高考數(shù)學復習資料：9 圓錐曲線（理科）解答題30題 教師版

專題9圓錐曲線(理科)解答題30題

1.(江西省萍鄉(xiāng)市2023屆高三上學期期末考試數(shù)學(理)試題)已知橢圓E的中心在

原點，周長為8的“J8C的頂點，/卜百,0)為橢圓E的左焦點，頂點8,C在E上，

且邊BC過E的右焦點.

(1)求橢圓E的標準方程；

(2)橢圓E的上、下頂點分別為MN,點尸(見2)(“7WR√WHO),若直線尸MPN與橢圓E

的另一個交點分別為點S,T,證明：直線S7過定點，并求該定點坐標.

【答案】⑴二+/=1

4

⑵證明見解析，(0,；)

【分析】(1)根據(jù)橢圓定義直接求解即可；

(2)求出S,T的坐標，寫出直線ST方程即可求出定點坐標.

【詳解】(1)由題意知，橢圓E的焦點在X軸上，

22

以所I以次以設州橢心圓I刀方住程力為F*十+ZAy=Il(la>Z>>UJ0,),焦>Λi距為2c(c>0),

所以?/lBC周長為4α=8,即α=2,a2=4

因為左焦點/卜6,0),所以c=√LC2=3,

所以∕=∕-c

所以橢圓E的標準方程為一+V=1

⑵由題意知，Λ∕(0,l),TV(O-I),直線PS,PT,ST斜率均存在,

所以直線PS:y=±+1,與橢圓方程聯(lián)立得("+4)χ2+8ZMx=0,

Δ=64加2>0對m∈R,∕π≠0恒成立,

24m_36-TW2

陽2+36'*m2+36

W2-436—w2

7

zΛ~Λ∕Π74~∕√736.144--=（12-也（12+嗔12-

2

xs-xτ-8-24加1劭、19加16w[12+/M）16〃

tn2+4m2+36

12—77?m2-412-∕√1

所以直線ST方程為：了=與上+-T=---------X+—

in"+416w2

所以直線ST過定點，定點坐標為(0,；)

2.(河南省三門峽市2022-2023學年高三上學期第一次大練習(期末)數(shù)學(理科)試

22

-r,Jz

題)已知橢圓。7+F=l("b>0)的左、右頂點分別為4B,。為坐標原點，直

線/：x=l與C的兩個交點和O,8構成一個面積為指的菱形.

(1)求C的方程；

(2)圓E過。，B,交/于點N,直線∕Λ∕,NN分別交C于另一點尸，Q.

①求LKQ的值；

②證明：直線尸。過定點.

【答案】⑴《+仁=I

42

(2)①-"；②證明見解析

【分析】(D由題意可知E點坐標得α,設。(L%)為直線/與C的一個交點，由菱形

面積求出點坐標代入橢圓方程求出/即可得解；

(2)①設"(L%),N(l,%),由題意可得兩.麗=0,再由斜率公式即可求解；

②設直線P。的方程為x=my+f(fw-2),聯(lián)立橢圓方程，根據(jù)根與系數(shù)的關系求出直

線直線尸。的方程為X=吵+1]4,即可求出直線過定點.

【詳解】(1)因為直線/：X=I與C的兩個交點和O,8構成的四邊形是菱形，

所以/垂直平分08,所以8(2,0),α=2.

設。(1,%)為直線/與C的一個交點，則菱形的面積為;x2x∣2R=2尻].

因為菱形的面積為所以2|刃=指，解得為=士*，即。(1,土*)

將點。L±T代入￡+/=|，得*去5又因為a?=%所以"=2.

故。的方程為片+廣

=1.

42

(2)①由題意，得08為圓E的一條弦，且直線x=l垂直平分該弦,

故直線x=l經過圓心瓦所以MN為圓E的直徑，因此NΛ∕ON=9(Γ,即兩.麗=0.

設M(l,%),N(IjN),則將?"=T.

注意到G/,則L/=必產=J.

又因為KfM=，KV=32，所以的尸=-".

②易知直線P0不可能平行于X軸，則設直線尸。的方程為X=叼+t(f≠-2),P(XQJ,

。小，%).

X=my+t

由X2y2,得(/+2)/+2胴卬+/一4二。

---F—=1

142

Δ=ΦΠ2Z2-4(∕M2+2)(∕2-4)=8(2W2+4-Z2)>0,(*)

2mtt2-A

%十%二一月S=E①

因為3∕>=Ty,kAQ=~~τ,所以.一?

,

x1+2x2+2x1+2X2+29

即--------------------二」

'(〃少[+/+2)(〃%+1+2)9,

EU________≡________=

-My2+m(t+2)(必+%)+(￡+2)29

∕2-41

將①代入上式得/2(7-4)-2”凸0+2)+?+2)2(〃/+2)=9,

/—2114

化簡得丸K=-己，解得f=\，滿足(*)，

4ICI乙)7I1

所以直線PQ的方程為冗=〃?y+/14，

故直線尸2過定點(9，°]

3.(河南省新鄉(xiāng)市多校聯(lián)考2022-2023學年高三下學期入學測試(理科)數(shù)學試題)已

知橢圓。:二+/=1,B的三個頂點都在橢圓C上，且尸為橢圓C的左頂點，直

4'

線4B經過點(-1,0).

(1)求AmB面積的最大值.

(2)若APAB三邊所在的直線斜率都存在，且分別記為%,%,心，試判斷L(%+kpB)

是否為定值.若是，求出該定值；若不是，請說明理由.

【答案】Q吟

(2)是定值，定值為-1.

【分析】(D求出點尸的坐標，設出直線N8的方程，與橢圓方程聯(lián)立，再求出三角形

面積的函數(shù)關系式，利用對勾函數(shù)求出最值作答.

(2)利用(1)中信息，結合斜率坐標公式及韋達定理求解作答.

【詳解】(1)橢圓C工+/=1的左頂點尸(-2,0),顯然直線48不垂直于y軸,

4

設直線的方程為X=myT,HXQι),8(%,必)，

由IXe肖去X得：11+4)V-2即-3=0,

X+4y=4''

,2m-3

貝n」l乂+%==??，

m+4m÷4

因此

?AB?=y∣l+m2-^y+y)1-4yy=4+m2-4/12

t2i2(/M2+4)2'm1+4

τ?則

而點P到直線/8的距離”

√1+加

1,2+3._______2

Scm,=5lMjdBIld=

2

y∕m+3+z?

√∕M2+3

^∕=√^773>√3.函數(shù)f+1在f∈[√J,+oo)上單調遞增,

則當"√L即M=O時，J加J+3+7^77取得最小值卡，

所以AP/8面積的最大值為3.

2

二必二必?

(2)由⑴知,∕n≠0,kpA

x1+2myλ+1m

Jl加必必+

則k.B(kp"+kpB)2M+%

m后乂必+對

my2+1；MX++1

_IX加？+4W2+4_IXYm_1

m-3m~2m,m4

-?——+―i~~-+1

W+4nΓ+4

所以^AB〈kpA+kpβ)為定值，口kAB(kpA+kpβ^=—1.

4.(河南省駐馬店市2022?2023學年高三上學期期末統(tǒng)一考試數(shù)學(理科)試題)已知

雙曲線匚m-4=1(“>0,/>>0)的左、右焦點分別是冗，居，點P(2,l)在雙曲線C上，

ab

S.?PFi?-?PF2?=2y∕2.

(1)求雙曲線C的標準方程；

⑵直線/與雙曲線C的左支交于aB兩點，直線NP,8尸分別與y軸交于Al,N兩點,

且兩=-麗，試問直線/是否過定點？若是，求出該定點坐標；若不是，請說明理由.

γ2

【答案】(I)'-/=1

⑵過定點，定點坐標為(OJ)

【分析】(I)由雙曲線定義可知2α=2√L結合點P(2,l)在雙曲線C上，求出。力，得

到雙曲線的標準方程；

(2)設直線/：x=my+tt與雙曲線的方程聯(lián)立，由韋達定理得乂+力，乂力，寫出直

線4P,8尸的方程，求得M,N兩點的坐標，結合的=-而，可求得加,，的關系式,

從而得出定點坐標.

41

———二?1,

【詳解】(1)由題意可得■bb^,解得。=血力=1

2α=2√2

丫2

故雙曲線。的標準方程為土-V=L

2

⑵由題意可知直線/的斜率不為0,設直線/：x=my+t_A(xi,yl),B(x2,y2)

X=my+t

聯(lián)立公2整理得2)/+2My+/-2=0

---y=1

2

Imtt2-2

貝IJM+%=-

直線”尸的方程為V=色(>2)+l,令A°,得”黃,貝尚0,女WL

IX-2)

直線8P的方程為》=J(x-2)+l,令χ=o得y=三二半，則N(0,受二學

X2-2X2-21X2-2

因為兩=-而，所以士=1+上二華=0,

X1-ZX2-Z

x

整理得X1X2-(x1+x2)-(xj^2+2y↑)+2(必+必)=0

乂％=myλ+1,x2=my2+￡,

所以(加2-2加”咫+(加￡一〃?一/+2)(必+%)+『-2f=0,

則(加2~~—+(w∕-∕w-/+2)f——T')+『-2/=0

1,m1-2v?m2-2J

即m2+t2+2mt-2m-2t=0,BP(m+Z)2-2(∕w+/)=0

得(〃?+1—2)(〃?+Z)=0,解得)2+/—2=0或M+∕=O

當陽+-2=0時，直線/經過點P,與題意不符;

當林+,=O時，直線/：x=my-mt則直線/過定點(0,1).

故直線/過定點(0,1).

5.(青海省西寧市城西區(qū)青海涅川中學2022-2023學年高三上學期一模理科數(shù)學試題)

已知0,券)，8(乎,2)為橢圓C上兩點，6為橢圓C的左焦點.

⑴求橢圓C的方程；

(2)設直線/號=丘+機與橢圓C有且僅有一個公共點，與直線4：x=-3交于點用，與直

線4：x=3交于點N,證明：MFtVNFi.

【答案】(1)[+!=1

yo

(2)證明見解析

【分析】⑴設橢圓方程為∕n√+砂2=],代入兩點，計算得到答案

(2)考慮左=0和左≠0兩種情況，計算交點坐標，根據(jù)直線與橢圓只有一個交點得到

W2=9F+8,計算麗?麗=O得到證明.

【詳解】(I)設橢圓方程為/nd+/=1(w>0,n>0),

.16,

3m+——n=1

3

9，

-m+4n=?

、2

解得加=，〃故所求橢圓C的標準方程為卷+《=L

(2)當上=0時，直線∕f=±2√L直線/與直線人4聯(lián)立，

可得”卜3,20),43,2&)或M卜3,-2√Σ),7v(3,-2√2),耳(一1,0),

所以麗?麗=0,所以町IN4.

當左≠0時，直線/與直線心4聯(lián)立，可得M(-3,-3%+加)，N[3,3k+m)t

所以做=(-2,-3%+加)，箴=(4,3k+m),所以砸.取=-8+“∕-9%2

V/=

聯(lián)立(6+9-,得(9/+8)—+18加α+9∕∏2-72=0,

y=kx-st-m

直線/與橢圓C有且僅有一個公共點，△=(18ΛW)2-4(?2+8)(9W2-72)=0,

化筒得病=9公+8,所以砸?麗=-8+/一%2=0,所以“耳IN耳.

綜上所述：MFlLNFi.

6.(甘肅省蘭州市第六十一中學2023屆高三上學期第一次質量檢測理科數(shù)學試題)已

知橢圓C：'+(=l(4>b>0)的離心率為十,右頂點為4上頂點為5,右焦點為F,

斜率為2的直線經過點A,且點尸到直線的距離為漢1.

5

(1)求橢圓C的標準方程；

⑵若直線/：>=-+，”與橢圓C交于反尸兩點(從尸兩點與48兩點不重合)，且

以E尸為直徑的圓過橢圓C的右頂點，證明：直線/過定點，并求出該定點坐標.

【答案】(1)二+片=1;

43

(2)證明見解析，定點停,0).

【分析】⑴利用待定系數(shù)法求出橢圓的標準方程；⑵利用“設而不求法”得到桃=-多2,

即可證明.

【詳解】(1)由題可知,直線的方程為y=2(x-α),即2x-y-2α=0,

右焦點F到直線的距離為B例=巫.

√55

乂?.?橢圓C的離心率為e=-=1,即代入上式得α=2,C=1,所以從=片一￠2=4一1=3.

a2

22

二橢圓C的方程為三+匕=L

43

χ22

+y1

(2)由，43'得：(3+4∕)χ2+法郎+4∕√-12=0.

y=kx+m,

由△=64∕C2W2-4(3+4/)(4/_12)>0得：m2<4k2+3.

設E(XQJ,尸⑷,九),橢圓的右焦點為。(2,0),則%+%=-*，,X/=強LW,

^3+4AJ-3+4AJ

〃、,,、3m2-?2k2

y↑y2=(g+⑼2+⑼=aa—

3I^TK

因為以EF為直徑的圓過橢圓C的右頂點，所以ZEIZ/，所以荏.簫=0,即

(Xl-2)(Λ?-2)+W>2=0,

代人化簡得：Imi1+?6km+Ak2=0.

2

解得：m=-^k,m=-2k,皆滿足Z√<4F+3.

當m=-2%時，直線E尸的方程為尸h-2無=MX-2)過點(2,0),不符合題意.

當”=-夫時，直線EF的方程為V=Ax-全=%(x*)過點t'0)'符合題意.

綜上：直線/過定點停0).

7.(河北省唐山市2021屆高三上學期第一次摸底數(shù)學試題)已知橢圓

E:5+∕=l(a>6>0)的離心率為手，直線/：X=W+1交E于A,B兩點；當/=0時,

悶￥

(1)求E的方程；

(2)設/在直線X=3上的射影為。，證明：直線BQ過定點，并求定點坐標.

2

【答案】⑴qv+V=l;⑵證明見解析，定點(2,0).

【分析】(1)首先根據(jù)題意得到/=3/,橢圓過點[坐■],從而得到α=6，6=L

即可得到橢圓的標準方程.

⑵首先設HxQJ,8區(qū)外),則以3,必)，聯(lián)立橢圓與直線得到1+3)/+2卬-2=0.

利用根系關系得到加?%=乂+%,再寫出直線8。：了=三二?(x-3)+%,利用根系關

Xz—3

系即可得到定點.

【詳解】⑴由題意得e2=?4=??l=Z,整理得/=3/，

a1a23

由t=o時，MM=半，得到橢圓過點,當)，得?+京=L

因此α=√Lb=?,故E的方程是二+必=1.

3

(2)設4(χ∕J,B(x29y2)t則。(3,必).

將X="+l代入:+y2=l得卜2+3力2+2夕_2=0

2t2

…=F'"2=F’.

從而供?%=必+%①.

直線。:+耳，設直線與軸的交點為

8y=2L∑Λ(X-3)BDX(?,θ),

X2~?

則為二??(%-3)+χ=0,.

Xj~J

所以//Cf*J。-網(wǎng)+3=2χ-?2+3,.

y2~yly2-yiy2~yi

將①式代入上式可得距=2.

故直線比>過定點(2,0).

【點睛】本題第一問考查橢圓的標準方程，第二問考查直線與橢圓的位置關系，同時考

查學生的計算能力，屬于中檔題.

8.(專題54圓錐曲線大題解題模板-2021年高考一輪數(shù)學單元復習一遍過(新高考地區(qū)

專用))已知橢圓C：*→∕=l(a>b>0)經過點(I),一個焦點為(6,0).

(1)求橢圓C的方程；

(2)若直線歹=左口-1)(%*0)與丫軸交于點尸，與橢圓C交于A、B兩點,線段ZB的

垂直平分線與X軸交于點。，求需的取值范圍.

【答案】(1)-+y2=?;(2)(4,4√3).

4

【解析】(1)依題意C=6，代入點(L*),結合條件求解b的值，則橢圓

方程可求；

(2)聯(lián)立直線和橢圓方程，利用根與系數(shù)關系求出A.8橫縱坐標的和與積，進一步

求得力8的垂直平分線方程，求得。的坐標，由兩點間的距離公式求得I尸。|,由弦長公

式求得MBI,作比后求得博的取值范圍.

13

【詳解】(1)由題意得/一〃=3,/+木=1，解得。=2、b=l,

「.橢圓C的方程是—+?2=1；

4

(2)把J，=%(XT)代入三+/=1得(1+4F)X2_8h+4公_4=0,△>()恒成立，

4

xχ,

設4區(qū)，必)、S(x2,外)，則有x∣+%2=??j,ι?2=Γ?Γ

?I^rK1+

2k4“2k

yt+y2=+χ2-2)=--——τ,線段48的中點坐標為(-4-----萬)，

1+4攵~1+4A-1+4k

.?.線段AB的垂直平分線方程為y-(--J)=-?u-^?),

1+4Λ^k1+4火

2

τtιc

于是，線段/8的垂直平分線與X軸的交點ec-?,o),

1+4Λ^

又點P(1,0),

.IPQI=1__=

一I團1+46]+4/，

又如J92)[(94—4j(l+V)(i+3∕)

1+4人2

4j(l+%2)(i+3∕)

1+4〃

■I1+F_

1+4F

.?.l<3-?<3.

.??瑞的取值范圍為(4,40).

【點晴】關鍵點點睛：設直線方程后，聯(lián)立橢圓方程，利用韋達定理，求弦長的表達式,

同時可得弦的中點，求出IPa的長，得到扁關于人的表達式，求值域即可.

9.(陜西省銅川市王益中學2023屆高三下學期一模理科數(shù)學試題)已知點Λ/,N分別

是橢圓C:=l(a>6>0)的右頂點與上頂點，原點O到直線MN的距離為必，

a2b22

且橢圓的離心率為好.

3

(1)求橢圓C的方程;

(2)斜率不為0的直線經過橢圓右焦點K,并且與橢圓交于48兩點，點尸在橢圓上,

。為原點，若OA=LoN+30瓦求直線48的方程.

22

【答案】([)；+/=]；

(2)x=y+>/2或X=-P+V∑.

c_瓜

^a~~i

【分析】(I)由已知可推出直線MN的方程為版+@-M=O.由已知可得b2=?2+c2

ab_?/?

y∣a2+b22

解方程組即可得出答案;

(2)設45的方程為X=叩+&.聯(lián)立直線與橢圓的方程，得出

2

(W+3)∕+2√2^-1=0,由韋達定理得出4B坐標之間的關系，表示出點P.代入橢

圓方程,整理化簡即可得出X%+3JM=O,代入即可得出川的值.

【詳解】(1)由已知可得，M(α,0),N(0,b),所以直線MV的方程可設為二+4=1,

aD

即bx+ay-ab=O.

所以點。到直線腦V的距離d=?,≠-=*.

yja2+b22

又橢圓的離心率為逅，所以e=￡=逅.

3a3

c瓜

a~3/=3

聯(lián)立a2=b2+c2,解得?b2=\,

ab_?/?d=2

y∣a2+b22

2

故橢圓方程為二r+/=1.

3

(2)由(1)知，橢圓的右焦點為(√Iθ),設直線48的方程為X=W+0.

設N(X∣,M),8(%,%),戶(即，兒).

聯(lián)立直線48與橢圓的方程,消X得(W2+3)/+2近my—1=0,

_-2y∣2m

必+y22

由韋達定理可得W+3

T

y^2=

m2+3

16

@-

12T

就

-2所以

21

-√I

2T

y2

因為點尸在橢圓上，

所以

爭*=心+軻+(6+￡)

=聆+。局＞4T^(ΓΛ+Y'Y2)

13y∣3(1??Q

=~+~+^^-l?xi?^2÷?l?z1=1,所rc以nf玉々+3%P2=n°?

2

因為七工2=(加必+J∑)(m8+V2)=^yiy2+/w(必+必)+2

2

xlx2+3yiy2=(m+3)×—-+41m×+2=O.

',W+3加+3

化簡得〃/_1=0,得加=±1,

當"?=1時，直線/8的方程為X=y+V∑;當團=-1時，直線/8的方程為x=-y+V∑.

綜上，直線48的方程為X=y+JΣ或X=-y+.

10.(陜西省聯(lián)盟學校2023屆高三下學期第一次大聯(lián)考理科數(shù)學試題)已知6，鳥為

橢圓E：E→3=l的上、下焦點，P(XO,九)為平面內一個動點，其中%>0.

⑴若IP用+|尸用=3應，求△耳因面積的最大值；

⑵記射線HP與橢圓E交于M(X∣,M),射線與橢圓E交于N(%,%),若麗//麗，

探求％,占，芍之間的關系.

【答案】(D√2

11I

⑵一=一+—

?Xix2

【分析】(D先根據(jù)橢圓定義得出橢圓方程,在根據(jù)X。的范圍求出面積的最大值；

(2)分別設出兩個射線gN和耳M,再聯(lián)立方程結合向量平行得出質,X1,范之間的關系?

【詳解】(I)由題可知橢圓E金+二=1的上、下焦點6(0,2),Q(O,-2),

84

又因為附∣+∣PEI=3√Σ,所以20=3√Σ,C=2,6=4，

yXf—

則點P(?o,幾)為橢圓至+T-1上一點，且配≥%>O,

222

則SAFZ=l.∣∕r^∣.χ0≤lχ4χ^=√2,「是△耳P工面積的最大值為√2.

(2)射線巴N的方程為y=%J'x-2(XN0),

射線FtM的方程為?=金x+2(X≥0),

x?

%+2?

y=—-χ-2,

X

聯(lián)立2

y=^z^-x+2,

xI

解得xJ'∕LWX+2x∣+2xJ=4,①

中2

又麗//麗，貝∣J^^=2^O%X∣-X2M=2X∣+2X2,②

將②代人①，得L=L+L.

XoXjX2

11.(山西省太原市2022屆高三下學期模擬三理科數(shù)學試題)已知橢圓

。：4+￡=1伍>6>0)過點?(0,1),離心率為6=字

(1)求橢圓C的方程；

(2)當過點M4,1)的動直線與橢圓C相交于不同的兩點a8時，在線段上取點N,

滿足AM=-λMB,AN=ANB求線段PN長的最小值.

【答案】⑴工+金=1

42

uι2√10-√5

【分析】(1)由橢圓的幾何性質列方程組求解

(2)由定比分點公式化簡得N點軌跡方程，由點到直線距離公式求解

工交

【詳解】(D根據(jù)題意，°2'解得/=4,b2=2,

b2v1=1,

橢圓C的方程為蘭+廣=1

42

(2)設Z(x1,必)，B(x2,y2),N(x,y),

由翔=-7MBjN=麗，

x-λrX,+Xx

4=12X=--------1

1—λl+λ

得

,X+W

1=ZL?y=

1+λ

2Λ22

.?.4x=WH-X乃

,V=

l-λ2l-λ2

又x；+2y；=4,x；+2y；=4.

4—4λ"

■4Λ^+2^^F^4,

???點N在直線2x+y-2=0上,

,∣2√2+1-2∣2√2-l-2廂-加

PM

最小一FZT5

JV2

12.(山西省呂梁市2022屆高三三模理科數(shù)學試題)已知橢圓C*+方=1(〃>8>0)的

離心率為正，且過點

2I

(1)求橢圓C的方程；

(2)點A關于原點。的對稱點為點8,與直線43平行的直線/與C交于點",N,直線

與BN交于點P,點P是否在定直線上？若在，求出該直線方程；若不在，請說明

理由.

【答案】（1）?+4=1

82

（2）點P在定直線y=X上.

a2

4b2

【分析】（1）解方程組/+不=I可得答案;

a2=b2+c2

⑵設胡（石,必）,N（//Z）,/的方程與橢圓方程聯(lián)立利用韋達定理代人

陽M=料，J'=等，可得直線期的方程、直線的的方程，聯(lián)立兩直線方程得

1m2mX-X?-4

…，由￡=÷1化簡可得答案.

2X]-2,xl-22N+x2

(1)

￡=在

a2

4b2a2=8

由題意得/+*="叫

b2=2,

222

a=b+c

所以橢圓C的方程是片+廣=1.

82

(2)

點P是在定直線y=-gx上，理由如下，

由⑴知/(2,l),8(-2,-l),設“(再,乂),義卜,力)，

2

l-.y=→+nι,m≠O,將/的方程與《+金=1聯(lián)立消y,+2mx+2m-4=0.

282

222

則Δ=4w-4(2w—4)>0,得一2V"z<2且加工0,Kx1+x2=-2m,x}x2=2m-4,

11

因為左=Azl=Jj_____=3rn/：=%+1_22=Lm

sλ

""xl-2x∣—22x1-25x2+2x2+22x2+2

1mmI2m

所以直線/“的方程為》-1=(x—2),即y=

2X]-2∣÷玉一2JXj—2

直.線z,,BN的方程為k.1+(?+寧rn卜L+2),即、七f1+彳m卜?+2/m,

I/Tinι2m2tn

聯(lián)立直線/〃與直線BN的方程，得-----------X=-------1-------

(玉一

2x2+2Jxj—2G+2

得呼=_生止耳(1tnIm

r5Kxp

X∣一X2—4~^l'

所以"=仕+*_]+用L號三二'Um(寸)+尸：4)

Xp12x1-2yx1-22(x1+x2)2(c1-2+x2J

12x,-412m1

=F/7?,----------------------=—+----------=.

2(x1-2)(xl+x2)2x1+x22

所以點P在定直線V=X上.

13.(內蒙古赤峰市2023屆高三上學期1月模擬考試理科數(shù)學試題)已知拋物線

Ctx2=4y,過其焦點F的直線與C相交于4B兩點,分別以48為切點作C的切

線，相交于點P

(1)求點P的軌跡方程；

(2)若Pa尸8與X軸分別交于0,R兩點,令APyIB的面積為￡,四邊形PKF0面積為

身,求今的最小值.

【答案】(l)y=T

(2)2

【分析】(D利用導數(shù)的幾何意義分別表示出L和％,設P(X。,幾)，分別代入，由直

線系方程得到=又由直線/8過焦點尸，即可判斷出比=-1；

(2)利用“設而不求法”分別求出S=：(片+4)府7,證明出四邊形PRF0為矩形，

求出其面積Sl,進而求出?的最小值.

2Y

【詳解】⑴拋物線Cd="的焦點F(0,1).由f="得y=乙v，√=±.

42

設“(”)，B(x2,y2γP(x”。)，由導數(shù)的幾何意義可得：L吟,kpB吟，

χχ

1PA-y-yι=y(-ι).即y=同理Lf=∕χ-%?

,

Λ=y?-Jιr

又尸在尸4PB上,則，所以的：尸寸X-典.

Λ=y?-Λ

?.?直線”過焦點產，.?.％=-l.所以點尸的軌跡方程是y=-L

(2)由⑴知P(XO,T),/ziz√y=∕?x+l,代入Uf=4y得χ2-2x°x-4=0,

則卜+々=2%

、[xlx2=-4'

則∣N8I=必+%+2=：[(x∣+々)2-2x∣x?]+2=x：+4,

P到48的距離d=Jx；+4,所以SI=T(X：+4)&+4,

.4：V=A-M，當尸。時，得。S°)，

?^??=y×-=-1-,PAVFQ,同理&住,0),PBIFR.

由人%=9會=竽=T得P/1P8,二四邊形W0為矩形，

「IORI=5∣x∣-ZI=JXo+4,；.SZ-2S4PQR=JX：+4,

.?.∣L=∣(^O+4)≥2,當且僅當Xo=O時取等號.,要的最小值為2.

14.(內蒙古呼和浩特市2022屆高三第二次質量數(shù)據(jù)監(jiān)測理科數(shù)學試題)拋物線C的頂

點為坐標原點。，焦點在X軸上，直線/：χ=2交C于P,0兩點，且。尸1。。.已知

點M的坐標為(4,0),G)M與直線/相切.

(1)求拋物線C和G)AY的標準方程；

(2)已知點N(8,4),點4,H是C上的兩個點，且直線AH均與。M相切.判斷

直線44與G)M的位置關系，并說明理由.

【答案】⑴/=2x,(x-4p+y2=4

(2)相切，理由見解析

【分析】(1)由題意設拋物線C的方程為∕=2px,將x=2代入可求出P,。兩點坐標,

再由OPi。?？傻?=可，從而可求得P的值，則可得拋物線的方程，由題意可得。M

的半徑為2,從而可求出。M的方程，

2

(2)由已知可得N(8,4)在拋物線上,設4(Μ，乂),A2(x2,y2),則可得"j,="，從

而可表示出直線協(xié)Ι的方程，由于直線與圓相切，所以由圓心到直線的距離等于半徑，

可得3占+4%-2=0,同理得W?的方程為3々+4%-2=0,所以可得

直線AiA2方程為3x+4y-2=O,進而可求出點M到直線A1A2距離，由此可得結論

(1)

由已知，設拋物線C的方程為V=2px(p>0),

當χ=2時，y2=4p,則y=±〃7，

所以不妨設P(2,廊)，ρ(2,-√47)j

因為。PlO。,所以麗?麗=0,

所以4-4p=0,解得P=I

所以拋物線C的/=2x,

因為。M與直線/：χ=2相切，Λ∕(4,0),

所以QM的半徑為2,

所以。的方程(x-4)~+y2=4

(2)

由已知可得N(8,4)在拋物線上，設4(XQJ,A2(x2,y2)

kJL4」「4M_4_2

na2

所以'xi-8y∣g-16?,+4,

T-

2

所以的點斜式方程為V-=-Γ?(X-8)

必十4

整理可得2x_(4+yJy+4M=0.

∣8+4y,∣C

此直線與圓相切，可得T匚S=2,

>/4+(4+必)

平方后可得3"+8凹-4=0

又因為療=2x∣

化簡得3x∣+4y∣-2=0,

同理：A%的方程為3X2+4%-2=0,

所以直線44方程為3x+”-2=O,

所以點M到直線44距離為［-2∣=2,

√32+42

所以直線44與。M相切

15.(內蒙古通遼市2022屆高三4月模擬考試數(shù)學(理科)試題)已知拋物線

E:/=2px(p>0)的焦點為廠，準線為/,點尸(Xi),1)在拋物線E上，且歸尸∣=1.

(1)求拋物線E的標準方程.

⑵過尸的直線與拋物線E交于48兩點，與準線/交于C點，若直線P∕,P8,PC的斜率

分別為占他，％,證明:七是尢，內的等差中項.

【答案】(l)∕=2x;

(2)證明見解析.

【分析】(1)設出P的坐標，根據(jù)點在拋物線上,IPFI=I列方程組求解；(2)設出直線

48方.程，和拋物線聯(lián)立，結合韋達定理求解.

(1)

由拋物線的定義知IPFI=X0+=1,因為尸小,1)在:拋物線E上,所以2p%=1,解得p=1,

所以拋物線E的方程為∕=2χ.

(2)

由⑴知嗚,θ),Pe,1),Lχ=-g.

由題意，顯然直線48的斜率存在且不為0,設直線/8的方程為X=my+；,/(%,"),

'_?

8(々，力).聯(lián)立方程組，“m^+2,得/-2叩-1=0,則弘+%=2切，必%=T.因

,y2=2x

-?-?1