人教A版高中數(shù)學(xué)必修2學(xué)案2-2-3直線與平面平行的性質(zhì)

2.2.3直線與平面平行的性質(zhì)學(xué)習(xí)目標核心素養(yǎng)1.了解直線與平面平行的性質(zhì)定理的探究以及證明過程.2．理解直線與平面平行的性質(zhì)定理的含義并能應(yīng)用．(重點)3．能夠綜合應(yīng)用直線與平面平行的判定定理和性質(zhì)定理進行線面平行的相互轉(zhuǎn)化．(難點)通過學(xué)習(xí)直線與平面平行的性質(zhì)，提升直觀想象、邏輯推理的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)．直線與平面平行的性質(zhì)定理文字語言一條直線與一個平面平行，過該直線的任意一個平面與已知平面的交線與該直線平行符號語言a∥α，a?β，α∩β＝b?a∥b圖形語言思考：若a∥α，b?α，則直線a一定與直線b平行嗎？[提示]不一定．由a∥α，可知直線a與平面α無公共點，又b?α，所以a與b無公共點，所以直線a與直線b平行或異面．1．如圖，過正方體ABCD-A′B′C′D′的棱BB′作一平面交平面CDD′C′于EE′，則BB′與EE′的位置關(guān)系是()A．平行 B．相交C．異面 D．不確定A[因為BB′∥平面CDD′C′，BB′?平面BB′E′E，平面BB′E′E∩平面CDD′C′＝EE′，所以BB′∥EE′.]2．若直線a∥平面α，直線b?平面α，則a與b的關(guān)系是()A．a(chǎn)∥b B．a(chǎn)與b異面C．a(chǎn)與b沒交點 D．a(chǎn)與b可能相交C[因為a∥α，所以a與α沒交點，即a與b沒交點，也就是說a∥b或a與b異面，選A或B都不全面，故選C.]3．設(shè)m、n是平面α外的兩條直線，給出以下三個論斷：①m∥n；②m∥α；③n∥α.以其中兩個為條件，余下的一個為結(jié)論，構(gòu)造三個命題，寫出你認為正確的一個命題：________．(用序號表示)①②?③(或①③?②)[設(shè)過m的平面β與α交于l.因為m∥α，所以m∥l，因為m∥n，所以n∥l，因為n?α，l?α，所以n∥α.]直線與平面平行性質(zhì)定理的應(yīng)用[探究問題]1．直線與平面平行性質(zhì)定理的條件有哪些？[提示]線面平行的性質(zhì)定理的條件有三個：(1)直線a與平面α平行，即a∥α；(2)平面α、β相交于一條直線，即α∩β＝b；(3)直線a在平面β內(nèi)，即a?β.三個條件缺一不可．2．直線與平面平行的性質(zhì)定理有什么作用？[提示]定理的作用：(1)線面平行?線線平行；(2)畫一條直線與已知直線平行．3．直線與平面平行的判定定理和性質(zhì)定理有什么聯(lián)系？[提示]經(jīng)常利用判定定理證明線面平行，再利用性質(zhì)定理證明線線平行．【例1】如圖，用平行于四面體ABCD的一組對棱AB，CD的平面截此四面體．求證：截面MNPQ是平行四邊形．[證明]因為AB∥平面MNPQ，平面ABC∩平面MNPQ＝MN，且AB?平面ABC，所以由線面平行的性質(zhì)定理，知AB∥MN，同理，AB∥PQ，所以MN∥PQ.同理可得MQ∥NP.所以截面MNPQ為平行四邊形．將本例變?yōu)椋喝鐖D所示，四邊形ABCD是矩形，P?平面ABCD，過BC作平面BCFE交AP于E，交DP于F.求證：四邊形BCFE是梯形．[證明]因為四邊形ABCD為矩形，所以BC∥AD，因為AD?平面PAD，BC?平面PAD，所以BC∥平面PAD.因為平面BCFE∩平面PAD＝EF，所以BC∥EF.因為AD＝BC，AD≠EF，所以BC≠EF，所以四邊形BCFE是梯形．1．利用線面平行性質(zhì)定理解題的步驟：2．證明線線平行的方法：(1)定義：在同一個平面內(nèi)沒有公共點的兩條直線平行．(2)平行公理：平行于同一條直線的兩條直線平行．(3)線面平行的性質(zhì)定理：eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(a∥α,a?β,α∩β＝b))?a∥b，應(yīng)用時題目條件中需有線面平行．與線面平行性質(zhì)定理有關(guān)的計算【例2】如圖，在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是平行四邊形，且PA＝3，點F在棱PA上，且AF＝1，點E在棱PD上，若CE∥平面BDF，求PE∶ED的值．[解]過點E作EG∥FD交AP于點G，連接CG，連接AC交BD于點O，連接FO.因為EG∥FD，EG?平面BDF，F(xiàn)D?平面BDF，所以EG∥平面BDF，又EG∩CE＝E，CE∥平面BDF，EG?平面CGE，CE?平面CGE，所以平面CGE∥平面BDF，又CG?平面CGE，所以CG∥平面BDF，又平面BDF∩平面PAC＝FO，CG?平面PAC，所以FO∥CG，又O為AC的中點，所以F為AG的中點，所以FG＝GP＝1，所以E為PD的中點，PE∶ED＝1∶1.利用線面平行的性質(zhì)定理計算有關(guān)問題的三個關(guān)鍵點：(1)根據(jù)已知線面平行關(guān)系推出線線平行關(guān)系．(2)在三角形內(nèi)利用三角形中位線性質(zhì)、平行線分線段成比例定理推出有關(guān)線段的關(guān)系．(3)利用所得關(guān)系計算求值．eq\a\vs4\al([跟進訓(xùn)練])如圖所示，在棱長為6的正方體ABCD-A1B1C1D1中，點E，F(xiàn)分別是棱C1D1，B1C1的中點，過A，E，F(xiàn)三點作該正方體的截面6eq\r(13)＋3eq\r(2)[如圖所示，延長EF，A1B1相交于點M，連接AM，交BB1于點H，連接FH，延長FE，A1D1相交于點N，連接AN交DD1于點G，連接EG，可得截面五邊形AHFEG，因為幾何體ABCD-A1B1C1D1是棱長為6的正方體，且E、F分別是棱C1D1，B1C1的中點，所以EF＝3eq\r(2)，易知B1M＝C1E＝eq\f(1,2)C1D1＝eq\f(1,2)A1B1，又B1H∥AA1，所以B1H＝eq\f(1,3)AA1＝2，則BH＝4，易知AG＝AH＝eq\r(62＋42)＝2eq\r(13)，EG＝FH＝eq\r(32＋22)＝eq\r(13)，所以截面的周長為6eq\r(13)＋3eq\r(2).]1．在遇到線面平行時，常需作出過已知直線與已知平面相交的輔助平面，以便運用線面平行的性質(zhì)．用口訣記憶為：“過直線，作平面，得交線，得平行．”2．要靈活應(yīng)用線線平行、線面平行的相互聯(lián)系、相互轉(zhuǎn)化．在解決立體幾何中的平行問題時，一般都要用到平行關(guān)系的轉(zhuǎn)化．轉(zhuǎn)化思想是解決這類問題的最有效的方法．即1．如圖，在三棱錐S-ABC中，E，F(xiàn)分別是SB,SC上的點，且EF∥平面ABC，則()A.EF與BC相交B.EF∥BCC.EF與BC異面D.以上均有可能B[因為平面SBC∩平面ABC＝BC，又因為EF∥平面ABC，所以EF∥BC.]2．直線a∥平面α，α內(nèi)有n條直線交于一點，則這n條直線中與直線a平行的直線有()A.0條B．1條C．0條或1條D．無數(shù)條C[過直線a與交點作平面β，設(shè)平面β與α交于直線b，則a∥b，若所給n條直線中有1條是與b重合的，則此直線與直線a平行，若沒有與b重合的，則與直線a平行的直線有0條．]3．過正方體ABCD-A1B1C1D1的三頂點A1,C1,B的平面與底面ABCD所在的平面的交線為l，則l與A1C平行[因為A1C1∥平面ABCD，A1C1?平面A1C平面ABCD∩平面A1C1B＝l，由線面平行的性質(zhì)定理，所以A1C1∥l4．如圖，在三棱柱ABC-A1B1C1中，D是棱CC