第九章 正弦穩(wěn)態(tài)

第九章正弦穩(wěn)態(tài)電路的分析ξ9-1阻抗和導(dǎo)納ξ9-2阻抗／導(dǎo)納)的串聯(lián)和并聯(lián)ξ9-3電路的相量圖ξ9-4正弦穩(wěn)態(tài)電路的分析ξ9-5正弦穩(wěn)態(tài)電路的功率ξ9-6復(fù)功率ξ9-7最大功率傳輸ξ9-8串聯(lián)電路的諧振ξ9-9并聯(lián)電路的諧振ξ9-1阻抗和導(dǎo)納1.阻抗

前一章為本章打下了方法基礎(chǔ)，運用相量法，可將時域里正弦量轉(zhuǎn)變?yōu)橄嗔坑颍ɑ蝾l域）里的相量，將時域電路模型→相量模型，然后運用適用于直流電路的定律、定理和分析方法去分析求解。只不過所有量的運算按復(fù)數(shù)運算規(guī)則進行，因此電路中出現(xiàn)的所有阻抗和導(dǎo)納也為復(fù)阻抗和復(fù)導(dǎo)納。N0

可以是一個元件,也可以是一個無源一端口，ù、?取關(guān)聯(lián)參考方向(正弦信號下)

說明：①ù、?是相量（復(fù)數(shù)形式），因而Z也是復(fù)數(shù)—復(fù)阻抗，量綱為“歐姆”②Z是復(fù)數(shù)，但不是相量（相量是用復(fù)數(shù)表示的隨時間按正弦規(guī)律變化的函數(shù)）

③│Z│=U/I稱為阻抗模。Φz=Φu–Φi為阻抗角。④用代數(shù)形式表示時，Z=R+jXR=Re[Z]阻抗實部——電阻X=Ie[Z]阻抗虛部——電抗當(dāng)N0為感性時，X為正，Z=R+j│X│,Φz=Φu-Φi>0，即Φu>Φi,電壓超前電流Φz當(dāng)N0為容性時，X為負，Z=R-j│X│,Φz=Φu-Φi<0，即Φu<Φi,電壓滯后電流Φz

當(dāng)N0為阻性時，X=0，

Z=R，電壓電流同相位。2．復(fù)導(dǎo)納Y：

思考：

Z=3+j4=R+jXY=?=(1/3)+j(1/4)??即Y=G+jB時，G=1/3嗎？B=1/4嗎？小結(jié)：理想元件

RLCZR=R（Ω）ZL=jωL（Ω）

ZC=－j1/ωC=1/jωC（Ω）YR=1/R（S）

YL=1/jωL=－j1/ωL（S）

YC=jωC（S）

同樣：①Y為復(fù)數(shù)形式——復(fù)導(dǎo)納。量綱：西門子

②│Y│=I/U稱為導(dǎo)納模。ΦY=Φi-Φu為導(dǎo)納角。

ΦY=－Φz

③Y=1/Z，Y=G+jB.G為電導(dǎo)，B為電納。

B為正，表明是容性；B為負，表明是感性?！?-2阻抗（導(dǎo)納）的串并聯(lián)

一．R、L、C串聯(lián)電路相量模型（如右圖）加端口電壓ù，產(chǎn)生端口電流?則根據(jù)復(fù)阻抗定義有：1、復(fù)阻抗：

阻抗模阻抗角2、電路性質(zhì)（阻抗性質(zhì)）

電抗X是ω的函數(shù)當(dāng)ωL>1/ωC時，X>0,電路呈感性(電感作用強于電容作用)(電壓超前電流)

當(dāng)ωL<1/ωC時，X<0,電路呈容性(電容作用強于電感作用)(電流超前電壓)

當(dāng)ωL=1/ωC時，X=0,Z=R，電路呈阻性(電容作用和電感作用相互抵消)(ù、?同相位)——發(fā)生了串聯(lián)諧振(§9-8)等效串聯(lián)模型若X<0若X>0例1．圖示電路中ω=1000rad/s時，和ω=500rad/s時，分別求Z？解①ω=1000rad/s時，相量模型如圖（b）。

②

ω=500rad/s時，相量圖如圖（c）。二、相量圖（§9-3）

是將一個電路中的各變量的相量按照KCL、KVL關(guān)系，畫在同一個復(fù)平面上得到的反映各相量之間有效值和相位關(guān)系的圖形。通常畫時要選擇一個參考相量（設(shè)其相位為0），作為相位參量，常以串聯(lián)部分的電流或并聯(lián)部分的電壓作為參考相量，來畫出相量圖。

相量圖的最大優(yōu)點是可以在平面上直觀地反映各相量模值以及相位之間的關(guān)系，可以利用平面幾何作為輔助來得到未知變量的模值（有效值）和相位。例如求RLC串聯(lián)電路各電壓之間關(guān)系，以串聯(lián)電流?作為參考相量?？傻萌缦孪嗔繄D。三．R、L、C并聯(lián)電路

1、復(fù)導(dǎo)納：

導(dǎo)納模導(dǎo)納角

ωC>1/ωL，B>0，，呈容性。電流超前電壓。

ωC<1/ωL，B<0，，呈感性。電壓超前電流。

ωC=1/ωL，B=0，，呈阻性，電壓電流同相位——發(fā)生了并聯(lián)諧振。2、端口性質(zhì)（導(dǎo)納性質(zhì)）等效并聯(lián)模型

等效并聯(lián)模型若B<0若B>0兩種模型等效互換設(shè)等效電導(dǎo)等效電納則例2：求其等效并聯(lián)模型。解：原圖可等效為：

四、受控源一端口等效阻抗（或?qū)Ъ{）方法：用外加激勵法。例3．求圖示一端口在ω=1rad/s時的串、并聯(lián)等效電路（R=1Ω,C=1F）。

解：①相量模型

②從端口求ù、?關(guān)系Z，或Y。

③畫等效電路。§9-3正弦穩(wěn)態(tài)電路分析

正弦穩(wěn)態(tài)電路的分析用相量法:①

將正弦量全部用其相量表示，畫出時域電路的相量模型。②在相量模型上，運用適用于直流電路的所有定律、定理（除最大功率傳輸定理）和所有分析方法分析計算。和直流電路不同的是這里所有電壓電流是相量（復(fù)數(shù)形式），所有阻抗也是復(fù)數(shù)形式，其運算符合復(fù)數(shù)運算規(guī)則。③

最后將結(jié)果還原為正弦形式。

注意：*要充分利用相量模值和相位角，與阻抗模值和相位角之間的關(guān)系，來簡化計算過程。*通常都要借助于相量圖，以簡化計算過程和尋找簡便的求解思路。例1、求電路中各支路電流i1，i2，i3

。解：①畫運算電路模型，取網(wǎng)孔電流?1、?2如圖。②列網(wǎng)孔方程：可用行列式求解：

當(dāng)然此題也可以用結(jié)點電壓法或其它方法。

例2、

求圖中電流?和ùZ1。（可用戴維南定理、結(jié)點法、回路法等方法。）

（一）用戴維南定理:先求a,b支路以外(左側(cè))的戴維南等效電路：(二)用結(jié)點電壓法如圖取參考結(jié)點，則獨立結(jié)點電壓為ùZ1。注意：在用相量法運用復(fù)數(shù)形式進行＋－×÷運算時要特別細心，稍不注意,就會出錯，尤其是除法。例3、

圖示用實驗法測定整流器參數(shù)的r和L（也可以是任意阻抗參數(shù)）在工頻下，使用取樣電阻R1=50Ω，現(xiàn)測得：V1=50V，V2=80V，V3=100V，求r和L。工頻指f=50Hz，則ω=2πf=314rad/s

解：運用相量間關(guān)系：如果不充分利用阻抗模值與電壓電流有效值之間的關(guān)系，顯然計算會復(fù)雜一些。因為初相位并不知道。再舉幾個利用相量圖求解題目的例子。例4

如圖正弦電路，已知電流表A1讀數(shù)為1A，電路參數(shù)如圖所示，試求電流表A和電壓表V的讀數(shù)。明確一點：交流電壓表、電流表測出的讀數(shù)是什么值？

解：

例5、圖示正弦電路中正弦電壓US=380V、f=50Hz，電容可調(diào)，當(dāng)C=80.95μF時，交流電流表A的讀數(shù)最小，為2.59A，求圖中交流電流表A1的讀數(shù)。

分析：只給出了數(shù)量關(guān)系，給出的并不是相量（復(fù)數(shù)形式）。顯然應(yīng)該在相量圖上充分利用平面幾何知識來求解最方便。

解：方法一.利用相量圖求解

以ùS作為參考相量畫相量圖，由于?1支路為感性負載，故?1滯后ùS一個相位角φ，?C超前ùS900

。∵

C改變，?1并不變，只改變?C的有效值，且?=?1+?C

，顯然：當(dāng)IC=I1Sinφ，即?和ùS同相位時，I最小。

故IC=ωC·US=2πfC·US=314×80.59×10-6×380=9.66A此時I=2.59A

思考：什么時候電流I最??？或I最小時可得到什么結(jié)論？

思路：I最小，表明此時∣Y∣最小。（∵I=∣Y∣·US）

改變C，只改變Y的虛部，導(dǎo)納最小，意味著虛部為0，ùS和?同相位。

除此之外，還可以求得R1和L1

§9-4正弦穩(wěn)態(tài)電路的功率

一、瞬時功率p(t)

某時刻電路網(wǎng)絡(luò)吸收的電功率為：

前一部分UIcosφ為恒定分量，不隨時間t變化；而后一部分

UIcos（2ωt-φ）為正弦分量，在一個周期內(nèi)平均值為0。

當(dāng)φ=0時，p(t)=UI[cosφ+cos(2ωt-φ)]恒為正（或為0）；當(dāng)φ≠0時，p(t)相當(dāng)于正弦量UIcos(2ωt-φ)向上平移了一個恒定量UIcosφ。

可見，瞬時功率是個變化量，研究的實際意義不大，是不是正弦交流電的功率就無意義了呢？不是的，我們來看一個周期內(nèi)的平均功率。

二、功率

可見：平均有功功率就是瞬時功率的恒定分量，它代表網(wǎng)絡(luò)實際吸收的功率，（正弦量在一個周期內(nèi)吸收的平均功率為0）。U——電壓有效值（V）,I——電流有效值（A）λ=cosφ稱為網(wǎng)絡(luò)的功率因數(shù),φ=φu－φi稱為功率因數(shù)角

說明：P的單位：瓦（W）、千瓦（kW）。對于R、L、C：①

對于R：1．平均功率P（又稱平均有功功率）

2、無功功率Q

無功功率為:Q＝UIsinΦ,U電壓有效值I電流有效值；Φ網(wǎng)絡(luò)的功率因數(shù)角，即電壓超前電流的角度。Q表示一端口與外接進行往復(fù)能量交換的那部分功率

說明：Q的單位：乏（var）千乏（kvar）、兆乏（Mvar）。①對于R：U、I同相位,Φ＝0，P=UIcosΦ＝UI>0;Q=UIsinΦ＝0；

表明R只吸收有功功率P，不吸收無功功率Q；②對于L：U超前I900，Φ＝900,P=UIcosΦ＝0；Q=UIsinΦ=UI>0;表明L不吸收有功功率P，但吸收無功功率Q；③對于C：U滯后I900，Φ＝－900，P=0，Q=UIsinΦ=－UI<0。

表明純電容也不吸收有功功率，而且釋放（發(fā)出）無功功率；可見，R吸收P；L吸Q；C釋放Q。3、視在功率S

S=UI，為端口電壓、電流有效值的乘積；單位：VA、KVA、MVA;

通常電氣設(shè)備（變壓器、電機等）的容量（也就是能輸出的最大功率容量）都是由額定U、I(有效值)決定的，因此U、I的乘積也實際上就表明了設(shè)備容量——能承受的高電壓，最大可通過多少電流。

P=UIcosΦ＝S·cosΦ；Q=UIsinΦ＝SsinΦ；

S2=P2+Q2除此以外還有兩個三角形關(guān)系：由此，可以得到P、Q、S之間的一個直角三角形關(guān)系：這三個三角形為相似三角形。三、功率的測量：使用有功功率表（簡稱功率表）

通常說的電表是電能表，測出用戶用了多少電能（單位千瓦時，即多少度）——這里是功率表（W）。1、功率表的結(jié)構(gòu)

由P=UIcosΦ，知表內(nèi)須能測出U、I值。①接法：電流線圈串連到負載支路中，電壓線圈并聯(lián)到負載上，兩個發(fā)電機端連接起來；功率讀數(shù)：P=UIcos（Φu－Φi）。②工作原理：

舉例：例題1：

圖示測量電感線圈參數(shù)R、L的電路，電壓表、電流表、功率表讀數(shù)分別為：50V、1A、30W。求R、L的值。解：方法一、（解析法）

方法二、

可見，R=30Ω，jωL=j40Ω，功率因數(shù)λ=cosφ=0.6。四、提高功率因數(shù)

上例中，cosΦ=0.6，S=UI=50VA，而P=UIcosΦ=30W，設(shè)備容量沒有充分利用。另一方面：I=1A，如果分解電流的話只有IcosΦ=0.6A在做有用功，實際流過的卻是1A，增加了線路損耗；

如果能在不影響負載Z運行情況下使cosΦ由0.6提高到1，則可以將干線電流減到最小，一方面可以降低損耗，另一方面由于實際容量減小，可以節(jié)省設(shè)備容量?？慈缦孪蛄繄D：1、提高功率因數(shù)的思路：由向量圖可看出，要想在不改變I1時，減小總的的干線電流I，可以在電路中產(chǎn)生一個和I1sinΦ相反的電流，以抵消無功分量，從而減小I——用什么元件？如果參數(shù)選擇合適，可以做到Ic=I1sinΦ1，此時I=I1cosΦ1，使I達到最小值，并和U同相位，此時功率因數(shù)λ=cosΦ=1。2、提高功率因素的意義

（1）可以充分利用設(shè)備容量：比如：S＝2400kVA，實際UI≤2400kVA，否則設(shè)備會過熱。如果cosΦ=1，則最大可輸出Pmax=2400kW的功率；如果cosΦ=0.5，則最多只能輸出Pmax=1200kW的功率；或者這么理解：如果實際需要輸出1200kW的功率，當(dāng)負載的cosΦ=1時，只需要容量為1200kW變壓器供電即可；當(dāng)cosΦ=0.5時，就至少需要2400kW容量的變壓器供電，占用（浪費了）更大的設(shè)備容量，增大了設(shè)備投資。（2）可以降低線路損耗，提高供電效率

總功率P=P2+Pl；Pl=I2Rl為線路損耗；P2為輸出負載功率。在負載功率P2不變時，cosΦ越低，I越大，使Pl越大，因而效率η=P2

/(Pl

+P2

)就越低；（3）可以提高供電質(zhì)量

cosΦ↑→I↓→△U=I×│Zl│↓

例2、在50Hz，380V電路中，一感性負載吸收的P=20kW，λ1=0.6，若要使cosΦ提高到0.9，求負載端應(yīng)并接多大的電容？解：方法一：按電流補償方法計算

方法二：功率是守恒的，可按Q平衡原則，補償Q的思路求解

如果電容C再增大，會使總的電流超前電壓，將負載性質(zhì)補償為容性，反而使cosφ下降，稱為過補償。討論：

并聯(lián)C以前（補償前）：S=P/cosΦ1=33.3kVA；P=20kW；I1=87.72A；Q=26.67kvar=吸收的無功，負載吸收的無功功率Q全部由電網(wǎng)提供；并聯(lián)C以后（補償后）：S=P/cosΦ=22.2kVA；P=20kW；I=58.48A；Q=9.69kvar，只有9.69kvar的無功功率由電網(wǎng)提供，而負載吸收的Q沒變，其他的無功QC應(yīng)由電容C提供；可見：并聯(lián)C提高功率因數(shù)的實質(zhì)是：由C提供負載所需要的無功功率，而減小電網(wǎng)提供的無功功率，使電網(wǎng)主要提供有功功率。原因之一：補到1和補到0.9相比，投入太大，而節(jié)省的容量及損耗不足以抵消大大增加了的電容成本，不劃算；

原因之二：負載的λ往往隨著負載的變化而波動。若將某負載時的λ補償?shù)?，當(dāng)負載變化時，可能會過補償，反而使λ降低。同時負載從感性變成了容性，該負載可能會和電網(wǎng)中其他感性負載發(fā)生并聯(lián)諧振，反而又增加了損耗，且可能損壞設(shè)備。

λ由0.6補償?shù)?.9，需要C=375μF；λ由0.6補償?shù)?，需要C=588μF；λ從0.9~1，提高了11%，而C從375μF上升到588μF卻提高了57%?！?-5復(fù)功率

回顧前邊介紹的功率三角形：求P、Q、S時，是按標量分別計算的。而和均為復(fù)數(shù)形式，阻抗Z也為復(fù)數(shù)形式，同時功率三角形和阻抗三角形為相似三角形，那么，是否可以將三個功率也表示成復(fù)數(shù)形式，并通過、或Z一次就得到呢？這就是復(fù)功率的概念。一、復(fù)功率1、復(fù)功率的定義：量綱：伏安VA、千伏安kVA。2、復(fù)功率的計算：說明：

①

本身在時域里無任何物理意義，引入的目的只是為了計算S、P、Q的方便；②

R、L、C的復(fù)功率分別為：二、復(fù)功率守恒定律

對于正弦穩(wěn)態(tài)電路，可以證明復(fù)功率是守恒的，因此可以利用電路在改變狀態(tài)前后復(fù)功率守恒來計算功率值的變化。（比如cosφ提高問題。前面例題2中的方法二，實際上是利用并聯(lián)電容C前后，P和Q守恒來計算的，當(dāng)然也就是按復(fù)功率守恒計算了）

例題1

求圖示電路各支路的復(fù)功率。

解：①由分流公式得：可看出：Z1為感性負載，吸收有功功率P，也吸收無功功率Q；而Z2為容性負載，吸收有功功率P，同時還發(fā)出無功功率Q。

在電子技術(shù)中，當(dāng)傳輸信號較弱時，常常要求負載從給定電路中獲得最大功率，這就是最大功率傳輸問題。即當(dāng)負載阻抗Z=?

PZ=max=?分析:§9－6最大功率傳輸定理設(shè)Zeq=Req+jXeq,Z=R+jX,

根據(jù)戴維南定理,可把電路N用等效電路代替來進行研究PZ=max

(共軛匹配)例題1：圖示電路，求Z的最佳匹配值，和獲得的最大功率PZmax,并求此時電流源IS發(fā)出的復(fù)功率。解：先求Z以外一端口的戴維南等

效電路注意:在電力系統(tǒng)電路中，通常不要求實現(xiàn)負載的最大功率傳輸。因為:此時供電效率很低(50%)!可見：最佳匹配時，電源只發(fā)出有功功率，而不發(fā)出無功功率。作業(yè)：9-1，9-4,9-11,9-17(b,c),9-19,9-24,9-25,§9-7串聯(lián)電路的諧振

一、串聯(lián)電路的諧振現(xiàn)象

在R、L、C串聯(lián)電路中，通過正弦交流電，Us幅值固定，ω可變，觀測電流表讀數(shù)（I有效值）發(fā)現(xiàn)：

ω↓↓時，I很小，原因是│Z│很大；ω↑↑時，I也很小，因為│Z│也很大。

當(dāng)ω為某一特定頻率ω0時，I最大，此時│Z│最小。仔細分析發(fā)現(xiàn)：

很顯然，│Z│最小,是Z的虛部為0，而Z表現(xiàn)為一個純電阻，此時應(yīng)同相位，因此工程上稱，串聯(lián)電路中當(dāng)ω=ω0時，阻抗虛部X（ω0）=0，即端口同相位時的工作狀態(tài)稱為串聯(lián)諧振現(xiàn)象。

二、串聯(lián)諧振的條件

由

，知串聯(lián)諧振的條件是：即：所加激勵源的頻率ω等于電路參數(shù)所決定的一個特定頻率：

電路發(fā)生串聯(lián)諧振。說明：

ω0只與電路本身的L、C參數(shù)有關(guān)，是反映電路自身固有特征的一個量，電路發(fā)不發(fā)生諧振，取決于激勵中含不含有電路的諧振頻率成分的信號。三、串聯(lián)諧振的特點

1、諧振時的阻抗Z：①此時：為工程上尋找諧振點提供了方法。②特性阻抗ρ

③品質(zhì)因素Q

Q代表了電路的品質(zhì)，Q值越大，在諧振時(ω0L)/R就越大，電路的選擇性越好；但Q過大時，穩(wěn)定性又不好，不容易調(diào)諧。

2、諧振時L、C上的電壓

*諧振時大小相等，方向相反，完全抵消,因此串聯(lián)諧振又稱為電壓諧振。諧振時，。*諧振時：UL=UC=QUS

，即電感電容電壓是電源電壓的Q倍。當(dāng)Q＞＞1時，UL=UC

＞＞US

，這在無線電中可被充分利用。*諧振時，電阻上的電壓達到最大值：比如收音機中調(diào)諧電路：空中的不同無線電信號，體現(xiàn)在各自的頻率互不相同。當(dāng)需要接收某個電臺信號（如南京臺）時，就調(diào)整C，使回路的等于南京臺的信號頻率1008kHz，此時電路在1008kHz頻率處發(fā)生串聯(lián)諧振。

當(dāng)Q＞＞1時，UL=UC

＞＞天線中感應(yīng)的電壓US

，足以大到可通過放大電路送到下一級音響電路。

但在電力線路中，又要絕對避免發(fā)生諧振。在設(shè)計參數(shù)時，使諧振頻率遠離系統(tǒng)中工作信號的頻率——遠離諧振點。四、串聯(lián)諧振曲線和選擇性（了解即可）

1、阻抗頻率特性

2、I~ω的關(guān)系在輸入電壓U不變的情況下，當(dāng)發(fā)生諧振時，電流I(ω)最大：3、串聯(lián)諧振電路的通用曲線：UR/U~ω關(guān)系可見，隨著電路中Q值不同，隨ω變化特性亦有很大區(qū)別。Q值越大，在偏離ω0時，衰減越快。

當(dāng)Q值很大時，可以認為只有頻率為ω0的信號在電路上產(chǎn)生了較大的輸出，而偏離ω0的頻率信號在電路中沒有輸出，也就是說電路的輸出在眾多頻率的輸入信號中選擇出了頻率僅為ω0的信號——選擇性好?？梢奞越大，電路選擇性越好。

工程上為了定性描述選擇性，常以＝0.707時對應(yīng)的兩個頻率ω1和ω2（η1和η2）的寬度作為通頻帶來描述。通頻帶越窄，選擇性越好。當(dāng)通頻帶過寬時，選擇出的就不是單一頻率信號，而是一個頻率范圍內(nèi)所有信號都有——收音機中一個位置出現(xiàn)兩個以上電臺的聲音。

但是Q過大，特性過于尖，在L、C參數(shù)稍微一變化（隨溫度等），ω0就變化了。而不再等于1008kHz，因而又收不到1008kHz信號了。因此常聽到1008kHz的聲音忽大忽小，甚至有時干脆沒有了——選擇的穩(wěn)定性不好。

比如，如圖電路中：當(dāng)ω0=ω2時，同樣可認為電路只選擇了ω2的信號。因此，電路具有選擇性，具有選擇不同頻率信號的能力?！?－8并聯(lián)諧振電路

一、典型RLC并聯(lián)電路

串聯(lián)諧振中，R并不是人為接入的，而是電感中的繞線電阻、C的漏電阻和導(dǎo)線電阻的總和。在實際電路中，有時電子線路的內(nèi)阻（包括放大器的輸入、輸出電阻）又較大，會使整個回路電阻R很大，甚至達幾十kΩ。如此大的R足以使得Q下降到無法利用的程度。此時如何利用諧振呢？這就要考慮并聯(lián)諧振電路。

當(dāng)IS為定值，調(diào)節(jié)ω時發(fā)現(xiàn)：

當(dāng)ω很小時，U很??；當(dāng)ω很大時，U也很??；

當(dāng)ω調(diào)整為一特定值ω=ω0時，U最大。原因是：ω=ω0時，│Y│=1/R最小，此