第01講 4.1數(shù)列的概念（原卷版）

第01講4.1數(shù)列的概念課程標(biāo)準學(xué)習(xí)目標(biāo)①了解數(shù)列的有關(guān)概念（項、項的表示）。②了解數(shù)列的表示方法（列表、圖象、通項公式）。③了解數(shù)列是特殊的函數(shù)。會依據(jù)若干項求通項公式或某一項，能利用遞推公式求解數(shù)列中的項或通項公式，并能借助數(shù)列的單調(diào)性求數(shù)列的最大項與最小項。知識點01：數(shù)列的概念1、數(shù)列的概念一般地,我們把按照確定的順序排列的一列數(shù)稱為數(shù)列.數(shù)列中的每一個數(shù)叫做這個數(shù)列的項.數(shù)列的第一個位置上的數(shù)叫做這個數(shù)列的第1項,常用符號表示,第二個位置上的數(shù)叫做這個數(shù)列的第2項,用表示……第個位置上的數(shù)叫做這個數(shù)列的第項,用表示.其中第1項也叫做首項.數(shù)列的一般形式是,,…,,…,簡記為.2、數(shù)列與函數(shù)的關(guān)系由于數(shù)列中的每一項與它的序號有下面的對應(yīng)關(guān)系：所以數(shù)列是從正整數(shù)集（或它的有限子集{1，2，…，}）到實數(shù)集的函數(shù)，其自變量是序號，對應(yīng)的函數(shù)值是數(shù)列的第項，記為.也就是說，當(dāng)自變量從1開始，按照從小到大的順序依次取值時，對應(yīng)的一列函數(shù)值，，…，，…就是數(shù)列.另一方面，對于函數(shù)，如果（）有意義，那么，，…，，…構(gòu)成了一個數(shù)列.知識點02:數(shù)列的分類分類標(biāo)準類型滿足條件項數(shù)有窮數(shù)列項數(shù)有限無窮數(shù)列項數(shù)無限項與項間的大小關(guān)系遞增數(shù)列其中遞減數(shù)列常數(shù)列【即學(xué)即練1】（2023春·新疆塔城·高二塔城市第三中學(xué)?？茧A段練習(xí)）下列說法正確的是（

）A．?dāng)?shù)列與數(shù)列是相同的數(shù)列B．?dāng)?shù)列0，2，4，6，8，…，可記為，C．?dāng)?shù)列的第項為D．?dāng)?shù)列既是遞增數(shù)列又是無窮數(shù)列【答案】C【詳解】對于A：數(shù)列是有順序的一列數(shù)，故A錯誤；對于B：當(dāng)時，，不符合，故B錯誤；對于C：數(shù)列的第項為，故C正確；對于D：數(shù)列的最后一項為，是有窮數(shù)列，故D錯誤；故選：C.知識點03：數(shù)列的通項公式如果數(shù)列的第項與它的序號之間的對應(yīng)關(guān)系可以用一個式子來表示,那么這個式子叫做這個數(shù)列的通項公式.知識點04：數(shù)列的遞推公式如果一個數(shù)列的相鄰兩項或多項之間的關(guān)系可以用一個式子來表示,那么這個式子叫做這個數(shù)列的遞推公式.知識點05：數(shù)列的性質(zhì)1、數(shù)列的單調(diào)性若數(shù)列滿足對一切正整數(shù)，都有（或者），則稱數(shù)列為遞增數(shù)列（遞減數(shù)列）；①求數(shù)列中最大項方法：當(dāng)時，則是數(shù)列最大項；②求數(shù)列中最小項方法：當(dāng)時，則是數(shù)列最小項；【即學(xué)即練2】（2023春·湖北·高二校聯(lián)考期中）下列通項公式中，對應(yīng)數(shù)列是遞增數(shù)列的是（

）A． B．C． D．【答案】C【詳解】對于A，B選項對應(yīng)數(shù)列是遞減數(shù)列．對于C選項，，故數(shù)列是遞增數(shù)列．對于D選項，由于．所以數(shù)列不是遞增數(shù)列．故選：C.2、數(shù)列的周期性一般地，若數(shù)列滿足存在正整數(shù)使得對一切正整數(shù)都成立，則稱數(shù)列為周期數(shù)列，叫做數(shù)列的周期.知識點06：數(shù)列的前項和1、數(shù)列前項和的概念我們把數(shù)列從第1項起到第項止的各項之和，稱為數(shù)列的前項和，記作，即2、數(shù)列前項和與通項的關(guān)系當(dāng)時，當(dāng)時，用化簡得：所以：【即學(xué)即練3】（2023春·上海浦東新·高一華師大二附中?？计谀┮阎獢?shù)列的前項和為，且，則數(shù)列的通項公式．【答案】【詳解】由題知，，則，，又，符合上式，所以.故答案為：題型01數(shù)列的概念及分類【典例1】（多選）（2023·全國·高三專題練習(xí)）下列結(jié)論正確的是（

）A．?dāng)?shù)列1，2，3與3，2，1是兩個不同的數(shù)列．B．任何一個數(shù)列不是遞增數(shù)列，就是遞減數(shù)列．C．若數(shù)列用圖象表示，則從圖象上看是一群孤立的點．D．若數(shù)列的前n項和為，則對任意，都有.【典例2】（2023秋·江蘇蘇州·高二吳江中學(xué)校考階段練習(xí)）下列說法中正確的是（

）A．如果一個數(shù)列不是遞增數(shù)列，那么它一定是遞減數(shù)列B．?dāng)?shù)列1，0，，與，，0，1是相同的數(shù)列C．?dāng)?shù)列的第k項為D．?dāng)?shù)列0，2，4，6，可記為【典例3】（2023·全國·高二專題練習(xí)）已知函數(shù)，設(shè)，則下列說法中錯誤的是（

）A．是無窮數(shù)列 B．是遞增數(shù)列C．不是常數(shù)列 D．中有最大項【變式1】（2023·高二課時練習(xí)）下列數(shù)列中，既是遞增數(shù)列又是無窮數(shù)列的是()A．－1，－2，－3，－4，… B．－1，－，－，－，…C．－1，－2，－4，－8，… D．1，，，，…，【變式2】（2023秋·福建漳州·高二?？茧A段練習(xí)）已知，則數(shù)列是（

）A．遞增數(shù)列 B．遞減數(shù)列C．常數(shù)列 D．不確定【變式3】（2023春·高二?？颊n時練習(xí)）下列敘述不正確的是（

）A．1，3，5，7與7，5，3，1是相同的數(shù)列 B．1，3，1，3，…是常數(shù)列C．?dāng)?shù)列0，1，2，3，…的通項公式為 D．?dāng)?shù)列是遞增數(shù)列題型02根據(jù)數(shù)列的前幾項求通項公式【典例1】（2023·全國·高二隨堂練習(xí)）根據(jù)下列數(shù)列的前4項，寫出它的一個通項公式：(1)0，1，0，1，…；(2)7，77，777，7777，…；(3)，，，，…；(4)，，，，…．【典例2】（2023·全國·高二課堂例題）觀察下面各數(shù)列，試著找出它的一個通項公式：(1)2，4，2，4，…；(2)9，99，999，9999，…：(3)，，，，…．【變式1】（2023秋·甘肅張掖·高二高臺縣第一中學(xué)?？茧A段練習(xí)）數(shù)列{an}：1，，，，…，的一個通項公式是（

）A． B．C． D．【變式2】（2023·全國·高二隨堂練習(xí)）寫出下面各數(shù)列的一個通項公式：(1)，，，，……(2)，，，，……題型03數(shù)列中具體某項的求解與判斷【典例1】（2023秋·高二課時練習(xí)）已知數(shù)列的通項公式為，是否是該數(shù)列中的項？若是，是第幾項？【典例2】（2023·全國·高二隨堂練習(xí)）已知無窮數(shù)列，，，…，，…．(1)求這個數(shù)列的第10項和第31項．(2)是不是這個數(shù)列中的項？如果是，是第幾項？(3)證明：不是這個數(shù)列中的項．【變式1】（2023·全國·高二隨堂練習(xí)）在數(shù)列中，，，通項公式，其中p，q為常數(shù)，．(1)求的通項公式；(2)88是否是數(shù)列中的項？題型04利用遞推關(guān)系求數(shù)列的項或通項【典例1】（2023春·四川遂寧·高二射洪中學(xué)?？茧A段練習(xí)）下面圖形由小正方形組成，請觀察圖①至圖④的規(guī)律，并依此規(guī)律，寫出第n個圖形中小正方形的個數(shù)是（

）

A． B． C． D．【典例2】（2023秋·福建廈門·高三廈門一中?？茧A段練習(xí)）如圖所示，九連環(huán)是中國傳統(tǒng)民間智力玩具，以金屬絲制成9個圓環(huán)，解開九連環(huán)共需要256步，解下或套上一個環(huán)算一步，且九連環(huán)的解下和套上是一對逆過程.九連環(huán)把玩時按照一定得程序反復(fù)操作，可以將九個環(huán)全部從框架上解下或者全部套上.將第個圓環(huán)解下最少需要移動的次數(shù)記為，已知，按規(guī)則有，則解下第5個圓環(huán)最少需要移動的次數(shù)為（

）

A．4 B．7 C．16 D．31【典例3】（2023·高二課時練習(xí)）如圖，將正三角形的每一條邊三等分，并以每一條邊上居中的一條線段為邊向外作正三角形，便得到第1條“雪花曲線”（如圖（乙）的實線部分），對第1條“雪花曲線”的邊重復(fù)上述作法，便得到第2條“雪花曲線”（如圖（丙）），這樣一直繼續(xù)下去，得到一系列的“雪花曲線”.設(shè)第n條“雪花曲線”有條邊.（1）寫出的值.（2）求出數(shù)列的遞推公式.【變式1】（2023春·貴州·高二校聯(lián)考階段練習(xí)）“斐波那契數(shù)列”由十三世紀意大利數(shù)學(xué)家列昂納多-斐波那契發(fā)現(xiàn)，因為斐波那契以兔子繁殖為例子而引入，故又稱該數(shù)列為“兔子數(shù)列”.已知數(shù)列為“斐波那契數(shù)列”且滿足：，則（

）A．12 B．16 C．24 D．39【變式2】（2023春·湖北·高二黃石二中校聯(lián)考階段練習(xí)）數(shù)列滿足，且對，恒有，則（

）A．2021 B．2023 C．2035 D．2037【變式3】（2023春·四川眉山·高三?？奸_學(xué)考試）圖一是美麗的“勾股樹”，它是一個直角三角形分別以它的每一邊向外作正方形而得到．圖二是第1代“勾股樹”，重復(fù)圖二的作法，得到圖三為第2代“勾股樹”，以此類推，已知最大的正方形面積為1，則第n代“勾股樹”所有正方形的個數(shù)與面積的和分別為（

）

A．；n B．；C．；n D．；題型05數(shù)列的單調(diào)性的判斷及其應(yīng)用【典例1】（2023秋·浙江·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）已知，則“”是“數(shù)列是遞增數(shù)列”的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條C．充要條件件 D．既不充分又不必要條件【典例2】（2023·全國·高二隨堂練習(xí)）已知下列數(shù)列的通項，畫出數(shù)列的圖象，并判斷數(shù)列的增減性．(1)；(2)．

【典例3】（2023·全國·高二隨堂練習(xí)）判斷下列數(shù)列的單調(diào)性：(1)；(2)；(3)；(4)．【變式1】（2023秋·福建寧德·高二福建省寧德第一中學(xué)校考階段練習(xí)）數(shù)列的通項公式為，那么“”是“為遞增數(shù)列”的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件【變式2】（多選）（2023秋·高二課時練習(xí)）下列數(shù)列是單調(diào)遞增數(shù)列的有（

）A． B．C． D．【變式3】（2023·全國·高二課堂例題）已知函數(shù)，設(shè)數(shù)列的通項公式為，其中；(1)求證：；(2)判斷是遞增數(shù)列還是遞減數(shù)列，并說明理由.題型06求數(shù)列中的最大(小)項【典例1】（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知數(shù)列的通項公式為，其最大項和最小項的值分別為（）A．1， B．0， C．， D．1，【典例2】（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知數(shù)列的通項公式為，則當(dāng)最小時，（

）A．9 B．10 C．11 D．12【典例3】（2023秋·高二課時練習(xí)）已知數(shù)列的通項公式為，試判斷數(shù)列的單調(diào)性，并判斷該數(shù)列是否有最大項與最小項．【變式1】（2023·全國·高二隨堂練習(xí)）已知，求該數(shù)列前30項中的最大項和最小項．【變式2】（2023·全國·高二隨堂練習(xí)）已知數(shù)列的通項公式為，畫出該數(shù)列的圖象，并判斷該數(shù)列是否有最大項，若有，指出第幾項最大；若沒有，試說明理由．【變式3】（2023秋·高二課時練習(xí)）已知數(shù)列的通項公式為．(1)寫出這個數(shù)列的前5項．(2)這個數(shù)列有沒有最小的項？如果有，是第幾項？題型07與周期有關(guān)的數(shù)列問題【典例1】（2023秋·云南曲靖·高三?？茧A段練習(xí)）數(shù)列滿足，且，則數(shù)列的前2024項的和（

）A． B． C． D．【典例2】（2023秋·江西宜春·高三江西省宜豐中學(xué)校考階段練習(xí)）數(shù)列滿足，若，則等于（

）A． B． C． D．【典例3】（2023秋·江蘇淮安·高三江蘇省清浦中學(xué)校聯(lián)考階段練習(xí)）數(shù)列滿足，則.【變式1】（2023秋·福建廈門·高三廈門大學(xué)附屬科技中學(xué)校考階段練習(xí)）若數(shù)列滿足，，，則（

）A． B．－2 C．3 D．【變式2】（2023秋·云南曲靖·高三曲靖一中校考階段練習(xí)）已知數(shù)列的前項和為，設(shè)，，則（

）A． B． C． D．1012【變式3】（2023秋·湖南株洲·高二株洲二中?？茧A段練習(xí)）已知數(shù)列中，，則．題型08根據(jù)數(shù)列的前項和求【典例1】（2023秋·上海黃浦·高二格致中學(xué)校考階段練習(xí)）已知數(shù)列的前項和（為正整數(shù)），則此數(shù)列的通項公式.【典例2】（2023秋·天津和平·高三天津市第二十一中學(xué)校考階段練習(xí)）已知是數(shù)列的前n項和，且滿足，則數(shù)列的通項公式.【典例3】（2023秋·上海徐匯·高二上海民辦南模中學(xué)?？茧A段練習(xí)）若數(shù)列的前項和為，則.【變式1】（2023·全國·高二專題練習(xí)）已知數(shù)列滿足，則數(shù)列的通項公式為.【變式2】（2023秋·河北邢臺·高二邢臺市第二中學(xué)?？计谀┮阎獢?shù)列的前n項和，則數(shù)列的通項公式為.【變式3】（2023春·新疆喀什·高二?？茧A段練習(xí)）已知數(shù)列的前n項和，則數(shù)列的通項公式為．A夯實基礎(chǔ)B能力提升A夯實基礎(chǔ)一、單選題1．（2023秋·甘肅金昌·高二永昌縣第一高級中學(xué)校考階段練習(xí)）數(shù)列-4，7，-10，13，…的一個通項公式為（

）A． B．C． D．2．（2023春·廣東深圳·高二深圳第三高中?？计谥校┮阎獢?shù)列滿足，若，則（

）A．2 B． C． D．3．（2023秋·福建寧德·高二福建省寧德第一中學(xué)校考階段練習(xí)）記為數(shù)列的前項和，若，則（

）A． B． C． D．4．（2023·廣西南寧·南寧二中校聯(lián)考模擬預(yù)測）設(shè)數(shù)列滿足，則（

）A．7 B． C． D．5．（2023·河南·校聯(lián)考模擬預(yù)測）《幾何原本》是一部不朽的數(shù)學(xué)巨著，在這本書的第10卷中給出了“窮竭法”的基本命題.所謂“窮竭”指的是一個變量，它可以小于任意給定的量.根據(jù)窮竭法的基本命題，設(shè)數(shù)列滿足，，，…，，…，若，則m可能取到的最大值為（

）.A．5 B．6 C．7 D．86．（2023春·遼寧沈陽·高二校聯(lián)考期中）在數(shù)列，，，，…，，…中，是它的（

）A．第8項 B．第9項 C．第10項 D．第11項7．（2023春·福建福州·高二校聯(lián)考期中）如下圖，在平面直角坐標(biāo)系中的一系列格點，其中且．記，如記為，記為，記為，以此類推；設(shè)數(shù)列的前項和為，則（

）

A．1 B．0 C．—1 D．28．（2023秋·高二課時練習(xí)）已知數(shù)列滿足，若為遞增數(shù)列，則的取值范圍是（

）A． B．C． D．二、多選題9．（2023·全國·高三專題練習(xí)）（多選）數(shù)列1，2，1，2，…的通項公式可能為（）A． B．C． D．10．（2023·全國·高二專題練習(xí)）已知數(shù)列滿足：（），且數(shù)列是遞增數(shù)列，則實數(shù)a的可能取值是（

）A．2 B． C． D．3三、填空題11．（2023·全國·高三專題練習(xí)）數(shù)列中，，則此數(shù)列最大項的值是.12．（2023·江蘇鹽城·鹽城中學(xué)一模）大衍數(shù)列來源于《乾坤譜》中對易傳“大衍之?dāng)?shù)五十”的推論，主要用于解釋中國傳統(tǒng)文化中的太極衍