高考復(fù)習(xí)A版數(shù)學(xué)考點(diǎn)考法：函數(shù)的零點(diǎn)與方程的根

函數(shù)與方程及函數(shù)的綜合應(yīng)用

考點(diǎn)一函數(shù)的零點(diǎn)

2—\x\,xV2,

1.(2015天津文,8,5分)已知函數(shù)f(x)二函數(shù)g(x)=3-f(2-x),則函數(shù)y=f(x)-g(x)

G-2)2,x>2,

的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為()

A.2B.3C.4D.5

n%—2|+1,x>o,

答案A由已知條件可得g(x)=3-f(2-x)=h2,八函數(shù)尸爪2飛⑸的零點(diǎn)個(gè)數(shù)即為函數(shù)

I3—%,x<0.

尸f(x)與尸g(x)圖象的交點(diǎn)個(gè)數(shù),在平面直角坐標(biāo)系內(nèi)作出函數(shù)尸f(x)與尸g(X)的圖象如圖所示.

由圖可知函數(shù)y二f(X)與y二g(X)的圖象有2個(gè)交點(diǎn),所以函數(shù)y=f(x)-g(x)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為2,選A.

2.(2014北京文,6,5分)已知函數(shù)￡6)q-108冰.在下列區(qū)間中,包含￡&)零點(diǎn)的區(qū)間是()

x

A.(0,1)B.(1,2)

C.(2,4)D.(4,+oo)

答案C'■-f(l)=6-log2l=6>0,?2)=3-10822=2>0,?4)=。-10824=4-2〈0,，包含￡a)零點(diǎn)的區(qū)間是(2,4),

4L

故選C.

3.(2011課標(biāo),10,5分)在下列區(qū)間中,函數(shù)f(x)=e*+4x-3的零點(diǎn)所在的區(qū)間為()

答案C顯然f(x)為定義域R上的連續(xù)函數(shù)如圖作出y=K與y=3-4x的圖象由圖象知函數(shù)f(x)=e*+4x-3

的零點(diǎn)一定落在區(qū)間(0,1)內(nèi)，又?，處-2<0,f(0=V^-l>O.故選C.

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\y,y=e

評析本題考查函數(shù)零點(diǎn)的概念及求解方法,考查學(xué)生分析問題、解決問題的能力,屬中等難度試題.

|比|XV772

2’“-'其中m>0.若存在實(shí)數(shù)b,使得關(guān)于x的

(x—2mx+4m,x>m,

方程f(x)=b有三個(gè)不同的根,則m的取值范圍是.

答案(3,+8)

解析f(x)的圖象如圖所示，

A(/n,4jn-m2)

若存在實(shí)數(shù)b,使得關(guān)于x的方程f(x)=b有三個(gè)不同的根,只需4m-m2<m,解之得m〉3或m〈0,又m〉0,所以m>3.

方法總結(jié)分段函數(shù)問題、函數(shù)零點(diǎn)個(gè)數(shù)問題或方程根的個(gè)數(shù)問題通常采用數(shù)形結(jié)合的思想方法來解決.

評析本題考查基本初等函數(shù)及分段函數(shù)的圖象,考查數(shù)形結(jié)合的思想方法，屬于難題.

5.(2016天津文，14,5分)已知函數(shù)f(x)=

2

(X+(4a-3)x+3a,x<0,r

(a〉0,且a#1)在R上單調(diào)遞減,且關(guān)于x的方程|f(x)|=2恰有兩個(gè)不相等

[loga(x+1)+1,x>03

的實(shí)數(shù)解,則a的取值范圍是.

12—'13

解析〔.函數(shù)f(X)在R上單調(diào)遞減,「彳0<a<1：解得了在同一直角坐標(biāo)系下作出函數(shù)y=|f(x)[

y

與y=2-§的圖象,如圖所示.

yV

方程If(X)1=2-，恰有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)解等價(jià)于y=|f(x)1的圖象與y=2-§的圖象恰有兩個(gè)交點(diǎn),則需滿足

3a<2,得a<-,綜上可知,

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4a—3

一亍20，

0<；<缺少條件是失分的一個(gè)原因；

{3a>1,

⑵由方程解的個(gè)數(shù)求參數(shù)范圍往往利用數(shù)形結(jié)合思想將問題轉(zhuǎn)化為兩個(gè)函數(shù)圖象交點(diǎn)個(gè)數(shù)的問題是解決

這類問題常用的方法.

評析本題主要考查分段函數(shù)的單調(diào)性及函數(shù)與方程,利用數(shù)形結(jié)合思想,將方程解的個(gè)數(shù)問題轉(zhuǎn)化為兩

個(gè)函數(shù)圖象交點(diǎn)個(gè)數(shù)的問題是求解這類問題的常用方法.

6.(2015湖南理,15,5分)已知函數(shù)f(x)=卜;'X-&若存在實(shí)數(shù)b,使函數(shù)g(x)=f(x)-b有兩個(gè)零點(diǎn)，則a的

lx,x>a.

取值范圍是.

答案(-oo,0)U(l,+oo)

解析當(dāng)a<0時(shí)，若x￡(a,+8),則f(x)=x2,當(dāng)bW(0,a2)時(shí),函數(shù)g(x)=f(x)-b有兩個(gè)零點(diǎn),分別是

Xi=~y/~b,x2=V^.

當(dāng)OWaWl時(shí),f(x)的圖象如圖所示，

易知函數(shù)尸f(x)-b最多有一個(gè)零點(diǎn).

當(dāng)a>l時(shí)，f(x)的圖象如圖所示，

當(dāng)bG(a2,a3］時(shí),函數(shù)g(x)=f(x)-b有兩個(gè)零點(diǎn),分別是x尸血,x—瓜

綜上,ae(-00,0)U(1,+oo).

2X-a,x<1,

7.(2015北京理14,5分)設(shè)函數(shù)f(x)二

4(%—a)(x—2a),%>1.

①若a=l,則f(x)的最小值為;

②若f(X)恰有2個(gè)零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是.

答案①T②E，1)U[2,+8)

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2X—1x＜1

{嶺一)(一'2),x”其大致圖象如圖所示:

由圖可知躍X)的最小值為T.

②當(dāng)aWO時(shí)，顯然函數(shù)f(x)無零點(diǎn);

當(dāng)0〈a〈l時(shí),易知f(x)在(-8,1)上有一個(gè)零點(diǎn),要使f(x)恰有2個(gè)零點(diǎn)，則當(dāng)x^l時(shí)，f(x)有且只有一個(gè)

11

零點(diǎn)，結(jié)合圖象可知,2a》1,即a^—,則gWaVl;

當(dāng)a^l時(shí),2a＞l,由二次函數(shù)的性質(zhì)可知,當(dāng)x'l時(shí)，f(x)有2個(gè)零點(diǎn)，

則要使f(x)恰有2個(gè)零點(diǎn),則需要f(x)在(-oo,l)上無零點(diǎn)則2-aWO,即a32.

綜上可知,滿足條件的a的取值范圍是展,1)U[2,+oo).

8.(2015湖北文,13,5分)函數(shù)f(x)=2sinxsin(x+的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為.

答案2

解析f(x)=2sinxcosx-x2=sin2x-x；函數(shù)f(x)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)可轉(zhuǎn)化為函數(shù)ymsin2x與y2=x，圖象的交點(diǎn)

個(gè)數(shù),在同一坐標(biāo)系中畫出yi=sin2x與y2=x2的圖象如圖所示：

由圖可知兩函數(shù)圖象有2個(gè)交點(diǎn)，則f(x)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為2.

9.(2021北京，15,5分)已知/(X)=|lgx卜履-2,給出下列四個(gè)結(jié)論:

①若k=0,則/(%)有兩個(gè)零點(diǎn)；

②然＜0,使得了⑺有一個(gè)零點(diǎn)；

③業(yè)＜0,使得/(X)有三個(gè)零點(diǎn)；

④被＞0,使得/(%)有三個(gè)零點(diǎn).

以上正確結(jié)論的序號是.

答案①②④

解析令/(X)=|lgx\-kx-2=0,得|lgx\=kx+2,

令g(%)=|lgx\,h(x)=kx+2,

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所以/(X)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)即函數(shù)g(x)與h(x)圖象的交點(diǎn)個(gè)數(shù).

當(dāng)上0時(shí),如圖a,g(x)與/z(x)的圖象有兩個(gè)交點(diǎn),則/(x)有兩個(gè)零點(diǎn),故①正確；

當(dāng)k>0時(shí),如圖b,存在h(x)=kox+2的圖象與函數(shù)g(x)=lgx(x>l)的圖象相切,此時(shí)/z(x)與g(x)的圖象有兩

個(gè)交點(diǎn)，當(dāng)0<?<歷時(shí),g(x)與Mx)的圖象有三個(gè)交點(diǎn)，則/(x)有三個(gè)零點(diǎn),故④正確；

當(dāng)k<0時(shí),如圖c,g(x)與灰x)的圖象最多有兩個(gè)交點(diǎn),g(x)與灰x)相切時(shí)有一個(gè)交點(diǎn),如圖d,故②正確,③

不正確.

綜上,正確結(jié)論的序號為①②④.

解題指導(dǎo)：由/(x)=0得|lgx|=fcx+2,令g(x)=|lgx|,/z(x)=fcr+2,則/(x)零點(diǎn)個(gè)數(shù)轉(zhuǎn)化為g(x)與h(x)圖象的交點(diǎn)

個(gè)數(shù),再利用圖象解決問題.

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考點(diǎn)二函數(shù)模型及應(yīng)用

1.(2020課標(biāo)n文,3,5分)如圖,將鋼琴上的12個(gè)鍵依次記為ai,a2,a*,設(shè)Ki<j<k?12.若k-j=3且

j-i=4,則稱ai,aj,ak為原位大二和弦;若k-j=4且j_i-3,則稱ai,電,ak為原位小二和弦.用這12個(gè)鍵可以構(gòu)

成的原位大三和弦與原位小三和弦的個(gè)數(shù)之和為()

A.5B.8C.10D.15

答案C根據(jù)已知條件可知原位大三和弦有31,3.5,@8；a,2,He,；&3,37,310；a,4,@8,3-11；35,39,3-12,共5個(gè).原位小

三和弦有a.i,a,4,a,8;a.2,a,5,a,9;a,3,a,6,a,10;a.4,a.7,a.n;a,5,a.8,a,i2,共5個(gè),所以用這12個(gè)鍵可以構(gòu)成的原位大三和弦

與原位小三和弦的個(gè)數(shù)之和為10,故選C.

2.(2013課標(biāo)I理,11,5分)已知函數(shù)f(x)=『/*?'**，'若If(x)|2x,則a的取值范圍是()

(ln(x+1),%>0.

A.(-oo,0]B.(-oo,1]

C.[-2,1]D.[-2,0]

()

答案D由題意作出丫=|?)|=『,一2個(gè)/)；1、的圖象：

(ln(x+l)(x>0)

由題意結(jié)合圖象知,當(dāng)a>0時(shí),y=ax與y=ln(x+l)在x>0時(shí)必有交點(diǎn),所以aWO.當(dāng)x^O時(shí)，|f(x)|3ax顯然

成立;當(dāng)x<0時(shí)，|f(x)|=x'-2x》ax,則a2x-2恒成立,又x~2<-2,.,.a^-2.綜上,-2WaW0,故選D.

評析本題考查了函數(shù)的綜合應(yīng)用,考查了數(shù)形結(jié)合的能力.借助基本初等函數(shù)的圖象縮小參數(shù)范圍是解

題關(guān)鍵.

1

3.(2012課標(biāo)理,12,5分)設(shè)點(diǎn)P在曲線y=尹上,點(diǎn)Q在曲線y=ln(2x)上,則|PQ|的最小值為()

A.1-ln2B.V2(l-ln2)

C.1+ln2D.V2(l+ln2)

11,1

答案B由y=]e'得e*=2y,所以x=ln(2y),所以丫13的反函數(shù)為y=ln(2x),所以y=]e'與y=ln(2x)的圖象

關(guān)于直線y=x對稱,所以兩條曲線上的點(diǎn)的距離的最小值是兩條曲線上切線斜率為1的切點(diǎn)之間的距離，令

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[In(2x)]'=§=1,解得xi=l,令弓e*)'=1,解得x2=ln2,所以兩切點(diǎn)分別為(1,In2)和(In2,1),故d=V2(l-ln

2),故選B.

評析本題考查了導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用,互為反函數(shù)的兩函數(shù)圖象的性質(zhì)，考查了數(shù)形結(jié)合的思想.

1

4.(2011課標(biāo)理,12,5分)函數(shù)丫=「的圖象與函數(shù)丫=253Tlx(-2WxW4)的圖象所有交點(diǎn)的橫坐標(biāo)之和等

1—X

于()

A.2B.4C.6D.8

1-1一，

答案D函數(shù)y=--=—^和y=2sinHx的圖象有公共的對稱中心(1,0),㈣出二者圖象如圖所示,易知

1—XX—1

1一「、—

y=--與y=2sinTTX(-2WxW4)的圖象共有8個(gè)交點(diǎn),不妨設(shè)其橫坐標(biāo)為xx,x,x,x,x,x,x,且

1—xb2345678

X1<X2<X3<X4<X5<X6<X7<X8,由對稱性得Xi+X8=X2+X7=X3+X6=X4+X5=2,.,.Xl+X2+X3+X4+X5+X6+X7+X8=8,故選D.

5.(2011課標(biāo)文,12,5分)已知函數(shù)y=f(x)的周期為2,當(dāng)xG[T,1]時(shí)f(x)=x；那么函數(shù)y=f(x)的圖象與函

數(shù)y=Ilgx|的圖象的交點(diǎn)共有()

A.10個(gè)B.9個(gè)C.8個(gè)D.1個(gè)

答案A在同一平面直角坐標(biāo)系中分別作出f(x)和y=|lgx|的圖象，如圖.又lgl0=l,由圖象知選A.

-1012345678910%

評析本題考查函數(shù)的圖象、周期等相關(guān)知識，考查學(xué)生作圖、用圖能力，體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合思想.

6.(2022北京,7,4分，應(yīng)用性)在北京冬奧會上，國家速滑館“冰絲帶”使用高效環(huán)保的二氧化碳跨臨界直冷

制冰技術(shù),為實(shí)現(xiàn)綠色冬奧作出了貢獻(xiàn).如圖描述了一定條件下二氧化碳所處的狀態(tài)與T和1g尸的關(guān)系，其中

T表示溫度,單位是K;P表示壓強(qiáng),單位是bar.下列結(jié)論中正確的是()

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A.當(dāng)T=220,P=]026時(shí),二氧化碳處于液態(tài)

B.當(dāng)T=270,P=128時(shí),二氧化碳處于氣態(tài)

C.當(dāng)T=300,P=9987時(shí)，二氧化碳處于超臨界狀態(tài)

D.當(dāng)T=360,P=729時(shí)，二氧化碳處于超臨界狀態(tài)

答案D對于A,當(dāng)T=220,P=1026時(shí),1gP=lg1026=3+lg1.026e(3,4),由題圖可知，二氧化碳處于固態(tài),

A錯(cuò)誤.

對于B,當(dāng)T=270,P=128時(shí),lgP=lg128=2+lg1.28e(2,3),由題圖可知,二氧化碳處于液態(tài)，...B錯(cuò)誤.

對于C,當(dāng)7=300,P=9987時(shí),1gP=3+lg9.987=4,

由題圖可知,，二氧化碳處于固態(tài)，，C錯(cuò)誤.

對于D,當(dāng)T=360,P=729時(shí),lgP=lg729=2+lg7.29G(2,3),由題圖可知，二氧化碳處于超臨界狀態(tài)，，D正確.

故選D.

7.(2020新高考I,6,5分)基本再生數(shù)R)與世代間隔r是新冠肺炎的流行病學(xué)基本參數(shù).基本再生數(shù)指一個(gè)

感染者傳染的平均人數(shù),世代間隔指相鄰兩代間傳染所需的平均時(shí)間.在新冠肺炎疫情初始階段，可以用指

數(shù)模型:/⑺=e"描述累計(jì)感染病例數(shù)/(/)隨時(shí)間，(單位:天)的變化規(guī)律,指數(shù)增長率r與Ro,T近似滿足

Ro=l+rZ有學(xué)者基于已有數(shù)據(jù)估計(jì)出Ro=3.28,T=6.據(jù)此,在新冠肺炎疫情初始階段,累計(jì)感染病例數(shù)增加1

倍需要的時(shí)間約為(In2=0.69))

A」.2天B.1.8天

C.2.5天D.3.5天

答案B因?yàn)镽o=3.28,7=6且Ro=l+rT,所以指數(shù)增長率片早=0.38,設(shè)累計(jì)感染病例增加1倍需要的時(shí)間

為t天,貝I”⑺=2/(0),即e"=2,即e0J8z=2,兩邊取自然對數(shù)得Inea38，=in2,即0.38r=ln2,XIn2=0.69,所以

ln20.69c44r、小n

t=——工——旬1.8.故選B.

0.380.38

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8.（2020北京，15,5分）為滿足人民對美好生活的向往,環(huán)保部門要求相關(guān)企業(yè)加強(qiáng)污水治理,排放未達(dá)標(biāo)的

企業(yè)要限期整改設(shè)企業(yè)的污水排放量W與時(shí)間t的關(guān)系為W=f{t）,用-國鏟的大小評價(jià)在切這段時(shí)

間內(nèi)企業(yè)污水治理能力的強(qiáng)弱.已知整改期內(nèi)，甲、乙兩企業(yè)的污水排放量與時(shí)間的關(guān)系如圖所示.

給出下列四個(gè)結(jié)論：

①在［力,向這段時(shí)間內(nèi)，甲企業(yè)的污水治理能力比乙企業(yè)強(qiáng)；

②在，2時(shí)刻，甲企業(yè)的污水治理能力比乙企業(yè)強(qiáng)；

③在耳時(shí)刻，甲、乙兩企業(yè)的污水排放都已達(dá)標(biāo)；

④甲企業(yè)在［0,可，［九引，［仇與這三段時(shí)間中，在［0,捫的污水治理能力最強(qiáng).

其中所有正確結(jié)論的序號是.

答案①②③

命題意圖:本題以環(huán)保部門要求相關(guān)