4.5.3 函數(shù)模型的應(yīng)用（五大題型）（原卷版）

4．5．3函數(shù)模型的應(yīng)用【題型歸納目錄】題型一：一次函數(shù)與二次函數(shù)模型的應(yīng)用題型二：分段函數(shù)模型的應(yīng)用題型三：指數(shù)或?qū)?shù)函數(shù)模型的應(yīng)用題型四：擬合函數(shù)模型的應(yīng)用問題題型五：根據(jù)實際問題的增長率選擇合適的函數(shù)模型【知識點梳理】知識點一、幾種常見的函數(shù)模型1、一次函數(shù)模型：（，為常數(shù)，）2、二次函數(shù)模型：（為常數(shù)，）3、指數(shù)函數(shù)模型：（為常數(shù)，，且）4、對數(shù)函數(shù)模型：（為常數(shù)，，且）5、冪函數(shù)模型：（為常數(shù)，）6、分段函數(shù)模型：知識點二、解答應(yīng)用問題的基本思想和步驟1、解應(yīng)用題的基本思想2、解答函數(shù)應(yīng)用題的基本步驟求解函數(shù)應(yīng)用題時一般按以下幾步進行：第一步：審題弄清題意，分清條件和結(jié)論，理順數(shù)量關(guān)系，初步選擇模型．第二步：建模在細心閱讀與深入理解題意的基礎(chǔ)上，引進數(shù)學(xué)符號，將問題的非數(shù)學(xué)語言合理轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)語言，然后根據(jù)題意，列出數(shù)量關(guān)系，建立函數(shù)模型．這時，要注意函數(shù)的定義域應(yīng)符合實際問題的要求．第三步：求模運用數(shù)學(xué)方法及函數(shù)知識進行推理、運算，求解數(shù)學(xué)模型，得出結(jié)果．第四步：還原把數(shù)學(xué)結(jié)果轉(zhuǎn)譯成實際問題作出解答，對于解出的結(jié)果要代入原問題中進行檢驗、評判，使其符合實際背景．上述四步可概括為以下流程：實際問題（文字語言）數(shù)學(xué)問題（數(shù)量關(guān)系與函數(shù)模型）建模（數(shù)學(xué)語言）求模（求解數(shù)學(xué)問題）反饋（還原成實際問題的解答）．知識點三、解答函數(shù)應(yīng)用題應(yīng)注意的問題首先，要認真閱讀理解材料．應(yīng)用題所用的數(shù)學(xué)語言多為“文字語言、符號語言、圖形語言”并用，往往篇幅較長，立意有創(chuàng)新脫俗之感．閱讀理解材料要達到的目標是讀懂題目所敘述的實際問題的意義，領(lǐng)悟其中的數(shù)學(xué)本質(zhì)，接受題目所約定的臨時性定義，理解題目中的量與量的位置關(guān)系、數(shù)量關(guān)系，確立解體思路和下一步的努力方向，對于有些數(shù)量關(guān)系較復(fù)雜、較模糊的問題，可以借助畫圖和列表來理清它．其次，建立函數(shù)關(guān)系．根據(jù)前面審題及分析，把實際問題“用字母符號、關(guān)系符號”表達出來，建立函數(shù)關(guān)系．其中，認真閱讀理解材料是建立函數(shù)模型的關(guān)鍵．在閱讀這一過程中應(yīng)像解答語文和外語中的閱讀問題一樣，有“泛讀”與“精讀”之分．這是因為一般的應(yīng)用問題，一方面為了描述的問題與客觀實際盡可能地相吻合，就必須用一定的篇幅描述其中的情境；另一方面有時為了思想教育方面的需要，也要用一些非數(shù)量關(guān)系的語言來敘述，而我們解決問題所關(guān)心的東西是數(shù)量關(guān)系，因此對那些敘述的部分只需要“泛讀”即可．反過來，對那些刻畫數(shù)量關(guān)系、位置關(guān)系、對應(yīng)關(guān)系等與數(shù)學(xué)有關(guān)的問題的部分，則應(yīng)“精讀”，一遍不行再來一遍，直到透徹地理解為止，此時切忌草率．【典型例題】題型一：一次函數(shù)與二次函數(shù)模型的應(yīng)用例1．（2023·湖南長沙·高一長沙市實驗中學(xué)?？茧A段練習(xí)）學(xué)校某研究性學(xué)習(xí)小組在對學(xué)生上課時注意力集中情況的調(diào)查研究中，發(fā)現(xiàn)在40min的一節(jié)課中，學(xué)生的注意力指數(shù)y與聽課時間x（單位：min）之間的關(guān)系滿足如圖所示的圖象．當時，圖象是二次函數(shù)圖象的一部分，其中頂點，點，當時，圖象是線段BC，其中點．

(1)當時，求注意力指數(shù)y與聽課時間x的函數(shù)關(guān)系式；(2)根據(jù)專家研究，當注意力指數(shù)大于62時，學(xué)習(xí)效果最佳．要使得學(xué)生學(xué)習(xí)效果最佳，求老師安排核心內(nèi)容的時間段（結(jié)果用區(qū)間表示）．例2．（2023·江蘇蘇州·高一?？茧A段練習(xí)）為刺激消費，某商場開展讓利促銷活動，規(guī)定：顧客購物總金額不超過1000元；若購物總金額超過1000元，則享受一定的折扣優(yōu)惠可以享受折扣優(yōu)惠的金額（購物金額超出1000元的部分）折扣率不超過500元的部分10%超過500元的部分20%例如，某人購物1300元，則其享受折扣優(yōu)惠的金額為元，實際付款1270元．(1)某顧客購買1800元的商品，他實際應(yīng)付款多少元？(2)設(shè)某人購物總金額為x元，實際應(yīng)付款y元，求y關(guān)于x的函數(shù)解析式．例3．（2023·遼寧沈陽·高一沈陽二十中?？茧A段練習(xí)）沈陽市地鐵4號線開通后將給和平長白島居民出行帶來便利．已知該條線路通車后，地鐵的發(fā)車時間間隔t（單位：分鐘）滿足．經(jīng)測算，地鐵載客量與發(fā)車時間間隔t相關(guān)，當時地鐵為滿載狀態(tài)，載客量為1300人，當時，載客量會減少，減少的人數(shù)與的平方成正比，且發(fā)車時間間隔為2分鐘時的載客量為660人．(1)寫出p關(guān)于t的函數(shù)表達式；(2)若該線路每分鐘的凈收益為（元），問當發(fā)車時間間隔為多少時，該線路每分鐘的凈收益最大，每分鐘的最大凈收益為多少?變式1．（2023·福建福州·高一福建省福州格致中學(xué)?？计谥校┠彻旧a(chǎn)一種產(chǎn)品，每年需投入固定成本25萬元，此外每生產(chǎn)100件這樣的產(chǎn)品，還需增加投入50萬元，經(jīng)市場調(diào)查知這種產(chǎn)品年需求量為500件，產(chǎn)品銷售數(shù)量為t件時，銷售所得的收入為萬元．(1)該公司這種產(chǎn)品的年生產(chǎn)量為件，生產(chǎn)并銷售這種產(chǎn)品所得到的利潤關(guān)于當年產(chǎn)量的函數(shù)為，求；(2)當該公司的年產(chǎn)量為多少件時，當年所獲得的利潤最大？變式2．（2023·浙江金華·高一?？茧A段練習(xí)）某公司決定對旗下的某商品進行一次評估，該商品原來每件售價為25元，年銷售8萬件.(1)據(jù)市場調(diào)查，若價格每提高1元，銷售量將相應(yīng)減少2000件，要使銷售的總收入不低于原收入，該商品每件定價最多為多少元？(2)為了擴大該商品的影響力，提高年銷售量.公司決定立即對該商品進行全面技術(shù)革新和銷售策略調(diào)整，并提高定價到x元.公司擬投入萬元.作為技改費用，投入50萬元作為固定宣傳費用，投入萬元作為浮動宣傳費用.試問：當該商品改革后的銷售量至少達到多少萬件時，才可能使改革后的銷售收入不低于原收入與總投入之和？并求出此時每件商品的定價.變式3．（2023·山東煙臺·高一萊陽一中?？茧A段練習(xí)）某企業(yè)為積極響應(yīng)國家垃圾分類號召，在科研部門的支持下進行技術(shù)創(chuàng)新，新上一個把廚余垃圾加工處理為可重新利用的化工產(chǎn)品的項目．已知該企業(yè)日加工處理量（單位：噸）最少為70噸，最多為100噸．日加工處理總成本（單位：元）與日加工處理量之間的函數(shù)關(guān)系可近似地表示為，且每加工處理1噸廚余垃圾得到的化工產(chǎn)品的售價為100元．(1)該企業(yè)日加工處理量為多少噸時，日加工處理每噸廚余垃圾的平均成本最低？此時該企業(yè)處理1噸廚余垃圾處于虧損還是盈利狀態(tài)？(2)為了使該企業(yè)可持續(xù)發(fā)展，政府決定對該企業(yè)進行財政補貼，補貼方案共有兩種：①每日進行定額財政補貼，金額為2300元；②根據(jù)日加工處理量進行財政補貼，金額為元．如果你是企業(yè)的決策者，為了使每日獲利最大，你會選擇哪種補貼方案？為什么？【方法技巧與總結(jié)】1、一次函數(shù)模型的應(yīng)用利用一次函數(shù)求最值，常轉(zhuǎn)化為求解不等式（或）．解答時，注意系數(shù)a的正負，也可以結(jié)合函數(shù)圖象或其單調(diào)性來求最值．2、二次函數(shù)模型的應(yīng)用構(gòu)建二次函數(shù)模型解決最優(yōu)問題時，可以利用配方法、判別式法、換元法、討論函數(shù)的單調(diào)性等方法求最值，也可以根據(jù)函數(shù)圖象的對稱軸與函數(shù)定義域的對應(yīng)區(qū)間之間的位置關(guān)系討論求解，但一定要注意自變量的取值范圍．題型二：分段函數(shù)模型的應(yīng)用例4．（2023·吉林長春·高一東北師大附中?？计谥校?021年3月1日，國務(wù)院新聞辦公室舉行新聞發(fā)布會，工業(yè)和信息化部提出了芯片發(fā)展的五項措施，進一步激勵國內(nèi)科技巨頭加大了科技研發(fā)投入的力度.根據(jù)市場調(diào)查某科技公司生產(chǎn)某款電子產(chǎn)品的年固定成本為50萬元，每生產(chǎn)1萬部還需另投入20萬元.若該科技公司一年內(nèi)共生產(chǎn)該款電子產(chǎn)品萬部并能全部銷售完，平均每萬部的銷售收入為萬元，且(1)寫出年利潤（萬元）關(guān)于年產(chǎn)量（萬部）的函數(shù)解析式；(2)當年產(chǎn)量為多少萬部時，公司在該款電子產(chǎn)品的生產(chǎn)中所獲得的利潤最大？并求出最大利潤.例5．（2023·貴州黔東南·高一凱里一中校考階段練習(xí)）某企業(yè)為進一步增加市場競爭力，計劃在2024年新增300萬元資金購買一項新技術(shù)，并利用該技術(shù)生產(chǎn)某款新手機，通過市場調(diào)研發(fā)現(xiàn)，每生產(chǎn)（千部）手機，需另外投入成本萬元，其中，已知每部手機的售價預(yù)定為6000元，且生產(chǎn)的手機當年全部銷售完.(1)求2024年該款手機的利潤關(guān)于年產(chǎn)量的函數(shù)關(guān)系式；(2)當年產(chǎn)量為多少時，企業(yè)所獲得的利潤最大？最大利潤是多少？例6．（2023·廣東佛山·高一?？茧A段練習(xí)）新學(xué)期開學(xué)季，成都某學(xué)校附近又新開了一家奶茶店，其中有一種名為“奶茶三兄弟”的飲品很受學(xué)生歡迎，老板費盡心思想在這種飲品上賺得第一桶金，其銷售的價格在一學(xué)期不同周次有所變化.設(shè)開始時每杯定價10元，從第一次周開始每周漲價2元，5周后開始保持20元的價格平穩(wěn)銷售，10周后，學(xué)生的新鮮感已過，平均每周削價2元，直到16周周末，老板為了讓學(xué)生安心準備期末考試復(fù)習(xí)而不掛念“三兄弟”，該飲品暫停銷售.(1)試求該飲品每杯價格（元）與周次之間的函數(shù)關(guān)系式；(2)若此飲品每杯成本價（元）與周次之間的關(guān)系是，，，試問該飲品第幾周每杯的銷售利潤最大，并求出最大值.變式4．（2023·全國·高一專題練習(xí)）隨著我國經(jīng)濟發(fā)展、醫(yī)療消費需求增長、人們健康觀念轉(zhuǎn)變以及人口老齡化進程加快等因素的影響，醫(yī)療器械市場近年來一直保持了持續(xù)增長的趨勢.某醫(yī)療器械公司為了進一步增加市場競爭力，計劃改進技術(shù)生產(chǎn)某產(chǎn)品.已知生產(chǎn)該產(chǎn)品的年固定成本為200萬元，最大產(chǎn)能為100臺.每生產(chǎn)x臺，需另投入成本萬元，且，由市場調(diào)研知，該產(chǎn)品每臺的售價為200萬元，且全年內(nèi)生產(chǎn)的該產(chǎn)品當年能全部銷售完.(1)寫出年利潤萬元關(guān)于年產(chǎn)量x臺的函數(shù)解析式（利潤銷售收入成本）；(2)當該產(chǎn)品的年產(chǎn)量為多少時，公司所獲利潤最大？最大利潤是多少？變式5．（2023·山東棗莊·高一棗莊市第三中學(xué)?？茧A段練習(xí)）某醫(yī)療器械公司為了進一步增加市場競爭力，計劃改進技術(shù)生產(chǎn)某產(chǎn)品，已知生產(chǎn)該產(chǎn)品的年固定成本為300萬元，最大產(chǎn)能為100臺，每生產(chǎn)臺，需另投入成本萬元，且，由市場調(diào)研知，該產(chǎn)品每臺的售價為200萬元，且全年內(nèi)生產(chǎn)的該產(chǎn)品當年能全部銷售完.(1)寫出年利潤萬元關(guān)于年產(chǎn)量臺的函數(shù)解析式（利潤銷售收入-成本）；(2)當該產(chǎn)品的年產(chǎn)量為多少時，公司所獲利潤最大？最大利潤是多少？【方法技巧與總結(jié)】1、分段函數(shù)的“段”一定要分得合理，不重不漏．2、分段函數(shù)的定義域為對應(yīng)每一段自變量取值范圍的并集．3、分段函數(shù)的值域求法：逐段求函數(shù)值的范圍，最后比較再下結(jié)論．題型三：指數(shù)或?qū)?shù)函數(shù)模型的應(yīng)用例7．（2023·全國·高一隨堂練習(xí)）某科研小組培育一種水稻新品種，由第1代1粒種子可以得到第2代120粒種子，以后各代每粒種子都可以得到下一代120粒種子．寫出第n代得到的種子數(shù)與n的函數(shù)關(guān)系式，并求第5代得到的種子數(shù)．（結(jié)果寫成（，n為正整數(shù)）的形式，a精確到0.01）例8．（2023·全國·高一專題練習(xí)）2022年新冠肺炎疫情仍在世界好多國家肆虐，目前的新冠病毒是奧密克戎變異株，其特點是：毒力顯著減弱，但傳染性很強，絕大多數(shù)人感染后表現(xiàn)為無癥狀或輕癥，重癥病例很少，長期一段時間以來全國沒有一例死亡病例．某科研機構(gòu)對奧密克戎變異株在特定環(huán)境下進行觀測，每隔單位時間T進行一次記錄，用x表示經(jīng)過的單位時間數(shù)，用y表示奧密克戎變異株感染人數(shù)，得到如下觀測數(shù)據(jù)：123456…(人數(shù))…6…36…216…若奧密克戎變異株的感染人數(shù)y與經(jīng)過個單位時間T的關(guān)系有兩個函數(shù)模型與可供選擇．（參考數(shù)據(jù)：，，，）(1)判斷哪個函數(shù)模型更合適，并求出該模型的解析式；(2)求至少經(jīng)過多少個單位時間該病毒的感染人數(shù)不少于1萬人．例9．（2023·全國·高一專題練習(xí)）某醫(yī)學(xué)專家為研究傳染病傳播中病毒細胞的發(fā)展規(guī)律，將病毒細胞注入一只小白鼠體內(nèi)進行試驗，經(jīng)檢測，病毒細胞的個數(shù)與天數(shù)的記錄如下表：天數(shù)病毒細胞的個數(shù)已知該病毒細胞在小白鼠體內(nèi)的個數(shù)超過的時候小白鼠將死亡，但注射某種藥物，可殺死其體內(nèi)該病毒細胞的.(1)為了使小白鼠在試驗過程中不死亡，第一次最遲應(yīng)在何時注射該種藥物(精確到天，)?(2)第二次最遲應(yīng)在何時注射該種藥物，才能維持小白鼠的生命(精確到天)?變式6．（2023·全國·高一課堂例題）物體在常溫下的溫度變化可以用牛頓冷卻規(guī)律來描述：設(shè)物體的初始溫度是，經(jīng)過一定時間后的溫度是，則，其中表示環(huán)境溫度，稱為半衰期.現(xiàn)有一杯用88℃熱水沖的速溶咖啡，放在的房間中，如果咖啡降溫到需要，那么降溫到，需要多長時間（結(jié)果精確到）？變式7．（2023·全國·高一專題練習(xí)）北京時間2023年3月30日18時50分，中國在太原衛(wèi)星發(fā)射中心成功將宏圖一號01組衛(wèi)星發(fā)射升空，衛(wèi)星順利進入預(yù)定軌道，發(fā)射任務(wù)獲得圓滿成功．據(jù)了解，在不考慮空氣動力和地球引力的理想狀態(tài)下，可以用公式計算火箭的最大速度（單位：），其中（單位：）是噴流相對速度，（單位：）是火箭（除推進劑外）的質(zhì)量，（單位：）是推進劑與火箭質(zhì)量的總和，稱為總質(zhì)比，已知A型火箭的噴流相對速度為．(1)當總質(zhì)比為200時，利用給出的參考數(shù)據(jù)求A型火箭的最大速度；(2)經(jīng)過材料更新和技術(shù)改進后，A型火箭的噴流相對速度提高到了原來的倍，總質(zhì)比變?yōu)樵瓉淼?，若要使火箭的最大速度至少增加，求在材料更新和技術(shù)改進前總質(zhì)比的最小整數(shù)值．參考數(shù)據(jù)：，．變式8．（2023·上海靜安·高一?？计谥校┯幸环N候鳥每年都按一定的路線遷徙，飛往繁殖地產(chǎn)卵，科學(xué)家經(jīng)過測量發(fā)現(xiàn)候鳥的飛行速度y(單位：km/min)和候鳥每分鐘耗氧量的單位數(shù)x，滿足關(guān)系式其中常數(shù)表示測量過程中候鳥每分鐘的耗氧偏差.(1)若，候鳥停下休息時，它每分鐘的耗氧量為多少個單位?(答案四舍五入到整數(shù))(2)若雄鳥的飛行速度為1.5km/min，雄鳥的飛行速度為1km/min，那么此時雄鳥每分鐘的耗氧量是雌鳥每分鐘耗氧量的多少倍?，變式9．（2023·高一課時練習(xí)）某學(xué)校為了實現(xiàn)60萬元的生源利潤目標，準備制定一個激勵招生人員的獎勵方案：在生源利潤達到5萬元時，按生源利潤進行獎勵，且獎金y（單位：萬元）隨生源利潤x（單位：萬元）的增加而增加，但獎金總數(shù)不超過3萬元，同時獎金不超過利潤的.現(xiàn)有三個獎勵模型：，，，其中哪個模型符合該校的要求？【方法技巧與總結(jié)】1、涉及平均增長率的問題，求解可用指數(shù)型函數(shù)模型表示，通?？梢员硎緸椋ㄆ渲蠳為原來的基礎(chǔ)數(shù)，p為增長率，x為時間）的形式．2、在實際問題中，有關(guān)人口增長、銀行利率、細胞分裂等增長問題，都常用到指數(shù)型函數(shù)模型．題型四：擬合函數(shù)模型的應(yīng)用問題例10．（2023·四川達州·高一四川省萬源中學(xué)校考階段練習(xí)）2022年8月9日，美國總統(tǒng)拜登簽署《2022年芯片與科學(xué)法案》．對中國的半導(dǎo)體產(chǎn)業(yè)來說，短期內(nèi)可能會受到“芯片法案”負面影響，但它不是決定性的，因為它將激發(fā)中國自主創(chuàng)新更強的爆發(fā)力和持久動力．某企業(yè)原有400名技術(shù)人員，年人均投入萬元，現(xiàn)為加大對研發(fā)工作的投入，該企業(yè)把原有技術(shù)人員分成技術(shù)人員和研發(fā)人員，其中技術(shù)人員名（且），調(diào)整后研發(fā)人員的年人均投入增加，技術(shù)人員的年人均投入調(diào)整為萬元．(1)求調(diào)整后企業(yè)對全部技術(shù)人員的年總投入和對全部研發(fā)人員的年總投入的表達式.(2)為了激勵研發(fā)人員的工作熱情和保持技術(shù)人員的工作積極性，企業(yè)決定在投入方面要同時滿足以下兩個條件，①研發(fā)人員的年總投入始終不低于技術(shù)人員的年總投入；②技術(shù)人員的年人均投入始終不低于調(diào)整前的水平．請問是否存在這樣的實數(shù)m，滿足以上兩個條件，若存在，求出m的范圍；若不存在，說明理由．例11．（2023·江蘇蘇州·高一統(tǒng)考期中）某企業(yè)積極響應(yīng)國家垃圾分類號召，在科研部門的支持下進行技術(shù)創(chuàng)新，把廚余垃圾加工處理為可重新利用的化工品，已知該企業(yè)日加工處理量x（噸）最少為70噸，最多為120噸，日加工處理總成本y（元）與日加工處理量x之間的函數(shù)關(guān)系可近似地表示為，且每加工處理1噸廚余垃圾得到的化工產(chǎn)品的售價為100元.(1)該企業(yè)日加工處理量為多少噸時，日加工處理每噸廚余垃圾的平均成本最低？此時該企業(yè)處理1噸廚余垃圾處于虧損還是盈利狀態(tài)？（平均成本=）(2)為了該企業(yè)可持續(xù)發(fā)展，政府決定對該企業(yè)進行財政補貼，補貼方式有兩種方案方案一：每日進行定額財政補貼，金額為2300元；方案二：根據(jù)日加工處理量進行財政補貼，金額為40x元.如果你是企業(yè)的決策者，為了獲得每日最大利潤，你會選擇哪個方案進行補貼？為什么？.例12．（2023·上海寶山·高一?？茧A段練習(xí)）某運輸公司今年初用49萬元購進一臺大型運輸車用于運輸．若該公司預(yù)計從第1年到第n年（）花在該臺運輸車上的維護費用總計為萬元，該車每年運輸收入為25萬元．(1)該車運輸幾年開始盈利？（即總收入減去成本及所有費用之差為正值）；(2)若該車運輸若干年后，處理方案有兩種：①當年平均盈利達到最大值時，以15萬元的價格賣出；②當盈利總額達到最大值時，以6萬元的價格賣出．哪一種方案較為合算？請說明理由．變式10．（2023·全國·高一專題練習(xí)）科研小組研制鈦合金產(chǎn)品時添加了一種新材料，該產(chǎn)品的性能指標值y是這種新材料的含量（單位：克）的函數(shù)．研究過程中的部分數(shù)據(jù)如下表：（單位：克）02610…－488…已知當時，，其中為常數(shù)．當時，和的關(guān)系為以下三種函數(shù)模型中的一個：①；②且；③且；其中均為常數(shù)．(1)選擇一個恰當?shù)暮瘮?shù)模型來描述之間的關(guān)系，并求出其解析式；(2)求該新材料的含量為多少克時，產(chǎn)品的性能達到最大．變式11．（2023·全國·高一專題練習(xí)）在無菌培養(yǎng)環(huán)境中，某類細菌的繁殖在初期會較快，隨著單位體積內(nèi)細菌數(shù)量的增加，繁殖速度又會減慢，在一次實驗中，檢測到這類細菌在培養(yǎng)皿中的數(shù)量y（單位：百萬個）與培養(yǎng)時間x（單位：小時）的3組數(shù)據(jù)如下表所示.2353.54.55.5(1)當時，根據(jù)表中數(shù)據(jù)分別用模型和建立關(guān)于的函數(shù)解析式.(2)若用某函數(shù)模型根據(jù)培養(yǎng)時間來估計某類細菌在培養(yǎng)皿中的數(shù)量，則當實際的細菌數(shù)量與用函數(shù)模型得出的估計值之間的差的絕對值不超過0.5時，稱該函數(shù)模型為“理想函數(shù)模型”，已知當培養(yǎng)時間為9小時時，檢測到這類細菌在培養(yǎng)皿中的數(shù)量為6.2百萬個，你認為（1）中哪個函數(shù)模型為“理想函數(shù)模型”？說明理由.（參考數(shù)據(jù)：）(3)請用（2）中的“理想函數(shù)模型”估計17小時后，該類細菌在培養(yǎng)皿中的數(shù)量.變式12．（2023·全國·高一專題練習(xí)）2022年11月，國務(wù)院發(fā)布了簡稱優(yōu)化防控二十條的通知后，某藥業(yè)公司的股票在交易市場過去的一個月內(nèi)（以30天計，包括第30天），第x天每股的交易價格（元）滿足，第x天的日交易量（萬股）的部分數(shù)據(jù)如下表：第x（天）12410（萬股）14121110.4(1)給出以下兩種函數(shù)模型：①；②.請你根據(jù)上表中的數(shù)據(jù).從中選擇你認為最合適的一種函數(shù)模型來描述該股票日交易量（萬股）與時間第x天的函數(shù)關(guān)系（簡要說明理由），并求出該函數(shù)的關(guān)系式；(2)根據(jù)（1）的結(jié)論，求出該股票在過去一個月內(nèi)第x天的日交易額的函數(shù)關(guān)系式，并求其最小值.【方法技巧與總結(jié)】在沒有給出具體模型的問題中，首先要由已知數(shù)據(jù)描繪出函數(shù)草圖，然后聯(lián)想熟悉的函數(shù)圖象，通過檢測所求函數(shù)模型與實際誤差的大小，探求相近的數(shù)學(xué)關(guān)系，預(yù)測函數(shù)的可能模型．題型五：根據(jù)實際問題的增長率選擇合適的函數(shù)模型例13．（2023·全國·高一專題練習(xí)）函數(shù)和的圖象如圖所示．設(shè)兩函數(shù)的圖象交于點，，且.

(1)請指出圖中曲線分別對應(yīng)的函數(shù)；(2)結(jié)合函數(shù)圖象，判斷的大小．例14．（2023·四川巴中·高一?？计谀┛茖W(xué)實驗中，實驗員將某種染料倒入裝有水的透明水桶，想測試染料的擴散效果，染料在水桶中擴散的速度是先快后慢，1秒后染料擴散的體積是，2秒后染料擴散的體積是，染料擴散的體積y與時間x（單位：秒）的關(guān)系有兩種函數(shù)模型可供選擇：①，②，其中m，b均為常數(shù)．(1)試判斷哪個函數(shù)模型更合適，并求出該模型的解析式；(2)若染料擴散的體積達到，至少需要多少秒．例15．（2023·全國·高一隨堂練習(xí)）某公司發(fā)放員工的薪水有三種方式：①第一個月工資3000元，以后每月以1%的增長率增長；②第一個月工資2400元，以后每月以2%的增長率增長；③第一個月工資為3200元，每月漲工資30元．（1）設(shè)第x個月的工資分別為元，試分別建立關(guān)于x的函數(shù)；（2）借助計算器計算這三種情況下各個月的工資；（3）請分析這三種領(lǐng)薪方法的區(qū)別，作為員工選擇何種方法更合算？變式13．（2023·貴州黔東南·高一統(tǒng)考期末）1766年人類已經(jīng)發(fā)現(xiàn)太陽系中的行星有金星、地球、火星、木星和土星．科學(xué)家在研究了各行星離太陽的距離（單位：，是天文學(xué)中計量天體之間距離的一種單位）的排列規(guī)律后，預(yù)測在火星和木星之間應(yīng)該還有一顆未被發(fā)現(xiàn)的行星（后被命名為谷神星）存在，并按離太陽的距離從小到大列出了如下表所示的數(shù)據(jù)：行星編號1（金星）2（地球）3（火星）4（

）5（木星）6（土星）離太陽的距離(1)為了描述行星離太陽的距離與行星編號之間的關(guān)系，根據(jù)表中已有的數(shù)據(jù)畫出散點圖，并根據(jù)散點圖的分布狀況，從以下三種模型中選出你認為最符合實際的一種函數(shù)模型（直接給出結(jié)論）；①；②；③．(2)根據(jù)你的選擇，依表中前三組數(shù)據(jù)求出函數(shù)解析式，并用剩下的兩組數(shù)據(jù)檢驗?zāi)Ｐ偷奈呛锨闆r；（誤差小于0.2的為吻合）(3)請用你求得的模型，計算谷神星離太陽的距離．變式14．（2023·全國·高一課堂例題）（1）在同一個直角坐標系中畫出下列個函數(shù)在區(qū)間上的圖象：，，，.結(jié)合這個函數(shù)的圖象，比較它們隨著的增大函數(shù)值增長的快慢，并指出：當?shù)闹底銐虼螅ǎ┑臅r候，這個函數(shù)的值的大小關(guān)系；（2）先想象下列兩組函數(shù)圖象之間的關(guān)系，再用數(shù)值驗算，提出更一般的猜想.①與；②與.（3）借助圖形計算器或計算機，作出下列兩組函數(shù)的圖象，驗證你在（2）中的猜想.①與；②與.變式15．（2023·全國·高一隨堂練習(xí)）在同一直角坐標系內(nèi)分別作出下列各組函數(shù)的草圖，比較它們在范圍內(nèi)增長的快慢．(1)和；(2)和；(3)和；(4)和．變式16．（2023·高一課時練習(xí)）甲、乙兩城市現(xiàn)有人口總數(shù)都為100萬人，甲城市人口的年自然增長率為1.2%，乙城市每年增長人口1.3萬.試解答下面的問題：(1)寫出兩城市的人口總數(shù)y(萬人)與年份x(年)的函數(shù)關(guān)系式；(2)計算10年、20年、30年后兩城市的人口總數(shù)(精確到0.1萬人)；(3)對兩城市人口增長情況作出分析.參考數(shù)據(jù)：(1＋1.2%)10≈1.127，(1＋1.2%)20≈1.269，(1＋1.2%)30≈1.430.變式17．（2023·全國·高一隨堂練習(xí)）設(shè)，，．令，．(1)請分別化簡下列各式：①；②；③；(2)結(jié)合（1）中的化簡結(jié)果，談?wù)勀銓?shù)函數(shù)、冪函數(shù)、指數(shù)函數(shù)變化的感受．【過關(guān)測試】一、單選題1．（2023·江蘇鎮(zhèn)江·高一江蘇省揚中高級中學(xué)?？茧A段練習(xí)）百端待舉、日理萬機中，毛澤東主席仍不忘我國的教育事業(yè).1951年9月底，毛主席在接見安徽參加國慶的代表團時，送給代表團成員----渡江小英雄馬毛姐一本精美的筆記本，并在扉頁上題詞：好好學(xué)習(xí)，天天向上.這8個字的題詞迅速在全國傳播開來，影響并指導(dǎo)著一代代青少年青春向上，不負韶華.他告訴我們：每天進步一點點，持之以恒，收獲不止一點點.把學(xué)生現(xiàn)在的學(xué)習(xí)情況看作1，每天的“進步率”為，那么經(jīng)過一個學(xué)期（看作120天）后的學(xué)習(xí)情況為，如果每天的“遲步率”為，同樣經(jīng)過一個學(xué)期的學(xué)習(xí)情況為.經(jīng)過一個學(xué)期，進步者的學(xué)習(xí)情況是遲步者學(xué)習(xí)情況的倍還多，按上述情況，若“進步”的值是“遲步”的值的100倍，要經(jīng)過的的天數(shù)大約為（保留整數(shù)）（參考數(shù)據(jù)：）（

）A． B．77 C． D．2002．（2023·內(nèi)蒙古呼和浩特·高一?？茧A段練習(xí)）已知超市內(nèi)某商品的日銷量（單位：件）與當日銷售單價（單位：元）滿足關(guān)系式，其中為常數(shù).當該商品的銷售單價為15元時，日銷量為110件.若該商品的進價為每件10元，則超市該商品的日利潤最大為（

）A．1500元 B．1200元 C．1000元 D．800元3．（2023·全國·高一專題練習(xí)）若三個變量，，隨著變量x的變化情況如下表.則關(guān)于x分別呈函數(shù)模型：，，變化的變量依次是（）x135791152545658510552924521891968517714956.106.616.957.27.6A．，， B．，，C．，， D．，，4．（2023·河南南陽·高一統(tǒng)考期末）Logistic模型是常用數(shù)學(xué)模型之一，可用于流行病學(xué)領(lǐng)域．有學(xué)者根據(jù)所公布的數(shù)據(jù)建立了某地區(qū)新冠肺炎累計確診病例（的單位：天）的Logistic模型：，其中為最大確診病例數(shù)．當時，標志著已初步遏制疫情，則約為（

）A．35 B．36 C．40 D．605．（2023·高一課時練習(xí)）某地2019年人均GDP(國內(nèi)生產(chǎn)總值)為8000元，預(yù)計以后年增長率為10%，使該地區(qū)人均GDP超過16000元，至少要經(jīng)過（

）A．4年 B．5年C．8年 D．10年6．（2023·高一課時練習(xí)）某地2018年人均GDP(國內(nèi)生產(chǎn)總值)為8000元，預(yù)計以后年增長率為，使該地區(qū)人均GDP超過16000元，至少要經(jīng)過（

）（參考數(shù)據(jù)：，）A．4年 B．5年C．8年 D．10年7．（2023·河北石家莊·高一?？计谥校┌盐矬w放在冷空氣中冷卻，如果物體原來的溫度是，空氣的溫度是，經(jīng)過t分鐘后物體的溫度可由公式求得，其中k是一個隨著物體與空氣的接觸狀況而定的大于0的常數(shù)，現(xiàn)有100℃的物體，放在10℃的空氣中冷卻，5分鐘后物體的溫度是40℃，則k約等于（

）（參考數(shù)據(jù)A．0.22 B．0.27 C．0.36 D．0.558．（2023·全國·高一課堂例題）某學(xué)校開展研究學(xué)習(xí)活動，一組同學(xué)獲得了下面的一組試驗數(shù)據(jù)：1.99345.180.991.582.012.353.00如下四個模擬函數(shù)，能近似地反映這些數(shù)據(jù)的規(guī)律的是（

）A． B．C． D．二、多選題9．（2023·全國·高一專題練習(xí)）“雙11”購物節(jié)中，某電商對顧客實行購物優(yōu)惠活動，規(guī)定一次購物付款總額滿一定額度，可以給與優(yōu)惠：（1）如果購物總額不超過100元，則不給予優(yōu)惠；（2）如果購物總額超過100元但不超過200元，可以使用一張10元優(yōu)惠券；（3）如果購物總額超過200元但不超過500元，其中200元內(nèi)的按第（2）條給予優(yōu)惠，超過200元的部分給予9折優(yōu)惠．（4）如果購物總額超過500元，其中500元內(nèi)的按第（2）（3）條給予優(yōu)惠，超過500元的部分給予8折優(yōu)惠．某人購買了部分商品，則下列說法正確的是（

）A．如果購物總額為168元，則應(yīng)付款為158元B．如果購物總額為368元，則應(yīng)付款為351.2元C．如果購物總額為768元，則應(yīng)付款為674.4元D．如果購物時一次性全部付款1084元，則購物總額為1280元10．（2023·江蘇南通·高一統(tǒng)考階段練習(xí)）研究表明，地震時釋放的能量（單位：焦耳）與地震里氏震級之間的關(guān)系為，則（

）A．震級為2級的地震釋放能量為焦耳B．釋放能量為焦耳的地震震級為3級C．9級地震釋放能量是8級地震釋放能量的10倍D．釋放能量之比為的兩場地震的震級相差2級11．（2023·高一課時練習(xí)）某食品的保鮮時間（單位：小時）與儲存溫度（單位：℃）滿足函數(shù)關(guān)系（，、為常數(shù)）．若該食品在的保鮮時間是小時，在的保鮮時間是小時，則關(guān)于該食品保鮮的描述正確的結(jié)論是（

）A．B．儲存溫度越高保鮮時間越長C．在℃的保鮮時間是小時D．在℃的保鮮時間是小時12．（2023·全國·高一專題練習(xí)）預(yù)測人口的變化趨勢有多種方法，“直接推算法”使用的公式是，其中為預(yù)測期人口數(shù)，為初期人口數(shù)，為預(yù)測期內(nèi)人口年增長率，為預(yù)測期間隔年數(shù)，則（

）A．當，則這期間人口數(shù)呈下降趨勢B．當，則這期間人口數(shù)呈擺動變化C．當時，的最小值為3D．當時，的最小值為3三、填空題13．（2023·浙江臺州·高一路橋中學(xué)?？茧A段練習(xí)）現(xiàn)有兩種理財產(chǎn)品，已知投資這兩種理財產(chǎn)品所獲得的年利潤分別是和萬元，它們與投入資金（萬元）的關(guān)系如下：，某人有5萬元準備投入這兩種理財，則他可以獲得的最大利潤是萬元.14．（2023·貴州·高一校聯(lián)考階段練習(xí)）某地區(qū)2022年1月，2月，3月新冠肺炎治愈的人數(shù)分別為52、54、58，為了預(yù)測以后各月的治愈人數(shù)，我們可以選擇模型，其中為治愈人數(shù)，為月份數(shù)，，，，都是常數(shù)，那么至少要經(jīng)過個月該病治愈的人數(shù)將會超過2000人？15．（2023·全國·高一專題練習(xí)）某人從地出發(fā)，開汽車以千米/小時的速度經(jīng)小時到達地，在地停留小時，則汽車離開地的距離（單位：千米）是時間（單位：小時）的函數(shù)，該函數(shù)的解析式是．16．（2023·全國·高一專題練習(xí)）音量大小的單位是分貝，對于一個強度為I的聲波，其音量的大小可由