4.5.1 函數(shù)的零點與方程的解（九大題型）（原卷版）

4.5.1函數(shù)的零點與方程的解【題型歸納目錄】題型一：求函數(shù)的零點題型二：根據(jù)零點求函數(shù)解析式的參數(shù)題型三：零點存在性定理的應用題型四：根據(jù)零點所在區(qū)間求參數(shù)范圍題型五：根據(jù)零點的個數(shù)求參數(shù)范圍題型六：一次函數(shù)零點分布求參數(shù)范圍題型七：二次函數(shù)零點分布求參數(shù)范圍題型八：指對冪函數(shù)零點分布求參數(shù)范圍題型九：函數(shù)與方程的綜合應用【知識點梳理】知識點一：函數(shù)的零點1、函數(shù)的零點（1）一般地，如果函數(shù)在實數(shù)處的值等于零，即，則叫做這個函數(shù)的零點.知識點詮釋：①函數(shù)的零點是一個實數(shù)，當函數(shù)的自變量取這個實數(shù)時，其函數(shù)值等于零；②函數(shù)的零點也就是函數(shù)的圖象與軸交點的橫坐標；③函數(shù)的零點就是方程的實數(shù)根．歸納：方程有實數(shù)根函數(shù)的圖象與軸有交點函數(shù)有零點．（2）二次函數(shù)的零點二次函數(shù)的零點個數(shù)，方程的實根個數(shù)見下表.判別式方程的根函數(shù)的零點兩個不相等的實根兩個零點兩個相等的實根一個二重零點無實根無零點（3）二次函數(shù)零點的性質(zhì)①二次函數(shù)的圖象是連續(xù)的，當它通過零點時（不是二重零點），函數(shù)值變號.②相鄰兩個零點之間的所有的函數(shù)值保持同號.引伸：對任意函數(shù)，只要它的圖象是連續(xù)不間斷的，上述性質(zhì)同樣成立.2、函數(shù)零點的判定（1）利用函數(shù)零點存在性的判定定理如果函數(shù)在一個區(qū)間上的圖象不間斷，并且在它的兩個端點處的函數(shù)值異號，即，則這個函數(shù)在這個區(qū)間上，至少有一個零點，即存在一點，使，這個也就是方程的根.知識點詮釋：①滿足上述條件，我們只能判定區(qū)間內(nèi)有零點，但不能確定有幾個．若函數(shù)在區(qū)間內(nèi)單調(diào)，則只有一個；若不單調(diào)，則個數(shù)不確定．②若函數(shù)在區(qū)間上有，在內(nèi)也可能有零點，例如在上，在區(qū)間上就是這樣的．故在內(nèi)有零點，不一定有．③若函數(shù)在區(qū)間上的圖象不是連續(xù)不斷的曲線，在內(nèi)也可能是有零點，例如函數(shù)在上就是這樣的．（2）利用方程求解法求函數(shù)的零點時，先考慮解方程，方程無實根則函數(shù)無零點，方程有實根則函數(shù)有零點．（3）利用數(shù)形結(jié)合法函數(shù)的零點就是方程的實數(shù)根，也就是函數(shù)的圖象與的圖象交點的橫坐標．【方法技巧與總結(jié)】1、函數(shù)在區(qū)間上的圖象是一條連續(xù)不斷的曲線，，且具有單調(diào)性，則函數(shù)在區(qū)間內(nèi)只有一個零點.2、函數(shù)在區(qū)間上的圖象是一條連續(xù)不斷的曲線，函數(shù)在區(qū)間內(nèi)有零點，且函數(shù)具有單調(diào)性，則3、零點個數(shù)的判斷方法（1）直接法：直接求零點，令，如果能求出解，則有幾個不同的解就有幾個零點.（2）定理法：利用零點存在定理，函數(shù)的圖象在區(qū)間上是連續(xù)不斷的曲線，且，結(jié)合函數(shù)的圖象與性質(zhì)(如單調(diào)性、奇偶性)才能確定函數(shù)有多少個零點.（3）數(shù)形結(jié)合法：①單個函數(shù)圖象：利用圖象交點的個數(shù)，畫出函數(shù)的圖象，函數(shù)的圖象與軸交點的個數(shù)就是函數(shù)的零點個數(shù)；②兩個函數(shù)圖象：將函數(shù)拆成兩個函數(shù)和的差，根據(jù)，則函數(shù)的零點個數(shù)就是函數(shù)和的圖象的交點個數(shù).4、判斷函數(shù)零點所在區(qū)間（1）將區(qū)間端點代入函數(shù)求函數(shù)的值；（2）將所得函數(shù)值相乘，并進行符號判斷；（3）若符號為正且在該區(qū)間內(nèi)是遞增或遞減，則函數(shù)在該區(qū)間內(nèi)無零點；若符號為負且函數(shù)圖象連續(xù)，則函數(shù)在該區(qū)間內(nèi)至少一個零點。5、已知函數(shù)零點個數(shù)，求參數(shù)取值范圍的方法（1）直接法：利用零點存在的判定定理建立不等式；（2）數(shù)形結(jié)合法：轉(zhuǎn)化為兩個函數(shù)圖象的交點問題，再結(jié)合圖象求參數(shù)的取值范圍；（3）分離參數(shù)法：分離參數(shù)后轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的值域問題．【典型例題】題型一：求函數(shù)的零點例1．（2023·安徽·高一校聯(lián)考階段練習）函數(shù)的零點是（

）A． B．C． D．例2．（2023·全國·高一專題練習）函數(shù)的零點為（

）A． B．2 C． D．例3．（2023·全國·高一專題練習）若是二次函數(shù)的兩個零點，則的值是（）A．3 B．15 C． D．變式1．（2023·高一單元測試）函數(shù)的零點為（

）A． B． C． D．無零點變式2．（2023·江西景德鎮(zhèn)·高一景德鎮(zhèn)一中?？计谀┖瘮?shù)的零點為（

）A．0 B．1 C． D．【方法技巧與總結(jié)】求函數(shù)的零點就是求相應方程的實數(shù)根，一般可以借助求根公式或因式分解等方法，求出方程的根，從而得到函數(shù)的零點.題型二：根據(jù)零點求函數(shù)解析式的參數(shù)例4．（2023·江蘇·高一假期作業(yè)）關于的函數(shù)的兩個零點為，且，則＝（）A． B．C． D．例5．（2023·全國·高一專題練習）函數(shù)有且只有一個零點，則實數(shù)m的值為（

）A．9 B．12 C．0或9 D．0或12例6．（2023·高一課時練習）若函數(shù)的零點為2，則函數(shù)的零點是（

）A．0， B．0， C．0，2 D．2，變式3．（2023·高一課時練習）已知2是函數(shù)（為常數(shù)）的零點，且，則的值為（

）A． B． C．4 D．3變式4．（2023·高一課時練習）若實數(shù)，滿足，，則（

）A． B．1 C． D．2題型三：零點存在性定理的應用例7．（2023·全國·高一專題練習）的零點所在區(qū)間為（

）A． B． C． D．例8．（2023·全國·高一專題練習）已知函數(shù)的圖象是連續(xù)不斷的，有如下的對應值表，那么函數(shù)在區(qū)間上的零點至少有（

）x1234567123.521.5－7.8211.57－53.7－126.7－129.6A．2個 B．3個C．4個 D．5個例9．（2023·全國·高一專題練習）方程的根所在區(qū)間是（

）A． B． C． D．變式5．（2023·全國·高一專題練習）函數(shù)的零點所在的區(qū)間為（

）A． B．C． D．變式6．（2023·全國·高一專題練習）若是函數(shù)的零點，則屬于區(qū)間（

）.A． B．C． D．【方法技巧與總結(jié)】解答這類判斷函數(shù)零點的大致區(qū)間的選擇題，只需用函數(shù)零點的存在性定理依次檢驗所提供的區(qū)間，即可得到答案．題型四：根據(jù)零點所在區(qū)間求參數(shù)范圍例10．（2023·全國·高一專題練習）函數(shù)的一個零點在區(qū)間內(nèi)，則實數(shù)a的取值范圍是（

）A． B．C． D．例11．（2023·全國·高一專題練習）若函數(shù)存在1個零點位于內(nèi)，則a的取值范圍是（

）A． B． C． D．例12．（2023·全國·高一專題練習）函數(shù)的一個零點在區(qū)間內(nèi)，則實數(shù)的取值范圍是（

）A． B． C． D．變式7．（2023·高一單元測試）已知函數(shù)，若恰有兩個零點，則正數(shù)的取值范圍是（

）A． B． C． D．變式8．（2023·遼寧鞍山·高一統(tǒng)考期末）已知函數(shù)在區(qū)間上有唯一零點，則正整數(shù)（

）A．8 B．9 C．10 D．11題型五：根據(jù)零點的個數(shù)求參數(shù)范圍例13．（2023·江蘇南京·高一南京市第九中學?？茧A段練習）函數(shù)只有一個零點，則的取值集合為例14．（2023·全國·高一專題練習）已知函數(shù)，，若存在3個零點，則實數(shù)的取值范圍為．例15．（2023·全國·高一專題練習）已知函數(shù)，若函數(shù)有兩個零點，則實數(shù)的取值范圍是.變式9．（2023·全國·高一專題練習）若函數(shù)在區(qū)間上恰有一個零點，則實數(shù)的取值范圍是．變式10．（2023·全國·高一專題練習）已知函數(shù)，若函數(shù)有7個零點，則實數(shù)的取值范圍是．變式11．（2023·全國·高一專題練習）函數(shù)有兩個不同零點，則實數(shù)a的取值范圍是.【方法技巧與總結(jié)】體現(xiàn)了函數(shù)與方程的互相轉(zhuǎn)化，體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合思想的應用，它對于解決有更多限制條件的問題提供了一種新的途徑．題型六：一次函數(shù)零點分布求參數(shù)范圍例16．（2023·高一課時練習）若函數(shù)的表達式在內(nèi)有零點，則實數(shù)的取值范圍．例17．（2023·高一?？颊n時練習）若方程的根在內(nèi)，則的取值范圍是．例18．（2023·高一課時練習）若函數(shù)在上存在，使，則實數(shù)的取值范圍是.變式12．（2023·浙江杭州·高一統(tǒng)考期末）若函數(shù)在區(qū)間上有零點，則實數(shù)的取值范圍是.題型七：二次函數(shù)零點分布求參數(shù)范圍例19．（2023·上海楊浦·高一上海市控江中學?？计谀┮阎瘮?shù)若關于x的方程恰有3個實數(shù)解，則實數(shù)a的取值范圍為.例20．（2023·江蘇揚州·高一江蘇省高郵中學校聯(lián)考階段練習）設集合，，則實數(shù)的取值范圍是.例21．（2023·全國·高一專題練習）已知函數(shù)，若關于x的方程有四個不同的實數(shù)根，則實數(shù)a的取值范圍是．變式13．（2023·浙江臺州·高一臺州一中?？奸_學考試）已知點的坐標分別為，，若二次函數(shù)的圖像與線段有且只有一個公共點，則實數(shù)的取值范圍是.變式14．（2023·江蘇·高一假期作業(yè)）函數(shù)y＝x2＋x＋m的兩個零點都是負數(shù)，則m的取值范圍為．變式15．（2023·全國·高一專題練習）若函數(shù)在內(nèi)有且只有一個零點，則的取值集合是.變式16．（2023·全國·高一假期作業(yè)）若方程的兩根分別在區(qū)間和內(nèi)，則實數(shù)a的取值范圍是．題型八：指對冪函數(shù)零點分布求參數(shù)范圍例22．（2023·全國·高一專題練習）已知函數(shù)，若方程有3個不同的實根，則的取值范圍為（

）A． B．C． D．例23．（2023·天津·高一統(tǒng)考期末）已知函數(shù)若函數(shù)有四個不同的零點，，，，且，則下列結(jié)論中正確的是（

）A． B． C． D．例24．（2023·湖北荊門·高一荊門市龍泉中學?？计谀┮阎瘮?shù)若關于的方程有個不同的實數(shù)根，則實數(shù)的取值范圍為（

）A． B． C． D．變式17．（2023·江西撫州·高一江西省撫州市第一中學?？茧A段練習）函數(shù)的零點為，函數(shù)的零點為，若，則實數(shù)的取值范圍是（

）A． B． C． D．變式18．（2023·湖南岳陽·高一校考階段練習）函數(shù)，若互不相同，且，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．變式19．（2023·吉林白城·高一校考期末）已知函數(shù)，若，，互不相等，且，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．變式20．（2023·全國·高一專題練習）已知函數(shù)，若方程有四個不同的解，且，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．題型九：函數(shù)與方程的綜合應用例25．（2023·山東棗莊·高一棗莊市第三中學?？计谥校┮阎瘮?shù)為偶函數(shù)．(1)求實數(shù)的值；(2)若函數(shù)有大于0的零點，求實數(shù)的取值范圍；(3)若函數(shù)，那么是否存在實數(shù)，使得的最小值為1，若存在，求出的值，若不存在，說明理由．例26．（2023·安徽亳州·高一渦陽縣第二中學校聯(lián)考期末）已知函數(shù)，R．(1)若為偶函數(shù)，求a的值；(2)令．若函數(shù)在上有兩個不同的零點，求a的取值范圍．例27．（2023·全國·高一專題練習）已知函數(shù).(1)若函數(shù)，，求函數(shù)的最小值；(2)設，若函數(shù)與圖象有個公共點，求實數(shù)的取值范圍.變式21．（2023·陜西西安·高一西安中學?？计谥校┮阎x域為的函數(shù)是奇函數(shù).(1)求的值，并判斷函數(shù)的單調(diào)性（給出單調(diào)性即可，不要求證明）；(2)設關于的函數(shù)有零點，求實數(shù)的取值范圍.變式22．（2023·安徽阜陽·高一安徽省潁上第一中學校考階段練習）已知函數(shù)是偶函數(shù).(1)求的值；(2)當，函數(shù)存在零點，求實數(shù)的取值范圍；(3)設函數(shù)，若函數(shù)與的圖象只有一個公共點，求實數(shù)的取值范圍.變式23．（2023·江蘇常州·高一江蘇省前黃高級中學校考開學考試）已知函數(shù)，其中．(1)當時，求的零點；(2)當為偶函數(shù)時，①求的值；②設函數(shù)，若函數(shù)與的圖象有且只有一個公共點，求實數(shù)的取值范圍．變式24．（2023·山東泰安·高一統(tǒng)考期末）已知函數(shù)．(1)已知，函數(shù)是定義在R上的奇函數(shù)，當時，，求的解析式；(2)若函數(shù)有且只有一個零點，求a的值；(3)設，若對任意，函數(shù)在上的最大值與最小值的差不超過1，求a的取值范圍．【過關測試】一、單選題1．（2023·江蘇鎮(zhèn)江·高一江蘇省揚中高級中學?？茧A段練習）若二次函數(shù)在區(qū)間有且僅有一個零點，則的取值范圍為（

）A． B．C． D．2．（2023·全國·高一專題練習）已知函數(shù)，．若有2個零點，則實數(shù)a的取值范圍是（

）A． B．C． D．3．（2023·北京·高一北京市陳經(jīng)綸中學?？茧A段練習）二次函數(shù).的圖象與軸的兩個交點的橫坐標分別為，且，如圖所示，則的取值范圍是（

）A． B． C．或 D．4．（2023·全國·高一專題練習）函數(shù)的零點所在的區(qū)間是（

）A． B． C． D．5．（2023·上?！じ咭粚ｎ}練習）如果關于的方程至少有一個正根，那么實數(shù)的取值范圍是（）A． B． C． D．6．（2023·浙江溫州·高一蒼南中學校考階段練習）設函數(shù)，若函數(shù)有且只有2個不同的零點，則的取值范圍是（

）A． B．C． D．7．（2023·上海浦東新·高一華師大二附中?？茧A段練習）方程在區(qū)間和各有一個根的充要條件是（

）A． B．C． D．8．（2023·全國·高一專題練習）函數(shù)，，的零點分別為a，b，c，則（

）A． B．C． D．二、多選題9．（2023·江蘇南京·高一南京市第十三中學?？茧A段練習）設函數(shù)則下列結(jié)論中正確的是（

）A．函數(shù)的定義域為R B．函數(shù)的值域為C．函數(shù)的零點是0,2 D．若，則m的取值范圍是10．（2023·湖南岳陽·高一湖南省岳陽縣第一中學?？奸_學考試）已知一元二次方程有兩個實數(shù)根，，且，則的可能值為（

）A． B． C． D．11．（2023·黑龍江牡丹江·高一牡丹江市第二高級中學校考期末）某同學用二分法求函數(shù)的零點時，計算出如下結(jié)果：，，，，.下列說法正確的有（

）A．的零點在區(qū)間內(nèi) B．的零點在區(qū)間內(nèi)C．精確到0.1的近似值為1.4 D．精確到0.1的近似值為1.512．（2023·安徽銅陵·高一銅陵一中?？茧A段練習）已知二次函數(shù)有兩個零點，，且，則（

）A． B．C． D．三、填空題13．（2023·江蘇·高一專題練習）若函數(shù)有兩個小于2的不同零