2023-2024學(xué)年高一上數(shù)學(xué)《三角函數(shù)、三角恒等變換、解三角形》測試卷及答案解析

2023-2024學(xué)年高一數(shù)學(xué)《三角函數(shù)、三角恒等變換、解三角形》

選擇題（共12小題）

1.(2021秋?鼓樓區(qū)校級期末)已知〃=CoS1,?=sin2,c=tan4,則()

A.c>b>aB.a>b>cC.b>a>cD.b>c>a

2.（2022春?馬尾區(qū)校級月考）已知弧長為生的弧所對的圓心角為三，則該弧所在的扇形

36

面積為（）

A.√3πB.《兀cπdπ

3-?-?

a

3.（2022?鼓樓區(qū)校級三模）若Sina=-3，且a∈（兀，多），則——H=(

52

1+tan-?

A.?B.」C.2D.-2

22

4.（2022春?福州期中）已知a為銳角,且sin（a-?2L）=工，則,cos(-?-a)=()

424

A.?B.-?C.√3D.-???-

2222

5.（2021秋?鼓樓區(qū)校級期末）已知a-,-?"),tana=3

2J

COS(a+β)=-^~,則tan(a-β)=(

)

5

A.苴B.?C.2D.旦

222

6.（2017春?馬尾區(qū)校級期中）在C中，已知ta瑪殳=Sine,則C的形狀為（

A.正三角形B.等腰三角形

C.直角三角形D.等腰直角三角形

7.(2016秋?福州月考)己知tan(ɑ-?)=1,則Sina+coSa的值為()

42Sina-CQSa

A.?B.2C.2√2D.-2

2

8.(2021秋?鼓樓區(qū)校級期中)已知Sin(-2L-+a)=—,則Sin(―∑.+2a)=()

336

A.?B.-?C.±AD.-A

9999

9.(2022春?倉山區(qū)校級期中)在銳角4/8C中，角/,B,C的對邊分別為a,b,c,△

ABC的面積為S,若sin(J+C)=—^—,則ta∏C+---------?-------的取值范圍()

b2_c22tan(B-C)

第1頁（共32頁）

A.[√2,^-)B.[√2,3)D.(1,追)

cα

62?1哈2

10.(2022春?倉山區(qū)校級期中)在ANBC中,根據(jù)下列條件解三角形，其中有兩個(gè)解的是

()

A./7=10,4=45°，C=70°B.Q=6，C=8，8=60°

C.a=8,b=16,4=30°D.<7=13,6=16,4=45°

11.（2021秋?鼓樓區(qū)校級期末）我國南宋時(shí)期著名的數(shù)學(xué)家秦九韶在其著作《數(shù)書九章》

中獨(dú)立提出了一種求三角形面積的方法“三斜求積術(shù)”，即aMC的面積

I2222

SK[a2C2_（里+2二2_）],其中α,b,C分別為4/8C的內(nèi)角N,B,C的對

邊，若6=1,且tanC=吟'1，則4N8C的面積的最大值為（）

_l-√2cosB_

A.場B.√2C.近D.√3

22

12.（2022春?馬尾區(qū)校級月考）已知4/18C的內(nèi)角4B,C對邊分別為a,h,c,若2csinC

=Ca+b）（sin5-sin4）,則當(dāng)角C取得最大值時(shí)，B=（）

A.—B.—C.—D.22L

3623

二.填空題（共4小題）

13?（2022?福州模擬）寫出一個(gè)使等式一Sina兀_F__c。Sa兀=2成立的α的值

Sin（a+?）cos（ɑ-

為.

14.（2021秋?倉山區(qū)校級期末）函數(shù)/（x）=SinX-2cosx+√^的一個(gè)零點(diǎn)是O,則tanθ

15.（2021秋?鼓樓區(qū)校級期末）已知Sina-3CoSa=0,則si∏2a+sin2a=.

16.（2021秋?鼓樓區(qū)校級期末）若在Xt[0,?]?.有兩個(gè)不同的實(shí)數(shù)值滿足方程

co≡2x+√3sin2x=?+l-則%的取值范圍是.

≡.解答題（共5小題）

17.（2020秋?福州期末）已知工<a<π,Sina=2

25

（?）分別求tana,Sin（a÷j;）的值；

（2）若角β終邊上一點(diǎn)尸（7,1）,求tan（2a+β）的值.

第2頁（共32頁）

18.(2022?鼓樓區(qū)校級模擬)記4/8C的內(nèi)角/,B,C的對邊分別為α,h,c,點(diǎn)。在邊

ACl.,且滿足。8：DA-.OC=2：3：4,Z?∕8C的面積S=BD?b?sιnB

b2

(1)證明：2p=7ac?,

(2)求COSN4BC.

19.(2022春?馬尾區(qū)校級月考)在△中，角4,B,C的對邊分別是α,b,c,且

b+c=a(V3sinC÷cosC)?

(1)求角Z；

(2)求SinB+sinC的最大值.

20.(2022?鼓樓區(qū)校級三模)已知448C的內(nèi)角4B,C所對的邊分別為α,b,c

?A+B.

bsιn-2~^csιnθ'

(?)求角G

(2)若/8邊上的高線長為2√E,求4/8C面積的最小值.

21.(2022春?鼓樓區(qū)校級期中)已知4/8C中，角/,B,C所對的邊分別為α,b,c,點(diǎn)

。在NC邊上，8。為NNBC的角平分線.Se期￡3

SZkABD2

(1)求SinNC；

SinNA

(2)若BD=b,求COSN45C的大小.

第3頁(共32頁)

2023-2024學(xué)年高一數(shù)學(xué)《三角函數(shù)、三角恒等變換、解三角形》

參考答案與試題解析

一.選擇題（共12小題）

1.（2021秋?鼓樓區(qū)校級期末）已知α=cosl,b=sin2,c=tan4,貝IJ（）

A.c>b>aB.a>h>cC.h>a>cD.b>c>a

【考點(diǎn)】三角函數(shù)線.

【專題】轉(zhuǎn)化思想；綜合法；三角函數(shù)的求值；數(shù)學(xué)運(yùn)算.

【分析】讓1與工，2與四，4與且L分別比較即可求解.

444

【解答】解：因?yàn)棣?coslVCOS2-N^,6=sin2>si∏3無

4242

c=tan4>tan?--1,又b<l,

4

所以c>b>a,

故選：A.

【點(diǎn)評】本題考查了三角函數(shù)線的應(yīng)用，考查了學(xué)生的運(yùn)算能力，屬于基礎(chǔ)題.

2.（2022春?馬尾區(qū)校級月考）已知弧長為生的弧所對的圓心角為工，則該弧所在的扇形

36

面積為（）

A.√3πB.lπc.2兀D.Aπ

333

【考點(diǎn)】扇形面積公式.

【專題】計(jì)算題；對應(yīng)思想；綜合法；三角函數(shù)的求值；數(shù)學(xué)運(yùn)算.

【分析】由已知利用弧長公式先求出圓半徑，由此能求出這條弧所在的扇形面積.

【解答】解：???弧長為工的弧所對的圓心角為工，

36

π

-?-

.?.圓半徑，?=景=2,

^6^

.?.這條弧所在的扇形面積為S=Lr=工Xz-X2=工.

2233

故選：B.

【點(diǎn)評】本題考查扇形面積的求法，考查弧長公式、扇形面積等基礎(chǔ)知識，考查運(yùn)算求

第4頁（共32頁）

解能力，是基礎(chǔ)題.

α

3.(2022?鼓樓區(qū)校級三模)若Sina=-冬，且a∈(兀，江)，則------>=()

521+tan-y

A.?B.二C.2D.-2

22

【考點(diǎn)】兩角和與差的三角函數(shù).

【專題】計(jì)算題；方程思想；綜合法；三角函數(shù)的求值；數(shù)學(xué)運(yùn)算.

.ɑa

2sin-^-cos-^-

【分析】由已知可得3,可求tan巴=-3,進(jìn)而可求值.

.2a2Q.

sin?^^?+cos52

.aa

2sin-7^-cos-^^?

【解答】解：Sina=-->可得3

.2a

sin-^~+cos5

a

2tan-^-

所以-----√—二-―,解得tan-?-=-3或tan工-=--9

2a

tan"?+15223

又α∈(兀，"),??.2(?,")，Jtanq=3,

2,2242

α

l-tan-?-

故一?-1-(-3)=_2

l+tan-^-1+(-3)

故選：D.

【點(diǎn)評】本題考查二倍角的正弦公式，屬中檔題.

4.(2022春?福州期中)已知α為銳角，且Sin(a--?)=工，則COS(?--a)=()

424

A.AB.-?C.2ZΣD.-???.

2222

【考點(diǎn)】兩角和與差的三角函數(shù).

【專題】轉(zhuǎn)化思想；綜合法；三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)；數(shù)學(xué)運(yùn)算.

【分析】由題意，利用同角三角函數(shù)的基本關(guān)系、誘導(dǎo)公式，求得CoS(?-a)的值.

4

【解答】解：：a為銳角，且Sin(a-?)=工，二a-二為銳角，CoS(a-?)=

4244

JI-Sin2(aT)=亨，

第5頁(共32頁)

則COS(2I_-α)=cos(a-.2—)=^^_,

442

故選：C.

【點(diǎn)評】本題主要考查同角三角函數(shù)的基本關(guān)系、誘導(dǎo)公式的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題.

5.(2021秋?鼓樓區(qū)校級期末)已知CL,B∈(?-,―),tana=3,

cos(CL+β)則tan(a-0)=()

5

A.心B.AC.2D.H

222

【考點(diǎn)】兩角和與差的三角函數(shù).

【專題】函數(shù)思想；分析法；三角函數(shù)的求值；數(shù)學(xué)運(yùn)算.

【分析】運(yùn)用三角函數(shù)的同角公式,可得sin(a+β)的值，結(jié)合正切函數(shù)的兩角差公式，分

別求得tanB、tan(a-β)的值，即可求解.

【解答】W：Vtanα>0,a∈?)

TTJT

??a∈(0,—)>a+β∈(-?,兀))

COS(ɑ.+β)=IS<O,

O

?TT

??a+B∈(?,兀)，

由三角函數(shù)的同角公式可得，

sin(a+B)=√l-cos2(O.+β)=J1-(-?^)2二,

Vbb

??tan(a+β)=：+W(-=~=-2?

cos(a+β)j/5_

??.a.∕rf.Orr、_tan(a+B)-tana=-2-3

FnB=tan(a+B-a)=TKKy石記TZ方E

?/ro?tanɑ-tanβ—3-11

??tan(a邛)XtanCLtanB-

故選：B.

【點(diǎn)評】本題考查兩角和與差的三角函數(shù)，考查計(jì)算能力，需要學(xué)生熟練掌握公式，屬

于基礎(chǔ)題.

6.(2017春?馬尾區(qū)校級期中)在△48C中，已知ta∏^殳=SinC,貝UaZBC的形狀為()

A.正三角形B.等腰三角形

第6頁(共32頁)

C.直角三角形D.等腰直角三角形

【考點(diǎn)】兩角和與差的三角函數(shù).

【專題】解三角形.

【分析】由條件利用誘導(dǎo)公式、同角三角函數(shù)的基本關(guān)系、二倍角的正弦公式求得Sing

_2

=場，可得C=三，故a∕8C的形狀為直角三角形.

22

【解答】解：Z?N8C中，：已知tanA；B=SinO，cot￡=sinC,

C

cosy

即------=2si∏A?os-.

C22

又COSCWO,.?.sinC=-1（舍去），或Sin匚=1,

22222

c=2L,.*.Z?∕BC的形狀為直角三角形，

242

故選：C.

【點(diǎn)評】本題主要考查誘導(dǎo)公式、同角三角函數(shù)的基本關(guān)系、二倍角的正弦公式的應(yīng)用,

屬于基礎(chǔ)題.

7.(2016秋?福州月考)已知tan(ɑ-?)=1,則Sina+cos°的值為()

42Sina-Ce)Sa

A.?B.2C.2√2D.-2

2

【考點(diǎn)】三角函數(shù)的恒等變換及化簡求值.

【專題】計(jì)算題：函數(shù)思想；分析法；三角函數(shù)的求值；數(shù)學(xué)運(yùn)算.

【分析】由tan(ɑ-?)=工，求出tana,然后對表達(dá)式的分子、分母同除以CoSa,然

42

后代入即可求出表達(dá)式的值.

【解答】解：由tan(a-?)=tan0-I=L

41+tanCC2

得tana=3.

則Sina+cosa=ta∏a+1_3+1

Sina-CoSatanɑ-13-l

故選：B.

【點(diǎn)評】本題考查了三角函數(shù)的化簡求值，注意表達(dá)式的分子、分母同除以COSα,是解

題的關(guān)鍵，是基礎(chǔ)題.

第7頁(共32頁)

8.(2021秋?鼓樓區(qū)校級期中)已知Sin(-2L-+α)則Sin(-ΞL+2a)=()

336

A.?B.-?C.±AD.-?

9999

【考點(diǎn)】二倍角的三角函數(shù).

【專題】計(jì)算題：轉(zhuǎn)化思想：轉(zhuǎn)化法：三角函數(shù)的求值：數(shù)學(xué)運(yùn)算.

【分析】由已知利用誘導(dǎo)公式，二倍角的三角函數(shù)公式化簡所求即可求解.

【解答】解：因?yàn)镾in(2L+a)=1,

33

所以sin(JΞ-+2a)=sin[(2a+-.??..)--ZLl=-cos(2a+±.兀.)=-[1-2sin2(a+-ZL.)]

63233

=-(1-2×A)=-?.

99

故選:B.

【點(diǎn)評】本題主要考查了誘導(dǎo)公式，二倍角的三角函數(shù)公式在三角函數(shù)化簡求值中的應(yīng)

用，考查了計(jì)算能力和轉(zhuǎn)化思想，屬于基礎(chǔ)題.

9.(2022春?倉山區(qū)校級期中)在銳角4/8C中，角N,B,C的對邊分別為a,b,c,△

的面積為若

ZBCS,Sin(/+C)=—^—,則tanC+------------------的取值范圍()

b,2-C22tan(B-C)

Λ近)

A.[√2,B.[Λ∕2-3)c.d,7ZJ..)D.(1,

6262

【考點(diǎn)】解三角形；正弦定理.

【專題】計(jì)算題；整體思想；綜合法；解三角形；數(shù)學(xué)運(yùn)算.

【分析】根據(jù)已知條件，結(jié)合三角形面積公式和余弦定理即可求出8=2C,根據(jù)三角形

是銳角三角形可求C的范圍，tanC+--------7一丁化簡為tanC?＜一」，根據(jù)雙勾函數(shù)

2tan(B-C)2tanC

性質(zhì)即可求其范圍.

【解答】解：由Sjn(Ay)=一枳S萬'得SinB=—?2S屋即SinB二

-Cb-cb-C

??,6是三角形內(nèi)角，Λsin5≠0,.?h2=c2+ac,

由余弦定理得，b2=a2+c2-2〃CCoS4,

-2ccosB=c,

由正弦定理得，SirL4-2sinCcos^=sinC,

即sin8cosC+cos8sinC-2sinCcos8=sinC,

即Sin^COSC-CoSBSinC=SinG

即Sin(B-C)=sinC,

第8頁(共32頁)

?△/BC是銳角三角形,IB-C=C,即B=2C,

,Q<C<^

??.?0<2C<^..?,A<c<A,??.tanc∈(亨，1)，

0<π-3C<^

?11

?^tanct2tan(B-C)≈tanc+2T^C,

根據(jù)雙勾函數(shù)的性質(zhì)可知，

j

tanC+π→?tanC=樂■取最小值企，

2tanC2

且tanC+—^—<1+---??,

U2tanC2×12

,tanC?^-------7一的取值范圍是［如，—}■

2tan(B-Cr)LV"

故選：B.

【點(diǎn)評】本題考查了三角形中正余弦定理的應(yīng)用，屬于中檔題.

10.(2022春?倉山區(qū)校級期中)在4/8C中，根據(jù)下列條件解三角形，其中有兩個(gè)解的是

()

A.b=10,∕=45°,C=70°B.a=6,c=8,8=60°

C.α=8,b=16,4=30°D.a=13,b=16,A=45

【考點(diǎn)】解三角形.

【專題】計(jì)算題；方程思想；綜合法；解三角形；數(shù)學(xué)運(yùn)算.

【分析】對于/,由/和C,利用三角形內(nèi)角和定理求出&再由6的值，利用正弦定理

求出。與c,得到此時(shí)三角形只有一解，不合題意；

對于8,由α,C及COS8的值，利用余弦定理列出關(guān)系式，得到廬，解得三角形只有一

個(gè)解，不合題意；

對于C,由正弦定理可得sin5=l,只有一解，三角形唯一確定，不合題意；

對于。，由。，人及SinZ的值，利用正弦定理求出sin8的值，由α小于人得到力小于8,

可得出此時(shí)8有兩解，符合題意.

【解答】解：對于Z選項(xiàng)，因?yàn)镹=45°,C=70°,

所以8=65°,又b=10,

所以由正弦定理，一=—^=—^,

sinAsinBsinC

第9頁(共32頁)

得α=二一孝.,C=IoSin7',

sin65sin65

三角形三邊確定，此時(shí)三角形只有一解，不合題意；

對于8選項(xiàng)，因?yàn)棣?8,C=I6,8=60°,

所以由余弦定理，M?2=α2+c2-2accosfi=36+64-48=52,b>0,

三角形三邊唯一確定，所以此時(shí)三角形有一解，不合題意；

對于C選項(xiàng)，r-=Y-=ITr又α=8,6=16,1=30°，

sinAsinBsinC

可得sin8=l,只有一解，三角形唯一確定，故選項(xiàng)C不合題意；

對于。選項(xiàng)，a=l3,6=16,/=45°，

所以由正弦定理

sinAsinBsinC

得sin5=上Z亞=返_>退__,

13132

因?yàn)棣?lt;6,所以45°=A<B,45"<5<135o,

所以8有兩解，符合題意.

故選：D.

【點(diǎn)評】本題主要考查了正弦定理，余弦定理在解三角形中的綜合應(yīng)用，考查了計(jì)算能

力和轉(zhuǎn)化思想，屬于中檔題.

II.（2021秋?鼓樓區(qū)校級期末）我國南宋時(shí)期著名的數(shù)學(xué)家秦九韶在其著作《數(shù)書九章》

中獨(dú)立提出了一種求三角形面積的方法“三斜求積術(shù)”，即4N8C的面積

I2222

s^-?［a2C2-+<^---）］-其中b,C分別為BC的內(nèi)角4B,C的對

邊，若6=1,且tanC="ginβ，則4/8C的面積的最大值為（）

_l-√2cosB_

A.亞B.√2C.近D.√3

22

【考點(diǎn)】三角形中的幾何計(jì)算；正弦定理.

【專題】計(jì)算題；方程思想；綜合法；解三角形；數(shù)學(xué)運(yùn)算.

【分析】由已知利用正弦定理可求c=√5",代入“三斜求積”公式即可計(jì)算得解.

【解答］解：ItanC=@迎，

tantl√2cosB

第10頁（共32頁）

.?.sinC—V^SinB,

Ce)SCl-√2cosB

/.sinC=y∕2^inBcosC+y∕2^osBsinC

ΛsinC=√2sin(5+C)=y∕2sinAf

:?c=Gta,

Vfe=1,

出外2_(^!=G[2a"fA)2]=

???〃=?時(shí)，A4BC的面積S的最大值為1?

2

故選：A.

【點(diǎn)評】本題主要考查了正弦定理在解三角形中的應(yīng)用，考查了轉(zhuǎn)化思想，屬于基礎(chǔ)題.

12.(2022春?馬尾區(qū)校級月考)已知的內(nèi)角4B,C對邊分別為a,h,c,若2csinC

=(α+6)(sin5-siιι4),則當(dāng)角C取得最大值時(shí)，B=()

??----B.—πT

36?

【考點(diǎn)】正弦定理.

【專題】轉(zhuǎn)化思想；轉(zhuǎn)化法；解三角形：數(shù)學(xué)運(yùn)算.

【分析】根據(jù)題設(shè)條件可得2C2=房-02,進(jìn)一步利用余弦定理及基本不等式可知當(dāng)COSC

取得最小值近時(shí)，角C取得最大值工，止匕時(shí)川=3〃2,c1=a2,再利用余弦定理可求得

26

cos3的值，進(jìn)而得到答案.

【解答】解：V2csinC=(α+?)(SinB-SilU),

22

，由正弦定理可得，2<?=(〃+6)Qb-Cl)=b-af

,22

2.,2b-a

Ca2+b2-c2-+b

由余弦定理可得c°sc^2ab-2ab

堂￡》述芻旦=Y1,當(dāng)且僅當(dāng)接=3次時(shí)等號成立，

4ab4ab2

當(dāng)CoSC取得最小值近時(shí)，角C取得最大值工，且此時(shí)於=3/，則c2=『,

26

第11頁(共32頁)

故選：D.

【點(diǎn)評】本題考查正余弦定理與基本不等式的綜合運(yùn)用，考查轉(zhuǎn)化思想及運(yùn)算求解能力,

屬于中檔題.

二.填空題(共4小題)

13.(2022?福州模擬)寫出一個(gè)使等式一Sina兀∣_c。Sa冗=2成立的α的值為

sin(a4-^-)cos(a

工(答案不唯一，a=?LMLAeZ任取一個(gè)佰均可)

882

【考點(diǎn)】兩角和與差的三角函數(shù).

【專題】計(jì)算題：整體思想；綜合法；三角函數(shù)的求值：數(shù)學(xué)運(yùn)算.

【分析】利用二倍角和兩角和差正弦公式化簡已知等式得到

Sin(2a`t?)=Sin(2a?k?^~)，由正弦函數(shù)性質(zhì)可確定

2a÷γ+2a+?=(2k+l)π(k∈Z)>由此可解得結(jié)果?

【解答】解：V

sin(2CCT)

Sina

冗、?l'π~=2

sin(a+^^)ysin(2d-*-^-)

??sin(2d-t?)?sin(2Q-t?)(

?TT兀/、/一、

??2Ct-t-y+2CL-Hy=(2k+l)K(k∈Z))

解得：a考工兀—(kCZ)，

4o

當(dāng)《=0時(shí)，ah?,

8

故使得等式成立的一個(gè)a的值為N(答案不唯一).

8

故答案為：占(答案不唯一，只要滿足LJrT(kCz)即可)?

【點(diǎn)評】本題考查了二倍角公式，兩角和差正弦公式以及三角函數(shù)的求值問題，屬于中

檔題.

14.(2021秋?倉山區(qū)校級期末)函數(shù)/(x)=SilU?-2COSA?+的一個(gè)零點(diǎn)是。，則tan。=∑.

第12頁(共32頁)

~2~'

【考點(diǎn)】三角函數(shù)的恒等變換及化簡求值；三角函數(shù)的最值.

【專題】計(jì)算題；轉(zhuǎn)化思想；綜合法；三角函數(shù)的求值：數(shù)學(xué)運(yùn)算.

【分析】利用輔助角公式化簡/(x)-Λ∕5sin(X+φ)+?[ζ,其中tanφ=-2,根據(jù)已知

及正弦函數(shù)的性質(zhì)可得e=2Aπ-工-φ,Λ∈Z,再利用誘導(dǎo)公式即可求解tanθ的值.

2

【解答】解：f(x)=SinX-2COSX+Λ/^='^Sin(x+φ)+??,其中tanφ=-2,

因?yàn)楹瘮?shù)/(x)的一個(gè)零點(diǎn)是。，

所以J"^sin(θ+φ)+J^=0,即sin(θ+φ)=-1,

所以6+φ=2?π-JL?,?∈Z,Q=Ikn--21--φ,?∈Z.

22

所以tanθ=tan(2?π--ZL-φ)=-tan(-2Ξ-+φ)=-----?----=-?,A∈Z,

22tanΦ2

故答案為：-?.

2

【點(diǎn)評】本題主要考查三角恒等變換，誘導(dǎo)公式的應(yīng)用，考查運(yùn)算求解能力，屬于基礎(chǔ)

題.

15.(2021秋?鼓樓區(qū)校級期末)已知Sina-3cosα=0,則si/a+sinZa=3.

—2―

【考點(diǎn)】二倍角的三角函數(shù).

【專題】計(jì)算題；轉(zhuǎn)化思想；轉(zhuǎn)化法；三角函數(shù)的求值；數(shù)學(xué)運(yùn)算.

【分析】由已知利用同角三角函數(shù)基本關(guān)系式可求tana的值，進(jìn)而利用二倍角的正弦公

式及同角三角函數(shù)基本關(guān)系式即可求解.

【解答】解:因?yàn)镾ina-3cosa=0,

所以tana=3,

OO9

則sin2ct+sin2a=四19t2里&鋁&..=第2?+?.怎Rj=.3.+.22S&=1.

Sin2(1+cos?atan?a+132+12

故答案為：3.

2

【點(diǎn)評】本題主要考查了二倍角的正弦公式及同角三角函數(shù)基本關(guān)系式在三角函數(shù)化簡

求值中的應(yīng)用，考查了轉(zhuǎn)化思想，屬于基礎(chǔ)題.

16.(2021秋?鼓樓區(qū)校級期末)若在Xe[Q,與]上，有兩個(gè)不同的實(shí)數(shù)值滿足方程

cos2x+V3si∏2χ-?+1＞則左的取值范圍是[0,1).

第13頁(共32頁)

【考點(diǎn)】三角函數(shù)的恒等變換及化簡求值.

【專題】計(jì)算題；函數(shù)思想；數(shù)形結(jié)合法；三角函數(shù)的求值.

【分析】原問題等價(jià)于y=sin(2X+2L)與y=X±L的圖象有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，由Xq0,

62

當(dāng)可得2x+2L的范圍，數(shù)形結(jié)合可得.

26

【解答】解：化簡可得COS2x+J§sin2x=2sin(2x+H),

6

原問題等價(jià)于y=sin(2X+2L)與V=XtL的圖象有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，

62

?.?χ∈[o,?],:.2X+2LE[—,l?],

2666

作出圖象可得工≤KiL<ι,解得O≤A?<I,

22

故答案為：[0,1)

【點(diǎn)評】本題考查三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)，涉及兩角和與差的三角函數(shù)公式和數(shù)形結(jié)合

的思想，屬中檔題.

三.解答題(共5小題)

17.(2020秋?福州期末)已知兀，Sina=魚

25

(1)分別求tana,sj??(a?κ^-)的值；

(2)若角B終邊上一點(diǎn)尸(7,1),求tan(2a+β)的值.

【考點(diǎn)】兩角和與差的三角函數(shù)；任意角的三角函數(shù)的定義.

【專題】轉(zhuǎn)化思想；綜合法；三角函數(shù)的求值；數(shù)學(xué)運(yùn)算.

【分析】(1)由題意利用任意角的三角函數(shù)的定義，兩角和差的三角公式，求得tana,

sin(a+^-)的值?

(2)由題意利用利用任意角的三角函數(shù)的定義，兩角和差的三角公式，求得tan(2a+0)

第14頁(共32頁)

的值.

2

【解答】解：(I)：己知匹<α<7l,Sina=4，?^?Cosa=-√i-sina=-?,

255

tana=式門。=-―,

cosa3

Sin(Ct+)=sinaeos??t-eosasin-?=—X-?-+(-?)..

'3'33525210

(2)若角B終邊上一點(diǎn)尸(7,1),則tanβ=工，tan2a=^^tanɑ——=&",

71-tan2α7

Λtan(2α+β)=tan2O?+tanB=7.

l-tan2a?tanβ

【點(diǎn)評】本題主要考查任意角的三角函數(shù)的定義，兩角和差的三角公式，屬于中檔題.

18.(2022?鼓樓區(qū)校級模擬)記4/8C的內(nèi)角/,B,C的對邊分別為α,b,c,點(diǎn)。在邊

ΛC±,且滿足。8：DA：DC=2：3：4,A4BC的面積<=BD?b?sinB.

'2

2

(1)證明:Ib=Iaci

(2)求COSN/8C.

【考點(diǎn)】三角形中的幾何計(jì)算；正弦定理；余弦定理.

【專題】方程思想；綜合法；解三角形；數(shù)學(xué)運(yùn)算.

【分析】(1)不妨設(shè)BD=2x,DA=3x,DC=4x,可得x=_l?,8Z>=2fe,再結(jié)合三角

77

形面積公式，得證；

(2)分別在AZBO和aBCA中，運(yùn)用余弦定理表示出cosZADB和COSNBz)C,由2408+

ZBDC-Tt,知COSN4D8+cosN8Z)C=0,代入化簡運(yùn)算，推出α=2c或α=2c,再在△

3

/8C中，利用余弦定理計(jì)算CoSNN8C,即可.

【解答】(1)證明：由。5：DAtOC=2：3：4,可設(shè)8C=2x,D4=3x,OC=4x,

所以？IC=ZM+OC=7x=b,即x=?l?,

7

所以坨=區(qū)=2,即BO=%C=

AC7x777

因?yàn)镃的面積s=BD?b?sinB=LCSin8,

22

所以8。=總￡，

b

故2?=3≤?,即如2=7".

7b

第15頁(共32頁)

p

222222

(2)解：在a∕8O中，由余弦定理知，cos4D8=AD+B[=蛆_=9X+4x-C

2AD?BD2?3x?2x

22

同理可得，COSN8。C=

16X23

因?yàn)镹ZO8+/8DC=n,

2222

所以CoSNZDB+cosZBDC=0,即.UW二￡—+20I_二5_=θ,

12X216X2

所以3t∕2+4c2=112χ2=a?2=J^?7ac=8℃,

772

所以(34-2c)Ca-2c)=0,即a=?‰或α=2c,

3

由(1)2h2=Iac,所以。2=3)2或/=L2,

77

在4/8C中，由余弦定理知，Ct)SNABC=a2+c"b2=上1￡匕@二叱=

當(dāng)a=&,即,2=邑2時(shí)，cosZΛBC=2

3

綜上所述，CoSNASC=-Zgit-?,

32

【點(diǎn)評】本題考查三角形中的幾何計(jì)算，熟練掌握三角形面積公式，余弦定理是解題的

關(guān)鍵，考查邏輯推理能力和運(yùn)算能力，屬于中檔題.

19.（2022春?馬尾區(qū)校級月考）在△中，角4,B,C的對邊分別是α,b,c,且

b+c=a（V3sinC+cosC）?

第16頁（共32頁）

(I)求角/；

(2)求SirL8+sinC的最大值.

【考點(diǎn)】正弦定理.

【專題】計(jì)算題；轉(zhuǎn)化思想；綜合法；三角函數(shù)的求值；三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)；邏輯

推理；數(shù)學(xué)運(yùn)算.

【分析】(1)直接利用正弦定理和三角函數(shù)的關(guān)系式的變換求出4的值;

(2)利用三角函數(shù)關(guān)系式的變換和正弦型函數(shù)的性質(zhì)的應(yīng)用求出結(jié)果.

【解答】解：(1)由正弦定理.a=b=.c.

sinAsinBsinC

WsinB÷sinC=sinAcosC-V3SinAsinC-

又sim?=Sin(J+C)=SinJCOSC+cos力SinG

所以CoSASinC+sinC=V^SinASinC，

又sinC≠O,

所以CoSA+I=EsinA,

利用三角函數(shù)關(guān)系式的變換，?/?sinA-cosA=L

sin(A?^τ~)=57