初中數(shù)學(xué)平行線壓軸題集錦

初中數(shù)學(xué)平行線壓軸題集錦【中考真題】

姓名班級學(xué)號分?jǐn)?shù)

1.已知，ZAOB=90°,點(diǎn)C在射線OA上，CD//OE.

(1)如圖1,若NOCD=120。，求N3OE1的度數(shù)；

(2)把NAOB=90。改為NAOB=120。，射線OE沿射線03平移，的CTE,其他條件不變，(如圖2所示)

探究NOCD、N3O上的數(shù)量關(guān)系；

(3)在(2)的條件下，作尸0,08垂足為0,與NOCD的平分線CP交于點(diǎn)尸，若NBOE=a,請用

含口的式子表示NCPO,(請直接寫出答案).

2.已知一個(gè)角的兩邊與另一個(gè)角的兩邊分別平行，請結(jié)合圖，探索這兩個(gè)角之間的關(guān)系，并說明理由.

(1)如圖①，AB//CD,BE//DF,N1與N2的關(guān)系；

證明：

(2)如圖②，AB//CD,BE//DF,/I與N2的關(guān)系時(shí)；

證明：

(3)經(jīng)過上述證明，我們可得出結(jié)論，如果一個(gè)角的兩邊與另一個(gè)角的兩邊分別平行，那么這兩個(gè)角

(4)若這兩個(gè)角的兩邊分別平行，且一個(gè)角比另一個(gè)角的3倍少60。，則這兩個(gè)角分別是多少度?

解：

圖①圖②

3.探索發(fā)現(xiàn)：

如圖1,已知直線/"4，且4和八4分別相交于A、3兩點(diǎn)，％和4、分別交于C、。兩點(diǎn)，NACP

記作/I,NfiDP記作N2,NCPD記作N3.點(diǎn)尸在線段上.

(1)若Nl=20。，N2=30。，請求出N3的度數(shù).

歸納總結(jié)：

(2)請你根據(jù)上述問題，請你找出圖1中/I、N2、N3之間的數(shù)量關(guān)系，并直接寫出你的結(jié)論.

實(shí)踐應(yīng)用：

(3)應(yīng)用(2)中的結(jié)論解答下列問題：如圖2,點(diǎn)A在3的北偏東40。的方向上，在C的北偏西45。的方

向上，請你根據(jù)上述結(jié)論直接寫出的C的度數(shù).

拓展延伸：

(4)如果點(diǎn)尸在直線匕上且在A、3兩點(diǎn)外側(cè)運(yùn)動時(shí)，其他條件不變，試探究Nl、N2、N3之間的關(guān)系

(點(diǎn)P和A、3兩點(diǎn)不重合)，寫出你的結(jié)論并說明理由.

4.已知：如圖DE7/3C,Z1=Z3,CD±AB.

(1)試說明FG_LAB.

(2)若把條件改為FG_LAB,Z1=Z3,CDYAB,則DE7ABC嗎？說明理由.

(3)若把條件改為OE//BC、CDLBC,FG±AB,則N1=N3嗎？(不需說明理由，只答相等或不相

等)

5.已知：

如圖①，AB//CD,N1+N3與N2的關(guān)系時(shí)；

如圖②，AB//CD,N1+N3+N5與N2+N4的關(guān)系時(shí),證明你的結(jié)論.

說明理由：

如圖③，AB//CD,4+N3+N5+N7與N2+N4+N6的關(guān)系時(shí).

如圖④，AB//CD,/1+N3+N5+…+/(2"+1)與N2+N4+N6+…+N2”的關(guān)系.

(2)射線3尸、DF分別在NEBO、NBDE內(nèi)部交于點(diǎn)、尸,且N班D=150。，當(dāng)NABE:N￡BF=3:2時(shí)

試探究NBDF與NEDC的數(shù)量關(guān)系；(補(bǔ)全圖形，并說明理由)

(3)H為射線54上一動點(diǎn)(不與點(diǎn)3重合)，DK平分ZBDH,直接寫出NEDK與NDHB的數(shù)量關(guān)系:

派7.“一帶一路”讓中國和世界更緊密，“中歐鐵路”為了安全起見在某段鐵路兩旁安置了兩座可旋轉(zhuǎn)探

照燈.如圖1所示，燈A射線從AM開始順時(shí)針旋轉(zhuǎn)至4V便立即回轉(zhuǎn)，燈B射線從3尸開始順時(shí)針旋轉(zhuǎn)

至BQ便立即回轉(zhuǎn),兩燈不停交叉照射巡視.若燈A轉(zhuǎn)動的速度是每秒2度，燈B轉(zhuǎn)動的速度是每秒1度.假

定主道路是平行的，即PQ//MN,且Na4M:Nfi4N=2:l.

(1)填空：ZBAN=°；

(2)若燈3射線先轉(zhuǎn)動30秒，燈A射線才開始轉(zhuǎn)動，在燈B射線到達(dá)2。之前，A燈轉(zhuǎn)動幾秒，兩燈的

光束互相平行？

(3)如圖2,若兩燈同時(shí)轉(zhuǎn)動，在燈A射線到達(dá)4V之前.若射出的光束交于點(diǎn)C,過C作NACD交P。

于點(diǎn)D,且N4a>=120。，則在轉(zhuǎn)動過程中，請?zhí)骄縉54C與ZBCD的數(shù)量關(guān)系是否發(fā)生變化？若不變請

求出其數(shù)量關(guān)系；若改變，請說明理由.

（圖2）

X8.如圖，已知AM//3N,44=60。，點(diǎn)P是射線AM上一動點(diǎn)(與點(diǎn)A不重合)，BC,班>分別平

分ZABP和NPBN,分別交射線A"于點(diǎn)C,D.

(1)求NCBD的度數(shù)；

（2）當(dāng)點(diǎn)尸運(yùn)動時(shí)，的比值是否隨之變化？若不變，請求出這個(gè)比值；若變化，請找出變

化規(guī)律；

（3）當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動到某處時(shí)，ZACB=ZABD,求此時(shí)NABC的度數(shù).

M

N

9.如圖（1）所示：已知MN//P。，點(diǎn)3在上，點(diǎn)C在PQ上，點(diǎn)A在點(diǎn)臺的左側(cè)，點(diǎn)。在點(diǎn)C的

右側(cè)，ZADC.ZABC的平分線交于點(diǎn)E（不與3、。點(diǎn)重合），NCBN=110。.

（1）若NADQ=140。，則NBED的度數(shù)為（直接寫出結(jié)果即可）；

（2）若ZADQ=m。,將線段4）沿DC方向平移，使點(diǎn)。移動到點(diǎn)C的左側(cè)，其他條件不變，如圖（2）

所示，求NBED的度數(shù)（用含加的式子表示）.

圖(1)圖⑵

※川.如圖，已知/"4，分別和直線八交于點(diǎn)A、B,ME分別和直線4、乙交于點(diǎn)C、。點(diǎn)「

在上（尸點(diǎn)與A、B、〃三點(diǎn)不重合）.

(1)如果點(diǎn)尸在A、B兩點(diǎn)之間運(yùn)動時(shí)，/?、邛、/7之間有何數(shù)量關(guān)系請說明理由;

(2)如果點(diǎn)P在A、3兩點(diǎn)外側(cè)運(yùn)動時(shí)，/口、4、//有何數(shù)量關(guān)系（只需寫出結(jié)論）.

ZP./D之間的關(guān)系時(shí).

②如圖2,AB//CD,則/4、ZE.NC之間的關(guān)系時(shí)

⑵①將圖1中54繞3點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)一定角度交CD于如圖3).

證明：ZBPD=Z1+Z2+Z3

②將圖2中回繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)一定角度交CD于如圖4)

證明：NE+NC+NCH4+NA=360°

(3)利用(2)中的結(jié)論求圖5中/4+/6+^^+/。+/￡+/尸的度數(shù).

12.長江汛期即將來臨，防汛指揮部在一危險(xiǎn)地帶兩岸各安置了一探照燈，便于夜間查看江水及兩岸河堤

的情況.如圖，燈A射線自AM順時(shí)針旋轉(zhuǎn)至AN便立即回轉(zhuǎn)，燈3射線自5P順時(shí)針旋轉(zhuǎn)至3。便立即

回轉(zhuǎn)，兩燈不停交叉照射巡視.若燈A轉(zhuǎn)動的速度是3。/秒，燈5轉(zhuǎn)動的速度是1。/秒，假定這一帶長江兩

岸河堤是平行的，即「且NBAN=45。.

(1)若兩燈同時(shí)轉(zhuǎn)動，90秒時(shí)，兩束光線的位置關(guān)系是；(填“平行”或“垂直”或“相交”)

(2)若燈8射線先轉(zhuǎn)動20秒，燈A射線才開始轉(zhuǎn)動，在燈8射線到達(dá)3。之前，A燈轉(zhuǎn)動幾秒，兩燈的

光束互相平行？

(3)如圖，兩燈同時(shí)轉(zhuǎn)動，在燈A射線到達(dá)AN之前.若射出的光束交于點(diǎn)C,過C作COLAC交尸。

于點(diǎn)。，則在轉(zhuǎn)動過程中，/8AC與/BCD的數(shù)量關(guān)系是否發(fā)生變化？若不變，請求出其數(shù)量關(guān)系；若改

變，請求出其取值范圍.

※心.一副三角板按如圖所示疊放在一起，其中點(diǎn)3、O重合，若固定三角形AOB,改變△ACZ＞的位置

(其中A點(diǎn)位置始終不變)，使三角形AC。的一邊與三角形A03的某一邊平行時(shí)，求出N3AO的所有可

能的值.

※乂.如圖所示，直線EF〃G〃，點(diǎn)、B,A分別在直線E尸，GH上連接A3,在A5左側(cè)作三角形A5C,

其中NAC5=90°,且NZM3=NA4C,直線5。平分NMC,交直線G77于O,

（1）點(diǎn)C恰在￡1/上，如圖1所示，則NDBA=.

（2）將A點(diǎn)向左移動，其他條件不變，如圖2所示，則（1）中的結(jié)論還成立嗎？若成立，證明你的結(jié)論；

若不成立，說明你的理由.

（3）若將題目條件“/ACB=90°”改為“/AC8=120°”，其他條件不變，那么=

.（直接寫出結(jié)果，不必證明）

※狀.實(shí)驗(yàn)證明，平面鏡反射光線的規(guī)律是：射到平面鏡上的光線和被反射出的光線與平面鏡所夾的銳角

相等.如圖1,一束光線機(jī)射到平面鏡。上，被a反射后的光線為"，則入射光線機(jī)、反射光線〃與平面

鏡a所夾的銳角N1=N2.

《1）利用這個(gè)規(guī)律人們制作了潛望鏡，圖2是潛望鏡工作原理示意圖,AB、C。是平行放置的兩面平面鏡.已

知光線經(jīng)過平面鏡反射時(shí)，有N1=N2,/3=/4,請解釋進(jìn)入潛望鏡的光線相為什么和離開潛望鏡的光

線"是平行的？（請把證明過程補(bǔ)充完整）

理由：

,.,AB//CD（已知）

.\Z2=Z3（）

VZ1=Z2,Z3=Z4（已知）

.\Z1=Z2=Z3=Z4（等量代換）

...180°-Zl-Z2=180°-Z3-Z4（等量減等量,差相等）

即：（等量代換），

（2）顯然，改變兩面平面鏡A3、之間的位置關(guān)系，經(jīng)過兩次反射后，入射光線機(jī)與反射光線〃之間

的位置關(guān)系會隨之改變，請你猜想：圖3中，當(dāng)兩平面鏡A2、8的夾角時(shí)，仍可以使入

射光線機(jī)與反射光線〃平行但方向相反.（直接寫出結(jié)果）

※需.直線AB〃C。，EF分別交A5,CZ＞于點(diǎn)M、N,NP平分NMNZ＞；

(1)如圖1,若MR平分NEM8,則MR〃NP.請你把下面的解答過程補(bǔ)充完整:

解:"：AB//CD(已知)

?.ZEMB=ZEND()

,：MR平分/EMB,NP平分/MND(已知)

：.ZEMR=\ZEMB,NMNP=^ZMND《角平分線定義)

NEMR=/MNP

：.MR//NP()

(2)如圖2,若MR平分NAMN,則MR與NP有怎樣的位置關(guān)系？請?jiān)跈M線上寫出你的猜想結(jié)論:

(3)如圖3,若MR平分NBMN,則與NP有怎樣的位置關(guān)系？請說明理由.

X17.如圖，已知A5〃CZ),點(diǎn)C在點(diǎn)。的右側(cè)，5E平分NABC,Z＞E平分NAOC,BE,OE所在直線

交于點(diǎn)E,ZADC=60°.

(1)求/即C的度數(shù)；

(2)若NA8C=〃。，求/BED的度數(shù)(用含”的代數(shù)式表示).

(3)將線段BC沿。C方向平移，使8在A的右側(cè)，若NABC="。，直接寫出的度數(shù)(用含“的代

數(shù)式表示)

BA

※”.(1)已知：如圖1,AE//CF,易知/APC=NA+NC,請補(bǔ)充完整證明過程：

證明：過點(diǎn)尸作MN〃AE

'SMN//AE〈已作)

ZAPM=(),

y."：AE//CF,MN//AE

：.ZMPC=Z____________()

ZAPM+ZCPM=ZA+ZC

即NAPC=/A+/C

(2)變式：

如圖2—4,AE//CF,Pi，g是直線￡尸上的兩點(diǎn)，猜想NA,ZAPIP2,NPRC,ZC這四個(gè)角之間的關(guān)

系，并直接寫出以下三種情況下這四個(gè)角之間的關(guān)系.

※四.如圖所示，已知43〃。，分別探索下列四個(gè)圖形中NP與NA,NC的關(guān)系，并對第(4)個(gè)圖形

加以證明;

X20.直線連AS直線AC,直線AD,線段A3把平面分成①，②，③，④四個(gè)部分.當(dāng)動

點(diǎn)P落在某個(gè)部分時(shí)，連接B4,PB,構(gòu)成NELC,ZAPB,NP5。三個(gè)部分，(規(guī)定：線上各點(diǎn)不屬于

任何部分：有公共端點(diǎn)的兩條重合的射線所組成的角是0。)

(1)如圖1,當(dāng)動點(diǎn)P落在第①部分時(shí)，求證：ZAPB^ZR\C+ZPBD；

(2)如圖2,當(dāng)動點(diǎn)尸落在第②部分時(shí)，是否成立？若成立，請證明，若不成立

請直接寫出三個(gè)角之間的關(guān)系；

(3)當(dāng)動點(diǎn)P落在第③④部分時(shí)，請全面探究三角之間的關(guān)系，請直接寫出三個(gè)角之間的關(guān)系.

X21.如圖，已知直線點(diǎn)A在直線上，點(diǎn)8在直線，2上，，3和直線,1、，2交于點(diǎn)c和。，在直

線，3上有一動點(diǎn)P.

(1)探究規(guī)律：

①當(dāng)P點(diǎn)在C,。之間運(yùn)動時(shí)，如圖1,說明NP4C,ZAPB,之間的關(guān)系；

②若點(diǎn)尸在C,。兩點(diǎn)的外側(cè)運(yùn)動時(shí)(點(diǎn)尸與點(diǎn)C、。不重合)，根據(jù)圖2和圖3說明NB4C,ZAPB

之間的關(guān)系；(補(bǔ)全圖形)

(2)拓展延伸

當(dāng)點(diǎn)A,8固定時(shí)，若/APB=90。，上上滿足條件的點(diǎn)尸的個(gè)數(shù)為下列選項(xiàng)中的.

①0個(gè)；②1個(gè)；③2個(gè)；④以上都有可能；

X22.如圖1,直線AC〃5O,連接A5,點(diǎn)P是平面內(nèi)任一點(diǎn)，連接物，PB,構(gòu)成NfiiC,ZAPB

NP8O三個(gè)角.

(1)當(dāng)點(diǎn)尸位置如圖1所示時(shí)，求證：ZAPB^ZE4C+ZPBD-,

(2)當(dāng)點(diǎn)尸位置如圖2所示時(shí)，是否成立(直接回答成立或不成立)?

(3)當(dāng)點(diǎn)尸落在位置如圖3所示時(shí)，探究/RIC,ZAPB,之間的關(guān)系，并進(jìn)行簡單證明.

X23.如圖，直線AC〃8Z>,連AB,直線AC,5。及線段43把平面分成①、②、③、④四個(gè)部分，規(guī)

定：線上各點(diǎn)不屬于任何部分，動點(diǎn)尸落在某個(gè)部分時(shí)，連BL,PB,構(gòu)成NAIC,ZAPB,NP3Z)三個(gè)

角(提示：有公共端點(diǎn)的兩條重合的射線所組成的角是0。角)

(1)當(dāng)動點(diǎn)尸落在第①部分時(shí)，求證：ZAPB^ZPAC+ZPBD-,

(2)當(dāng)動點(diǎn)落在第②部分時(shí)，是否成立(直接回答成立或不成立)?

(3)當(dāng)動點(diǎn)P落在第③部分時(shí)，全面探究/B4C,ZAPB,/尸8。之間的關(guān)系，并寫出動點(diǎn)P的具體位

置和相應(yīng)的結(jié)論.選擇其中一種結(jié)論加以證明.

J③.③J'

N③c②/①②嚴(yán)①

②①

-L----------------D—L---------------D

----------------------D

B④B④B④

X24.已知A5〃CD,NA3E和NC0E的平分線相交于點(diǎn)尸，NE=140。，求的度數(shù).

X25.如圖：已知尸，ZB=40°,ZE=30°,求NC-NO的結(jié)果是多少？

X26.如圖，已知AB〃C。，ZA=ZC=100°,E,尸在C￡)上，滿足ND8尸=NA3O,5E平分NCB歹.

(1)求ND8E的度數(shù)；

(2)若平行移動AD,那么N3FC：NBDC的比值是否隨之發(fā)生變化？若變化，找出變化規(guī)律；若不變

求出這個(gè)比值；

(3)在平行移動A。的過程中，是否存在某種情況，使得/BECuNADB?若存在，直接寫出其度數(shù)，若

不存在，請簡要說明理由.

平行線壓軸題答案

1.解：(1)CD//OE

:.ZAOE=ZOCD^nO°

/.ZBOE=360°-90°—120。=150°；

(2)如圖2,過。點(diǎn)作//CD

CD//OE

.\OF//OE

:.ZAOF=1800-ZOCD9ZBOF=ZEOO=180°-ZBOE

ZAOB=ZAOF+ZBOF=180。—NOCD+180°-Z.BOE=360°-(NOCD+NBOE)=120°

/.ZOCD+ZBOE=240°；

(3)CP是ZOCD的平分線

ZOCP=-ZOCD

2

Z.CPO=360°-90°-120°-ZOCP

=150°--ZOCD

2

=150°-1(240°-ZBO<E)

=300+-a.

2

2.解：(1)Z1=Z2.

證明如下：AB//CD

.?.N1=N3

BE!IDF

.?.N2=N3

.?.N1=N2；

(2)Zl+Z2=180°.

證明如下：AB//CD

/.Z1=Z3

BE//DF

/.Z2+Z3=180°

.-.Zl+Z2=180°；

(3)如果一個(gè)角的兩邊與另一個(gè)角的兩邊分別平行，那么這兩個(gè)角相等或互補(bǔ);

(4)設(shè)一個(gè)角的度數(shù)為x,則另一個(gè)角的度數(shù)為3x-60。

當(dāng)%=3%-60。，解得光=30。，則這兩個(gè)角的度數(shù)分別為30。，30°；

當(dāng)尤+3%—60。=180。，解得尤=60。，則這兩個(gè)角的度數(shù)分別為60。，120°.

故答案為：相等，互補(bǔ)，相等或互補(bǔ).

3.解：⑴lj/l2

Zl+ZPCD+ZPDC+Z2=180°

在APCD中，Z3+ZPCD+ZPDC=180°

/.Z3=Z1+Z2=5O°;

(2)N1+N2=N3

理由：l、lII?

;Zl+ZPCD+ZPDC+Z2=180。

在APCD中，Z3+ZPCD+ZPDC=180°

.-.Z1+Z2=Z3；

(3)如圖2,過A點(diǎn)作AF//5D,則AF//BD//CE

44C=NDB4+NACE=40。+45。=85。；

(4)當(dāng)P點(diǎn)在A的外側(cè)時(shí)，如圖3,過P作PF///1,交乙于尸

.\Z1=ZFPC

IJ/k

:.PF//l2

:.Z2=ZFPD

ZCPD=ZFPD-ZFPC

:.ZCPD=Z2-Z1

當(dāng)尸點(diǎn)在5的外側(cè)時(shí)，如圖4,過P作尸G/4，交乙于G

:.Z2=ZGPD

/"〃2

:.PG//I1

.\Z1=ZCPG

ZCPD=ZCPG-ZGPD

:.ZCPD=Z1-Z2.

4.解：(1)DEIIBC

/.Z1=Z2

又Z1=Z3

.?.N2=N3

:.CD//FG

又CDLAB

,\FG±AB.

(2)DEIIBC,理由：

FG±AB,CD±AB

,\FG//CD

/.Z3=Z2

又N1=N3

/.Z1=Z2

:.DE//BC;

(3)相等.理由：

DEIIBC

.*.Z1=Z2

又CDLBC,FG工AB

:.FG//CD

.?.N2=N3

.?.N1=N3.

5.解：如圖①，AB//CD,4+N3與N2的關(guān)系時(shí)N2=N1+N3；

如圖②，ABI/CD,N1+N3+N5與N2+N4的關(guān)系是N2+N4=4+N3+Z5

證明：忤EFIIAB,GH//AB,MN//AB

AB//CD

:.AB//EF//GH//DC//MN

.\Z1=ZBEF9NFEM=ZEMN,ZNMG=ZMGH,ZHGD=Z5

Z2=ZMEF+ZFEM9=ZEMN+ZNMG,N4=ZMGH+ZHGD

:.Z2+ZA=ZMEF+/FEM+ZMGH+ZHGD=ZBEF+4EMN+ZNMG+/HGD=AZ3+/5；

如圖③，AB!/CD,N1+N3+Z5+N7與N2+N4+N6的關(guān)系時(shí)N2+N4+N6=N1+N3+Z5+N7；

如圖④，AB//CD,Nl+N3+N5+...+N(2〃+l)與N2+N4+N6+...+N2”的關(guān)系為:

Z2+Z4+Z6+...+Z2n=Zl+Z3+Z5+...+Z(2/?+l).

故答案為：Z2=Z1+Z3；Z2+Z4=Z1+Z3+Z5；Z2+Z4+Z6=Z1+Z3+Z5+Z7；

Z2+Z4+Z6+...+Z2n=Zl+Z3+Z5+...+Z(2n+l)

圖①圖②圖③圖④

6.解：(1)BEVDE

」.RtABDE中，ZBDE+ZDBE=90°

又3E平分乙幽，DE平分ZBDC

ZABD+ZCDB=2(/BDE+Z.DBE)=180°

:.AB//CD；

(2)如圖，ZABE-.ZEBF=3:2,BE平分ZABD

:.可設(shè)ZABE=ZDBE=3a,貝！=ZDBF=a

ABZ年中，ZDFB=150°

.?.ZBDF=180°-150°-(z=30o-?

RtABDE中，NE=90°

:.ZBDE=9O°-3a

:.ZBDE=3ZBDF

又DE平分ZBDC

ZEDC=ZBDE=3ZBDF；

(3)如圖，DK平分ZBDH,DE平分ZBDC

22

ZEDK=ZBDE-ZBDK=-NBDC--NBDH=-(ZBDC-NBDH)=-NCDH

2222

又AB//CD

:.ZCDH=ZBHD

:.ZEDK=-ZDHB.

2

故答案為：ZEDK=-ZDHB.

2

7.解：(1)ZBAM+ZBAN=180°,ZBAM:ZBAN=2:1

.?.ZB/W=180°x-=60°

3

故答案為：60；

(2)設(shè)A燈轉(zhuǎn)動/秒，兩燈的光束互相平行

(圖1)

①當(dāng)0v/v90時(shí)，如圖1

PQ//MN

:.ZPBD=ZBDA

AC//BD

:.ZCAM=ZBDA

:.ZCAM=ZPBD

2t=1*(30+1)

解的，=30；

②當(dāng)90<%vl50時(shí)，如圖2

PQ//MN

:.ZPBD-^ZBDA=18Q°

AC//BD

:.ZCAN=ZBDA

:.ZPBD+/CAN=180。

.-.1.(30+0+(2^-180)=180

解的t=U0

綜上所述，當(dāng)，=30秒或110秒時(shí)，兩燈的光束互相平行;

(3)NB4c和4CD關(guān)系不會變化.

理由：設(shè)燈A射線轉(zhuǎn)動時(shí)間為/秒

QBDP

ZCAN=1800-2t

/.ABAC=60°-(180°-2r)=2r-120°

又ZABC=nO0-t

ZBCA=1800-ZABC-ABAC=1800-t9而ZACD=120。

/./BCD=120?！猌BCA=120°-(l80。T)=，—60°

:.ZBAC:ZBCD=2:1

即ZBAC=2ZBCD

：.ZBAC和ZBCD關(guān)系不會變化.

8.解：(1)AM//BN

.?.NABN=180?！狽A=120。

又BC,瓦>分別平分NABP和NP3N

ZCBD=ZCBP+ZDBP=-(ZABP+4PBN)=-AABN=60°.

22

(2)不變.理由如下：

AM//BN

:.ZAPB=ZPBN,ZADB=ZDBN

又BD平分ZPBN

ZADB=ZDBN=-ZPBN=-ZAPB,ZAPB:ZADB=2:1.

22

(3)-AM//BN

:,ZACB=ZCBN

又ZACB=ZABD

:.ZCBN=ZABD

ZABC=ZABD-ZCBD=ZCBN-ZCBD=ZDBN

.\ZABC=ZCBP=ZDBP=ZDBN

ZABC=-ZABN=30°.

4

9.解：(1)如圖(1),過點(diǎn)石作族//PQ.

ZCBN=U009ZA￡>2=140°

"CBM=70。,ZADP=4Q°.

ZCDE=ZADE,ZABE=ZCBE

:.ZEBM=3509ZEDP=20°.

EF//PQ

ZDEF=ZEDP=20°.

EF//PQ9MN//PQ

:.EF//MN

:.ZFEB=ZEBM=35°

??.NEED=NDEF+NFEB=20。+35。=55。；

故答案為：55°

(2)如圖(2),過點(diǎn)石作M//PQ.

ZCBN=110°

:./CBM=70。.

ZCDE=ZADE,ZABE=ZCBE

.\ZEBM=35°,ZEDQ=^m°.

EF//PQ

.../DEF=180°-ZEDQ=180°-1m°.

EF//PQfMN//PQ

,\EF//MN

:.ZFEB=ZEBM=35°

/BED=ZDEF+/FEB=180°--m°+35°=215°--m°.

io.解：（1）如圖，過點(diǎn)?做AC的平行線n?

AC//PO

"BJCPO

又AC//BD

:.PO//BD

Z.a=ZDPO

Na+N/=Ay.

（2）①P在A點(diǎn)左邊時(shí)，Za-Z^=Z/；

②P在3點(diǎn)右邊時(shí)，Z/?-Z?=ZZ.（提示：兩小題都過P作AC的平行線）.

7i

N

么h

7co75M

11.解：（1）①如圖1中，作PE7MB

AB//CD

:.PE//CD

:.ZB=Z1,ZD=Z2

:.ZB+ZD=Z1+Z2=ZBPD.

②作EHI/AB

AB//CD

:.EH//CD

/.ZA+Z1=18O°,Z2+ZC=180°

/.ZA+Z1+Z2+ZC=36O°

7.NA+Z4EC+NC=360。

故答案為NB+ND=NP,ZA+ZE+ZC=360°.

⑵①如圖3中，作5E//CD

（3）ZEBQ=Z3,ZEBP=ZEBQ+Z1

:.ZBPD=NEBP+Z2=Z1+Z3+Z2.

②如圖4中，過A作4b〃CD

,:AF〃CD

：.ZCHA=ZHAF

由（1）②可知，NC+N￡+NEAH+NH4F=360°.

即：/.ZA+ZAEC+ZC=360°.

（3）如圖5中，設(shè)AE交。b于H.

由（2）①可知NEHF=N5+NJF+NE

ZFHE=ZAHD

在四邊形ACDH中，由（2）②可知

ZD+ZC+ZA+ZAHD=360°

即4+/3+/。+/￡>+4+/尸=360°；

12.解：（1）如圖1,當(dāng)90秒時(shí)，燈4射線旋轉(zhuǎn)的角度=90X30=270。，270°-180°=90°

此時(shí)燈A射線位于AAT處，ZNAM'=90°

燈3射線旋轉(zhuǎn)的角度=90X1=90。

此時(shí)燈8射線位于3P，處，ZPBP'=90°=ZQBP'

又*：NQBA=NNAB

：.ZBAM'=ZABP'

：.AM'//BP',即兩束光線互相平行，故答案為：平行；

（2）設(shè)A燈轉(zhuǎn)動f秒，兩燈的光束互相平行

①當(dāng)0<f<60時(shí)，3f=（20+f）Xl,解得f=io；

②當(dāng)60V/V120時(shí)，3/—3X60+（20+0X1=180°,解得f=85；

③當(dāng)120Vf<160時(shí)，3f—360=1+20,解得f=190>160,（不合題意）

綜上所述，當(dāng)f=10秒或85秒時(shí)，兩燈的光束互相平行.

（3）NBAC和N5C。關(guān)系不會變化.

理由如下：設(shè)燈A射線轉(zhuǎn)動時(shí)間為f秒，

?.?NC4N=180°-3f

：.ZBAC^45°~（180°—3。=3135°

又"Q〃MN

ZBCA=ZCBD+ZCAN=t+180°-3t=180°-2t

而NAC〃=90°

/.ZBC￡>=90°-ZBCA=90°-（180°-2/）=2/-90°

ZBAC：ZBCD=3：2

即2N8AC=3N3m

13.解：分8種情況討論：

（1）如圖1,AD邊與。B邊平行時(shí)，ZBAD=45°；

（2）如圖2,當(dāng)AC邊與平行時(shí)，N5Ao=90。+45。=135。；

(3)如圖3,OC邊與A3邊平行時(shí)，ZBAD=60°+90°=150°

(4)如圖4,OC邊與05邊平行時(shí)，ZBAZ)=135°+30°=165°

(5)如圖5,。。邊與05邊平行時(shí)，ZBAD=45°-30o=15°；

(6)如圖6,0c邊與40邊平行時(shí)，ZBAD=15°+90°=105°

(7)如圖7,OC邊與A5邊平行時(shí)，NR4Z)=30。

故答案為:15°,30°,45°,75°,105°,135°,150°,165°.

14.解：EF〃GH

，ZCAD=180°-ZACB=180°一90°=90°

VZDAB=ZBAC

:.NBAC=45。

：.ZABC=45°

???5D平分NbbC

:?NDBC=WX180°=90°

：.ZDBA=90o-45o=45°；

(2)解：如圖，設(shè)NZMB=NR4C=x,即Nl=N2=x

'：EF//GH

，N2=N3

在△ABC內(nèi)，Z4=180°-ZACB-Zl-Z3=180°-ZACB-2x

?直線50平分/尸BC

；.N5=；(180°-Z4)(180°-180°+ZACB+2x)ZACB+x

:.ZDBA=180°-Z3-Z4-Z5

=180°—x—(180°-ZACB-2x)-(|ZACB+x)

=180°-x-1800+ZACB+2x-|ZACB-x

=1ZACB

X90°

=45°；

(3)由(2)可知，NAC3=120。時(shí)

ZDBA=^X120°=60°.

故答案為：(1)45°,(3)60°.

15.解答：(1)證明：如圖2,'：AB//CD(已知)

；.N2=N3(兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等)

?/Z1=Z2,Z3=Z4(已知)

.?.N1=N2=N3=N4(等量代換)

.?.180°-Zl-Z2=180°-Z3-Z4（等量減等量，差相等）

即：N5=N6（等量代換）

：.m//n（內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線平行）.

故答案為：兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等，Z5=Z6,m//n,內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線平行;

⑵NA5C=90°,理由是：如圖3,VZABC=90°

.,.Z2+Z3=180°-90°=90°

???Z1=Z2,Z3=Z4（已知）

,Z1+Z2+Z3+Z4=80°

：.ZEAC+ZFCA=180°+180°-180°=180°

J.AE//CF.故答案為：90.

16.解：（1）,JAB//CD1已知）

：.ZEMB=ZEND倆直線平行，同位角相等）

「MR平分NEM5,NP平分NMND（已知）

：.NEMR=gZEMB,ZMNP=^NMND（角平分線定義）

：.ZEMR=ZMNP

J.MR//NP1同位角相等，兩直線平行）

故答案為：兩直線平行，同位角相等；同位角相等，兩直線平行；

②MR〃NP；理由如下：

'JABZ/CD（已知）

AZAMN=ZMND倆直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等）

平分NAMN,NP平分NMND（已知）

:./NMR=]NAMN,NMNP=,ZMND6角平分線定義）

：.ZNMR=/MNP

J.MR//NP1內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線平行）

故答案為：MR//NP；

（3）MR_LNP；理由如下：

'：AB//CD

：.ZBMN+ZMND=180°

平分NBMN,NP平分NUN。

：.NRMN=]ZBMN,ZMNP=^ZMND

：.ZRMN+ZMNP=^（ZBMN+ZMND）=90°

：.ZMON^90°,：.MR±NP.

17.解：（1）；DE平分NADC,ZADC=60°

；.NEOC=4ZADC=30°；

(2)9：BE平分NA5C

:?NCBE=gZABC=Tn°

VAB//CD,

：.ZBCD=ZABC=n°

:.ZCBE+ZBED=ZEDC+/BCD

即4n°+ZBED=30°+1n°

解得/8后。=30。+；n°；

(3)如圖，?.?3E平分NA5C,OE平分NAOC

/.ZADE=^ZADC=30°,ZABE=|ZABC=1n°

'：AB//CD

：.ZBAD=180°-ZADC=180°-60°=120°

在四邊形AOEB中，ZBE￡>=360o-120°-300-

T/i°=210°—1n°.

乙/

18.解：(1)證明：過點(diǎn)尸作MN〃4E

,JMN//AE1已作)

/.ZAPM=ZA倆直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等)

y.'：AE//CF,MN//AE

：.ZMPC=ZC倆直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等)

，ZAPM+ZCPM=ZA+ZC

即NAPC=NA+NC

故答案為：ZA,兩直線平行兩直線平行；C,兩直線平行兩直線平行；

(2)ZAP1P2+ZP1P2C-ZA-ZC=180°

NAP1P2+ZP1P2C+ZA~ZC=180°

ZAPIP2+ZP1P2C-ZA+ZC=180°.

19.解：(l)NA+NC+NP=360。，(2)ZA+ZC^ZP,(3)ZA+ZP+ZC,(4)ZC+ZP+ZA,證

明：過點(diǎn)尸作尸O〃AB

,JAB//CD

：.AB//CD//PQ

：.ZAPO=ZA,NC=NCPO

：.NAPO=NAPC+NCPO=ZAPC+NC=NA；

即NC+NP=/A；

20.解：（1）如下圖，過尸作尸Q〃AC,y.,：AC//BD,：.PQ//BD

,JPQ//AC

?*.Z3=Z4