//AB.

又因為ERl平面ABC,A8u平面ABC,

所以EF〃平面ABC.

(2)因為平面ABQ_L平面BCD,平面ABon平面BCD=BD,

BCu平面8C￡>,BCLBD,所以8C_L平面ABD

因為AQU平面ABQ,所以BC_LAD

ABLAD,BCCAB=8,AB,BCU平面4BC,

所以AQ_L平面ABe

又因為ACU平面A8C,所以AQ_L4C.

10.如圖，在四棱錐P-ABC。中，底面ABCO是邊長為2的菱形，NBAo=60。，側(cè)面附O

為等邊三角形.

⑴求證：ADLPB-.

(2)若平面出Oj_平面ABCD,點E為尸B的中點，求三棱錐P—AOE的體積.

⑴證明如圖，取AO的中點0,連接08,OP,BD,

因為△勿。為等邊三角形，。是AO的中點，所以O(shè)P_LA￡>,

因為底面ABC。是菱形，ZBAD=GO0,

所以aABO是等邊三角形，O3"LAO,

因為OPnoB=0,OP,OBU平面尸08,

所以AZ)_L平面POB,

因為PBU平面POB,

所以AO_LPB.

(2)解因為底面ABC。是邊長為2的菱形，△以。為等邊三角形,

所以∕?=PO=4O=2,P0=√3,

底面ABCD的面積為2√5,

因為平面出。_1_平面ABCD,平面RAQC平面ABCo=A。，POLAD,

所以POJ_平面ABCD,

因為E為PB的中點，

所以Vp-ADE-VB-ADE-2^P-^BD=^^Vp-ABCD

=∣×∣×√3×2√3=∣.

應(yīng)技能提升練

11.《九章算術(shù)》中，將四個面都為直角三角形的四面體稱之為“鱉席”.在如圖所示的四棱

錐尸一ABC。中，PDJ_平面ABC￡>,底面A8C。是正方形，且PD=CD,點E,尸分別為尸C,

的中點，則圖中的鱉腌有（）

C.4個D.5個

答案C

解析由題意，因為Poj?底面ABC。，

所以PO_LOC,PDYBC,

又四邊形ABCD為正方形,所以BCj_。，

因為PDCCD=D,

所以BuL平面PCD,BCA.PC,

所以四面體P—OBC是一個鱉膈，

因為。EU平面PC。，所以BC_LDE,

因為PD=C。，點E是PC的中點，所以。E_LPC,

因為PC∩BC=C,所以QE，平面PBC,

可知四面體E-8C。的四個面都是直角三角形，即四面體E-BCD是一個鰲麝，

同理可得，四面體P-ABO和尸一ABD都是鱉腌.

12.如圖，在正方形ABCD中，E,F分別是BC,C。的中點，G是EF的中點.現(xiàn)在沿AE,

A尸及EF把這個正方形折成一個空間圖形，使8,C,。三點重合，重合后的點記為“.那么,

在這個空間圖形中必有（）

A.ΛG15F≡EFHB.A"_L平面EFH

C.HF_L平面AEFD.WGXjPffiAEF

答案B

解析根據(jù)折疊前、后A”_LHE,AHJ不變,

.,.Aa_L平面EF”，B正確；

：過A只有一條直線與平面EFH垂直，,A不正確;

,JAGVEF,EFVGH,AGCGH=G,AG,G"U平面HAG,

.?.EF，平面HAG,

又E尸U平面AEF,

平面HAG_L平面AEF,過點”作直線垂直于平面AEE一定在平面H4G內(nèi)，,C不正確；

由條件證不出“G_L平面AEE,D不正確.

13.如圖，在三棱柱ABC-4BICl中,已知AAl上平面ABC,BC=CCi,當(dāng)?shù)酌鍭IBlG滿足

條件時，有ABlJLBG.（注：填上你認(rèn)為正確的一種條件即可，不必考慮所有可能的

情況）

答案Alel_LBiCj

解析當(dāng)?shù)酌?5G滿足條件AIGLSG時,

有AB∣±BC∣.

理由如下：

?.,^4|_1平面43(7,BC=CCi,

四邊形BCGBi是正方形，.?.BC∣±B∣C,

'JCC↑∕∕AA?,ΛΛ,Cl±CCl.

又AICI_L8|G,CCi∩β∣C∣—Ci,

CC1,BICjU平面BeCIBI,

.?.A∣C∣J"平面BCCIB1,

?"AC∕∕A↑Ci,AUL平面BCGS,

?.?BClU平面BCCIBl,.?.BCi±AC,

VAC∩BiC=C,AC,8ιCU平面ACBι,

平面ACBi,

又ABIU平面ACB∣,

ΛΛB∣1βCι.

14.（2022?廣州模擬）如圖,在四棱錐S-ABCD中，底面四邊形ABCD為矩形,SA_L平面ABCD,

P,。分別是線段BS,A0的中點，點R在線段SO上.若AS=4,AD=2,ARLPQ,貝IJAR

答案竽

解析如圖，取SA的中點E,連接PE,QE.

：SA_L平面A8CO,ABU平面A8Cf>,

.?SALAB,

而ABj_A￡>,ADHSA=A,AD,&4U平面SA/）,

；.AB_L平面SA。，故尸E_L平面SA￡>,

又ARU平面SAD,

：.PElAR.

ARA.PQ,PECPQ=P,PE,PQU平面尸EQ,

；.AR_L平面PEQ,

YEQU平面尸EQ,.?ARLEQ,

'：E,。分別為SA,AD的中點,

.?EQ∕∕SD,貝IJARJ_SQ,

在RtZWSD中，Λ5=4,?D=1,

可求得SL>=2小，由等面積法可得AR=挈.

W拓展沖刺練

15.（2022?玉溪模擬）如圖，四棱錐P-ABC。的底面為矩形，底面ABCD,AD=I,PD

=AB=2,點E是PB的中點，過A,D,E三點的平面α與平面PBe的交線為/,則下列結(jié)

論正