河南省普通高中2023屆高三下學(xué)期3月高考適應(yīng)性考試數(shù)學(xué)（理）試卷(含答案)

河南省普通高中2023屆高三下學(xué)期3月高考適應(yīng)性考試數(shù)學(xué)(理)

試卷

學(xué)校：姓名：班級：考號：

一、選擇題

1、已知全集U={1,2,3,4,5,6},集合M={l,3,6},N={2,3,4},則6(MN)=()

A.{5}B.{l,2}C.{3,4}D.{1,2,3,4}

2、已知〃?，〃為實數(shù)，l-i(i為虛數(shù)單位)是關(guān)于X的方程f一ZWC+"=O的一個根，則

m÷Λi=()

A.0B.lC.2D.4

3、設(shè)數(shù)列{%}為正項等差數(shù)列，且其前〃項和為S,,,若§2023=2023,則下列判斷錯

誤的是()

A.6f1012=1B.?1013≥1C.S2022>2022D.S2024≥2024

4、已知四邊形ABCD為正方形，其內(nèi)切圓/與各邊分別切于E,F,G,H,連接

EF,FG,GH,HE,如圖所示.現(xiàn)向正方形ABCr)內(nèi)隨機拋擲一枚豆子，記事件M為

豆子落在圓/內(nèi)，事件N為豆子落在四邊形EFG”外，則P(NlM)=()

TtTi22

A.l--B.-C.l--D：

44ππ

—1—2:

5、已知O,E分別是aABC的邊4B,AC上的點，且滿足AD=-AB,AE=-AC.F

33

為直線OE與直線BC的交點.若AR=/IAB+〃AC(4,〃為實數(shù))，則〃-4的值為

()

A.lB.--C.-D.-

332

6、已知函數(shù)/(x)=2cosz8+esin2<υx-1(勿>0)的最小正周期為5，把函數(shù)/(x)的

圖象向右平移E個單位長度，得到函數(shù)g(χ)的圖象，則函數(shù)g(x)的圖象上距離原點

最近的對稱中心為()

a??,°)B?修,0)CHHD?信，。)

22

7、已知雙曲線c：=-4=ιm>o力>0)的左、右焦點分別為耳，尸,，尸是雙曲線C

ab~

的一條漸近線上的點，且線段PE的中點M在另一條漸近線上.若NP瑪耳=45。，則雙

曲線C的離心率為()

A.√2B.√3C.2D.√5

8、如圖，在正方體ABC。-中，E,IF分別是棱與G的中點，則過線段

8。且垂直于平面AEF的截面圖形為()

A.等腰梯形B.三角形C.正方形D.矩形

9、某中學(xué)堅持“五育”并舉，全面推進素質(zhì)教育.為了更好地增強學(xué)生們的身體素

質(zhì)，校長帶領(lǐng)同學(xué)們一起做俯臥撐鍛煉.鍛煉是否達到中等強度運動，簡單測量方法為

/(r)=fe,,其中t為運動后心率(單位：次/分)與正常時心率的比值，左為每個個體的體

質(zhì)健康系數(shù).若/⑺介于[28,34]之間，則達到了中等強度運動；若低于28,則運動不

足；若高于34,則運動過量.已知某同學(xué)正常時心率為80,體質(zhì)健康系數(shù)％=7,經(jīng)過

俯臥撐后心率M單位：次/分)滿足y=8θ(lnJE+[,尤為俯臥撐個數(shù).已知俯臥撐每組

、"12,

12個，若該同學(xué)要達到中等強度運動，則較合適的俯臥撐組數(shù)為(e為自然對數(shù)的底

數(shù)，e≈2.718)()

A.2B.3C.4D.5

10、設(shè)函數(shù)/(x)的定義域為R,/(x+l)為奇函數(shù)，/(x+2)為偶函數(shù)，當(dāng)xe[I,2]

時，/(X)=G:?+6若/(0)+∕(3)=3,則/[g)=()

A?4B?4c7D7

11、實數(shù)光，y,Z分別滿足f>22=e,2022,=2023,2022z=2023,則x,y,Z的大小

關(guān)系為()

A.x>y>zB.x>z>yC.z>x>yD.y>x>z

12、如圖，直線/1.平面α,垂足為0,正四面體ABCD（所有棱長都相等的三棱錐）的

棱長為2,C在平面α內(nèi)，B是直線/上的動點，當(dāng)。到Ao的距離最大時，該正四

面體在平面a上的射影面積為（）

A.√3B.-C.√2D.1+—

22

二、填空題

13、拋物線y=2尤2的焦點到準(zhǔn)線的距離為.

14、已知函數(shù)=若/（加）</（2—?），則實數(shù)機的取值范圍是

15、安排A,B,C,D,E五名志愿者到甲，乙兩個福利院做服務(wù)工作，每個福利院

至少安排一名志愿者，則A,B被安排在不同的福利院的概率為.

16、已知數(shù)列｛4｝滿足q=0，4用=-a^+a,l+c（n∈N）若數(shù)列｛4｝為單調(diào)遞增數(shù)

列，則實數(shù)C的取值范圍為.

三、解答題

17、已知在AABC中，角A,B,C的對邊分別是a,b,c,在①

αsinC-ccos[A-E）=0；（2）2ccosA=acosB+bcosA；③

8sin3+CsinC-QsinA-AinC=O中任選一個作為條件解答下面兩個問題.

⑴求角A；

⑵已知。=6,SΔΛSC=3√3,求α的值.

18、如圖，在三棱柱AoE-BCE中，四邊形ABCD是菱形，NABC=I20。，

AF=6,AD=2DF=2,P,。分別為A。，BE的中點，且平面ADbJ_平面ABCD

(1)求證：DFLPQ-,

(2)求直線P。與平面BOF所成角的正弦值.

19、某學(xué)校籌備成立足球社團，由于報名人數(shù)太多，需對報名者進行“點球測試”來

決定是否錄取.規(guī)則如下：每人最多有四次機會，只要連續(xù)踢進2個點球，則停止踢球

并予以錄取，若已經(jīng)確定不能連續(xù)踢進2個點球，則停止踢球且不予錄取.下表是某同

學(xué)六次訓(xùn)練數(shù)據(jù)，以這150個點球中的進球頻率代表其單次點球踢進的概率.

點球數(shù)203030252025

進球數(shù)151722181414

(1)求該同學(xué)被錄取的概率；

(2)若該同學(xué)要進行“點球測試”，記他在測試中進球的個數(shù)為X,求隨機變量X的期

望.

20、已知橢圓。：5+/=1(。>/?>0)的右焦點尸(1,0),點/(坐,；)在橢圓0上.

(1)求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；

⑵過點P(2,l)的直線/與橢圓C交于A,B兩點.若PA=APB,AQ=ΛQB(λ>0),求

IOQI的最小值(。是坐標(biāo)原點).

zn-?

21、已知函數(shù)/(x)=l-竺-(α≠0).

eA

⑴討論/(?)在(O,+∞)上的單調(diào)性；

⑵若不等式2e"(x)≥χ3］nx+χ2+3χ恒成立，求實數(shù)a的取值范圍.

22、［選修4-4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程］

X=2cos0,

在直角坐標(biāo)系Xoy中，曲線G的參數(shù)方程為r(其中0為參數(shù))，以。為極

γ=√2Sine

點，X軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，曲線C2的極坐標(biāo)方程為

夕COS26+4cos6一夕=0.

(I)求曲線G的普通方程和曲線G的直角坐標(biāo)方程;

(2)射線/:9=a與曲線G，分別交于點48(均異于極點)，當(dāng)3≤α≤g時，求

IBl

。的最小值.

TθA?

23、［選修4-5：不等式選講］

已知正實數(shù)α,b,C滿足L+'+L=I.

abc

⑴求α+4"9c的最小值；

∕c?'-rn□b+Ca+CCΓ~Γ~

(2)證明：--r=^H—7=^H--r=-≥2Vcιbc.

√(7yjb√C

參考答案

1、答案：A

解析：

2、答案：D

解析：

3、答案：C

解析：

4、答案：C

解析：設(shè)正方形ABCo的邊長為α,

則圓/的半徑其面積S=πx[q[=Lm2,易證四邊形MGH為正方形，設(shè)其

2⑴4

6<∕τVl

邊長為Z?,則g。=α=>0=—a,其面積S2=—a=-a1,

22[2)2

11??

則在圓/內(nèi)且在EFG”外的面積Sl=S-S,=—/一一"，所以P(BlA)=2=1-一,

42Sπ

故選C.

5、答案：C

解析：

6、答案：B

解析：

7、答案：A

解析：由M是EP的中點，。是片鳥的中點，

??.OMIIPF1,

由=45。可知.

NMOK=45。，由漸近線關(guān)于>軸對稱,

.?.NPOF2=ZMOF1=45°,

.?.tanZPOF2=tan450=1,

h

又直線OP方程為：y^-x,

a

b

.?M=2=tan∕P。居=1,

a

：.b=a,:.b2=a2,Hb1=ci-cr,

:.c2-a2=a2,:.c2=2a2,

:.c=V2α,

.??e'=&,

a

故選：A.

8、答案：A

解析：

9、答案：B

解析：由題意，設(shè)俯臥撐組數(shù)為α(αcN]，則無=12〃，

所以"上=*/上+1=ln(e?/?),

80V12

所以/(r)=7e'=7*.)=7e√^∈[28,34],

434161156

所以Gea∈

e’7e7,497

因為牛。且αeN*,

2.166,所以α=3.

e249e2

故選：B.

10、答案：D

解析：

11、答案：B

解析：

12、答案：D

解析：由題意如圖，直線BC與動點。的空間關(guān)系;

/I；///

。C

∕α/

點。是以BC為直徑的球面上的點，

所以。到AD的距離為四面體上以Be為直徑的球面上的點到AD的距離,

最大距離為AD到球心的距離(即BC與AD的共垂線)+半徑=&+1.

再考慮取得最大距離時四面體的投影情況，

此時我們注意到AO垂直平面。BC且平行平面。,

故其投影是以AO為底，。到A。的距離投影，

即(亞+I)cos45o=l+變?yōu)楦叩牡妊切?

2

其面積=J2?x2xI1+注2J=1+在2.

故選：D.

13、答案：-

4

解析：由y=2f可得拋物線標(biāo)準(zhǔn)方程為：χ2=ly,

所以拋物線的焦點為(O[),準(zhǔn)線方程為)，=-1,

所以焦點到準(zhǔn)線的距離為?L

4

14、答案：(-2,1)

12?、

解析ι：當(dāng)x≥0時，/(x)=(x+-+/單調(diào)遞增；

當(dāng)XeO時，/(x)=2x÷l單調(diào)遞增;

又2*0+l=l≤()2+0+l=l,所以/(x)在R上單調(diào)遞增,

由/(加)</(2—〃/),WTM<2—w2,即加?+加一2<0,解得一2<∕n<l,

所以實數(shù)m的取值范圍是(-2,1).

15、答案:—

15

解析：

16、答案：[°，；

解析：

■TT

17、答案：(I)A=2

3

(2)0=2√7

(Q

解析：(1)若選①：因為“sinC-ccosA---=O,

V67

所以由正弦定理可得SinASinC-SinCCoS[A-己0.

因為O<C<τι,所以SinC>().

所以可得SinA=COSA--I=——cosA+—sinA,即-SinA=——cosA.

I62222

所以tanA=G.

因為0<Avπ,所以A=二.

3

若選②：因為2ccosA=αcos3+bcosA,

所以由正弦定理可得2sinCcosA=SinAcosB+sinBCoSA.

所以2sinCcosA=sin(A÷B)=sinC.

因為OVCVπ,所以SinC>().所以CoSA=L.

2

因為0<A<π,所以A=四.

3

若選③：因為/?5吊3+。$指。一々$由4一/?5m。=0,所以由正弦定理可得

b2+c2-a2=be.

所以由余弦定理可得COSA="+廠一"=

2bc2

因為0<A<τι,所以A=C.

3

(2)由(1)可得A=].

因為匕=6,SΛABC-3?∣3，

所以SAABC=LbCSinA=?×6c×c-3?∣3解得C=2.

δ2222

由余弦定理，得標(biāo)=b2+c2-2bccosA=62+22-2×6×2×-=2S.

2

所以α=2√7.

18、答案：(1)證明見解析

(2)直線尸。與平面BQE所成角的正弦值為之

解析：(1)如圖，連接8P,在菱形ABeo中，易彳導(dǎo)BD=2,BPYAD.

平面ABCD_L平面AoF,平面ABCD「平面ADR=4),BPU平面ABC。，

平面Ao/.

又DEU平面AOE,.?.BP^DF.

在ZVlD尸中，?.?AF=百，Ar>=2DE=2,ΛAD2=DF2+AF2.

又AFHBE,.?DFLBE.

連接EP,BEBP=B,BE,BPU平面BEP,

.?.￡>「_!_平面BEP.

又PQU平面HEP,.-.DFlPQ.

(2)由(1)知第，4),且平面ADEJ_平面ABCD以PB,7?所在直線分別為x,y軸,

建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系P-型，

▲z

(1Zξ

則P(0,0,0),A(O,1,O),D(O,-1,O),B(√3,O,O),FO,一一

I22.

(1/??

.?.DB=(√3,l,0),DF=0,-,—.

I22J

FE=AB-(V3,-1,0),

C3

?,?E?/?,—-??，Q&F

2

???PQ=∣G,弓

V3x÷y=0,

n-DB=0,即h√3

設(shè)平面8。E的一個法向量為〃=（X,y,z）,則＜n

n?DF-0,—y+——z=0.

12.2

取X=1,則y=—?/?,z=1.√.n=(1,—?/?,1).

設(shè)直線PQ與平面BDF所成的角為θ，

6+轉(zhuǎn)+近4

則Sinθ=|cos(PQ,ιi)I=∣PQ"44=4

?PQ?Λn?λ^×√55

2

，直線PQ與平面BO尸所成角的正弦值為：

70

19、答案：（1）3

27

嗚

15+17+22+18+14+142

解析：（1）由該同學(xué)六次訓(xùn)練數(shù)據(jù)，得該同學(xué)進球頻率為

150^3

7

所以該同學(xué)單次點球踢進的概率為4.

3

設(shè)事件A為“該同學(xué)被錄取”，

則…X自

所以該同學(xué)被錄取的概率為翁70.

(2)由題意知X的所有可能取值為0,1,2,3.

所以P(X=O)=??,

P(X=I)=2Wx(Iq)214

+-X

381

S=如月＞乳2%啰包56

81

產(chǎn)(χ=3)=∣.∣NIj=8

81

所以隨機變量X的期望為E(X)=OX'→lχ3+2χ生+3χ*=".

2781818127

2

20、答案：(1)5+V=ι

√2

⑵爭

解析：(1)由橢圓定義知2α==2\/2.

2

所以α=JΣ,力=C=L所以橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為三+V=1.

(2)由題意知4x1.設(shè)Aa,y),β(x2,y2),Q(?,y0).

由PA=2P8,AQ=λQβ(λ>0),

Z=[?i-λx=2(1-A),x+λx=(1+2)x,

τ?*2且l20

yl-∕y2=?-λyl+λy2=(l+λ)y0.

2

X∣2_1

彳+x=1，

又A,B均在橢圓C上，所以《：,

*+分公

兩式作差，得(—十+也)+(%一%%)(X+2%)=1-萬?(*)

把代入(*)式,得(3+4%)+α+%%)=l+4?

JTy2=]一丸

又由卜:m?：。'得α+社)+(y+zt%)=a+㈤(/+%).

IX+%%=(1+4)%

所以Xo+No=1.

所以點。到直線x+y-l=0的距離d=7^=交.

√12+122

經(jīng)檢驗，此時垂足Q(g,g)在橢圓內(nèi)部.

所以|0。|的最小值為日.

21、答案:⑴當(dāng)α>0時,/(x)在(0,3)上單調(diào)遞減，在(3,+∞)上單調(diào)遞增;

當(dāng)α<0時，/(x)在(0,3)上單調(diào)遞增，在(3,+8)上單調(diào)遞減

(311^

(2)-∞,-e------In3—

(2723_

i

解析：⑴因為/(X)=I-a爺x，XG(O,+00),

e

所以1(x)=αχ3-3"2ax2(x-3)

etex

當(dāng)〃〉0時，由/'(%)>0,得x>3；由/'(x)vθ,得0<x<3.

所以f(x)在(0,3)上單調(diào)遞減,在(3,+8)上單調(diào)遞增.

當(dāng)α<0時，由/'(x)<0,得x>3；由/'(x)>0,得0<x<3.

所以/(x)在(0,3)上單調(diào)遞增，在(3,+∞)上單調(diào)遞減.

綜上，當(dāng)a>0時，/(x)在(0,3)上單調(diào)遞減，在(3,+oo)上單調(diào)遞增;

當(dāng)α<()時，/(x)在(0,3)上單調(diào)遞增，在(3,+∞)上單調(diào)遞減.

(2)不等式2e"(x)≥x3lnx+x2+3x恒成立，即不等式2e"-2G?≥X3lnx÷x2+3X恒成

立,

13

即等價于X_______恒__成__立.

2x2X2

e?113

設(shè)g(M了WnAF*，xe(O,÷∞),

則g'(χ)=0≡尹113

------1----------1------

3

X2x2x~X

設(shè)∕z(x)=e*-'χ2一無，貝IjX)=e，一工一1.

2

設(shè)9(x)=eA.-工一1,則“(%)=e'-1.

由φ,(x)>0,得X>0.所以O(shè)O)在(0,+8)上單調(diào)遞增.

則φ{(diào)x)>O(O)=O,即/(%)>O.所以Λ(x)在(0,+oo)上單調(diào)遞增.

因為獻0)=l>0,所以〃(X)>0.

由g'(x)=。，得x=3.所以當(dāng)g'(x)V。時，0<x<3,當(dāng)g'(x)>。時，x>3.

所以g(x)在(0,3)上單調(diào)遞減，在(3,+∞)上單調(diào)遞增.

3